文档内容
专题 24.1 圆的有关性质
目录
圆的认识......................................................................................................................................................1
圆的相关概念.............................................................................................................................................2
求相关角度..................................................................................................................................................4
求相关长度..................................................................................................................................................6
有关证明......................................................................................................................................................8
垂径定理的计算......................................................................................................................................10
垂径定理的应用......................................................................................................................................13
圆周角圆心角相关概念........................................................................................................................19
圆周角与圆心角求角度........................................................................................................................20
圆周角与圆心角求长度........................................................................................................................23
垂径定理的推论......................................................................................................................................27
内接四边形...............................................................................................................................................28
证明综合....................................................................................................................................................31
圆的认识
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的
图形叫做圆。
①表示方法：⊙O，读作“圆O”
{定点—圆心
¿¿¿¿
②确定一个圆的条件：
【例1】下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
【解答】解：A、在等圆或同圆中，半径相等的两条弧是等弧，原结论不正确；
B、半圆是弧，原结论正确；
C、半径只有一个端点位于圆上，不是弦，原结论不正确；
D、根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，原结论不正确；故选：B．
【变式训练1】数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，
说法正确的是（ ）
A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直
平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直
线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
【解答】解：A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“四边形的
不稳定性”，故本选项错误，不合题意；
B．车轮做成圆形，应用了“圆上各点到圆心的距离相等”，故本选项错误，不合题意；
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直
线”，故本选项正确，符合题意
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故本选项错误，
不合题意．
故选：C．
【变式训练2】下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦
B．半径相等的两个半圆是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆
D．半圆是圆中最长的弧
【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，说法正确，不符合题意；
B、半径相等的两个半圆是等弧，说法正确，不符合题意；
C、面积相等的两个圆是等圆，说法正确，不符合题意；
D、由于半圆小于优弧，所以半圆是圆中最长的弧说法错误，符合题意．
故选：D．【变式训练3】在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为为：所有到定点P的距离等于
1cm的点的集合，
故选：A．
圆的相关概念
【例2】已知 O的半径是3cm，则 O中最长的弦长是（ ）
