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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题03 平方差公式与完全平方公式压轴题六种模型
【类型一 利用平方差公式和完全平方公式化简及化简求值问题】
例1.（2022·上海金山·七年级期中）先化简，再求值：（2x）2﹣[（3x﹣1）（3x＋1）﹣（x＋3）（x﹣5）
﹣（2x﹣3）2]，其中x＝﹣ ．
【答案】﹣14x﹣5，2
【解析】
【分析】
先根据平方差公式，多项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，去括号，再合并同类项，
最后代入求出答案即可．
【详解】
解：（2x）2﹣[（3x﹣1）（3x﹣1）﹣（x+3）（x﹣5）﹣（2x﹣3）2]
＝4x2﹣（9x2﹣1﹣x2+5x﹣3x+15﹣4x2+12x﹣9）
＝4x2﹣（4x2+14x+5）
＝4x2﹣4x2﹣14x﹣5
＝﹣14x﹣5，
当x＝﹣ 时，原式＝﹣14×（﹣ ）﹣5＝7﹣5＝2．
【点睛】
本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
【变式训练1】（2022·重庆黔江·八年级期末）化简后求值： ， 其
中：
【答案】 ，19
【解析】
【分析】根据完全平方公式和平方差公式，把代数式去括号，合并同类项，从而将整式化为最简形式，然后把a、b
的值代入即可．
【详解】
解：原式
当 ， 时，原式
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，掌握乘法公式是解题的关键．
【变式训练2】（2021·全国·七年级期中）先化简，再求值： ，
其中 ．
【答案】﹣xy﹣y2，﹣8
【解析】
【分析】
根据平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式运算法则化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化
简后的式子即可解答本题．
【详解】
解： ，
= ，
= ，
=﹣xy﹣y2，
当 时，
原式= （﹣3）2=﹣8．
【点睛】
本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是熟记乘法公式整式的化简求值的方法．【变式训练3】（2022·湖南长沙·八年级期末）己知x，y满足 ．先化简，再求值：
．
【答案】 ，2
【解析】
【分析】
先利用平方差公式，完全平方公式单项式乘以多项式法则计算合并同类项，再计算多项式除以单项式，然
后根据非负数性质求出字母的值，再代入计算即可．
【详解】
解：原式 ，
；
又∵ ， ，
，
∴ ， ，
∴原式= ．
【点睛】
本题考查条件化简求值，非负数性质，乘法公式，掌握条件化简求值，非负数性质，乘法公式是解题关键．
【类型二 通过乘法公式变式求值问题】
例2．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）简答下列各题：
(1)已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；
(2)若a＋ ＝3，那么a2＋ ＝_____；若a－ ＝3，那么a4＋ ＝_____．
【答案】(1)a＋b＝±2；a－b＝0
(2)7，119
【解析】【分析】
（1）根据完全平方公式计算，将代数式的值代入求解即可；
（2）将已知等式利用完全平方公式变形求值即可
(1)
解：∵a2＋b2＝2，ab＝1，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝2＋2＝4，即a＋b＝±2；
（a－b）2＝a2＋b2－2ab＝2－2＝0，即a－b＝0．
(2)
解：∵a＋ ＝3，
∴
若 a－ ＝3，
∴
故答案为：7,119
【点睛】
本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式变形求值是解题的关键．【变式训练1】（2022·四川南充·八年级期末）已知 ， ，则 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根据平方差公式进行计算即可
【详解】
解： ， ， ，
故答案为：
【点睛】
本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
【变式训练2】（2022·湖北荆门·八年级期末）已知a+b=5，ab=-2，那么a2+b2的值为______．
【答案】29
【解析】
【分析】
根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】
解：∵a+b=5，ab=-2，
（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴52=a2+b2-4，
∴a2+b2=29，
故答案为：29．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，涉及代入求值和整体思想．
【变式训练3】（2021·全国·七年级期中）已知a+b=5，ab=﹣2．求下列代数式的值：
(1)a2+b2；
(2)2a2﹣3ab+2b2．【答案】(1)29；
(2)64
【解析】
【分析】
（1）利用已知得出（a+b）2=25，进而化简求出即可；
（2）利用（1）中所求，进而求出即可．
(1)
解：（1）∵a+b=5，ab=﹣2，∴（a+b）2=25，
则a2+b2+2×（﹣2）=25，
故a2+b2=29；
(2)
（2）2a2﹣3ab+2b2
=2（a2+b2）﹣3ab
=2×29﹣3×（﹣2）
=64．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是正确利用完全平方公式求出．
【类型三 展开式是完全平方式问题】
例3．（2022·重庆九龙坡·八年级期末）已知关于x，y的多项式x2﹣2kxy+16y2是完全平方式，则k＝
_____．
【答案】4或-4
【解析】
【分析】
根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出k值．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
解得：k＝±4．
故答案为：4和−4．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键．
【变式训练1】（2022·浙江·宁波市海曙外国语学校七年级开学考试）若 是一个完全平方式，
那么m的值应为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由完全平方公式可知 ，计算求解即可．
【详解】
解：∵
∴由完全平方公式可知
∴
解得
