文档内容
4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式
思维导图
知识点总结
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 .
(2)商数关系：＝tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
2kπ＋
角 π＋α －α π－α －α ＋α
α(k∈Z)
正弦 sin α － si n__α － si n__α sin__α cos__α cos__α
余弦 cos α － co s__α cos__α － co s__α sin__α － si n__α
正切 tan α tan__α － ta n__α － ta n__α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】[常用结论]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称
的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
典型例题分析
考向一 同角三角函数基本关系式的应用
例1 (1)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝________.
答案 0
解析 ∵cos α＝－＜0且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角.
①若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝－.
此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－＝－，
∴tan α＝＝＝，
此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
(2)已知＝－1，则＝________；sin2α＋sin αcos α＋2＝________.
答案 －
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解析 由已知得tan α＝，
所以＝＝－.
sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.
(3)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A.sin θ＝ B.cos θ＝－
C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝
答案 ABD
解析 由题意知sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝－＜0，
又∵θ∈(0，π)，∴＜θ＜π，
∴sin θ－cos θ＞0，
∴sin θ－cos θ＝＝＝＝，
∴sin θ＝，cos θ＝－.
∴tan θ＝－，∴A，B，D正确.
感悟提升 同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可实现角α的弦切互化.
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公
式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断角的符号，当角所在的象限不明确时，
要进行分类讨论.
考向二 诱导公式的应用
例2 (1)(2023·长沙调研)已知sin＝，则cos＝( )
A. B.－
C. D.±
答案 C
解析 ∵sin＝，
∴cos＝cos＝sin＝.故选C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)设f(α)＝
(1＋2sin α≠0)，则f＝________.
答案
解析 因为f(α)＝
＝＝＝，
所以f＝＝＝＝.
感悟提升 1.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数―――――――→任意正角的三角函数―――――――――――→0～2π
内的角的三角函数――――――――――→锐角三角函数.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
考向三 同角关系式和诱导公式的综合应用
例3 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值；
(3)若cos＝，α∈，求f(α)的值.
解 (1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)若α＝－，
则f(α)＝－cos＝－cos ＝－.
(3)由cos＝，
可得sin α＝－，
因为α∈，所以cos α＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
感悟提升 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数符号的影响.
基础题型训练
一、单选题
1．下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数诱导公式逐项判断.
【详解】 ； ； ；
.
故选：D
【点睛】本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.
2．下列命题中，命题正确的是（ ）
A．终边相同的角一定相等
B．第一象限的角是锐角
C．若 ，则角 的三角函数值等于角 的同名三角函数值
D．半径为 ， 的圆心角所对的弧长为
【答案】C
【分析】根据角的概念的推广、弧度的定义和三角函数的定义，结合代特值即可得到答案.
【详解】根据三角函数的定义，易知C正确，
对A， 终边相同，故A错误；
对B， 在第一象限，但不是锐角，故B错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对D，弧长应该为弧度乘以半径，故D错误.
故选：C.
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 的值.
【详解】因为 ，则 .
故选：D.
4． 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式化简，利用三角函数特殊值即可得答案.
【详解】 .
故选：A.
5．已知 角的终边交单位圆于点A，将A绕原点 顺时针旋转 至 ，则 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作出简图，由三角函数定义及诱导公式计算即可.
【详解】如图所示，易知B为 100°与单位圆的交点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由三角函数的定义可知 ，
由诱导公式化简可得 .
故选：C
6．如果 ，且 ，那么 的值是 ( )
A． B． 或
C． D． 或
【答案】A
【详解】将所给等式两边平方，得 ，
∵ ， s，
，
，
∴ .
故选A.
二、多选题
7． （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用诱导公式确定正确答案.
【详解】 ，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D正确.
故选：BD
8．（多选）若 ， 的终边关于 轴对称，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】利用对称性，求出 ， 间的关系 ，再利用诱导公式，即可得到 与
， 与 间的关系，从而得出结果.
