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专题 24.3 圆的证明综合
【例题精讲】
【例1】如图，四边形 为菱形，以 为直径作 交 于点 ，连接 交
于点 ， 是 上的一点，且 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ， ，求 的半径．【例2】如图，已知 是 外一点， 交 于点 ， ，弦 ，劣
弧 的度数为 ，连接 ．
（1）求 的长；
（2）求证： 是 的切线．【题组训练】
1．如图， 为 的切线， 为切点，过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，
延长 与 的延长线交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．2．如图，在 中， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为 ．过点
作 的切线与 的延长线交于点 ．若 ，求 的度数．6．如图， 是 的直径，点 和点 是 上的两点，过点 作 的切线交 延
长线于点 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 半径的长．7．如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 、 是 上的两点， ，
，延长 交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；10．如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，过点 作直线
的垂线交 于点 ， 是 的外接圆．
（1）求证： 是 的切线；
（2）过点 作 于点 ，求证： 平分 ；
（3）求证： ．11．如图， 是 的直径，过点 作 的切线 ，弦 ，交 于点 ，
且 ，连接 ， ，延长 交 于点 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）连接 ，若 ，求 的长．12．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 的
切线 ，交 于点 ， 的反向延长线交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， 的半径为10，求 的长度．13．如图， 内接于 ， ， 是 的直径，交 于点 ，过点 作
，交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）已知 ， ，求 的长．14．如图， 内接于 ， ， 是 的直径，点 是 延长线上的一点，
且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．15．如图， 是 的直径，点 ， 是 上两点，且 ，连接 ，
，过点 作 交 延长线于点 ，垂足为 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径．16．如图， 中， ，以 为直径作半圆 交 与点 ，点 为
的中点，连接 ．
（1）求证： 是半圆 的切线．
（2）若 ， ，求 的长．17．如图，在 中， 是边 上一点，以 为直径的 经过点 ，且
．
（1）请判断直线 是否是 的切线，并说明理由；
（2）若 ， ，求弦 的长．18．如图，在 中， ， 于点 ， 是 上一点，以 为直径的
交 于点 ，连接 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．20．如图， 是 的直径，点 在 上，且 ，点 是 外一点， 与
相切于点 ，连接 ，过点 作 交 于点 ，连接 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： 是 的切线；
（3）若 ， ，连接 ，求 的长．21．如图，在 中， ， ，点 在 边上， 经过点 和点
且与 边相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径．22．如图， 为 的直径， 为 上一点，弦 的延长线与过点 的切线互相垂直，
垂足为 ， ，连接 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．23．已知：如图， 中， ，以 为直径的 交 于点 ， 于
点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的值．24．如图，在 中， ， 的平分线交 于点 ，过点 作 的垂线
交 于点 ， 是 的外接圆．
（1）求证： 是 的切线．
（2）过点 作 于点 ，求证： ．25．如图， 是 的直径，点 、 在 上，且 平分 ，过点 作 的
垂线，与 的延长线相交于 ，与 的延长线相交于点 ， 为 的下半圆弧的中
点， 交 于 ，连接 、 ．
（1）证明 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）已知圆的半径 ， ，求 的长．26．如图，在 中， ，以斜边 上的中线 为直径作 ，与 、
分别交于点 、 ，与 的另一个交点为 ．过点 作 ，垂足为 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求弦 的长．28．如图，在 中， ，点 在 边上，以 为直径作 交 于
点 ，连接 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．30．如图， 内接于圆 ， 为直径， 与点 ， 为圆外一点， ，
与 交于点 ，与圆 交于点 ，连接 ，且 ．
（1）求证： 是圆 的切线；
（2）当 时，连接 ，
①求证： ；
②若 ，求线段 的长．
