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专题 02 矩形的性质和判定（五大类型）
【题型1 矩形的概念和性质】
【题型2矩形和垂直平分线的综合应用】
【题型3直角三角形斜边上的中线】
【题型4矩形的判定】
【题型5 矩形的性质与判定综合】
【题型1 矩形的概念和性质】
1．（2023秋•顺德区期中）已知矩形的一边长为6，面积为48，则该矩形的对角线长为（
）
A．8 B．10 C．24 D．40
2．（2023 秋•锦江区校级月考）如图，在矩形 ABCD 中，下列结论中一定正确的是
（ ）
A．AD＝CD B．AC＝BD C．OA＝AB D．CD＝BC
3．（2023秋•城固县期中）矩形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，若∠OAB＝
30°，B（3，0），对角线AC与BD相交于点E，AC∥x轴，则BE的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．（2023春•香洲区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OC＝4，
P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为（ ）A．1.5 B．2 C．3 D．4
5．（2023春•桐城市期末）如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（﹣10，0），
C（0，﹣4），D是OA的中点，P是边BC上的点，连接DP，OP，当OP＝OD时，CP
的长为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
6．（2023春•泌阳县期末）如图，△ABC的边长BC长为7cm，将△ABC向上平移3cm得
到△A′B′C′，已知四边形BCC′B′为长方形，则阴影部分的面积为（ ）
A．21cm2 B．14cm2 C． cm2 D．42cm2
7．（2023春•黔东南州期末）在矩形ABCD中，A（4，1），B（0，1），C（0，3），则
点D的坐标为（ ）
A．（4，4） B．（4，3） C．（﹣4，4） D．（﹣4，﹣4）8．（2023春•曹县期末）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝
120°，DF∥AC，CF∥BD，DF，CF相交于点F，DF＝4，则矩形ABCD的面积为（
）
A． B． C． D．
9．（2023春•汉阴县期末）如图，在矩形 ABCD中，AC、BD相交于点O．若OA＝2，
∠ADB＝30°，则BC的长为（ ）
A．4 B． C．2 D．
10．（2023•舟山三模）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角
线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”
这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，
根据图形可知他得出的这个推论指（ ）
A．S矩形ABMN ＝S矩形MNDC B．S矩形EBMF ＝S矩形AEFN
C．S矩形AEFN ＝S矩形MNDC D．S矩形EBMF ＝S矩形NFGD
【题型2矩形和垂直平分线的综合应用】
11．（2023春•庐江县期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，对角线AC的垂直
平分线分别交AD、AC于点M，N，则AM的长为（ ）A． B． C． D．
12．（2022春•增城区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、
AC、BC于点E、O、F，若AB＝3，BC＝4，则BF的长为（ ）
A． B． C． D．1
13．（2023春•江源区期末）如图，在矩形 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交
AB，CD于点E，F，连接AF，CE，如果∠BCE＝26°，则∠CAF＝
14．（2023•深圳模拟）如图，在矩形ABCD中，作BD的垂直平分线分别与AD、BC交于
点M、N，连接BM、DN．若BM＝5，NC＝3．则矩形ABCD的周长为 ．
15．（2022春•博兴县期末）如图，在矩形ABCD中，EF为对角线BD的垂直平分线，分
别交AD、BC于点E、F，连接AO，若AO＝4，EF＝6，则AB＝ ．【题型3直角三角形斜边上的中线】
16．（2022秋•西安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若
∠CDA＝120°，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．50° D．60°
17．（2022秋•新华区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
AB＝12，则CD的长等于（ ）
A．5 B．4 C．8 D．6
18．（2022秋•裕华区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交
BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是（ ）
A．20 B．12 C．16 D．13
19．（2023春•清江浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，若CD
＝3，则AB＝ ．
【题型4矩形的判定】
20．（2023•张店区校级自主招生）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案
是（ ）
A．测量两组对边是否相等
B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否互相平分
D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等21．（2023春•青山区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，添加下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠BAD＝90° B．∠BAD＝∠ABC C．∠BAO＝∠OBA D．∠BOA＝90°
22．（2022秋•牡丹区期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若
添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．AC＝BD B．∠DAB＝90°
C．AB＝AD D．∠ADC+∠ABC＝180°
23．（2023•灞桥区校级四模）下列说法中正确的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D．有三个角是直角的四边形是矩形
25．（2023•雁塔区一模）如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么
需要添加的条件是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠A＝∠C D．AC＝BD
26．（2023春•莲池区校级期末）依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（ ）A． B．
C． D．
27．（2023•雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为BC、AC中
点，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接AD、AF、CF，求证：四边形ADCF
为矩形．
28．（2023秋•昌乐县期末）如图，在 ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，BE、CD
的延长线相交于点F，连接AF、BD▱．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若∠BEA+2∠C＝180°，求证：四边形ABDF是矩形．
【题型5 矩形的性质与判定综合】
29．（2023•同心县校级二模）如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，
若要使平行四边形ABCD为矩形，则▱OB的长度为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
30．（2023春•裕华区校级期中）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上
一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，
BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（ ）
A．3 B．3.6 C．3.75 D．4
31．（2023春•兴城市期中）如图，在平行四边形 ABCD中，对角线AC、BD相交于点
O，且OA＝OD，∠OAD＝50°，则∠OAB的度数为 ．
32．（2023春•台山市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝∠DBC．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，∠ACB＝30°，求BC的长．
33．（2023春•北京期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形▱；
（2）若AD＝2，∠CAB＝30°，作∠DCB的平分线CE交AB于点E，求AE的长．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/25 9:06:22；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：189077
34．（2023春•台山市校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB＝∠DBC．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，∠ACB＝30°，求BC的长．
35．（2023春•北京期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形▱；
（2）若AD＝2，∠CAB＝30°，作∠DCB的平分线CE交AB于点E，求AE的长．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/25 9:06:22；用户：gaga；邮箱：18376708956号：18907
36．（2023秋•青白江区期末）如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO
＝CO，BO＝DO，且∠ABC＝90°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形．
（2）若∠ACB＝30°，AB＝1，求：
①∠AOB的度数；
②四边形ABCD的面积．37．（2023秋•辽阳期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点．求
证： ．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：
小星：如图2，延长CD到点E，使得DE＝CD，连接AE，BE；
小红：如图3，取BC的中点E、连接DE，
请选择一位同学的方法，完成证明．
38．（2022秋•射阳县期末）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，点D是边BC的中点，AE
是外角∠FAC的平分线，过点C作CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连接DE，若矩形ADCE的周长是28，DE＝10，求四边形ABDE的面积．
39．（2023春•新余期末）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作
AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使▱CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝4，EC＝3，∠BAE＝30°，求OF的长度．
