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专题 24.3 正多边形和圆（专项训练）
1．（2021•江油市模拟）如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4
的正六边形，则顶点F的坐标为（ ）
A．（2，2 ） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2 ） D．（﹣1， ）
2．（2021•浦东新区三模）正六边形的半径与边心距之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021春•方城县期末）一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边
在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（ ）
A．83° B．84° C．85° D．94°
4．（2020秋•亭湖区期中）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手
的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a等于（ ）A． cm B．2 cm C．2cm D． cm
5．（2021•韩城市模拟）两个边长相等的正五边形如图所示放置，则∠ 的度数为 ．
α
6．（2021•岳池县模拟）若正六边形的边心距为 ，则这个正六边形的半径为 ．
7．（2021秋•宁波期中）如图，已知正五边形 ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段
EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为 ．
8.（2021春•碑林区校级期末）如图，在正六边形ABCDEF中，连接CE，AD，AD与CE
交于点O，连接OB，若正六边形边长为4，则OB的长为 ．
9．（2021•陕西模拟）如图，点A，B，C，D是一个外角为40°的正多边形的顶点，若O
为正多边形的中心，则∠AOD的度数为 ．10．（2021•西昌市模拟）如图， O的周长等于4 cm，则它的内接正六边形ABCDEF的
面积是（ ） ⊙ π
A． B． C． D．
11．（2020秋•陕州区期末）如图是半径为2的 O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O
到边AB的距离是（ ） ⊙
A．2 B．1 C． D．
12．（2021•镇雄县一模）已知 O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为 O上除C、D外
任意一点，则∠CPD的度数为⊙（ ） ⊙
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
13．（2020秋•绥棱县期末）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．414．（2021•滨城区一模）如图，四边形ABCD是 O的内接正方形，点P是劣弧 上任
⊙
意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
15．（2021•阿荣旗模拟）若一个正多边形的中心角为 40°，则这个多边形的边数是
（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
16．（2021•皇姑区二模）已知圆的半径是 2 ，则该圆的内接正六边形的面积是
（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
17．（2020秋•龙泉驿区期末）如图，五边形ABCDE是 O的内接正五边形，则∠COD的
度数是 ． ⊙
18．（2021•榆阳区模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，半径为4，则这个正六边
形的边心距OM的长为 ． ⊙19．（2021•五峰县模拟）如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是
40°，那么n＝ ．
20．（2020秋•莆田期末）如图， O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADC的度数是
°． ⊙
21．（2021春•皇姑区校级月考）如图，在圆内接正六边形 ABCDEF中，半径OC＝4，
OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝ ，边长＝ ，边心距＝
．
22．（2021秋•金华期中）如图， O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，
⊙
G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4 ，则点O到FM的距离是 ．23．（2021秋•天心区期中）如图， O的内接正六边形ABCDEF边长为 cm，则该正
⊙
六边形的面积为 cm2．
24．（2021•曲江区校级模拟）如图，正八边形ABCDEFGH内接于 O，若AC＝4，则点
O到AC的距离为 ． ⊙
25．（2021•娄底模拟）如图， O的半径为6，如果弦AB是 O内接正方形的一边，弦
AC是 O内接正十二边形的一⊙边，那么弦BC的长为 ．⊙
⊙
26．（2020秋•官渡区期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 OABCDE的边长是
2，则它的外接圆圆心P的坐标是 ．专题 24.3 正多边形和圆（专项训练）
1．（2021•江油市模拟）如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4
的正六边形，则顶点F的坐标为（ ）
A．（2，2 ） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2 ） D．（﹣1， ）
【答案】C
【解答】解：连接OF．
∵∠AOF＝ ＝60°，OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA＝OF＝4．
设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°．
在Rt△GOF中，
∵∠GOF＝30°，OF＝4，
∴GF＝2，OG＝2 ．∴F（﹣2，2 ）．
故选：C．
2．（2021•浦东新区三模）正六边形的半径与边心距之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵正六边形的半径为R，
∴边心距r＝ R，
∴R：r＝1： ＝2： ，
故选：D．
3．（2021春•方城县期末）一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边
在直线l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是（ ）