A．3cm ⊙ B．6cm ⊙ C．1.5cm D．√3cm
【解答】解：∵圆的直径为圆中最长的弦，
∴ O中最长的弦长为2×3＝6（cm）．
故⊙选：B．
【变式训练1】已知 O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 6 厘米．
【解答】解：∵直⊙径是圆中最长的弦， O中最长的弦为12厘米，
∴ O的直径是12厘米． ⊙
∴⊙O的半径是6厘米．
故⊙答案为：
【例3】下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是
等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①直径是弦，正确，符合题意；
②弦不一定是直径，错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，故原命题错误，不符合题意；
⑤根据半圆的定义可知，半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
【变式训练1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，
（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；
（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；
（4）直径是圆中最长的弦，正确，
正确的只有1个，
故选：A．
求相关角度
【例4】如图所示，MN为 O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）
⊙
A．38° B．52° C．76° D．104°
【解答】解：∵OM＝ON，
∴∠M＝∠N＝52°，
∴∠MON＝180°﹣2×52°＝76°．
故选：C．
【变式训练1】如图，将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，
O为圆心，则∠ACO的度数为（ ）
A．150° B．120° C．100° D．60°
【解答】解：∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B＝60°，
∴∠ACO＝180°﹣60°＝120°．
故选：B．
【例5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交
AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝65°，
∵∠CDB＝∠DCE+∠A，
∴∠DCE＝65°﹣25°＝40°．
【变式训练1】如图，CD是 O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交 O于
点B，且AB＝OC． ⊙ ⊙
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
【解答】解：（1）连OB，如图，
∵AB＝OC，OB＝OC，
∴AB＝BO，
∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°；
（2）∵∠2＝∠A+∠1，
∴∠2＝2∠A，
∵OB＝OE，
∴∠2＝∠E，
∴∠E＝2∠A，
∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．求相关长度
【例6】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过
AB的中点D，则 C的半径为（ ）
⊙
A．5√3 B．8 C．6 D．5
【解答】解：如图，连结CD，
∵CD是直角三角形斜边上的中线，
1 1
∴CD= AB= ×10＝5
2 2
故选：D．
【变式训练1】如图，AB是 O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），
CH⊥AB，垂足为 H，点 M⊙是 BC 的中点．若 O 的半径是 3，则 MH 长的最大值是
（ ） ⊙A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵CH⊥AB，垂足为H，
∴∠CHB＝90°，
∵点M是BC的中点．
1
∴MH= BC，
2
∵BC的最大值是直径的长， O的半径是3，
∴MH的最大值为3， ⊙
故选：A．
【变式训练2】如图，OA是 O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B
作OA的垂线交 O于点C．⊙以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝
8，则AB的长为⊙（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【解答】解：如图，连接OC．
∵四边形OBCD是矩形，
∴∠OBC＝90°，OB＝CD＝6，
∴OC＝OA=√BC2+OB2=10，
∴AB＝OA﹣OB＝4，
故选：C．
【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点
P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（
）5
A．2 B． C．3 D．√10
2
【解答】解：连接AM，
∵点B和M关于AP对称，
∴AB＝AM＝3，
∴M在以A圆心，3为半径的圆上，
∴当A，M，C三点共线时，CM最短，
∵AC=√32+42=5，AM＝AB＝3，
∴CM＝5﹣3＝2，
故选：A．
有关证明
【例7】已知，如图，在 O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
⊙
【解答】解：∵OA、OB是 O的两条半径，
∴AO＝BO， ⊙
∵C、D分别是半径OA、BO的中点，
∴OC＝OD，在△OCB和△ODA中，
{
AO=BO
∠O=∠O，
OD=OC
∴△OCB≌△ODA（SAS），
∴AD＝BC．
【变式训练1】已知：如图，AB 是 O 的直径，点 C、D 在 O 上，CE⊥AB 于 E，
DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD⊙相等吗？为什么？ ⊙
【解答】解：AC与BD相等．理由如下：
连接OC、OD，如图，
∵OA＝OB，AE＝BF，
∴OE＝OF，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠OEC＝∠OFD＝90°，
在Rt△OEC和Rt△OFD中，
{OE=OF
，
OC=OD
∴Rt△OEC≌Rt△OFD（HL），
∴∠COE＝∠DOF，
∴^AC=^BD，
∴AC＝BD．垂径定理的计算
垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的 两条 弧 ；
要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