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式．
【变式训练2】（2021·陕西西安·八年级阶段练习）若4x2+（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则k＝_____．
【答案】13或﹣11##﹣11或13
【解析】
【分析】
这里首末两项是2x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3的积的2倍，故k﹣1＝±12，
可求出答案．
【详解】
解：由于（2x±3）2＝4x2±12x+9＝4x2+（k﹣1）x+9，
则k﹣1＝±12，
k＝13或﹣11．
故答案为：13或﹣11．【点睛】
本题考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解题的关键．
【变式训练3】（2022·湖北十堰·八年级期末）若 是完全平方式，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用完全平方公式判断即可确定出 的值．
【详解】
解：由题意知， ，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．
【类型四 利用完全平方配方求最值问题】
例4．（2022·四川省荣县中学校八年级阶段练习）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式
及 的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用， 求代数式x2+4x+5
的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝(x+2)2+1．
∵(x+2)2 ≥0，
∴当x＝﹣2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，
∴(x+2)2+1≥1
∴当(x+2)2＝0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是 ；又如探求多项式的最大(小)值时，我们可以这样处理：
解：原式= ，因为无论x取什么数，都有
的值为非负数，所以 的最小值为0，此时 ，进而 的最小值是
，所以当 时，原多项式的最小值是−22．
解决问题：请根据上面的解题思路，探求：
（2）多项式 的最小值是多少，并写出对应的x的取值．
（3）多项式 的最大值是多少，并写出对应的x的取值．
【答案】（1）3，3；（2）最小值是12， 的值为1．（3）最大值是7， 的值为 ．
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给的解题思路和方法进行求解即可．
（2）根据题目所给的解题思路和方法进行求解即可．
（3）根据题目所给的解题思路和方法进行求解即可．
【详解】
解：（1） ，
∵ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是0，
∴ ，
∴当 时， 的值最小，最小值是3，
∴ 的最小值是3，
故答案为：3，3；
（2）原式= ，因为无论x取什么数，都有 的值为非负数，所以 的最小值为0，此时 ，进而
的最小值是 ，所以当 时，原多项式的最小值是12；
（3）原式= ，
因为无论x取什么数，都有 的值为非负数，所以 的最小值为0，此时 ，
进而 的最大值是 ，所以当 时，原多项式的最大值是7．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的值恒为非负数的特点以及不等式的性
质．
【变式训练1】（2021·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出 的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小丽：能．求解过程如下：因为 ，
因为 ，所以 的最小值是 ．
问题：
（1）小丽的求解过程正确吗？
（2）你能否求出 的最小值？如果能，写出你的求解过程；
（3）求 的最大值．
【答案】（1）正确；（2）能，最小值为-11，见解析；（3）4.
【解析】
【分析】
（1）根据配方法，将 配方成 ，进一步即可进行判断；
（2）利用配方法解题；
（3）先将二次项系数化为1，再利用配方法将整式化简，最后根据平方的非负性解题．
【详解】
解：（1）小丽的求解过程正确；（2） =
∵ ，
∴ 的最小值为 ；
（3）
=
=
∵ ，
∴ 的最大值为4.
【点睛】
本题考查配方法求最值，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.
【变式训练2】（2021·湖南永州·七年级期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题．
小明在学习完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2时，代数式（a±b）2的值具有非负性（即该式的值总是正数
或者0）的特点，在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式x2+6x﹣4的最小值时，我们可以这样处理：
解：x2+6x﹣1＝x2+6x+9﹣10
＝（x2+6x+9）﹣10
＝（x+3）2﹣10．
因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数，所以（x+3）2的最小值为0，当x＝﹣3时，（x+3）2﹣
10的最小值是﹣10，所以当x＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣10．
解决问题：
（1）请根据上面的解题思路探求：多项式x2﹣4x+7的最小值是多少，并写出此时x的值；
（2）请根据上面的解题思路探求：多项式﹣x2﹣2x+5的最大值是多少，并写出此时x的值．
【答案】（1）当x＝2时，原多项式的最小值是3；（2）当x＝﹣1时，原多项式的最大值是6
【解析】【分析】
（1）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；
（2）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．
【详解】
【解：（1）x2﹣4x+7＝（x2﹣4x+4）+3
＝（x﹣2）2+3．
∴当x＝2时，原多项式的最小值是3；
（2）﹣x2﹣2x+5＝﹣（x2+2x+1﹣1）+5
＝﹣（x2+2x+1）+1+5
＝﹣（x+1）2+6．
∴当x＝﹣1时，原多项式的最大值是6．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式和平方的非负性，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式.