【详解】因为 ， 的终边关于 轴对称，所以 ，
所以根据诱导公式可知， ，
，
所以选项AB正确，选项CD错误.
故选：AB.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】三、填空题
9．已知 ，且 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据诱导公式可得 ，再利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．已知 ，则 ___________.
【答案】
【分析】由 可得 ，即 ，由同角三角函数的平方关系和商数关系，即得解
【详解】由题意，
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．已知 ，则 _________.
【答案】
【分析】利用诱导公式对方程进行化简，再解关于 的方程即可.
【详解】原式 ，解得： .
故答案为： .
【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算
求解能力.
12．已知函数 是定义在 上的奇函数，对 都有 成立，当 且
时，有 ．给出下列命题：
（1）
（2） 在[-2，2]上有5个零点
（3）点（2014，0）是函数 的一个对称中心
（4）直线 是函数 图像的一条对称轴．
则正确的是________．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）利用赋值法，令 ，直接求得；（2）直接判断出-2，-1，0，1，2为 的零点；
（3）转化得到 ，即可判断出点（2014，0）是函数 的一个对称中心，
可判断出（3）正确；（4）错误.
【详解】试题分析：（1）由题意，令 ，则 ，即 ，则 ，
（2）由题意， ， ， ， ，则 在[-2，2]
上有5个零点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）由 ，可知 以2为周期，所以 ， ，
所以 ，所以点 是函数 的一个对称中心，
（4）由于（3）正确，故（4）不正确．
故答案为：（1）（2）（3）
四、解答题
13．设 ，求 .
【答案】
【分析】先利用诱导公式和同角三角函数基本关系式化简，再代入求值.
【详解】由
得
则 .
【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数基本关系式，先化简再代值是解决问题的关键.
14．已知函数 ，求 的值.
【答案】
【分析】代入 ，利用诱导公式和特殊角的三角函数值计算即得解
【详解】由题意，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】15．已知 ，求下列各式的值．
（1） ；（2） ．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据题意，结合同角三角函数的关系，可得 ，根据 的范围，可得
，即可得答案.
（2）由（1）可得 的值，代入所求，即可得答案.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
因为 ，
又 ，所以 ，则 ，
所以 ．
（2）由已知条件及（1），可知 ，解得 ，
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】16．（1）已知 ，求
的值；
（2）已知 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的商数关系即可求解；
（2）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】由 ，
得 ，
所以 ，
故原式
.
由题意，得 ， .
①当 时， ， ， 为第二象限的角.
原式 ；
②当 时， ， ，∴ ，
∵ ，∴ .
原式 （ ）.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上所述， .
提升题型训练
一、单选题
1．已知 ，则 的值为（ ）
A． B．－
C． D．－
【答案】D
【分析】根据诱导公式直接进行求解即可.
【详解】 ，
故选：D
2． 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】用诱导公式化负角为正角，化大角为小角，最终化为锐角的三角函数．
【详解】 ．
故选：A.
【点睛】本题考查诱导公式，掌握三角函数诱导公式是解题基础．
3．若sin2x>cos2x，则x的取值范围是（ ）
A．{x|2kπ－ |cos x|，单位圆中画出对应角的范围，即知x的取值范围.
【详解】sin2x>cos2x |sin x|>|cos x|.
在直角坐标系中作出⇔单位圆及直线y＝x及y＝－x.如图，
根据三角函数线的定义知角x的终边落在图中的阴影部分，不含边界.
故选：D.
4．化简： （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数诱导公式、同角三角函数的基本关系化简求值即可.
【详解】 ,
故选：D
5．在 中的角满足 ，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用诱导公式得到 ，利用平方关系得到 ，再利用同角三角函数关系式
中的商关系求得 ，得到结果.
【详解】由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
故选：A.
【点睛】该题考查的是有关角的三角函数值的求解问题，涉及到的知识点有诱导公式，同角三角函数关系
式，属于简单题目.
