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重难点 2-1 指对幂比较大小 8 大题型
函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐。每年高考基本都会出现，
难度逐年上升。高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混
在一起，进行排序。这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
【题型1 直接利用单调性比较大小】
满分技巧
当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该
函数的单调性比较
（1）底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
（2）指数相同，底数不同，如 和 ，利用幂函数 的单调性；
（3）底数相同，真数不同，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
（4）除了指对幂函数，其他函数（如三角函数、对勾函数等）也都可以利用单调性比较大小。
【例1】（2023·内蒙古鄂尔多斯·高三期末）已知 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于 是 上的减函数，则 ，所以 ，
由于 是 上的增函数，则 ，所以 ，
由于 是 上的增函数，则 ，所以 ，
所以 ，故选：A.【变式1-1】（2024·广东湛江·高三统考期末）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，所以 .故选：A
【变式1-2】（2024·天津·高三统考期末）设 ， ， ，则 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，易知函数 在R上是增函数，
又 ，所以 ，
又易知 在 上是减函数，所以 ，
综上， ，故选：B.
【变式1-3】（2024·四川攀枝花·统考二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知 在 上单调递增，则 ，即 ，
而由 单调递增，得 ，即 ，
又 单调递增，故 则 ，故选：A
【题型2 作差作商法比较大小】
满分技巧
（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；
（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法
【例2】（2023·四川成都·校联考一模）若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为 ， ，
令 ，
而 ，即 ，所以 ，
又因为 ，所以 .故选：D
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在R上单调递增，所以 ．
又 ，所以 ．
因为 ，故 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
所以实数 的大小关系为 ，故选：B．
【变式2-2】（2023·山东青岛·高三莱西市第一中学校联考期中）已知 ， ， ，则（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
因为当 时， ，所以 ，则 ，
，因为 ，所以 ，即 ， ，
综上， ，故选：B.
【变式2-3】（2022·全国·高三统考阶段练习）已知 ，则正数 的大小
关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，由 ，得
，
因此，即 ；
由 ，得 ，于是 ，
所以正数 的大小关系为 ，故选:A.
【题型3 中间值/估值法比较大小】
满分技巧
中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用
函数的性质比较大小；
估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；
（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；
【例3】（2024·天津红桥·高三统考期末）设 ， ， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意， ， ， ，
所以 ，故选：C
【变式3-1】（2023·河北石家庄·高三校联考期末）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，故 ．故选：D.【变式3-2】（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）设 ， ， ，则a，b，c的大小
关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ．故选：B
【变式3-3】（2024·广东肇庆·统考模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】幂函数 在 上单调递增，故 ，
又 ，所以 ，故选：A.
【题型4 含变量式子比较大小】
满分技巧
当比较的几个数都含参数时，可尝试把参数取一个具体的实数，通过估算来比较大小。也可通过函数的
单调性，结合图象进行比较。
【例4】（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）设 ， ， ，其中 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ， ， ，
虽然 是单调递增函数，但是 ， 无法比较大小，
所以a，b的大小无法确定，排除AB，
， （因为 ，所以取不到等号），故D正确．故选：
D．
【变式4-1】（2023·河南·模拟预测）（多选）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC【解析】对于A，由 ，得 ，又 单调递增，
所以 ，故A正确；
对于B，由于 在 上不单调，
所以 与 的大小关系无法确定，故B错误；
对于C，由 ，得 ，
又 单调递增，所以 ，故C正确；
对于D，由 ，得 ，
又 单调递增，所以 ，故D错误．故选：AC．
【变式4-2】（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考阶段练习）（多选）已知 ， ，
则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】A选项，因为 ，所以 ，
令 ， ，
则 ，
因为 ，所以 恒成立，
故 在 上单调递减，故 ，
则 ，故A错误；
B选项，由A选项可知，
，故B正确；
CD选项，由AB选项可知， ，C正确，D错误.故选：BC
【变式4-3】（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知 ， ， ，
.则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，∴ ， ，令 ， ， ，
∴ 在 单调递减，所以 ，∴ ，∴ .
，
令 ， ，
， 在 单调递减， ，∴ ，
∴ ，∴ ，故选：A.
【题型5 构造函数比较大小】
满分技巧
构造函数，运用函数的单调性比较：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同
构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律
（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；
（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
【例5】（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ，则 ，
因为 ， ，
令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，则 ，所以 ，则 ．故选：A.