【变式训练3】（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）上数学课时，王老师在讲完乘法公
式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学
们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是
；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
【答案】（1）3，3；（2）1，大，−2；（3）y＋x的最小值为−6
【解析】
【分析】（1）配方后即可确定最小值；
（2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值；
（3）首先得到有关x＋y的函数关系式，然后配方确定最小值即可．
【详解】
解：（1）∵x2−6x＋12＝（x−3）2＋3，
∴当x＝3时，有最小值3；
故答案为：3，3；
（2）∵y＝−x2＋2x−3＝−（x−1）2−2，
∴当x＝1时有最大值−2；
故答案为：1，大，−2；
（3）∵−x2＋3x＋y＋5＝0，
∴x＋y＝x2−2x−5＝（x−1）2−6，
∵（x−1）2≥0，
∴（x−1）2−6≥−6，
∴当x＝1时，y＋x的最小值为−6．
【点睛】
考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大．
【类型五 平方差公式在几何图形中的应用】
例5.（2022·广东·深圳市龙岗区实验学校七年级阶段练习）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形
（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是________________（请选择正确的一个）
A.a2－2ab＋b2＝（a－b）2 B.a2－b2＝（a＋b）（a－b）
C.a2＋ab＝a（a＋b） D.a2－ab＝a（a－b）(2)若x2－9y2＝12，x＋3y＝4，求x－3y的值；
(3)计算：（1－ ）（1－ ）（1－ ）…（1－ ）（1－ ）．
【答案】(1)B
(2)3
(3)
【解析】
【分析】
（1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．
（2）利用平方差公式计算即可．
（3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值．
(1)
∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2－b2；图（2）长方形面积
为（a＋b）（a－b）；
∴验证的等式是a2－b2＝（a＋b）（a－b）
故答案为：B．
(2)
∵x2－9y2＝（x＋3y）（x－3y）＝12，且x＋3y＝4
∴x－3y＝3
(3)
（1－ ）（1－ ）（1－ ）…（1－ ）（1－ ）
＝（1＋ ）（1－ ）（1＋ ）（1－ ）…（1＋ ）（1－ ）
＝ ×
＝
＝
【点睛】
本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【变式训练1】（2022·广西·上思县教育科学研究所八年级期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一
个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中阴影部分面积为S，图2中阴影部分面积为S，请用含a、b的代数式表示：S＝ ，S＝
1 2 1 2
（只需表示，不必化简）；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 ；
(3)运用（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014．
【答案】(1) ， ；
(2)平方差公式， ；
(3)1
【解析】
【分析】
（1）利用面积公式计算即可；
（2）由 ，即可得到 = ；
（3）将2016×2014利用平方差公式变形为（2015+1）×（2015-1），再计算乘法及加减法．
(1)
解： ， ，
故答案为： ， ；
(2)
解：∵ ，∴ = ，是平方差公式，
故答案为：平方差公式， ；
(3)
解：20152﹣2016×2014
=
=
=1．
【点睛】
此题考查了平方差公式的应用，平方差公式与几何图形的结合，正确掌握平方差公式的计算是解题的关键．
【变式训练2】（2022·江西·新余四中八年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正
方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的选项）
A. ；B． ；C．
(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①己知 ， ，则 ______．
②计算：
【答案】(1)A
(2)①4；②【解析】
【分析】
（1）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；
（2）①根据平方差公式，4a2-b2=（2a+b）（2a-b），已知2a+b=6代入即可求出答案；
②先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．
(1)
解：图1阴影部分的面积为：a2-b2，
图2阴影部分的面积为：（a+b）（a-b），
∵图1和图2阴影部分面积相等，
∴a2-b2=（a+b）（a-b），
故选：A；
(2)
解：①∵4a2-b2=24，
∴（2a+b）（2a-b）=24，
∵2a+b=6，
∴2a-b=4，
故答案为：4；
②
．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，熟练掌握公式并灵活运用是解题的关键．
【变式训练3】（2022·广东东莞·八年级期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图
1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算： ．
【答案】（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；（2）①7；② ．
【解析】
【分析】
（1）分别表示出图1阴影部分的面积和图2阴影部分的面积，由二者相等可得等式；
（2）①将已知条件代入（1）中所得的等式，计算即可；②利用平方差公式将原式的各个因式进行拆分，
计算即可．
【详解】
解：（1）图1阴影部分的面积为a2-b2，图2阴影部分的面积为（a+b）（a-b），二者相等，从而能验证的
等式为：a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）①∵a-b=3，a2-b2=21，a2-b2=（a+b）（a-b），
∴21=（a+b）×3，
∴a+b=7；
②
=
==
= ．
