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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题04 平行线的性质与判定压轴题四种模型
【类型一 平行线的性质与判定综合问题】
例1．（2022·山东东营·七年级期末）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1=∠3，
(1)证明；AB∥CD
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=34°，求∠3的度数．
【变式训练1】（2021·浙江·金华市第五中学七年级期中）已知如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
(1)判断BD与CE是否平行，并说明理由；
(2)当∠A=30°时，求∠F的大小．
【变式训练2】（2021·山东淄博·期末）如图，已知 ， 平分 ，交 于点 ，
交 的延长线于点 ， 交 的延长线于点 ， ．
(1)若 ，求 的度数；(2) 与 是什么位置关系？请说明理由；
(3)若 ， ，直接写出 ， 满足什么数量关系时 ．
【变式训练3】（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学七年级开学考试）如图，直线AC BK，BC平分
∠ABK，点E在射线BC上，直线AE交BK于点D，过点E作直线EF AB，过点D作DF BC．
(1)如图（1）求证：∠GFD=∠GDF；
(2)如图（2）当点E在线段BC延长线时，请直接写出∠EGD与∠EFD的数量关系________；
(3)如图（3），在（2）的条件下，AH平分∠CAB交BC于点H，若∠AEB：∠BEG=1：3，且此时∠EAC
比∠HAC大10°，求∠EGB的度数．
【类型二 含一个拐点模型】
例2．（2021·吉林延边·七年级期中）感知与填空：如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D=∠BED．
证明：过点E作直线EF∥CD，
∠2=______，（ ）
AB∥CD(已知），EF∥CD
_____∥EF，（ ）
∠B=∠1，（ ）
∠1+∠2=∠BED，
∠B+∠D=∠BED，（ ）
方法与实践：如图②，直线AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，则∠E=______度．【变式训练1】（2021·上海市第二初级中学七年级期中）如图，已知 ，点 在 的上方，则 、
、 之间存在怎样的等量关系？说明理由．
解：过点 做 ，
______（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（已作），
______ ______（______）．
【变式训练2】（2021·全国·七年级专题练习）问题情境：如图1， ， ，
，求 的度数．
小明的思路是：如图2，过 作 ，通过平行线性质，可得 ______．
问题迁移：如图3， ，点 在射线 上运动， ， ．
（1）当点 在 、 两点之间运动时， 、 、 之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、之间有何数量关系．
【变式训练3】（2021·山东烟台·期末）已知直线 、 ，直线 与直线 、 分别交于点C和点D，在直线
上有动点P（点P与点C、D不重合），点A在直线 上，点B在直线 上．
(1)如图①，如果点P在C、D之间运动时，且满足∠1+∠3=∠2，请写出 与 之间的位置关系并说明理由；
(2)如图②，如果 ，点P在直线 的上方运动时，请写出∠1，∠2与∠3之间的数量关系并说明理由；
(3)如图③，如果 ，点P在直线 的下方运动时，请直接写出∠PAC、∠PBD、∠APB之间的关系（不
需说明理由）．
【类型三 含两个或多个拐点模型】
例3．（2022·福建·晋江市季延中学七年级期末）如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【变式训练1】如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【变式训练2】综合与探究
问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活
动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：
如图1， ， ， ，求 的度数．
小康的解法如下：
解：如图1，过点P作 ．
∵ ，
∴ （根据1）．
∵ ，
∴ （根据2）．
……(1)①小康的解法中的根据1是指_______________；②根据2是指______________．
(2)按照上面小康的解题思路，完成小康剩余的解题过程．
(3)聪明的小明在图1的基础上，将图1变为图2，其中 ， ， ， ，
求 的度数．
【变式训练3】（2021·广东·东莞市长安实验中学七年级期中）如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；
（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【类型四 生活中平行线的应用问题】
例4．（2022·福建·晋江市季延中学七年级期末）如图①是我省同金电力科技有限公司生产的美利达自行车
的实物图，图②是它的部分示意图， ，点B在AF上， ， ， ．
(1)图中以点A为顶点的角有哪几个？请分别写出来．
(2)试求 和 的度数．
【变式训练1】（2022·全国·七年级）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，
如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射出．图中如果
