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专题 24.3 正多边形与圆
目录
正多边形求线段长度...............................................................................................................................1
正多边形求角度........................................................................................................................................4
正多边形求面积........................................................................................................................................6
正多边形与坐标轴.................................................................................................................................10
正多边形与规律......................................................................................................................................13
综合运用....................................................................................................................................................16
正多边形求线段长度
正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。
正多边形的有关计算
(1)首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心O，正多边形的半径
R——就是其外接圆的半径，正多边形的边心距r，正多边形的中心角α，正多边形
的边长a。
(2)正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角
就是正n边形的中心角都等于 ；如果再作出正n边形各边的边心距，这些边心距
又把这n个等腰三角形分成了2n个全等的直角三角形。
【例1】如图，正方形ABCD内接于 O，点E为^BC上一点，连接BE，若∠CBE＝15°，
BE＝5，则正方形ABCD的边长为（ ⊙ ）
A．7 B．5√2 C．√10 D．2√5
【解答】解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于 O，
⊙360°
∴OA＝OB＝OE，∠AOB= =90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
4
1
∴∠OAB＝∠OBA= （180°﹣∠AOB）＝45°，
2
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝5，
∴OA＝5，
∴AB 5 ，
=√OA2+OB2= √2
∴正方形ABCD的边长为5√2．
故选：B．
【变式训练1】如图，面积为18的正方形ABCD内接于 O，则 O的半径为（ ）
⊙ ⊙
3 3
A． B． √2 C．3 D．3√2
2 2
【解答】解：如图，连接OA，OB，则OA＝OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB＝90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的面积是18，
∴AB=√18=3√2，
√2
∴OA＝OB= AB＝3，
2
故选：C．
【变式训练2】如图，正六边形ABCDEF内接于 O， O的半径为1，则边心距OM的长
为（ ） ⊙ ⊙
√3 1
A．√3 B． C． D．2√3
2 2
【解答】解：连接OB，
∵六边形ABCDEF是 O内接正六边形，
360° ⊙
∴∠BOM= =30°，
6×2
√3 √3
∴OM＝OB•cos∠BOM＝1× = ；
2 2
故选：B．
【变式训练3】如图，在正六边形ABCDEF中，点G是AE的中点，若AB＝4，则CG的长
为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：如图，连接AC，EC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，
∵AB＝4，
∴AC＝CE＝AE＝4√3，
∵AG＝GE＝2√3，
∴CG⊥AE，
∴CG 6，
=√AC2−AG2=√(4√3) 2−(2√3) 2=
故选：B．
正多边形求角度
【例2】如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数
为（ ）
A．18° B．25° C．30° D．45°
【解答】解：∵正方形的每个内角的度数是 90°，正六边形的每个内角的度数是
(6−2)×180°
=120°，
6
∴∠1＝120°﹣90°＝30°，
故选C．
【变式训练1】如图，正五边形 ABCDE 和正三角形 AMN 都是 O 的内接多边形，则
⊙∠BOM的度数是（ ）
A．36° B．45° C．48° D．60°
【解答】解：如图，连接AO．
∵△AMN是等边三角形，
∴∠ANM＝60°，
∴∠AOM＝2∠ANM＝120°，
∵ABCDE是正五边形，
360°
∴∠AOB= =72°，
5
∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°．
故选：C．
【变式训练2】如图，正六边形ABCDEF内接于 O，点M在^AB上，则∠CME的度数为（
） ⊙
