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专题 24.3 圆的证明综合
【例题精讲】
【例1】如图，四边形 为菱形，以 为直径作 交 于点 ，连接 交
于点 ， 是 上的一点，且 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）若 ， ，求 的半径．
【解答】（1）证明：如图1，连接 ，
四边形 为菱形，
， ， ，
，
，
即 ，
，
，
是 的直径，
，
，，
，
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：如图2，连接 ，
是 的直径，
，
，
， ，
，
在 和 中，
， ，
，
，
，
．
的半径为 ．
【例2】如图，已知 是 外一点， 交 于点 ， ，弦 ，劣
弧 的度数为 ，连接 ．
（1）求 的长；（2）求证： 是 的切线．
【解答】（1）解：连接 ，
弦 ，劣弧 的度数为 ，
弧 与弧 的度数为： ，
，
，
是等边三角形，
；
（2）证明： ， ，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
点 在 上，
是 的切线．【题组训练】
1．如图， 为 的切线， 为切点，过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ，
延长 与 的延长线交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明：连接 ，
， ，
，
是 的切线，
，
在 与 中，
，
，
，
，
是半径，
是 的切线；
（2）解： ， ，在 中， ，
、 为 的切线，
，
在 中， ，即 ，
，
在 中， ．
2．如图，在 中， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为 ．过点
作 的切线与 的延长线交于点 ．若 ，求 的度数．
【解答】解：连接 ， ，
， 是 的直径，
，
，
，
是 的切线，
，
，
故 的度数为 ．
6．如图， 是 的直径，点 和点 是 上的两点，过点 作 的切线交 延
长线于点 ．（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 半径的长．
【解答】解：（1）连接 ，
是 的切线， 是 的半径，
，
，
， ，
，
；
（2） ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，设 的半径为 ，
，
，
解得： ，
的半径为2．
7．如图， 是 的直径，点 在 的延长线上， 、 是 上的两点， ，
，延长 交 的延长线于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）求证： ；
【解答】解：（1）连接 ，如右图所示，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线；
（2） ， ， ，，
，
又 ，
；
10．如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，过点 作直线
的垂线交 于点 ， 是 的外接圆．
（1）求证： 是 的切线；
（2）过点 作 于点 ，求证： 平分 ；
（3）求证： ．
【解答】（1）证明：如图，连接 ．
， ，
是圆 的直径，
，
，
平分 ，
，
，
，，
是 的切线；
（2）证明： ， ，
，
是 是直径，
，
， ，
，
平分 ．
（3）证明：如图，连接 ．
是 的平分线， 于 ， 于 ，
．
， ，
，
，
，
，
11．如图， 是 的直径，过点 作 的切线 ，弦 ，交 于点 ，
且 ，连接 ， ，延长 交 于点 ．
（1）求证： 是等边三角形；
（2）连接 ，若 ，求 的长．【解答】（1）证明： 是 的直径， 是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；
（2）解：连接 ，过 作 于 ，由（1）知， 是等边三角形，
， ，
，
， ，
设 的半径为： ，
， ，
， ，
在 与 中，，
即 ，
，
，
．
12．如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 的
切线 ，交 于点 ， 的反向延长线交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， 的半径为10，求 的长度．
【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
．
是 的切线， 是半径，，
；
（2）如图，过点 作 于点 ，则 ，
四边形 是矩形，
， ．
设 ．
， ，
， ．
在 中，由勾股定理知： ，即 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
．
，
，
．
13．如图， 内接于 ， ， 是 的直径，交 于点 ，过点 作
，交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）已知 ， ，求 的长．【解答】（1）证明： 是 的直径，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，
又 是 的半径，
是 的切线；
（2）解： ， ，
，
， ，
，
，
，
．
14．如图， 内接于 ， ， 是 的直径，点 是 延长线上的一点，
且 ．
（1）求证： 是 的切线；（2）若 ， ，求 的半径．
【解答】（1）证明：连接 ．
，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
，
是 的切线；
（2）解：过点 作 于点 ．
在 中， ， ，
， ，
，
，
在 中， ，
．
在 中， ，
的半径为 ．15．如图， 是 的直径，点 ， 是 上两点，且 ，连接 ，
，过点 作 交 延长线于点 ，垂足为 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径．