【例8】如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则 O的半径
为（ ） ⊙ ⊙
A．10 B．8 C．5 D．3
【解答】解：连接OC，
∵AB⊥CD，AB过圆心O，CD＝8，
∴CP＝DP＝4，
设 O的半径为R，
∵⊙AP＝8，
∴OP＝8﹣R，
在Rt△COP中，由勾股定理得：CP2+OP2＝OC2，
即（8﹣R）2+42＝R2，
解得：R＝5，
∴ O的半径为5，
故⊙选：C．
【变式训练1】如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．36√3 B．24√3 C．18√3 D．72√3
【解答】解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC=√OC2−OE2=√36−9=3√3，
∴CD＝2CE＝6√3，
1 1
∴四边形ACBD的面积= AB⋅CD= ×12×6√3=36√3．
2 2
故选：A．
【变式训练2】如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，
若BG＝4，则半圆O的半径是（ ）A．4+√5 B．9 C．4√5 D．6√2
【解答】解：连接OC，OF，
设OB＝x，
∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，
∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，
∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，
∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，
在Rt△BCO中，OC=√x2+(2x) 2=√5x，
在Rt△FEO中，OF=√(x+4) 2+42=√x2+8x+32，
∵OF＝OC，
∴5x2＝x2+8x+32，
解得x＝4或x＝﹣2（舍去）
当x＝4时，OC＝4√5，
则半圆O的半径是4√5．
故选：C．
【变式训练3】已知 O的直径CD＝10，CD与 O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝
4.8，则直径CD上的⊙点（包含端点）与A点的距离⊙为整数的点有（ ）A．1个 B．3个 C．6个 D．7个
【解答】解：∵CD是直径，
1 1
∴OC＝OD= CD= ×10＝5，
2 2
∵AB⊥CD，
∴∠AMC＝∠AMD＝90°，
∵AM＝4.8，
∴OM=√52−82=1.4，
∴CM＝5+1.4＝6.4，MD＝5﹣1.4＝3.6，
∴AC=√82+42=8，AD=√82+62=6，
∵AM＝4.8，
∴A点到线段MD的最小距离为4.8，最大距离为6，则A点到线段MD的整数距离有
5，6，
A点到线段MC的最小距离为4.8，最大距离为8，则A点到线段MC的整数距离有5，
6，7，8，
直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有6个，
故选：C．
垂径定理的应用
【例9】往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大
深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10 B．14 C．26 D．52【解答】解：如图所示：
由题意得，OC⊥AB于D，DC＝16cm，
∵AB＝48cm，
1 1
∴BD= AB= ×48＝24（cm），
2 2
设半径为rcm，则OD＝（r﹣16）cm，
在Rt△OBD中，
r2＝242+（r﹣16）2，解得r＝26，
所以2r＝52，
故选：D．
【变式训练1】一装有某种液体的圆柱形容器，半径为 6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，
容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心 O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正
竖直，则容器中液体的高度为（ ）
4π−3√3 12π−9√3 12π−9√3 12π−9√3
A． cm B． cm C． cm D． cm
12π 2π π 2
【解答】解：连接OA，OB，如图，
根据题意得：OA＝6cm，弦心距OC＝3cm，OC 3 1
∴cos∠AOC= = = ，
OA 6 2
∴∠AOC＝60°，则∠AOB＝120°，
∴AC＝3√3cm，AB＝2AC＝6√3cm，
120π×62 1
∴S阴影 ＝S扇形OAB ﹣S△OAB =
360
−
2
×6√3×3=12π−9√3（cm2）．
设把该容器扶正竖直后容器中液体的高度为h（cm），
依题意得：62πℎ =18(12π−9√3)，
12π−9√3
∴ℎ = ，
2π
故选：B．
【变式训练2】往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽
AB＝72cm，则水的最大深度为（ ）
A．36cm B．27cm C．24cm D．15cm
【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交 O于D．
⊙
∵OC⊥AB，
∴AC＝CB＝36（cm），
∵OA＝OB＝39cm，
∴OC=√OA2−AC2=√392−362=15（cm），
∴CD＝39﹣15＝24（cm），
故选：C．
【变式训练3】如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为5cm，假设球的横截面与水面交于A，B两点，AB＝8cm．若从目前所处位置到完全落入水
中的时间为4s，则球体下落的平均速度为（ ）
A．0.5cm/s B．0.75cm/s C．1cm/s D．2cm/s
【解答】解：设圆心为O，连接OB，则OB＝5，
1
过点O作OC⊥AB，交 O于点C，交AB于点D，则BD= AB=4cm，
2
⊙
在Rt△BOD中，OD=√52−42=3cm，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2cm，
∴从目前所处位置到究全落入水中，球体下落的平均速度为2÷4＝0.5cm/s．
故选：A．
【例10】如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度AB为7.2m，拱顶高出水
面（CD）2.4m，现有一艘宽EF为3m且船舱顶部为长方形并高出水面1.5m的货船要经过
这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由．
【解答】解：货船能顺利通过这座拱桥，理由如下：
如图，连接ON、OA．∵OC⊥AB，AB＝7.2m，
1
∴AD= AB＝3.6（m），
2
设OB＝OC＝ON＝rm，则OD＝（r﹣2.4）m，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣2.4）2+3.62，
解得：r＝3.
