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第二单元 勾股定理达标测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各组线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝5
C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5
【答案】D
【解答】解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵22+32≠52，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵22+42≠52，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数
及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形，每个正方形中的数及字
母S表示所在正方形的面积，
∴每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的边长的平方，
A、由勾股定理得：S＝5+15＝20，故选项A不符合题意；
B、由勾股定理得：S＝8+6＝14，故选项B不符合题意；
C、由勾股定理得：S＝8﹣6＝2，故选项C不符合题意；
D、由勾股定理得：S＝15﹣5＝10，故选项D符合题意；
故选：D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积
和为（ ）A．225 B．200 C．150 D．无法计算
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225，
故选：A．
4．如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以点A为圆心，
AC 长为半径画弧，交数轴于点 D（点 D 在点 B 的右侧），则点 D 所表示的数是
（ ）
A． B． ﹣1 C． D．2﹣
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1，
由勾股定理得，AC＝ ，
则点D表示的数为 ﹣1．
故选：B．
5．将一根24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为5cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露
在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（ ）A．h≤19 B．11≤h≤19 C．12≤h≤19 D．13≤h≤19
【答案】B
【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
此时h＝24﹣5＝19（cm），
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt△ABD中，AD＝12cm，BD＝5cm，
∴AB＝ ＝ ＝13（cm），
此时h＝24﹣13＝11（cm），
所以h的取值范围是11≤h≤19．
故选：B．
6．如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面
后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距
离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）
A．8m B．10m C．12m D．15m
【答案】C
【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，
根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
即旗杆的高度为12米．
故选：C．
7．如图，长为16cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．2cm
【答案】C
【解答】解：由题意可知：AB＝16cm，DC垂直平分AB，DC＝6cm，
∴AC＝ AB＝8cm，AD＝BD，
根据勾股定理可得：AD＝ （cm），
∴橡皮筋被拉长了：AD+BD﹣AB＝10+10﹣16＝4（cm），
故选：C．
8．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结
论错误的是（ ）
A．S△ABC ＝10
B．∠BAC＝90°
C．AB＝2
D．点A到直线BC的距离是2
【答案】A
【解答】解：A、S△ABC ＝4×4﹣ ×3×4﹣ ×1×2﹣ ×2×4＝5，本选项结论错误，符合题
意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵AB2＝20，∴AB＝2 ，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
则 × ×2 ＝ ×5×h，
解得，h＝2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：A．
9．为了测量学校的景观池的长AB，在BA的延长线上取一点C，使得AC＝5米，在点C
正上方找一点D（即DC⊥BC），测得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，则景观池的长AB为
（ ）
A．5米 B．6米 C．8米 D．10米
【答案】D
【解答】解：∵DC⊥BC，∠ADC＝30°，AC＝5米，
∴CD＝ AC＝5 （米），
∵∠CDB＝60°，
∴BC＝ DC＝ （米），
∴AB＝BC﹣AC＝15﹣5＝10（米），
故选：D．
10．如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为 a，长直角边长为b，大正方形
的面积为20，小正方形的面积为4，则ab的值是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．5
【答案】B【解答】解：设大正方形的边长为c，则c2＝a2+b2＝20，小正方形的面积（a﹣b）2＝
4，
∴20﹣2ab＝4，
解得：ab＝8，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则BC的长 1 4 或 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
∵在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴CD＝9，
∴BC的长为BD+DC＝9+5＝14；
（2）钝角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC边上高AD＝12，
在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得
CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，
∴CD＝5，
在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得
BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，
∴BD＝9，
∴BC的长为DB﹣BC＝9﹣5＝4．
故答案为14或4．12．如图，某自动感应门的正上方 A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感
应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高 1.6米的学生CD正对门，缓慢
走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 1. 5 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9
（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝ ＝ ＝1.5（米）
故答案为：1.5．
