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专题 04 正方形的性质和判定（三大类型）
【题型1 正方形的概念和性质】
【题型2正方形的判定】
【题型3正方形的性质与判定综合】
【题型1 正方形的概念和性质】
1．（2023秋•朝阳区校级期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分且相等
【答案】B
【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项不符合题意；
B、对角线互相平分是平行四边形具有的性质，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故
本选项符合题意；
C、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分且相等，菱形不具有对角线相等的性质，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．（2022秋•方城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．以AB为一边
在△ABC的同侧作正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．25
【答案】C
【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝2，由勾股定理知，AB2＝AC2+BC2＝22+42＝20．
故 ．
故选：C．
3．（2023秋•温县期中）如表，在由九个小正方形组成的大正方形中，每个小正方形上各
标有一个数，且每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a﹣b+c的值为（
）
4 a 2
﹣1 1 3
b 5 c
A．﹣5 B．﹣4 C．0 D．5
【答案】A
【解答】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，
∴4+a+2＝﹣1+1+3＝b+5+c＝2+3+c，
解得：a＝﹣3，b＝0，c＝﹣2，
∴a﹣b+c＝﹣3﹣0+（﹣2）＝﹣5，
故答案选：A．
4．（2022秋•高碑店市期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他
先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8cm，接着活动学具成为
图2所示正方形，则图2中正方形对角线AC的长为（ ）
A．8cm B．16cm C．24cm D．8 cm
【答案】D
【解答】解：如图1，图2中，连接AC．
图1中，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝8cm，
在图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝ AB＝8 cm；
故选：D．
5．（2023春•巴彦县期中）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE
＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：
①AE＝BF；
②AE⊥BF；
③AO＝OE；
④∠AED＝∠FBC中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝AD＝AB，∠BAF＝∠ADE＝90°，∵CE＝DF，
∴DE＝AF，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴AE＝BF（故①正确）；∠AED＝∠FBC（故④正确）；
∵∠ABF+∠AFB＝∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠AFB+∠EAF＝90°，
∴AE⊥BF一定成立（故②正确）；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF，
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）；
∵AE⊥BF，
在Rt△ABO中，AO2+BO2＝AB2，
在Rt△AOF中，AO2+OF2＝AF2，
∴2AO2+BO2+OF2＝AB2+AF2＝BF2，
∴2AO2＝BF2﹣BO2﹣OF，
∴2AO2＝（BO+FO）2﹣BO2﹣FO2，
∴2AO2＝2BO×FO，
∴AO2＝BO×FO，故④正确
故选：C．
6．（2020•红桥区三模）如图，四边形ABCD为正方形，A点坐标为（﹣1，0），点B，C，D分别在坐标轴上，则正方形的周长是（ ）
A．4 B．3 C．4 D．2
【答案】C
【解答】解：在正方形ABCD中，
∠DAO＝45°，
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴AD＝ ，
∵AD＝CD＝BC＝AB，
∴正方形的周长为4 ，
故选：C．
7．（2023秋•平遥县期中）在平面直角坐标系中放置了一个面积为5的正方形，如图所示，
点B在y轴上，且坐标是（0，2），点C在x轴上，则点D的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（3，1） C．（1，3） D．（1，2）
【答案】B
【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC+∠OCB＝∠OCB+∠DCE，
∴∠OBC＝∠DCE，
在△OBC与△ECD中，
，
∴△OBC≌△ECD（AAS），
∴DE＝OC，CE＝OB，
∵正方形ABCD的面积为5，
∴BC＝ ，
由题意得：BC2＝OB2+OC2，
∴OC＝ ＝1，DE＝1，CE＝2，
∴点D的坐标为（3，1）．
故选：B．
8．（2023春•仓山区期中）如图，点 P是正方形ABCD内一点，连接AP，BP，CP．若
△APB是等边三角形，则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．60° C．75° D．90°
【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB，∠CBA＝90°，
∵△PAB是等边三角形，
∴∠PBA＝60°，PB＝AB，
∴∠CBP＝30°，PB＝BC，
∴ ，
故选：C．
9．（2023春•淮阳区期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，则∠EAC
＝（ ）
A．15° B．28° C．30° D．45°
【答案】C
【解答】解：∵正方形ABCD中，∠DAC＝45°，∠ADC＝90°，
等边三角形DCE中，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝150°，
又∵AD＝CD＝DE，
∴等腰三角形ADE中，∠DAE＝ ＝15°，
∴∠EAC＝∠DAC﹣∠DAE＝45°﹣15°＝30°．
故选：C．
10．（2023•池州模拟）如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，
EG⊥CD，垂足分别是F、G，若CG＝4，CF＝3，则AE的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C
【解答】解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形CFEG是矩形，
∴EF＝GC＝4，∠EFC＝90°，
∴CE＝ ＝ ＝5，
∴AE＝CE＝5，
故选：C．
11．（2022秋•碑林区期末）如图，分别以Rt△ACB的直角边AB和斜边AC为边向外作正
方形ABGF和正方形ACDE，连结EF．已知CB＝6，EF＝10，则△AEF的面积为（
）
A． B． C．24 D．12
【答案】D
【解答】解：如图，连接CE，CF，BE，BF，设BE，CF交于点M，AC，BE交于点N，
∵四边形ACDE，ABGF是正方形，
∴AC＝AE，AB＝AF，∠EAC＝∠FAB＝90°，
∴∠EAC+∠CAB＝∠BAF+∠CAB，
即∠EAB＝∠CAF，
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴∠ACF＝∠AEB，
∵∠CNE＝∠CMN+∠ACF＝∠NAE+∠AEB，
∴∠CMN＝∠NAE＝90°，
即CF⊥BE，
∴CM2+BM2＝CB2，EM2+FM2＝EF2，BM2+MF2＝BF2，CM2+EM2＝EC2，
∴CM2+BM2+EM2+FM2＝CB2+EF2，
∴BF2+CE2＝CB2+EF2＝62+102＝136，
又∵ ，
∴2AB2+2AC2＝136，
又∵AC2﹣AB2＝BC2＝36，
解得：AB2＝16，AC2＝52，
∴ ，
过点A作AT⊥EF于点T，
设ET＝x，
∴AT2＝AE2﹣ET2＝AF2﹣（10﹣ET）2，即52﹣x2＝16﹣（10﹣x）2，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
12．（2022秋•平顶山期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E为AB上一动
点．连接 OE，作 OF⊥OE 交 BC 于点 F，已知 AB＝2，则四边形 EBFO 的面积为
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC⊥BD，
∴AC＝BD＝2 ，∠ABO＝∠OBC＝∠BCO＝∠ACD＝45°，
∴OB＝OC＝OD＝OA＝ ，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOC＝90°，