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何背景及其在计算中的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
【类型六 完全平方公式在几何图形中的应用】
例6．（2022·福建·厦门市湖滨中学七年级期末）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪
刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于___________；
(2)观察图b，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式： ， ，
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得图b中的阴影部分的正方形的边长为m-n；
（2）通过整体计算和部分间和差关系两种方法表示图b中阴影部分面积可得此题结果．
(1)
由题意可得图b中的阴影部分的正方形的边长为m-n；
故答案为：m-n；
(2)∵图b中的阴影部分的面积可表示为：：（m+n）2-4mn或（m-n）2，
∴可得等式：（m+n）2=（m-n）2+4mn．
【点睛】
此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式．
【变式训练1】（2021·上海浦东新·七年级期中）数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种
纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种
纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．
【答案】(1) ；
(2)
(3)① ；②-2
【解析】
【分析】
（1）方法1，由大正方形的边长为（a+b），直接求面积；方法2，大正方形是由2个长方形，2个小正方
形拼成，分别求出各个小长方形、正方形的面积再求和即可；
（2）由（1）直接可得关系式；
（3）①由（a-b）2=a2+b2-2ab=13，（a+b）2=a2+b2+2ab=25，两式子直接作差即可求解；②设2021-a=x，
a-2020=y，可得x+y=1，再由已知可得x2+y2=5，先求出xy=-2，再求（2021-a）（a-2020）=-2即可．(1)
方法一：∵大正方形的边长为（a+b），
∴S=（a+b）2；
方法二：大正方形是由2个长方形，2个小正方形拼成，
∴S=b2+ab+ab+a2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2，a2+b2+2ab；
(2)
由（1）可得（a+b）2=a2+b2+2ab；
故答案为：（a+b）2=a2+b2+2ab；
(3)
①∵（a-b）2=a2+b2-2ab=13①，
（a+b）2=a2+b2+2ab=25②，
由①-②得，-4ab=-12，
解得：ab=3；
②设2021-a=x，a-2020=y，
∴x+y=1，
∵（2021-a）2+（a-2020）2=5，
∴x2+y2=5，
∵（x+y）2=x2+2xy+y2=1，
∴2xy=1-（x2+y2）=1-5=-4，
解得：xy=-2，
∴（2021-a）（a-2020）=-2．
【点睛】
本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握正方形、长方形面积的求法，灵活应用完全平方公式的变形
是解题的关键．
【变式训练2】（2022·广东广州·八年级期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边
长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸
板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．(1)观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
(2)已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
(3)用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．
【答案】(1)（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2=a2+2ab+b2
(2)12
(3)
【解析】
【分析】
（1）由观察图2可得两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）
2=a2+2ab+b2；
（2）由题意得，a2+2ab+b2=49，a2+b2=25，两个等式作差可求得此题结果；
（3）由题意得 = ，从而可解得此题结果．
(1)
解：用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，
关于a，b的等式（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2=a2+2ab+b2；
(2)
由题意得，（a+b）2=a2+2ab+b2=49，a2+b2=25，
∴ab= =12；
(3)
由题意得图3中阴影部分的面积为： = = ，∴当a+b=8，ab=15时，
图3中阴影部分的面积为： ．
【点睛】
此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进
行变式应用．
【变式训练3】（2022·福建龙岩·八年级期末）（1）【观察】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿
图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你
写出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的等量关系：______；
（2）【应用】若m+n=6，mn=5，则m-n=______；
（3）【拓展】如图3，正方形ABCD的边长为x，AE=5，CG=15，长方形EFGD的面积是300，四边形
NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）±4；（3）图中阴影部分的面积为1300．
【解析】
【分析】
（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，可得答案；
（2）将m+n=6，mn=5代入（1）中公式即可；
（3）由正方形ABCD的边长为x，则DE=x-5，DG=x-15，得（x-5）（x-15）=300，设m=x-5，n=x-15，
mn=300，得m-n=10，则S =（m+n）2=（m-n）2+4mn，代入即可．
阴影
【详解】
解：（1）由图形知，大正方形的面积为（a+b）2，中间小正方形的面积为（b-a）2，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，