∵CD＝2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面1.5m，
∴CH＝2.4﹣1.5＝0.9（m），
∴OH＝3.9﹣0.9＝3（m），
在Rt△OHN中，HN2＝ON2﹣OH2＝3.92﹣32＝6.21（m2），
∴HN=√6.21（m），
∴MN＝2HN＝2√6.21（m）＞3m，
∴货船能顺利通过这座拱桥．
【变式训练1】诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏
州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面
AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
说说你的理由．
【解答】解：（1）如图，连接OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝16m，1
∴BD= AB＝8（m），
2
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，
解得r＝
答：此圆弧形拱桥的半径为10m．
（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：
连接ON，
∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，
∴CE＝4﹣3＝1（m），
∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），
在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN=√ON2−OE2=√102−92=√19，
∴MN＝2EN＝2√19m＜12m．
∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．
圆周角圆心角相关概念
圆心角：顶点在圆心的角叫做 圆心角 ．
圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做 圆周角 ．
【例11】下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等．
（2）优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中；
（3）弧相等则所对的圆心角相等．正确；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．正确；
故选：B．
【变式训练1】下列说法正确的是（ ）
A．同弧或等弧所对的圆心角相等
B．所对圆心角相等的弧是等弧
C．弧长相等的弧一定是等弧
D．平分弦的直径必垂直于弦
【解答】解：A、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，本选项符合题意；
B、所对圆心角相等的弧是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；
C、弧长相等的弧一定是等弧，错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意；
D、平分弦的直径必垂直于弦，错误此弦不能是直径，本选项不符合题意．
故选：A．
【变式训练2】下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．
B、正确，本选项符合题意．
C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．
D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．
故选：B．
【变式训练3】下列说法中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径也平分弦所对的弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本小题说法错误；
②平分弦（不是直径）的直径也平分弦所对的弧，本小题说法错误；
③能够重合的两条弧是等弧，本小题说法错误；
④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧，本小题说法正确；
故选：A．
圆周角与圆心角求角度
【例12】如图，AB是 O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（ ）
⊙
A．158° B．58° C．64° D．116°
【解答】解：∵∠D＝32°，
∴∠BOC＝2∠D＝64°，
∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．
故选：D．
【变式训练1】如图，在 O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝
40°，则∠BOC的度数为（⊙ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，
∴∠OBA＝∠OAB＝25°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，
∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，
故选：A．