【变式5-1】（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）设 ， ，则
下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设 ，则 ，
因为 在R上单调递增，故 在R上单调递减，
所以 ，即 ，A错误，
因为 在R上单调递减，故 ，B正确；
由于 ，即 ，故 ，C错误；
，当且仅当 时取等号，但 ，故 ，D错误，故选：B
【变式5-2】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，令函数 ，求导得 ，
则函数 在 上单调递减， ，因此 ，
由 ，得 ，有 ，令函数 ，
求导得 ，当且仅当 时取等号，即函数 在 单调递增，
，即 ，因此 ，所以 .故选：A
【变式5-3】（2023·全国·高三课时练习）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ，
令 ， ，则 ，令 ， ，则 ，
令 ， ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，故 在 上恒成立，
将 中 换为 可得， ，
即 ，故 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
由复合函数单调性可知 在 上单调递增，
故 ，即 ，故选：D
【题型6 数形结合比较大小】
满分技巧
当比较的几个数都可转化为两个函数的零点时，可数形结合，通过函数图象的交点来比较大小。
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知 ，则实数 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，其在R上单调递减，
又 ，
由零点存在性定理得 ，则 在 上单调递减，
画出 与 的函数图象，可以得到 ，
又 在R上单调递减，画出 与 的函数图象，
可以看出 ，
因为 ，故 ，故 ，
因为 ，故 ，
由 得， ．
综上， ．故选：D．
【变式6-1】（2023·福建·高三校联考阶段练习）已知正实数 ， ， 满足 ，
则以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，可知 在 单调递增，
由 ，得 所以 ，
由题 ， ， ，
令 则 ，所以有 ，
在平面直角坐标系中分别作出 ， ， ， ，由图像可得 ，则A错误；
对于B， 则 ，即 ，
由图像可知 ，所以 ，B错误；
对于C， ，即 ，因为 ，
所以 ，则 ，故C正确；
对于D，因为 ，
即 且 ，所以 ，D错误；故选：C
【变式6-2】（2023·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知函数 ， ，
的零点分别为 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，即 ，解得 ，则 ，
令 ，即 ，令 ，即 ，
根据指数函数与对数函数的图象关于 对称，
所以它们分别与 交点的横坐标互为相反数，且 ，
所以 ，故A错误， ，所以B错误；
所以 ，故C错误，
因为 ，所以 ，故D正确，故选：D.
【变式6-3】（2022·内蒙古呼和浩特·统考二模）若 ， ， ，则x、y、z由小到
大的顺序是 .
【答案】
【解析】依题意， ， ， ， ，
因此， 成立的x值是函数 与 的图象交点的横坐标 ，成立的y值是函数 与 的图象交点的横坐标 ，
成立的z值是函数 与 的图象交点的横坐标 ，
在同一坐标系内作出函数 ， 的图象，如图，
观察图象得： ，即 ，所以x、y、z由小到大的顺序是 .
【题型7 放缩法比较大小】
满分技巧
1、放缩法的解题思路：
（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；
（2）指数和幂函数结合来放缩；
（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；
（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一
些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
2、常见放缩不等式
（1） ；
（2） ； ；
（3）
【例7】（2024·全国·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】显然 ，且 ，
令 ，则 对任意 恒成立，
则 在 内单调递增，可得 ，即 ；所以 ，且 ，可知 ；
令 ，则 对任意 恒成立，
则 在 内单调递增，可得 ，即 ；
所以 ，可知 ；
又因为 ，所以 ，故选：C．
【变式7-1】（2023·云南大理高三模拟）若 ， ， ，则 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ，
， ， ，
， ，
，故选： ．
【变式7-2】设 ，则 的大小关系为___________．（从小到大顺序排）
【答案】
【解析】 ，
由函数切线放缩 得 ，因此 ．
【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，
我们得到如下结论：当 或 时， ；当 时， ，请比较 ， ，
的大小关系
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，
对于 ，令 ，则 故当 或 时， ，所以 ，即
所以 ，
将 两边同时取底数为4的指数得
因为 ，所以 ，故选：B.
【题型8 泰勒展开式比较大小】
满分技巧
常见函数的麦克劳林展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【例8】（2023·江苏连云港·高三海州高级中学校考阶段练习）已知 ，则（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一、根据题意，构造函数 ，
则 .
由泰勒展开式， ， ，
所以
，而 ，
所以 ，即 ；
法二、因为 ，
所以 .
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，
所以当 时， ，即有 成立，
所以 ，得 ，所以 ；
因为 ，所以令 ，
则 ，
所以函数 在定义域内单调递增，
所以当 时， ，即有 成立，
所以 ，即 ，所以 ，又 ，所以 .