， ，那么 和 各是多少度？【变式训练2】如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向
修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的
方向修至E．
（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；
（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM
与∠DMN的数量关系．
【变式训练3】（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低
洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，唯另加两个反射镜
使物光经两次反射而折向眼中．潜望镜常用于潜水艇，坑道和坦克内用以观察敌情．光线经过镜子反射时，
抽象出的数学图形如图2所示，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，请问进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是
否平行？并说明理由．【专项训练】
一、选择题
1．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，AD∥CE，∠ABC＝110°，则∠2﹣∠1的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．110°
2．（2021·山东滨州·二模）如图，已知AB∥CD∥EF，∠1＝60°，∠3＝20°，则∠2的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·河北廊坊·七年级阶段练习）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（ ）A．115° B．110° C．105° D．100°
4．（2021·广东·深圳市龙岗区南京师范大学附属龙岗学校七年级阶段练习）①如图1，AB CD，则∠A＋
∠E＋∠C＝180°；②如图2，AB CD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，AB CD，则∠A＋∠E－∠1＝
180°；④如图4，AB CD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
二、填空题
5．（2021·上海市西南模范中学七年级期末）如图，已知 ， ， ，则
________度．
6．（2021·吉林延边·模拟预测）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置
（∠BAC=30°），并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=18°，则∠2的度数是_____．
7．（2021·广东·深圳市龙岗区龙城初级中学七年级阶段练习）如图，已知m∥n，若过点P，P 作直线m的
1 2
平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是_____．8．（2021·河北廊坊·七年级阶段练习）探索：微微和为锦在研究一个数学问题：已知AB∥CD，AB和CD
都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C数量关系．
发现：在图1中，微微和为锦都发现∠P与∠A，∠C的数量关系为______；
应用：在图2中，∠A＝125°，∠C＝135°，则∠P＝_____．
在图3中，若∠A＝35°，∠C＝75°，则∠P＝_____．
三、解答题
9．（2021·上海嘉定·七年级期末）如图，已知 ， ，垂足分别为点 、 ， ，试
说明 的理由．
解：因为 ， （已知），
所以 ， （ ），
所以 （等量代换），
所以 （ ），
所以 （ ），
因为 （已知），
所以 （ ），
所以 （ ）．10.（2021·广东深圳·七年级期中）完成下面的推理过程：
如图，已知EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C．
(1)求证：AB∥MN；
(2)若∠BMN＝140°，∠ADM＝25°，求∠BAD的度数．
证明：（1）∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴∠CFE＝∠CMD＝90°（________________）
∴EF∥DM（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠CDM（________________）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠1＝∠CDM（等量代换）
∴MN∥CD（________________）
∴∠C＝∠________（两直线平行，同位角相等）
∵∠3＝∠C（已知）
∴∠3＝∠AMN（等量代换）
∴AB∥MN（内错角相等，两直线平行）
（2）∵AB∥MN（已证）
∴∠BMN＋∠B＝180°（________________）
∵∠BMN＝140°（已知）
∴∠B＝40°
∵∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°（________________）
∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－40°－25°＝115°11.（2021·广东深圳·七年级期中）如图，已知∠1＋∠2＝180°，且∠3＝∠B．
(1)求证：∠AFE＝∠ACB；
(2)若CE平分∠ACB，且∠2＝110°，∠3＝50°，求∠ACB的度数．
12.（2022·广东茂名·八年级期末）如图，点D、F在线段AB上，点E、G分别在线段BC和AC上，