∴（a+b）2-（a-b）2=4ab，故答案为：（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（2）∵（a+b）2-（a-b）2=4ab，
将m+n=6，mn=5代入得：62-（m-n）2=4×5，
∴（m-n）2=16，
∴m-n=±4，
故答案为：±4；
（3）∵正方形ABCD的边长为x，
∴DE=x-5，DG=x-15，
∴（x-5）（x-15）=300，
设m=x-5，n=x-15，mn=300，
∴m-n=10，
∴S =（m+n）2=（m-n）2+4mn
阴影
=102+4×300
=1300，
∴图中阴影部分的面积为1300．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公
式的几何意义，并能进行公式的变形应用．
【专项训练】
一、选择题
1．（2022·吉林长春·八年级期末）已知 是完全平方式，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
运用完全平方差公式 去括号展开后中间项系数和前后两项系数的2倍关系，可求出m
的值．
【详解】解： 是完全平方式，
故选C
【点睛】
此题主要考察对知识点完全平方公式的理解，数量掌握理解公式展开后中间相和两边项的倍数关系是解答
此题的关键．
2．（安徽省蚌埠市局属初中2020-2021学年七年级下学期第三次联考数学试题）已知m2+n2﹣6m+4n+13＝
0，则2m+n的值（ ）
A．﹣2 B．3 C．4 D．﹣4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据m2+n2﹣6m+4n+13＝0，得出（m﹣3）2+（n+2）2＝0，分别求出m和n值，即可求出2m+n的值．
【详解】
解：∵m2+n2﹣6m+4n+13＝0，
∴m2﹣6m+9+n2+4n+4＝0，
即（m﹣3）2+（n+2）2＝0，
∴m﹣3＝0，n+2＝0，
解得m＝3，n＝﹣2，
∴2m+n＝2×3﹣2＝4，
故选：C．
【点睛】
此题考查了平方非负性的应用以及配方法的应用，解题的关键是将式子表示成完全平方公式的形式．
3．（2022·广东·东莞市光明中学八年级期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】利用完全平方式的特征判断即可确定出m的值．
【详解】
∵x2+2（m-3）x+16是完全平方式，
∴2（m-3）=±8，
即m=7或-1．
故选：D．
【点睛】
本题是完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意
积的2倍的符号，避免漏解．
4．（2021·重庆永川·八年级期末）已知 ，则 的值为（ ）
A．9 B． C．6 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先将代数式展开整理得出完全平方公式的形式，再整体代入计算即可．
【详解】
因为x-y=-3，
所以，原式=(-3)2=9．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式，掌握整体代入的思想是解题的关键．
5．（2022·福建·泉州五中九年级开学考试）已知x，y为实数，且满足 ，记
的最大值为M，最小值为m，则 （ ）．
A． B． C． D．【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意先将u转化为 ，然后再根据 进行配方，确定xy的范围，从而求出u的范围，
得到M，m的大小即可得到答案．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
，
当且仅当 ，
即 ， ，
或 ， 时，等号成立，
∴ 的最小值为 ，
∴ 最小值为： ，
即 ，
∵
，
当且仅当 时，
即 ， ，或 ， 时等号成立，
∴ 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 ，
即 ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了代数式的最值问题，关键是将u转化为 ，再确定 的范围．
二、填空题
6．（2022·陕西·交大附中分校七年级阶段练习）已知（a﹣b）2＝3，（a+b）2＝6，则ab＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的变形解答即可．
【详解】
解：∵（a﹣b）2＝3，（a+b）2＝6，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝6﹣3＝3，
∴ab ．
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．
7．（2022·福建漳州·八年级期末）若a2﹣b2＝6，a+b＝2，则a﹣b＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2即可得出答案．
【详解】
解：∵a2-b2=6，
∴（a+b）（a-b）=6，
∵a+b=2，
∴a-b=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平方差公式，掌握（a+b）（a-b）=a2-b2是解题的关键．
8．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级开学考试）若x2﹣3kx+9是一个完全平方式，则常数k
＝_____．
【答案】±2
【解析】
【分析】
根据完全平方式的结构特征解决此题．
【详解】
解：x2﹣3kx+9＝x2﹣3kx+32．
∵x2﹣3kx+9是一个完全平方式，
∴﹣3kx＝±6x．
∴﹣3k＝±6．
∴k＝±2．
故答案为：±2．
【点睛】
本题考查完全平方式，熟知完全平方式的结构是解答的关键．
9．（2021·全国·七年级期中）若关于x的二次三项式 是完全平方式，则k=____．
【答案】﹣3或1##1或-3
【解析】
【分析】
根据 这个基础，结合安全平方公式有和、差两种形式，配齐交叉项，根据恒等变形的性质，建立等
式求解即可．【详解】
解：∵二次三项式 是完全平方式，
∴ = 或 = ，
∴ 或 ，
解得k=﹣3或k=1，
故答案为：﹣3或1．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，正确理解完全平方公式有和与差两种形式是解题的关键．
10．（2021·江苏南通·八年级期中）已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值是_____．
【答案】9
【解析】
【分析】
利用平方差公式对原式变形，将a-b=3代入后进一步变形，再次代入即可．
【详解】
解：a2-b2-6b=(a+b)(a-b)-6b,
当a-b=3时，原式=3(a+b)-6b=3a+3b-6b=3a - 3b=3(a-b)
当a-b=3时，原式=3×3=9
故答案为：9.