A．30° B．36° C．45° D．60°
【解答】解：连接OC，OD，OE，
∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝∠DOE＝60°，
∴∠COE＝2∠COD＝120°，
1
∴∠CME= ∠COE＝60°，
2
故选：D．
【变式训练3】如图，在正六边形 ABCDEF中，M，N分别为边CD，BC的中点，AN与
BM相交于点P，则∠APM的度数是（ ）
A．110° B．120° C．118° D．122°
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
(6−2)×180
∴∠ABC＝∠BCD= =120°，AB＝BC＝CD，
6
∵M，N分别为边CD，BC的中点，
∴BN＝CM，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴∠BNP＝∠CMB，
∵∠CBM＝∠PBN，
∴∠BPN＝∠BCD＝120°，
∴∠APM＝120°，
故选：B．
正多边形求面积
【例3】如图，正六边形ABCDEF中，点M，N分别为边BC，EF上的动点，则S （
空白=
S
阴影）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：连接AD，作FP⊥AD于点P，EQ⊥AD于点Q，
∵正六边形各内角为120°，
∴∠EAP＝60°，
设各边长为a，则AF＝a，
1
∴AP＝QD= a，
2
√ 1 √3
∴AD＝2a，FP=√AF2−AP2= a2−( a) 2= a，
2 2
√3
∴S四边形AMDN ＝AD•FP＝2a× a=√3a2，
2
3√3
S正六边形 = a2，
2
3√3 √3
∴S阴影 ＝S正六边形 ﹣S四边形AMDN = a2−√3a2= a2，
2 2
S √3a2
空白= =
∴S √3 2，
阴影 a2
2
故选：A．
【变式训练1】如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成，若圆的半径为4，
则图中阴影部分的面积为（ ）A．8√3 B．12√3 C．16 D．16√3
【解答】解：如图，连接OB交AC与点H．
由题意△ABC是等边三角形，OB＝4，OH＝BH＝2，
∵OB⊥AC，
BH 2√3
∴CH＝AH= = ，
√3 3
4√3
∴AC＝2CH= ，
3
√3 4√3
∴阴影部分的面积＝6× ×（ ）2＝8√3．
4 3
故选：A．
【变式训练2】如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积
是2，那么非阴影部分面积是（ ）
A．6 B．6+√2 C．2+4√2 D．8
【解答】解：∵正方形面积是2，
∴其边长为：√2，
如图，将正八边形的每一条边延长可得正方形ABCD，
360°
∵正八边形的每个内角为180°− =135°，
8
∴∠AEF＝45°，∴△AEF为等腰直角三角形，
√2
在Rt△AEF中，AE＝EF•sin45°=√2× =1，
2
∴AB=√2+1×2=√2+2
∴正八边形的面积为：S正方形ABCD ﹣4S△AEF
1
=(√2+2) 2−4× ×1×1
2
=4+4√2，
∴非阴影部分面积是S正八边形 ﹣S正方形 =4+4√2−2＝2+4√2．
故选：C．
【变式训练3】如图所示的正八边形的边长为2，则对角线AB的长为（ ）
A．2√2+2 B．4 C．2+√2 D．6
【解答】解：∵多边形是正八边形，
(8−2)×180°
∴∠ACD＝∠BDC= =135°，
8
过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F，
则四边形CEDF是矩形，
∴CD＝EFAC＝BD＝2，∠DCE＝∠CEA＝∠CEF＝90°，
∴∠ACE＝45°，
√2
∴AE＝BF= ×2=√2，
2
∴AB=√2+2+√2=2√2+2，故选：A．
正多边形与坐标轴
【例4】如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝2，则点B的坐标为（ ）
A．（−√3，1） B．（﹣1，√3） C．（﹣2，−√3） D．（−√3，2）
【解答】解：连接OB，
∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，
∴OB＝OA＝AB＝2，∠ABO＝∠60°，
∴∠OBH＝60°，
1 √3
∴BH= OB＝1，OH＝OBcos∠OBH= ×2=√3，
2 2
∴B（−√3，1），
故选：A．
【变式训练1】如图，正五边形ABCDE的顶点A在y轴正半轴上，边CD∥x轴，若点E坐
标为（3，2），则点B的坐标为（ ）A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）
【解答】解：观察图形发现：该正五边形关于y轴对称，
所以点E和点B关于y轴对称，
∵点E的坐标为（3，2），
∴点B的坐标为（﹣3，2），
故选：B．
【变式训练2】如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边
形，则顶点F的坐标为（ ）
A．（2，2√3） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2√3） D．（﹣1，√3）
【解答】解：连接OF．
360°
∵∠AOF= =60°，OA＝OF，
6
∴△AOF是等边三角形，
∴OA＝OF＝4
设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°．
在Rt△GOF中，
∵∠GOF＝30°，OF＝4，
∴GF＝2，OG＝2√3．∴F（﹣2，2√3）．
故选：C．
【变式训练3】如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，
将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝100时，顶点A的坐
标为（ ）
A．（﹣2，2√3） B．（﹣2，﹣2√3） C．（2，﹣2√3） D．（2，2√3）
【解答】解：连接OA，
∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH=√OA2−AH2=2√3，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
100÷6＝16…4，
∴当n＝100时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣2√3），
故选：B．正多边形与规律
【例5】如图是一长条型链子，其外型由边长为1cm的正六边形排列而成．其中每个黑色
六边形与6个白色六边形相邻．若链子上有59个黑色六边形，则此链子上的白色六边形个
数为（ ）
A．348 B．238 C．354 D．355
【解答】解：根据题意分析可得：其中左边第一个黑色六边形与6个白色六边形相邻．
即每增加一个黑色六边形，则需增加4个白色六边形．
若链子上有59个黑色六边形，则链子共有白色六边形6+58×4＝238（个）．
故选：B．
【变式训练1】如图，一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a，按此
规律，则第n个正多边形的面积为（ ）
n+1 n+1 n(n+1) n(n−1)
A． B． a C． a D． a
3a 2 2 2
【解答】解：n＝1时，S＝a；
n＝2时，过A作AE⊥BD于E，则∠ABE＝30°，
设正六边形的边长为2x，则AE＝x，BE=√3x，BD＝2√3x，
即a＝2x･2√3x＝4√3x2，
1 3
又正六边形面积为6× ×2x･√3x＝6√3x2= a．
2 2
n＝3时，作AD⊥BE于D，FG⊥BE于G，则∠ABD＝45°，
设正八边形的边长为2x，则BD＝AD=√2x，△ABD的面积为x2，四边形ABEF面积为（2+2√2）x2，
则a＝2x･（2+2√2）x＝（4+4√2）x2，
正八边形面积为2a．
n+1
通过计算可以看出，第n个正多边形的面积为 a．
2
故选：B．
【变式训练2】如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，
围成一图后中间形成一个正方形．设正方形的边长为 1，则该图形外轮的周长为 2 0 ；
若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，
设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是 2 7 ．
【解答】解：由拼图可知，每个正八边形有5条边在“外围”，因此周长为5×4＝20，
若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共
边，可知这个正多边形为正十二边形，
如图，则“外围”的周长为（12﹣3）×3＝27，
故答案为：20，【变式训练3】如图，边长为1的正六边形ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边AB在x
轴正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每
3
次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D的坐标为 (− ，−√3) ．
2
【解答】解：如图，连接AD，BD，
在正六边形ABCDEF中，
∵AB＝1，AD＝2，∠ABD＝90°，
∴BD=√AD2−AB2=√22−12=√3，
在Rt△AOF中，AF＝1，∠OAF＝60°，
∴∠OFA＝30°，
1 1
OA= AF= ，
2 2
1 3
∴OB＝OA+AB= +1= ，
2 2
3
∴点D的坐标为（ ，√3），
2
3
故答案为：（ ，√3）；
2
∵将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转60°，∴6次一个循环，
∵2025÷6＝337……3，
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标与第三次旋转得到的D 的坐标相同，
3
∵D与D 关于原点对称，
3
3
∴D （− ，−√3），
3 2
3
∴经过第2025次旋转后，顶点D的坐标（− ，−√3）．
2
综合运用
【例6】阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务：
克罗狄斯•托勒密（约90年﹣168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星
家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容
如下：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图 1，若四
边形ABCD内接于 O，则有 AB • CD + AD • BC ＝ AC • BD ．
任务：（1）材料中⊙划横线部分应填写的内容为 AB • CD + AD • BC ＝ AC • BD ．
（2）如图2，正五边形ABCDE内接于 O，AB＝2，求对角线BD的长．
⊙
【解答】解：（1）根据托勒密定理可得：AB•CD+AD•BC＝AC•BD，
故答案为：AB•CD+AD•BC＝AC•BD；
（2）如2图，连接AD、AC．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴△ABC≌△DCB≌△AED（SAS），∴设BD＝AC＝AD＝x．
在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理可得：AB•CD+AD•BC＝AC•BD，
即2×2+x•2＝x2，
解得：x ＝1+√5，x ＝1−√5（舍去）．
1 2
∴对角线BD的长为1+√5．
【变式训练1】（1）如图1，△ABC为等边三角形，点M是BC上一点，点N是CA上一点，
BM＝CN，BN、AM相交于点Q，求∠BQM的度数；
（2）当（1）中的“等边△ABC”的边数逐渐增加，分别变为正方形 ABCD（如图
2）、正五边形ABCDE（如图3）、正六边形ABCDEF（如图4）…，“点N是CA上一
点”变为点N是CD上一点，其余条件不变，分别确定∠BQM的度数，并直接将结论填
入下表：
正多边形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形