【变式训练2】如图，△ABC的顶点A、B、C均在 O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则
∠OAC的大小是（ ） ⊙
A．25° B．50° C．65° D．75°
【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
2
∴∠AOC= ×75°＝50°，
3
∵OA＝OC，
1
∴∠OAC＝∠OCA= （180°﹣∠AOC）＝65°，
2
故选：C．
【变式训练3】如图， O在△ABC三边上截得的弦长相等，即 DE＝FG＝MN，∠A＝
50°，则∠BOC＝（ ⊙）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，OQ⊥AC于点Q，OK⊥BC于点K，∴∠APO＝∠AQO＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠POQ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∵DE＝FG＝MN，
∴OP＝OK＝OQ，
∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，
1
∴∠BOC= ×(360°−130°)=115°．
2
故选：C．
圆周角与圆心角求长度
【例13】如图，AB是 O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长
DE交 O于点F，若A⊙E＝2， O的直径为10，则AC长为（ ）
⊙ ⊙
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：连接OF，如图：∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DE＝EF，^AD=^AF，
∵D为弧AC的中点，
∴^AD=^DC，
∴^ADC=^DAF，
∴AC＝DF，
∵ O的直径为10，
∴⊙OF＝OA＝5，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=√OF2−OE2=√52−32=4，
∴DE＝EF＝4，
∴AC＝DF＝DE+EF＝4+4＝8，
故选：D．
【变式训练1】如图，AB为 O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，
延长DE交 O于点F，若A⊙E＝3， O的直径为15，则AC长为（ ）
⊙ ⊙
A．10 B．13 C．12 D．11
【解答】解：连接OF，∵DE⊥AB，AB过圆心O，
∴DE＝EF，^AD=^AF，
∵D为弧AC的中点，
∴^AD=^DC，
∴^ADC=^DAF，
∴AC＝DF，
∵ O的直径为15，
⊙ 15
∴OF＝OA= ，
2
∵AE＝3，
9
∴OE＝OA﹣AE= ，
2
√ 15 9
在Rt△OEF中，由勾股定理得：EF=√OF2−OE2=
( )
2−(
)
2=6，
2 2
∴DE＝EF＝6，
∴AC＝DF＝DE+EF＝6+6＝12，
故选：C．
【变式训练2】如图，在半径为2√5的 O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB
＝CD＝8，则OP的长为（ ） ⊙
A．4√2 B．2√2 C．4 D．2
【解答】解：连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，则∠OFP＝∠OEP
＝∠CEO＝∠AFO＝90°，∵AB⊥CD，
∴∠EPF＝90°，
∴四边形OFPE是矩形，
∴OE＝FP，EP＝OF，
∵OF⊥AB，OF过O，AB＝8，
∴AF＝BF＝4，
由勾股定理得：OF=√OA2−AF2=√(2√5) 2−42=2，
同理OE＝2，
即FP＝OE＝2，
在Rt△OFP中，由勾股定理得：OP=√OF2+FP2=√22+22=2√2，
故选：B．
【变式训练3】如图，AB为 O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，
延长DE交 O于点F，若A⊙C＝12，AE＝3，则 O的直径长为（ ）
⊙ ⊙
A．10 B．13 C．15 D．16
【解答】解：如图，连接OF．∵DE⊥AB，
∴DE＝EF，^AD=^AF，
∵点D是弧AC的中点，
∴^AD=C^D，
∴^AC=^DF，
∴AC＝DF＝12，
1
∴EF= DF＝6，设OA＝OF＝x，
2
在Rt△OEF中，则有x2＝62+（x﹣3）2，
15
解得x= ，
2
∴AB＝2x＝15，
故选：C．
垂径定理的推论
垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ；
要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
【例14】如图，DC是 O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（ ）
⊙
A．AM＝BM B．CM＝DM C．^AC=^BC D．^AD=^BD
【解答】解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，∴AM＝BM，^AC=^BC，^AD=^BD，
即选项A、C、D都正确，
当根据已知条件不能推出CM和DM一定相等，
故选：B．
【变式训练1】如图，CD是 O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是
（ ） ⊙
A．AE＝BE B．OE＝DE C．^AC=^BC D．^AD=^BD