【点睛】
本题考查代数式求值，熟练掌握平方差公式，能进行正确变形是解题关键．
三、解答题
11．（2022·陕西·交大附中分校七年级阶段练习）先化简，再求值：
[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2]÷（6y），其中x＝6，y ．
【答案】x﹣3y；7
【解析】
【分析】
根据平方差公式、完全平方公式和多项式除以单项式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后
的式子即可解答本题．
【详解】解：[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2]÷（6y）
＝（x2﹣9y2﹣x2+6xy﹣9y2）÷（6y）
＝（6xy﹣18y2）÷（6y）
＝x﹣3y，
当x＝6，y 时，
原式＝6﹣3×（ ）＝6+1＝7．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
12．（2022·广东广州·八年级期末）先化简，再求值：（3x＋2y）2﹣（3x＋y）（3x﹣y），其中x＝ ，y
＝﹣1
【答案】 ，1
【解析】
【分析】
先运用完全平方公式和平方差公式将前后两个算式化简，再括号合并同类项，再将数值代入算式中．
【详解】
解：原式
当x＝ ，y＝﹣1时，
．
【点睛】
本题考查整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，能熟练运用乘法公式是解决本题的关键．
13．（2022·福建泉州·八年级期末）先化简，再求值： ，其中 ，
．【答案】 ，3
【解析】
【分析】
先算乘方和乘法，再算加减法，再代入求值即可．
【详解】
解：原式
.
当 ， 时，原式 .
【点睛】
此题考查了整式的化简求值问题，解题的关键是掌握整式加减乘除混合运算法则．
14．（2022·广东·湖景中学八年级阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ，
．
【答案】2x−2y，−3
【解析】
【分析】
利用完全平方公式和平方差公式计算，再利用多项式除单项式的法则计算化简，然后代入数据计算即可．
【详解】
解：
＝
＝（2x2−2xy）÷x，
＝2x−2y，
当x＝−1，y＝ ，原式＝2×（−1）−2× ＝−3．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，平方差公式，合并同类项法则的运用，熟练掌握运算法则是解题的关键．15．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级期中）先化简，再求值：
，其中 ．
【答案】4a2-3ab+2b2，6
【解析】
【分析】
先利用完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项，化简，再将 变形，利用
非负性求出a，b，最后代值计算即可．
【详解】
解：原式=4a2-b2+3（4a2-4ab+b2）-12a2+9ab，
=4a2-b2+12a2-12ab+3b2-12a2+9ab，
=4a2-3ab+2b2，
∵
∴
∴a=-1，b=-2，
∴原式=
=6．
【点睛】
本题考查了平方差公式、完全平方公式、合并同类项、非负性的知识点．注意运算顺序以及符号的处理，
关键是正确化简和利用非负性求出a,b．
16．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学七年级期中）(1) ．
(2)运用乘法公式计算： ．
【答案】(1)
(2)1【解析】
【分析】
（1）利用平方差和完全平方公式求解即可；
（2）利用平方差公式求解即可．
(1)
解：
；
(2)
解：
．
【点睛】
本题主要考查了整式的乘法和平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键．
17．（2022·吉林白城·八年级期末）下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x（x＋2y）－（x＋1）2＋2x
＝（x2＋2xy）－（x2＋2x＋1）＋2x第一步
＝x2＋2xy－x2＋2x＋1＋2x第二步
＝2xy＋4x＋1第三步
（1）小颖的化简过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
（2）写出此题正确的化简过程．
【答案】（1）第二步；去括号时第二、三项没变号；（2）见解析
【解析】
【分析】
根据单项式乘以多项式，完全平方公式运算，去括号再合并同类项进行计算化简【详解】
解：（1）第二步；去括号时第二、三项没变号
故答案为：第二步；去括号时第二、三项没变号
（2）原式
【点睛】
本题考查了整式的化简，掌握运算法则和去括号是解题的关键．
18．（2022·吉林长春·八年级期末）例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
(2)填空：若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
(3)如图所示，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，CF＝2，长方形EMFD的面积
是12，则x的值为 ．
【答案】(1)12
(2)6
(3)5
【解析】
【分析】
（1）根据 代入计算即可；
（2）由于（4-x）+x=4，将 转化为 ，然后代入计算即可；
（3）根据面积公式可得(x-1)(x-2)=12，设x-1=a，x-2=b，再根据 代入得到，进而求出x．
(1)
解：∵x+y=8，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴2xy=24，
∴xy=12；
(2)
解：
=16-2×5
=6，
故答案为：6；
(3)
解：由题意得(x-1)(x-2)=12，
设x-1=a，x-2=b，则ab=12，
∴a-b=(x-1)-(x-2)=1，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴2x-3=±7，
∴x=5或x=-2(舍)．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查完全平方公式，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
19．（2022·四川省渠县中学七年级开学考试）我们在求代数式 的最小值时，可以考虑用如下法求得：
解：
∵ ∴
∴ 的最小值是4．
请用上面的方法解决下面的问题：
(1)代数式 的最小值为______．
(2)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边
用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多
少？
【答案】(1)3
(2)当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【解析】
【分析】
（1）先把代数式配方成（m+1）2+3，再根据（m+1）2≥0，求出代数式的最小值；
（2）先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据函数的性质求最值．
(1)
解：m2+2m+4=m2+2m+1+3=（m+1）2+3，
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+3≥3，
∴m2+2m+4的最小值是3；
故答案为：3；
(2)