13．如图所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为
7cm，则正方形A、B、C、D的面积和为 4 9 cm2．【答案】见试题解答内容
【解答】解：
7×7＝49（平方厘米）
答：正方形A、B、C、D面积之和为49平方厘米．
故答案为：49．
14．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到 A处
（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果
两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 1 5 米．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．
由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．
故这棵树高15m．15．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于 a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解
（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根
据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，
25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×
（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为 （ 1 1 ， 6 0 ， 6 1 ） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，
4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即（11，60，61），
故答案为：（11，60，61）．
16．如图，OP＝1，过点P作PP ⊥OP且PP ＝1，根据勾股定理，得OP ＝ ；再过P
1 1 1 1
作P P ⊥OP 且P P ＝1，得OP ＝ ；又过P 作P P ⊥OP 且P P ＝1，得OP ＝
1 2 1 1 2 2 2 2 3 2 2 3 3
2；…；依此继续，得OP ＝ ．
2023【答案】 ．
【解答】解：由勾股定理得：OP ＝ ，OP ＝ ；OP ＝2；
1 2 3
OP ＝ ＝ ；
4
依此类推可得OP ＝ ，
n
∴OP ＝ ＝ ．
2023
故答案为： ．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．
（1）求∠DAB的度数；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）连接AC，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∠BAC＝∠ACB＝45°，∵CD＝3，DA＝1，
∴AD2+AC2＝12+（2 ）2＝9，CD2＝32＝9，
∴AD2+AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，
∴∠DAB的度数为135°；
（2）由题意得：
四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ADC的面积
＝ AB•BC+ AD•AC
＝ ×2×2+ ×1×2
＝2+ ，
∴四边形ABCD的面积为2+ ．
18．（8分）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳
子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处约2m，请设法算出旗杆的高度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设旗杆的高为x米，则绳子长为（x+2）米，由勾股定理得，（x+2）2＝x2+62，
解得x＝8．
答：旗杆的高度是8米．
19．（10分）如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为
1．
（1）图1中正方形ABCD的面积为 ，边长为 ；
（2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要
求：
Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上；
Ⅱ．所作的正方形的边长为 ．
②请在图2中的数轴上标出表示实数 的点，保留作图痕迹．
【答案】（1）10， ；
（2）①作图见解析过程；
②作图见解析过程．
【解答】解：（1）正方形的边长为： ，面积为： ，
故答案为：10， ；
（2）①如图所示的正方形即为所作；
②如图2中，正方形EFGH是所画的面积为8的格点正方形，以点E为圆心、EF为半径画弧，交数轴于点P，则点P的坐标为实数 ．
20．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝
AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新
建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH
＝2.4千米，HB＝1.8千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过
计算加以说明；
（2）求原来的路线AC的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9
BC2＝9
∴CH2+BH2＝BC2
∴CH⊥AB，
所以CH是从村庄C到河边的最近路
（2）设AC＝x
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2解这个方程，得x＝2.5，
答：原来的路线AC的长为2.5千米．
21．（8分）如图，铁路上 A，B两点相距 25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，
CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购
站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
【答案】E站应建在离A站10km处．
【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等，
∴DE＝CE．
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，
∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）．
∵DA＝15km，CB＝10km，
∴x2+152＝（25﹣x）2+102，
解得：x＝10，
∴AE＝10km．
答：E站应建在离A站10km处．
22．（10分）阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点M（x ，y ），N（x ，y ），则由勾股定理可得，这两点间的
1 1 2 2
距离MN＝ ．
例如，如图1，M（3，1），N（1，﹣2），则MN＝ ＝ ．
【直接应用】
（1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q两点间的距离；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣3），OB＝ ，OB与x轴正半轴的夹角是45°．
①求点B的坐标；
②试判断△ABO的形状．
【答案】（1）3 ；
（2）①B（1，﹣1）；
②△ABO是直角三角形．
【解答】解：（1）∵P（2，﹣3），Q（﹣1，3），
∴PQ＝ ＝3 ；
（2）①过点B作BF⊥y轴于点F，
∵OB与x轴正半轴的夹角是45°，
∴∠FOB＝∠OBF＝45°，
∵OB＝ ，
∴OF＝BF＝1，
∴B（1，﹣1）；②∵A（﹣1，﹣3），B（1，﹣1），
∴OA＝ ＝ ，AB＝ ＝2 ，
∵AB2+OB2＝8+2＝10，OA2＝10，
∴AB2+OB2＝OA2，
∴△ABO是直角三角形．