【解答】（1）证明：连接 ，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线；
（2）解：连接 ，如图，
为直径，
，
，，
，
，
在 中， ，
，
在 中， ，
，
的半径为4．
16．如图， 中， ，以 为直径作半圆 交 与点 ，点 为
的中点，连接 ．
（1）求证： 是半圆 的切线．
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明：连接 ， ， ，
为圆 的直径，
，
在 中， 为斜边 的中点，
，
在 和 中，，
，
，
则 为圆 的切线；
（2）在 中， ，
，
，
，
又 ， ，
为等边三角形，即 ，
则 ．
17．如图，在 中， 是边 上一点，以 为直径的 经过点 ，且
．
（1）请判断直线 是否是 的切线，并说明理由；
（2）若 ， ，求弦 的长．
【解答】解：（1）直线 是 的切线，
理由如下：如图，连接 ，为 的直径，
，
，
，
又 ，
，
，
，
又 是半径，
直线 是 的切线；
（2）方法一、过点 作 于 ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
方法二、 ， ，
，，
，
， ，
，
，
，
，
．
18．如图，在 中， ， 于点 ， 是 上一点，以 为直径的
交 于点 ，连接 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．
【解答】（1）证明： ， ，
，又 ，
，
，
，
是 的切线；
（2）解：连接 、 ，
，，
， ，
，
为 的直径，
，
，
．
20．如图， 是 的直径，点 在 上，且 ，点 是 外一点， 与
相切于点 ，连接 ，过点 作 交 于点 ，连接 交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： 是 的切线；
（3）若 ， ，连接 ，求 的长．
【解答】（1）证明： 是 的直径，
，
又 ，，
，
为 的中点， 为 的中点，
为 的中位线，
；
（2）证明：如图所示：连接 ，
，
， ，
，
，
，
在 与 中，
，
，
又 是 的切线，
，
又 是半径，
是 的切线；
（3）解： 是 的直径，
，，
，
，
，
，
过点 作 于点 ，
， ，
， ，
．
21．如图，在 中， ， ，点 在 边上， 经过点 和点
且与 边相交于点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径．
【解答】（1）证明：连接 ，
， ，
，
，
，
，
，
是 的切线；（2）解：连接 ，
， ，
是等边三角形，
， ，
，
，
，
的半径 ．
22．如图， 为 的直径， 为 上一点，弦 的延长线与过点 的切线互相垂直，
垂足为 ， ，连接 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
【解答】解：（1）连接 ，如图，
是 的切线，
，
，
，，
，
，
，
为 的直径，
，
，
；
（2）连接 ，
的直径 ，
，
，
，
的长为： ．
23．已知：如图， 中， ，以 为直径的 交 于点 ， 于
点 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的值．【解答】（1）证明： ，
，
，
，
，
，
，
，
是 的切线；
（2）解：连接 ，如图，
为直径，
，
，
，
，
在 中， ， ，
，
，
．24．如图，在 中， ， 的平分线交 于点 ，过点 作 的垂线
交 于点 ， 是 的外接圆．
（1）求证： 是 的切线．
（2）过点 作 于点 ，求证： ．
【解答】证明：（1）如图1，连接 ．
，
，
是圆 的直径．
平分 ，
，
，
，
，
，
，
是 的切线；
（2）如图2，连接 ．
， 于 ， 于 ，
．
， ，
．在 与 中，
，
，
．
25．如图， 是 的直径，点 、 在 上，且 平分 ，过点 作 的
垂线，与 的延长线相交于 ，与 的延长线相交于点 ， 为 的下半圆弧的中
点， 交 于 ，连接 、 ．
（1）证明 是 的切线；
（2）求证： ；
（3）已知圆的半径 ， ，求 的长．
【解答】解：（1）证明：连接 ，，
又 平分 ，
，
，
又 ，
，
是 的切线；
（2） 是 的直径，
，
由（1）得， 是 的切线，
，
，
，
又
（3）连接 ，
是半圆弧中点，
在 中， ， ．
．26．如图，在 中， ，以斜边 上的中线 为直径作 ，与 、
分别交于点 、 ，与 的另一个交点为 ．过点 作 ，垂足为 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求弦 的长．
【解答】（1）证明：连接 ．如图所示：
在 中， 是边 的中线，
，
，
，
，
，
，
又 过半径 的外端
是 的切线；
（2）解：过点 作 ，垂足为 ，如图2所示：
设 的半径为
， ， ，
．
四边形 为矩形．
， ，
，
在 中，，
即 ，
．
，
，且 过圆心 ，
，
．
28．如图，在 中， ，点 在 边上，以 为直径作 交 于
点 ，连接 ，且 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求 的半径．【解答】（1）证明：如图，连接 ， ，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
．
是 的半径，
是 的切线；
（2）解：在 中， ， ， ， ，
设 的半径为 ，则 ， ， ，，
，
在 中， ，
，
，
，
，
解得 ，或 （舍去）．
的半径为3．
30．如图， 内接于圆 ， 为直径， 与点 ， 为圆外一点， ，
与 交于点 ，与圆 交于点 ，连接 ，且 ．
（1）求证： 是圆 的切线；
（2）当 时，连接 ，
①求证： ；
②若 ，求线段 的长．
【解答】（1）证明：连接 ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是圆 的切线；
（2）①证明： ， ，
，
，
，
，
；
②解：作 于 ，
为直径，
， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
， ， ，
，
在 和 中
，
，
．