综上， ，故选：D
【变式8-1】已知 ，则（ ）
【答案】A
【解析】设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A．
【变式8-2】（2023·广东广州·高三华南师大附中校考） ， ， ，则a，b，c的大小关
系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意得， ，
因为 ，所以 ，
由泰勒展开得 ，
，
所以 ，
故 ，综上所述a，b，c的大小关系是 .故选：C
【变式8-3】（2023·云南昆明·高三校考阶段练习）设 ， ， ，这三个数的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
∵ ，而 在 上单调递增，∴
且 时， ，以下是证明过程：
令 ， ，
，令 ，
故 ，令 ，
故 ，令 ，
则 ，令 ，
故 ，令 ，
故 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，所以 ，故 在 上单调递增，
所以 ，故 在 上单调递增，
所以 ，故 在 上单调递增，
所以 ，故 在 上单调递增，
∴ ，
∴ ，∴ ，故选：C．
（建议用时：60分钟）
1．（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，
因此可得 ，故 ，故选：D
2．（2023·吉林·统考一模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 单调递减可知： ，即 ；
由 单调递增可知： ，即 所以 .故选：D.
3．（2023·安徽铜陵·高三统考阶段练习）设 ，则 的大小关系为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由指数函数 在定义域 上为单调递增函数，所以 ，
又由对数函数 在 上为单调递减函数，所以 ，
所以 ，即 ，故选：D.4．（2023·江苏连云港·高三统考期中）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ， ， ，故 最小，
又 ，
因为 ，所以 ，
则有 ，∴ ，故选：C.
5．（2023·浙江·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意， ， ，即 ，
而 ，所以 .故选：C
6．（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，则 ，所以 ；
由 ，且 ，则 ，所以 ；
由 ，且 ，则 ，所以 ；
由 ，且 ，根据函数 在 上单调递增，则 ；
综上可得 ，所以 ，故选：D.
7．（2023·广东·校联考二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 .
，因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，所以 .故 ，故选：A
8．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知 ，则（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ， ， 所以 ，
又 ， ，
易知 ，所以 ，即 ，所以 ．故选：C．
9．（2023·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， ，即 ，
因为 ， ，所以 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 .故选：C
10．（2023·广东·高三茂名市第一中学校联考阶段练习）已知正数a，b，c满足
，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
,故A错误；
， ，故BC错误，D正确．故选：D.
11．（2023·江西·统考模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】 ， ， ，所以 ．故选：C．
12．（2023·全国·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ．
取 ，则 ， ， ．
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，即 ，所以 ．
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，即 ，所以 ．故选：A
13．（2023·四川·高三南江中学校联考阶段练习）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知， 是函数 的零点，
因为 ，
由 ，则 ，且 ，
由零点存在性定理知， ；
由题意知， 是函数 的零点，
因为 ，
且 ，
由零点存在性定理知， ，故 ，
由 ，得 ，
作出函数 的大致图象，
如图所示，数形结合由图可知 ．
综上， .故选：A.14．（2023·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ．
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，
所以当 时， ，即有 成立，
所以 ，得 ，所以 .
因为 ，所以令 ，
则 ，所以函数 在 上单调递增，
所以当 时， ，即有 成立，
所以 ，即 ，所以 ，即 .
综上： ，故选：A.
15．（2024·江苏南通·高三统考期末）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】方法一：∵ ，∴ ,
设 则 在 单调递减，所以 ，
， 即 ，故C正确．
方法二：设 又 ，C正确．故选：C
16．（2022·黑龙江双鸭山·高三校考期末）设 ，其中 是自然对数的底数，
则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】记 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
又 ，且 ，
所以 ，即 .故选：A
17．（2023·海南·高三校联考阶段练习）设 ， ， ，则（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ， ， ，
设函数 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
因为 ，所以 ，所以 .故选：A
18．（2023·云南大理·统考一模）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系正确的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ， ，有 .
故函数 在 单调递增，故 ，
即 ，所以 ，即 ，
令 ，则 ， ，有 .
故函数 在 单调递减，故 ，即 ，
所以 ，即 .
综上： .故选：D
19．（2024·湖南邵阳·统考一模）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
两边取对数得： ，令 ，
则 ，
令 ，则 ，
可知 在 上单调递增，
因为 ，则 ，可知 恒成立，
则 ，即 ，可得 ，
则 在 上单调递增，可得 ，
可得 ，即 ，
又因为 在 上单调递增，所以 .故选：D.
20．（2023·全国·校联考模拟预测）设 ， ， ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先来证明当 时， .
令 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，可得 ，即得 ；
令 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，可得 ，即得 ；
所以当 时， .
因为 ，
由 ，因为 ，所以 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 .故选：D.