解：由题意得：S=x（20-2x）=-2x2+20x=-2（x-5）2+50，
∵（x-5）2≥0，∴-（x-5）2≤0，
∴-（x-5）2+50≤50，
∴当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50m2．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
20．（2022·云南·昆明市第三中学八年级期末）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2
的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最
后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是 ；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，请判断y有最大还是最小值；这个值是多少？此时x等于哪个数？
（3）若﹣x2+3x+y+5＝0，则y+x= （用含x，y的代数式表示） 请求出y+x的最小值．
【答案】（1）3，3；（2）有最大值-2，此时x＝1；（3）x²-2x-5，-6．
【解析】
【分析】
（1）配方后即可确定最小值；
（2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值；
（3）首先得到有关x＋y的关系式，然后配方确定最小值即可；
【详解】
（1）∵x2−6x＋12＝（x−3）2＋3，
∴当x＝3时，有最小值3；
故答案为3，3．
(2) ∵y＝−x2＋2x−3＝−（x−1）2−2，
∴当x＝1时有最大值−2；
故y＝﹣x2+2x﹣3有最大值-2，此时x＝1．(3) ∵−x2＋3x＋y＋5＝0，
∴x＋y＝x2−2x−5＝（x−1）2−6，
∵（x−1）2≥0，
∴（x−1）2−6≥−6，
∴当x＝1时，y＋x的最小值为−6．
故答案为：x2−2x−5，y＋x的最小值为−6．
【点睛】
考查了完全平方公式的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大．
21．（2021·河北邢台·八年级阶段练习）观察：（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH
的边长为b，长方形ABGE和长方形EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积可表示为 （写成平方差
的形式）；
（2）将图1中的长方形ABGE和长方形EFHD剪下来，拼成如图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积
是 （写成多项式相乘的形式）；
探究：（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得等量关系 ；
（4）若7x﹣y＝5，y+7x＝7，则49x2﹣y2＝ ；
应用：（5）利用公式计算：（1﹣ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）+ ．
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）1
【解析】
【分析】
（1）根据图形可得阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，即可求解；
（2）根据图形求得阴影部分的长和宽，即可求解；
（3）由题意可得（1）与（2）式相等；（4）将代数式 写成多项式相乘的形式，即可求解；
（5）利用平法差公式进行求解即可．
【详解】
解：（1）根据图形可得阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，
即 ，
（2）由题意可得，阴影部分的长和宽分别为 、 ，则阴影部分的面积为
故答案为： ，
（3）由题意可得： ，
（4） ，
（5）
，
【点睛】
此题考查了平方差公式的证明以及应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握平方差公式．
22．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中
的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
【答案】（1） ；（2）①4；②20100．
【解析】
【分析】
（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出
，代入求值即可；②利用平方差公式将 写成
，以此类推，然后化简求值．
【详解】
解：（1）图1中阴影部分面积 ，图2中阴影部分面积 ，
所以，得到公式
故答案为 ．
（2）①∵
∴
又∵2a+b＝6，
故答案为4．
②
【点睛】
本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．
23．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期末）探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙
的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是
（用式子表示），即乘法公式中的 公式．（2）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．
【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，平方差；（2）①99.91；②x2﹣6xz+9z2﹣4y2
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得：图甲阴影部分面积等于 ，图乙阴影部分面积等于 ，即可求解；
（2）利用平方差公式，即可求解．
【详解】
解：（1）根据题意得：图甲阴影部分面积等于 ，图乙阴影部分面积等于 ，
∴这个等式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ，即乘法公式中的平方差公式．
（2）①10.3×9.7
＝（10+0.3）（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．
原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2
＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，是解题的关键．
24．（2021·吉林长春·八年级期末）图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线
（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．（1）图②中间空白部分的面积是 （填（a＋b）2、（a－b）2或ab）．
（2）观察图②，请写出代数式（a＋b）2、（a－b）2、ab之间的等量关系式 ．
（3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若x＋y＝4，xy＝3，求x－y的值．
【答案】（1）（a－b）2；（2）（a－b）2＝（a＋b）2－4ab；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知，拼接的图形是一个边长为a+b的正方形，根据正方形面积公式求解即可；