∴∠AOE+∠BOE＝90°，∠COF+∠BOF＝90°，
∵OF⊥OE，
∴∠BOE+∠BOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
在△BOE和△COF中，，
∴△BOE≌△COF（SAS），
∴S△BOE ＝S△COF ，
∴S四边形EBFO ＝S△COF +S△DOF ＝S△DOC ，
∵AB＝2，
∴S正方形ABCD ＝4，
∴S S正方形ABCD ＝1，
∴四边形EBFO的面积为1．
故选：A．
【题型2正方形的判定】
13．（2023春•浦东新区校级期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添加下
列条件能判定四边形ABCD是正方形的是（ ）
A．AB＝AD且AC⊥BD
B．AC⊥BD且AC和BD互相平分
C．∠BAD＝∠ABC且AC＝BD
D．AC＝BD且AB＝AD
【答案】D
【解答】解：A、AB＝AD且AC⊥BD，是菱形，不符合题意；
B、对角线互直垂直且互相平分，是菱形，不符合题意；
C、∠BAD＝∠ABC且AC＝BD不能判断四边形ABCD是正方形，不符合题意；
D、AC＝BD且AB＝AD四边相等，是正方形，符合题意；
故选：D．
14．（2023春•汝阳县期末）用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，学具成
为图1所示菱形时，测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正
方形，则图2中对角线AC的长为（ ）A．20 cm B．30cm C．40cm D．20cm
【答案】A
【解答】解：如图1，连接AC，
∵∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝20cm，
如图2，连接AC，
∵AB＝BC＝20cm，∠ABC＝90°，
∴AC＝20 cm，
故选：A．
15．（2023春•临颍县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交
BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形 BECF为正
方形的是（ ）
A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF
【答案】C
【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，
∵BF＝BE，
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
当BC＝AC时，
∵∠ACB＝90°，
则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠EBC＝45°，
∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符
合题意；
当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项C错误，符合题意；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项D正确，但不符
合题意．
故选：C．
16．（2023•顺德区校级三模）在四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G、H
分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F、H得到的四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，∴FG＝ CD，FG∥CD．HE＝ CD，HE∥CD．
∴FG＝EH，FG∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
故选：A．
17．（2023•雁塔区校级二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该
矩形成为正方形，则应添加的条件是（ ）
A．CD＝AD B．OD＝CD C．BD＝AC D．∠AOB＝60°
【答案】A
【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．
故选：A．
18．（2023 春•黄冈期中）如图，在△ABC 中，O 是 AC 上一动点，过点 O 作直线
MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运
动到AC的中点，且∠ACB＝（ ）时，则四边形AECF是正方形．
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【解答】解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD，
∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线，
∴∠ECF＝90°．
∵MN∥BC，
∴∠FEC＝∠ECH，
∵∠ECH＝∠ECO，∴∠FEC＝∠ECO，
∴OE＝OC．
同理OC＝OF，
∴OE＝OF，
∵点O运动到AC的中点，
∴OA＝OC，
∴四边形AECF为一矩形，
若∠ACB＝90°，则CE＝CF，
∴四边形AECF为正方形．
故选：D．
19．（2023•合阳县校级一模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条
件中，能判定四边形ABCD是正方形的是（ ）
A．AC＝BC＝CD＝DA B．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AB＝BC，CD⊥DA
【答案】C
【解答】解：因为对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
故C选项符合题意，
故选：C．
20．（2023•原平市模拟）小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，
④号箭头处可以添加的条件是 有一组邻边相等（答案不唯一） ．（写出一种即
可）【答案】有一组邻边相等（答案不唯一）．
【解答】解：有一组邻边相等的矩形是正方形，
故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）．
【题型3正方形的性质与判定综合】
21．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知AC＝ cm，小红作了如下操作：分别以
A，C为圆心，1cm的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，
D，则四边形ABCD的形状是（ ）
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
【答案】D
【解答】解：四边形ABCD为正方形，
理由如下：由题意得，AB＝AD＝CB＝CD＝1cm，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝∠BCD＝90°
∴四边形ABCD是正方形，
故选：D．
22．（2023春•岱岳区期末）小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四
个条件：
①AB＝BC；
②∠ABC＝90°；
③AC＝BD；
④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形．现有下列四种选法你认为错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】C
【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
B．∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意；
C．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当③AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形 ABCD是正方形，故此选项错误，
符合题意；
D．∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
23．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，
并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠AFP＝∠BPQ
B．EF∥QP
C．四边形EFPQ是正方形
D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∵AF＝BP＝CQ＝DE，
∴DF＝CE＝BQ＝AP，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），
∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；
∵EF＝FP＝PQ＝QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；
∵△APF≌△BQP，
∴∠AFP＝∠BPQ，
∵∠AFP+∠APF＝90°，
∴∠APF+∠BPQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；
∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，