6．已知 是第三象限角，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得 ，再利用诱导公式化简 即可得到答案.
【详解】 是第三象限角，若 ，由 ，得
故选：C.
二、多选题
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．设 为第一象限角, ,则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】首先由题意得 是第一象限角,所以 ,再利用诱导公式和同角三角函数关系式
对选项逐个计算确定正确答案.
【详解】由题意得 ,
则 ,
若 在第四象限,则 ,
所以 也是第一象限角,即 , ,
A项错误;
,B项正确;
,C项错误;
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】,D项正确.
故选:BD.
8．在平面直角坐标系 中，O是坐标原点，点 （cos ，sin ）， ，
则下列说法正确的是（ ）
A．线段 与 的长均为1 B．线段 的长为1
C．若点 ， 关于y轴对称，则 D．当 时，点 ， 关于x轴对称
【答案】ACD
【分析】AB选项，根据勾股定理进行求解；C选项，根据点 ， 关于y轴对称，得到 ，
，进而求出 ；D选项，代入后利用诱导公式进行求解，得到答案.
【详解】 ，同理可求 ，A正确；
由题意得： ，由勾股定理得： ，B错误；
若点 ， 关于y轴对称，则 ， ，则 ， ，
解得： ，C正确；
当 时， ，即 ， 即
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，关于x轴对称，D正确.
故选：ACD
三、填空题
9． __________.
【答案】
【分析】运用诱导公式计算.
【详解】
；
故答案为： .
10．若 ,则 ____________
【答案】
【详解】试题分析：
考点：同角间三角函数关系
11．已知 ， ，则 ___________．
【答案】
【详解】试题分析：由 得 ，所以 ，因为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，所以 ，由 得 ，所以 ．
考点：同角间的三角函数关系．
12．在 中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长， ， ， ，则
的面积是________.
【答案】
【分析】由 ，遇角化边后可求得 ，由正弦定理可求的 ，再由三角函数的知识，
可求得 ，再代 即可求解.
【详解】解：由题意： ， ，
，
又 ， ，
， ，
， ，
， ， ，
，
故答案为：
【点睛】本题主要考查解三角形，同角三角函数的关系等，考查理解辨析能力以及求解运算能力，属于中
档题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】四、解答题
13．确定下列三角函数值的符号：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) .
【答案】(1)负
(2)负
(3)负
(4)正
(5)负
(6)负
【分析】由角的终边的位置和三角函数的符号规律逐个判断即可．
(1)
解：因为 为第三象限角，所以 为负；
(2)
解：因为 为第二象限角，所以 为负；
(3)
解：因为 为第四象限角，所以 为负；
(4)
解：因为 为第一象限角，所以 为正；
(5)
解：因为 为第三象限角，所以 为负；
(6)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解：因为 为第二象限角，所以 为负．
14．已知 ，求下列各式的值
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，分子分母同除 将弦化切，代入求解即可．
（2）利用同角三角函数基本关系式，将原式看做分母为 的分数，利用平方关系 ，分子
分母同除 将弦化切，代入求解即可．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ；
（2）解：
15．已知函数 的表达式为 ，对于任何实
数x， 都有意义，求 的范围并判断 所在的象限．
【答案】 ， 在第一或二象限．
【分析】由已知， 恒成立，当 不满足题
意，当 时，由 即可求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由已知， 恒成立．
①当 时， ，不合要求；
②当 时，
，
解得 .
从而得： 在第一或二象限．
16．(1)已知 是关于x的方程 的一个实根，且α是第三象限角，求
的值；
(2)已知 ，且 ，求 的值.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】(1)由已知方程求 ，利用同角关系将 转化为由 表示的式子，
由此可求其值，(2)由条件结合平方关系求 ， ，由此求结果.
【详解】(1)∵ 是关于x的方程 的一个实根，且α是第三象限角，
∴ 或 （舍去），
∴ .
(2)由题设， ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