A．83° B．84° C．85° D．94°
【答案】B
【解答】解：由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，
∴∠EOF＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠AOB＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
故选：B．4．（2020秋•亭湖区期中）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手
的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a等于（ ）
A． cm B．2 cm C．2cm D． cm
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，
由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∴∠BCD＝∠BAC＝30°，
由AC＝3，得CD＝1.5，
Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，
∴BD＝ AB＝ a，
∴AD＝ ＝ a，
即 a＝1.5，
∴a＝ （cm），
故选：A．
5．（2021•韩城市模拟）两个边长相等的正五边形如图所示放置，则∠ 的度数为 ．
α【答案】108°
【解答】解：正五边形的内角的度数为： ＝108°，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠GBE＝∠BEF＝108°，
∴∠BCE＝∠BEC＝180°﹣108°＝72°，
∴∠CBE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∴∠ ＝360°﹣108°﹣108°﹣36°＝108°，
故答α案为：108°．
6．（2021•岳池县模拟）若正六边形的边心距为 ，则这个正六边形的半径为 ．
【答案】2
【解答】解：如图所示，连接OB、OC；
∵此六边形是正六边形，
∴∠BOC＝ ＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∵OH＝ ，
∴在Rt△OBH中，OB＝ ＝ ＝2，
∴OB＝OC＝BC＝2，即这个正六边形的半径为2．
故答案为：2．7．（2021秋•宁波期中）如图，已知正五边形 ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段
EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为 ．
【答案】54°
【解答】解：如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P′，连接BP′．
∵正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，
∵EF⊥BC，
∴B，C关于EF对称，
∴PB＝PC，
∵PA+PB＝PA+PC≥AC，
∴当点P与P′重合时，PA+PB的值最小，
∵ABCDE是正五边形，
∴BA＝BC，∠ABC＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∵P′B＝CP′，
∴∠P′BC＝∠P′CB＝36°，∵∠EFB＝90°，
∴∠BP′F＝90°﹣∠P′BC＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54°．
8.（2021春•碑林区校级期末）如图，在正六边形ABCDEF中，连接CE，AD，AD与CE
交于点O，连接OB，若正六边形边长为4，则OB的长为 ．
【答案】2
【解答】解：在正六边形ABCDEF中，BC＝CD＝DE＝4，∠BCD＝∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝∠DEC＝30°，
∵AD⊥CE，
∴OC＝OE＝CD•cos30°＝2 ，
∵∠BCO＝∠BCD﹣∠DCO＝90°，
∴OB＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．
9．（2021•陕西模拟）如图，点A，B，C，D是一个外角为40°的正多边形的顶点，若O
为正多边形的中心，则∠AOD的度数为 ．
【答案】120°
【解答】解：连接OB、OC，正多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为： ＝9，
∴∠AOB＝ ＝40°，
∴∠AOD＝40°×3＝120°．
故答案为：120°
10．（2021•西昌市模拟）如图， O的周长等于4 cm，则它的内接正六边形ABCDEF的
面积是（ ） ⊙ π
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于点G，
∵ O的周长等于4 cm，
⊙ π∴ O的半径为： ＝2，
∵⊙ABCDEF是 O的内接正六边形，
∴OA＝OB＝A⊙B＝2，
∵OG⊥AB，
∴AG＝BG＝ AB＝1，
∴OG＝ ，
∴S△AOB ＝ AB•OG
＝ 2×
＝ ．
∴它的内接正六边形ABCDEF的面积是6S△AOB ＝6 （cm2）．
故选：C．
11．（2020秋•陕州区期末）如图是半径为2的 O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O
到边AB的距离是（ ） ⊙
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【解答】解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝ ＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠AOH＝30°，AH＝ AB＝1，∴OH＝ AH＝ ，
故选：C．
12．（2021•镇雄县一模）已知 O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为 O上除C、D外
任意一点，则∠CPD的度数为⊙（ ） ⊙
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
【答案】B
【解答】解：连接OC、OD，如图，
∵ O是正六边形ABCDEF的外接圆，
∴⊙∠COD＝60°，
当P点在弧CAD上时，∠CPD＝ ∠COD＝30°，
当P点在弧CD上时，∠CPD＝180°﹣30°＝150°，
综上所述，∠CPD的度数为30°或150°．
故选：B．
13．（2020秋•绥棱县期末）已知正六边形的边长为4，则这个正六边形的半径为（ ）A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】C
【解答】解：如图，AB为 O内接正六边形的一边；
⊙
则∠AOB＝ ＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AO＝AB＝4．