若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，
则EF2＝ AB2，即EF＝ AB．
若EF≠ AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，
故D选项不一定正确，符合题意．
故选：D．
24．（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，
过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点
G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积
为正方形ABCD面积的 ；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为 ①②③ .（将正确的
序号都填入）【答案】①②③．
【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF，
∴∠COE＝∠DOF，
∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确；
②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠BOE＝∠COF，
∴△OBE≌△OCF（ASA）；故②正确；
③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等，
∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的 ，故③正确；
④∵△COE≌△DOF，
∴CE＝DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，
∴BE＝CF，
在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2，
∴DF2+BE2＝EF2，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故选：①②③．25．（2023•贵阳模拟）如图，点 E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，EF⊥AB，
EG⊥BC，垂足分别为F，G．
（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）若正方形ABCD的周长是40cm，当AF＝5cm时，求证：四边形BFEG是正方形．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，∠B＝90°．
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．
又∵∠B＝90°，
∴四边形BFEG是矩形；
（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB＝40÷4＝10cm．
∵四边形ABCD为正方形，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．
∵AF＝5cm，AB＝10cm，
∴EF＝BF＝5cm，
∴四边形BFEG是正方形．26．（2022秋•绥德县期中）如图所示，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，
且AE＝AF，∠CEF＝45°．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）若AF＝3 ，BE＝1，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）见解答；
（2）17．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵AE＝AF，
∴∠AFE＝∠AEF，
∵∠CEF＝45°，∠C＝90°，
∴∠CFE＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
（2）解：∵由（1）可知： ，
又BE＝1，∠B＝90°，
∴由勾股定理得， ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ．
27．（2023秋•威宁县校级期末）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，
连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2 ，CE＝2，求CG的长；
（3）当∠ADE＝40°时，求∠EFC的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）2；
（3）130°．
【解答】（1）证明：过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，如图1，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DCA＝∠BCA＝45°．
∵EP⊥CD，EQ⊥BC，
∴∠QEC＝∠PEC＝45°，EQ＝EP．
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED．
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形．（2）解：如图2，
在Rt△ABC中， ，
∵CE＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴CG＝2．
（3）解：当∠ADE＝40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°．
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°．
28．（2022春•富县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点
D，DE∥AB，DF∥AC
（1）求证：四边形AFDE为正方形；
（2）若AD＝32，求四边形AFDE的面积．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）512．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD．
∵DE∥AB，
∴∠EDA＝∠FAD．
∴∠EDA＝∠EAD．
∴AE＝DE．
∴四边形AFDE是菱形．
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFDE是正方形．
（2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝32，
∴AF＝DF＝DE＝AE＝ ＝16 ．
∴四边形AFDE的面积为16 ×16 ＝512．
29．（2022春•峄城区期中）问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC
边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）△AHF是等腰三角形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AD＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）解：△AHF是等腰三角形，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠ABH＝90°，
∵DE⊥AF，
∴∠DAB＝∠AGD＝90°，
∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵DE＝AF，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴AE＝BF，
∵DE＝AF，
∴BH＝AE，
∴BH＝BF，
∵∠ABH＝90°，
∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形．
30．（2022春•东台市期中）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分
线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足．
（1）∠EAF＝ 45 ° （直接写结果）．
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝2，求DF的长．
【答案】（1）45°；
（2）①证明见解析；② ．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFE＝ DFE，∠AEF＝ BEF，
∴∠AEF+∠AFE＝ （∠DFE+∠BEF）＝ 270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45°；
（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②解：设DF＝x，
∵BE＝EC＝2，
∴BC＝4，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝2，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，即22+（4﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x＝ ，
∴DF的长为 ．