（2）观察图②可知，空白部分的小正方形面积=大正方形面积-阴影部分面积，据此求解即可；
（3）根据（2）中结论进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：图②中间空白部分的面积是（a－b）2；
故答案为：（a－b）2；
（2）由题意得：（a－b）2＝（a＋b）2－4ab；
故答案为：（a－b）2＝（a＋b）2－4ab．
（3）由（2）题关系式可得，
，
∴x－y的值是 ．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值，正确理解题意是解题的关
键．
25．（2021·福建泉州·八年级期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现
一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图 1 所示的正方形与
长方形纸片，可以拼成一个图 2 所示的正方形．请你解决下列问题：
(1)利用不同的代数式表示：图 2 中阴影部分的面积 S，写出你从中获得的等式，并加以证明；
(2)已知（2022−m）（2019−m）=3505，请用（1）中的结论，求 （2022−m）2+（2019−m）2的值．
【答案】(1)（a+b）2−2ab=a 2+b2，证明见解析
(2)7019
【解析】
【分析】
（1）根据用两种代数式表示同一阴影面积得出等式，然后利用完全平方公式展开合并同类项即可；
（2）利用换元思想设 ， 得出 ， ，利用
公式变形求出 即可．
(1)
解：等式为： ，
∵ ， ，
∴ ；
(2)
设 ， ，
∵（2022−m）（2019−m）=3505，
∴ ， ，
，
∴（2022−m）2+（2019−m）2的值=7019．
【点睛】本题考查完全平方公式的变形公式，代数式，换元思想，利用变形公式求解是解题关键．
26．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边
长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，
B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．
方法1 ；
方法2 ．
(2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，àb之间的等量关系为 ；
(3)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为 ；
(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；
②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．
【答案】(1) ，
(2) =
(3)a+b，a+2b
(4)①11；②16
【解析】
【分析】
（1）方法1 由图知，大正方形的边长为a+b，则可求得正方形的面积；
方法2 由图知，大正方形由两个边长分别为a与b的两个小正方形及两个长为b、宽为a的长方形组成，
从而可求得大正方形的面积；
（2）由（1）知，可得（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系；
（3）由于 ，从而可得长方形相邻两边的长；
（4）①由（2）中的等量关系式即可求得ab的值；②考虑到2020比2021小1，2022比2021大1，则x−2020=(x−2021)+1，x−2022=(x−2021)−1，利用（2）中
的等量关系即可求得结果．
(1)
方法1 由图知，大正方形的边长为a+b，则大正方形的面积为 ；
方法2 由图知，大正方形由两个边长分别为a与b的小正方形及两个长为b、宽为a的长方形组成，所以
大正方形的面积为 ；
故答案为：方法1 ；方法2
(2)
由（1）知： 、 均表示同一正方形的面积，所以 =
故答案为： =
(3)
由于
所以面积为a2+3ab+2b2的长方形相邻两边长为a+b，a+2b
故答案为：a+b，a+2b
(4)
①∵ =
即
∴ab=11
②∵x−2020=(x−2021)+1，x−2022=(x−2021)−1
∴
即
∴
∴
【点睛】本题考查了多项式乘多项式与几何图形的面积，完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式的变形应
用等知识，注意数形结合．
27．（2021·广东·深圳市龙岗区南京师范大学附属龙岗学校七年级阶段练习）如图①，是一个长为2m、宽
为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线(对称轴)剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按
图②那样拼成一个正方形(中间是空的)．
(1)图②中画有阴影的小正方形的边长为__________(用含m，n的式子表示)；
(2)观察图②，写出代数式(m＋n)2，(m-n)2与mn之间的等量关系；
(3)根据(2)中的等量关系解决下面的问题：
①若m＋n=7，mn=5，求(m-n)2的值；
②若a＋ =3，求a2＋ 的值．
【答案】(1)m-n
(2)(m＋n)2=(m-n)2＋4mn
(3)①29；②7
【解析】
【分析】
(1)结合图形即可求得；
(2)根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积，即可写出；
(3)根据(2)中关系即可分别求得．
(1)
解：图②中画有阴影的小正方形的边长(m-n)；
(2)
解：∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积，
∴(m＋n)2=(m-n)2＋4mn；
(3)解：①由(2)得：(m＋n)2=(m-n)2＋4mn；
∵m＋n=7，mn=5，
∴(m-n)2=(m＋n)2-4mn=49-20=29；
②∵a＋ =3，
∴ ．
【点睛】
本题考查完全平方公式的意义和应用，理清面积之间的关系是得出等式的关键．
28．（2022·江西赣州·八年级期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块
小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和
S+S＝26，求图中阴影部分面积．
1 2
【答案】(1)（a+b）2=（a-b）2+4ab
(2)m+n=2或-2
(3)图中阴影部分面积为
【解析】
【分析】
（1）利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式；
（2）由（1）得到的关系式求解即可；
（3）设AC=m，BC=n，则m+n=8，m2+n2=26，由（1）得到的关系式求解即可．
(1)解：由图形面积得（a+b）2=（a-b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2=（a-b）2+4ab；
(2)
解：由（1）题所得（a+b）2=（a-b）2+4ab，
∴（m+n）2=（m-n）2+4mn，
∴当mn=-3，m-n=4时，
（m+n）2=42+4×（-3）=4，
∴m+n=2或-2；
(3)
解：设AC=m，BC=n，
则m+n=8，m2+n2=26，
又由（m+n）2=m2+2mn+n2，得
2mn=（m+n）2-（m2+n2）=64-26=38，
∴图中阴影部分的面积为： mn= ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何意义，关键是能用算式表示图形面积并进行拓展应用．