故选：C．
14．（2021•滨城区一模）如图，四边形ABCD是 O的内接正方形，点P是劣弧 上任
⊙
意一点（与点B不重合），则∠BPC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【解答】解：连接OB，OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝ ∠BOC＝45°．
故选：B．15．（2021•阿荣旗模拟）若一个正多边形的中心角为 40°，则这个多边形的边数是
（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得， ＝40°，
解得，n＝9，
故选：A．
16．（2021•皇姑区二模）已知圆的半径是 2 ，则该圆的内接正六边形的面积是
（ ）
A．3 B．9 C．18 D．36
【答案】C
【解答】解：连接OA、OB，作OG⊥AB于G，
∵等边三角形的边长是2 ，
∴高为3，
∴等边三角形的面积是3 ，
∴正六边形的面积是：18 ；故选：C．
17．（2020秋•龙泉驿区期末）如图，五边形ABCDE是 O的内接正五边形，则∠COD的
度数是 ． ⊙
【答案】72°
【解答】解：∵五边形ABCDE是 O的内接正五边形，
⊙
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为 ＝72°，
故答案为：72°．
18．（2021•榆阳区模拟）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，半径为4，则这个正六边
形的边心距OM的长为 ． ⊙
【答案】2
【解答】解：如图所示，连接OC、OB
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OA＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OBM＝60°，∴OM＝OBsin∠OBM＝4× ＝2 ，
故答案为：2 ．
19．（2021•五峰县模拟）如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是
40°，那么n＝ ．
【答案】9
【解答】解：∵正n边形的中心角＝ ＝40°，
n＝ ＝9．
故答案为：9．
20．（2020秋•莆田期末）如图， O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠ADC的度数是
°． ⊙
【答案】72
【解答】解：如图，连接OA，OB．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝ ＝72°，∴∠ADB＝ ∠AOB＝36°，
∵AB＝BC，
∴ ＝ ，
∴∠ADB＝∠BDC＝36°，
∴∠ADC＝72°，
故答案为：72°．
21．（2021春•皇姑区校级月考）如图，在圆内接正六边形 ABCDEF中，半径OC＝4，
OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝ ，边长＝ ，边心距＝
．
【答案】60°，4，2 ．
【解答】解：在圆内接正六边形ABCDEF中，∠COD＝ ＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝4，
∵OG⊥BC，
∴CG＝ BC＝2，∵∠COG＝ ∠COD＝30°，
∴OG＝ CG＝2 ，
故答案为：60°，4，2 ．
22．（2021秋•金华期中）如图， O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，
⊙
G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4 ，则点O到FM的距离是 ．
【答案】2
【解答】解：连接OM，过O作OH⊥FM于H，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，
∵OH⊥FM，OF＝OM，
∴∠OFH＝60°，∠OHF＝90°，FH＝ FM＝2 ，
∴OH＝ FH＝2 ，
故答案为：2 ．
23．（2021秋•天心区期中）如图， O的内接正六边形ABCDEF边长为 cm，则该正
⊙
六边形的面积为 cm2．【答案】18
【解答】解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∵ O的内接正六边形ABCDEF边长为 cm，
⊙
∴OA＝OB＝AB＝2 cm，
∴OH＝OA•cos30°＝2 × ＝3（cm），
∴S正六边形ABCDEF ＝6S△OAB ＝6× × ＝18 （cm）2．
故答案为：18 ．
24．（2021•曲江区校级模拟）如图，正八边形ABCDEFGH内接于 O，若AC＝4，则点
O到AC的距离为 ． ⊙【答案】2
【解答】解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于 O，
⊙
∴∠AOB＝∠BOC＝ ＝45°，AB＝BC，
∴ ＝ ，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝ AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝ （180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2 ，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2 ）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．
25．（2021•娄底模拟）如图， O的半径为6，如果弦AB是 O内接正方形的一边，弦
⊙ ⊙AC是 O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为 ．
⊙
【答案】6
【解答】解：连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D，
∵AB是 O内接正方形的一边，弦AC是 O内接正十二边形的一边，
⊙ ⊙
∴∠AOB＝ ＝90°，∠AOC＝ ＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+30°＝120°，
∵OC＝OB，
∴∠OCD＝∠OBC＝30°，
∵OC＝6，
∴CD＝OCcos30°＝3 ，
∴BC＝2CD＝6 ，
故答案为：6 ．
26．（2020秋•官渡区期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形 OABCDE的边长是
2，则它的外接圆圆心P的坐标是 ．【答案】 （ 1 ， ）
【解答】解：连接PA，PO，
∵正六边形OABCDE的外接圆心是P，
∴∠OPA＝ ＝60°，PO＝PA，
∴△POA是等边三角形，
∴PO＝PA＝OA＝6，
过P作PH⊥OA于H，则∠OPH＝ ∠OPA＝30°，OH＝ OA＝1，
∴PH＝ ＝ ＝ ，
∴P的坐标是（1， ），
故答案为：（1， ）．