【解答】解：∵AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AE＝BE，^AC=^BC，^AD=^BD，
不能推出OE＝DE，
所以选项A、选项C、选项D都不符合题意，只有选项B符合题意；
故选：B．
【变式训练2】如图，AB是 O的直径，弦CD与AB相交于点E．不能推出CE＝DE的条
件是（ ） ⊙
A．AB⊥CD B．^AC=^AD C．^BC=^BD D．OE＝ED
【解答】解：当AB⊥CD时，CE＝DE．故A正确；
当^BC=^BD或^AC=^AD时，CE＝DE，故BC都正确；
故选：D．
【变式训练3】如图，CD是 O的弦，AB是 O的直径，AB⊥CD于点E，下列结论：①
^AC=^AD；②^BC=^BD；③⊙EO＝EB；④E⊙C＝ED．其中一定成立的是（ ）A．①③ B．①④ C．①②④ D．①②③④
【解答】解：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴^AC=^AD，^BC=^BD，EC＝DE，
故①②④正确．
故选：C．
内接四边形
定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
【例15】如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接OA，OC．若∠ABC＝108°，则
∠AOC的度数为（ ） ⊙
A．72° B．108° C．144° D．150°
【解答】解：∵四边形ABCD是 O的内接四边形，
∴∠D+∠ABC＝180°， ⊙
∵∠ABC＝108°，
∴∠D＝72°，
∴∠BOC＝2∠D＝144°，
故选：C．
【变式训练1】如图，四边形ABCD内接于 O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝
50°，则∠ADC的大小为（ ） ⊙A．130° B．120° C．110° D．100°
【解答】解：设BD交OC于E，连接OD，OA，
∵BD垂直平分OC，
1 1
∴OE= OC= OD，∠OED＝90°，
2 2
∴∠ODE＝30°，
∴∠DOC＝90°﹣30°＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝100°，
∵OA＝OD，
1
∴∠ADO＝∠OAD= （180°﹣∠AOD）＝40°，
2
∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝40°+60°＝100°，
故选：D．
【变式训练2】如图，C，D是 O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（
） ⊙A．85° B．75° C．70° D．65°
【解答】解：∵AB是 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵∠ABC＝15°，
∴∠CAB＝75°，
∴∠BDC＝∠CAB＝75°，
故选：B．
【变式训练3】如图，AB是 O的直径，弦CD垂直平分OB，P是^AD上一点，则∠APD
等于（ ） ⊙
A．120° B．125° C．135° D．150°
【解答】解：连接OC，AC．
∵弦CD垂直平分OB，
1 1
∴OE= OB= OC，
2 2
∴∠OCD＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝30°，∴∠ACD＝60°．
∴∠APD＝180°﹣60°＝120°，
故选：A．
证明综合
【例16】如图，AB为 O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交 O于点
F，连接AF交CD于点⊙G，连接AC，且AC∥DF． ⊙
（1）求证：CG＝AG；
（2）若AB＝12，求∠CAO和GD的长．
【解答】（1）证明：∵AC∥DF，
∴∠CDF＝∠ACD，
∵C^F=C^F，
∴∠CAF＝∠CDF，
∴∠ACD＝∠CAF，
∴AG＝CG；
（2）解：如图，连接CO，
∵AB⊥CD，
∴^AC=^AD，CE＝DE，
∵∠DCA＝∠CAF，
∴^AD=C^F，
∴^AC=^AD=C^F，∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF，
∵DF是直径，
∴∠AOD＝∠AOC＝∠COF＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC＝AO＝6，∠CAO＝60°，
∵CE⊥AO，
∴AE＝EO＝3，∠ACD＝30°，
∴CE＝3√3=DE，
∵AG2＝GE2+AE2，
∴AG2＝（3√3−AG）2+9，
∴AG＝2√3，
∴GE=√3，
∴DG＝4√3．
【变式训练1】如图，AB是 O的直径，点C在 O上，^AC=^BC，点D是^BC的中点，
连结OC，AD，交于点E，连⊙结BE，BD． ⊙
（1）求∠EBA的度数．
（2）求证：AE=√2BD．
（3）若DE＝1，求 O的面积．
⊙
【解答】解：（1）连接AC，∵^AC=^BC，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°
∴∠CAB＝45°，
∵点D是^BC的中点，
∴C^D=^BD，
∴∠CAD＝∠EAB＝22.5°；
（2）由（1）知，OC垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠DEB＝2∠EAB＝45°，
∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴BD＝sin45°BE，