， ．
(1)求证： ；
(2)若DG是角 的平分线， ，且 ，请说明AB和CD怎样的位置关系？
13．（2021·上海市民办文绮中学七年级期中）如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，
， ．(1)请说明 的理由；
(2)若DE平分 ， ，判断CD与EG的位置关系，并说明理由．
14．（2022·贵州毕节·八年级期末）已知：如图，点D、E、F、G都在 的边上， ，且
(1)求证： ；
(2)若EF平分 ， ，求 的度数．
15．（2021·河北沧州·七年级期中）光线在不同的介质中传播的速度是不同的，因此当光线从水中射向空
气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图所示，恰有两
束平行光线从水中射向空气，∠1＝30°，∠2＝130°．
（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角；
（2）求∠3，∠5，∠8的度数，并判断∠1和∠4是否互补．16．（2022·全国·七年级）如图所示，AB∥CD，分别写出下面四个图形中∠A与∠P，∠C的数量关系，请
你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明．
17．（2022·山东济南·八年级期末）如图， ，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，
CD之间有一个动点P，满足 ．
(1)试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为______．
(2)如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为______；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
18．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+ ∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
19．（2022·四川宜宾·七年级期末）如图， ，点E为两直线之间的一点(1)如图1，若 ， ，则 ____________；
(2)如图2，试说明， ；
(3)①如图3，若 的平分线与 的平分线相交于点F，判断 与 的数量关系，并说明
理由；
②如图4，若设 ， ， ，请直接用含 、 的代数式表示 的度
数．
20．（2022·江苏·七年级专题练习）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分
∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．21．（2020·河北·金柳林外国语学校七年级期末）如图1，已知直线l∥l，且 和l，l 分别相交于A，B两
1 2 1 2
点， 和l，l 分别交于C，D两点，点P在线段 上．
1 2
（1）若∠1=23°，∠2=34°，则 _____________；
（2）试找出∠1，∠2，∠3之间的等量关系，并说明理由；
（3）应用（2）中的结论解答下列问题；
已知l∥l，点A，B在 上，点C，D在 上，连接AD，BC．AE，CE分别是∠BAD，∠BCD的平分线，
1 2
∠α=74°，∠β=32°．
①如图2，求 的度数；
②如图3，将线段 沿 方向平移，其他条件不变，直接写出 的度数．
22．（2021·新疆克拉玛依·七年级期末）（1）如图1，l∥l，求∠A+∠A+∠A＝______．（直接写出结
1 2 1 2 3
果）
（2）如图2，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A＝_____．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4
（3）如图3，l∥l，求∠A+∠A+∠A+∠A+∠A＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 2 3 4 5
（4）如图4，l∥l，求∠A+∠A+…+∠An＝_______．（直接写出结果）
1 2 1 223．（2021·山西大同·七年级期中）探究题：
背景材料：如图①，若 ，则
理由：过 作 ，因为 ，所以， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条
直线也互相平行）
由 ，得 ，由 ，得 ．（两直线平行，内错角相等）
由 ，所以， ，（等量代换）．
（1）希望小组的同学发现，图①中若 ，可得出 ．请说明理由；
（2）雄鹰小组的同学将点 移至图②的位置，此时 ， ， 之间也存在着一种数量关系？请直接
写出结论；
（3）勤奋小组的同学将点 移至图③的位置，此时 ， ， 之间的关系又如何？请写出结论并说
明理由；
（4）创新小组的同学画出了图④，若 ， 与 之间有数量关系？请直接写
出结论．
24．（2021·北京师范大学附属实验中学分校七年级期中）已知，如图1，射线PE分别与直线AB，CD相
交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α°，∠EMF
＝β°，且 ＋|β﹣40|＝0(1)α＝ ，β＝ ；直线AB与CD的位置关系是 ；
(2)如图2，若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存
在的数量关系，并证明你的结论；
(3)若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M 和点N 时，作
1 1
∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中 的值是否改变？若不变，请求
出其值；若变化，请说明理由．