∠BQM的度 90 ° 108 ° 120 ° …
数 (n−2)⋅180°
n
【解答】解：（1）在△ABM与△BCN中，
{
AB=BC
∠ABC=∠C=60°，
BM=CN
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠NBC，
∴∠AQN＝∠BAM+∠ABQ，＝∠NBC+∠ABQ
＝∠ABM＝60°，
∴∠AQN＝60°．
（2）由（1）可知，∠AQN＝各个多边形的一个角的大小，
所以正方形中∠AQN＝90°，
正五边形中∠AQN＝108°，
正六边形中∠AQN＝120°，
…
(n−2)⋅180°
正n边形中∠AQN= ．
n
(n−2)⋅180°
故答案为：90°，108°，120°， ．
n
一．选择题（共8小题）
1．如图，在拧开一个边长为 的正六角形螺帽时，扳手张开的开口 ，则这个
正六边形的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：如图：作 于 ，
由正六边形，得
， ，．
由 ，得 ．
，即 ，
解得 ，
这个正六边形的面积 ，
故选 ．
2．有一个正 边形的中心角是 ，则 为
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解： ，
故选： ．
3．如图， 与正六边形 的边 ， 分别交于点 ， ，点 为劣弧 的
中点．若 ．则点 到 的距离是
A．4 B． C． D．
【解答】解：连接 ，过 作 于 ，
正六边形 ，
，
点 为劣弧 的中点，，
， ，
， ， ，
，
故选： ．
4．如图，点 、 、 分别是边长为2的正六边形中不相邻三条边的中点，则 的
周长为
A．6 B． C． D．9
【解答】解：分别过正六边形的顶点 ， 作 于 ， 于 ，
则 ， ，
，
，
，
的周长 ，
故选： ．5．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为 ，则该正多边形的边数是
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：设正多边形的边数为 ．
由题意可得： ，
，
故选： ．
6．已知一个正多边形的中心角为 ，则以该正多边形的顶点为顶点的等腰三角形的种类
数（全等的三角形为同一类）是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由于一个正多边形的中心角为 ，
所以这个正多边形的边数为 ，
如图，以正八边形的顶点为顶点的等腰三角形（全等的三角形为同一类）有 ，
， 共3个，
故选： ．
7．如图，正六边形 内接于 ， 为 的中点，连接 ，若 的半径为2，则 的长度为
A． B． C．2 D．1
【解答】解：连接 、 、 ，如图所示：
正六边形 内接于 ， 为 的中点，
， ， ，
，
，
；
故选： ．
8．如图，正五边形 内接于 ，则正五边形中心角 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： 五边形 是 的内接正五边形，
五边形 的中心角 的度数为 ，故选： ．
二．填空题（共4小题）
9．如图，如果 、 分别是圆 的内接正三角形和内接正方形的一条边， 一定是
圆 的内接正 边形的一条边，那么 1 2 ．
【解答】解：连接 、 、 ，如图，
， 分别为 的内接正四边形与内接正三角形的一边，
， ，
，
，
即 恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12．
10．已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为 ．
【解答】解：连接 、 ，过 作 于 ，
是边长为4的等边三角形， ，
，
， ，
，能够完全覆盖这个正三角形的最小圆的面积为： ，
故答案为： ．
11．如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于1988年建成，该塔是一个六角塔，
如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的周长是 1 2 米．
【解答】解：如图所示：
正六边形的半径为2米，
米，
正六边形的中心角 ，
是等边三角形，
，
米，
正六边形的周长为 （米 ；
故答案为：12．12．如图，边长为2的正六边形 的中心与坐标原点 重合， 轴，将正六
边形 绕原点 逆时针旋转 次，每次旋转 ，当 时，顶点 的坐标为
， ．
【解答】解：根据题意，连接 ，
在正六边形 中， ，
是等腰三角形， ，
， ，
，
正六边形 绕原点 逆时针旋转6次回到原位置，
，
当 时，顶点 的坐标为 ， ，
故答案为： ， ．三．解答题（共3小题）
13．如图，正方形 是半径为 的 内接四边形， ．
求正方形 的边长和边心距．
【解答】解：过点 作 ，垂足为 ．
四边形 为 的内接正方形，
， ， ，
．
在 中， ，由勾股定理可得
，
．
即半径为6的圆内接正方形 的边长为 ，边心距为 ．
14．已知，如图，正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的外接圆半径 、边
心距 、面积 ．
【解答】解：连接 ， ，过点 作 于 ，
， ，
是等边三角形，，即 ，
， ，
，
在 中， ，
．
15．如图， 的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 为
的整数），过点 作 的切线交 的延长线于点 ．
（1）相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于 3 0 度；
（2）通过计算比较直径和劣弧 长度哪个更长；
（3）连接 ，则 和 有什么特殊位关系？请说明理由．
（4）求切线长 的值．
【解答】解：（1） ，
故答案为：30；（ 2 ） 如 图 ， 连 接 ， ， 由 （ 1 ） 得 ： 劣 弧 所 对 应 的 圆 心 角
，
劣弧 的长 ，
，
劣弧 的长度更长．
（3）垂直．理由如下：
连接， ， ，
，
是 的直径，
，即 ，
和 相互垂直．
（4）如图， 是 的切线，
，
由（1）知， ，
，
（或 ，
，
在 △ 中， ．．