∴BE=√2BD，
∴AE=√2BD；
（3）∵DE＝1
∴BD＝DE＝1，
∴AE＝BE=√2，
∴AD=√2+1，
在Rt△ABD中，AD2+BD2＝（2OA）2，
∴（√2+1）2+1＝4OA2，
2+√2
∴OA2= ，
2
2π+√2π
∴圆的面积为 OA2= ．
2
π
一．选择题（共8小题）
1．下列说法正确的是A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧
C．如果 的周长是 周长的4倍，那么 的面积是 面积的8倍
D．已知 的半径为8， 为平面内的一点，且 ，那么点 在 上
【解答】解： 、直径是圆中最长的弦，有无数条，故该选项不符合题意；
、在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，故该选项不符合题意；
、如果 的周长是 周长的4倍，那么 的面积是 面积的16倍，故该选项不符
合题意；
、已知 的半径为8， 为平面内的一点，且 ，那么点 在 上，故该选项
符合题意．
故选： ．
2．小明在半径为5的圆中测量弦 的长度，下列测量结果中一定是错误的是
A．4 B．5 C．10 D．11
【解答】解： 半径为5的圆，直径为10，
在半径为5的圆中测量弦 的长度， 的取值范围是： ，
弦 的长度可以是4，5，10，不可能为11．
故选： ．
3．如图， 的直径 的延长线与弦 的延长线交于点 ，且 ，已知
，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：如图：，得
．
由 是 的外角，得 ．
由 ，得 ．
由 是三角形 的外角，得 ．
由 ，得 ．
解得 ．
故选： ．
4．如图， 的直径 ，弦 垂直 于点 ．若 ，则 的长为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接 ，
，
，
，
，
在 中， ，
，
，
．
故选： ．5．已知 的半径为5，点 到弦 的距离为3，则 上到弦 所在直线的距离为2
的点有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：过 点作 ，交 于 ，如图，
，
而 ，
，即点 到直线 的距离为2；
在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，
在直线 的这边，还有两个点 ， 到直线 的距离为2．
故选： ．
6．如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面 ，拱高 ，则该拱门的半径为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取圆心为 ，连接 ，设 的半径为 ，则 ，
拱高 ，
， ，
，
，
，
，
解得： ，
该拱门的半径为 ，
故选： ．
7．如图，在 中 ，以直角边 为直径的 交线段 于点 ，点
是弧 的中点， 交 于点 ， 的半径是6，则 的长度为
A． B． C．3 D．
【解答】解： ， ，
，为弧 的中点， 过圆心 ，
，
，
，
，
故选： ．
8．如图，在 中， ，连接 ， ，则 与 的关系是
A． B． C． D．无法比较
【解答】解：如图，连接 、 ，
在 中， ，
，
在 中， ．
．
故选： ．
二．填空题（共4小题）
9．运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的环形周长的差
等于 米，则跑道的宽度为 米．
【解答】解：设运动场上的小环半径为 米，大环半径半径为 米，根据题意得：
，解得： ，
即跑道的宽度为 米．
故答案为： ．
10．大圆的半径是 ，小圆的半径是大圆半径的一半，则大圆面积比小圆面积大
．
【解答】解：由题意得，大圆面积为 ，小圆面积为 ， ，
大圆面积比小圆面积大 ，
故答案为： ．
11．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等分
线”，“等分线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等分线段”（例如圆的直径
就是圆的“等分线段” ．已知等边三角形的边长为4，则它的“等分线段”长度 的取
值范围是 ．
【解答】解：如图，
①等边三角形的高 是最长的“等分线段”，
；
②当 时， 为最短“等分线段”，此时， ，
即 ，
解得 ．
所以，它的“等分线段”长 ．
故答案为： ．
12．如图，在平面直角坐标系中，放置半径为1的圆，圆心到两坐标轴的距离都等于半径，
若该圆向 轴正方向滚动2022圈（滚动时在 轴上不滑动），此时该圆圆心的坐标为
．
【解答】解：如图，点 ，点 ，
该圆向 轴正方向滚动2022圈，点 移动过的距离为 ，这点到原点
的距离为 ，
因此点 的对应点的坐标为 ，
故答案为： ．三．解答题（共3小题）
13．在平面内，给定不在同一直线上的点 ， ， ，如图所示．点 到点 ， ， 的
距离均等于 为常数），到点 的距离等于 的所有点组成图形 ， 的平分线交
图形 于点 ，连接 ， ．
求证： ．
【解答】证明：根据题意作图如下：
是圆周角 的角平分线，
，
，
．14．如图， 的半径 ， 为 上一点， ， ，垂足分别为
、 ， ，求直径 的长．
【解答】解： ， ， ，
四边形 是矩形，
，
．
15．已知：如图， 、 是 的高， 为 的中点．试说明点 、 、 、
在以点 为圆心的同一个圆上．
【解答】证明：连接 、 ，
、 分别是 的高， 为 的中点，
，
点 、 、 、 在以点 为圆心的同一圆上．
