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4.2 同角三角函数的基本关系及三角函数的诱导公式
思维导图
知识点总结
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系： .
(2)商数关系：＝tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
2kπ＋
角 π＋α －α π－α －α ＋α
α(k∈Z)
正弦 sin α
余弦 cos α
正切 tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限[常用结论]
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称
的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
典型例题分析
考向一 同角三角函数基本关系式的应用
例1 (1)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝________.
(2)已知＝－1，则＝________；sin2α＋sin αcos α＋2＝________.
(3)(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( )
A.sin θ＝ B.cos θ＝－C.tan θ＝－ D.sin θ－cos θ＝
感悟提升 同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可实现角α的弦切互化.
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公
式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断角的符号，当角所在的象限不明确时，
要进行分类讨论.
考向二 诱导公式的应用
例2 (1)(2023·长沙调研)已知sin＝，则cos＝( )
A. B.－
C. D.±
(2)设f(α)＝
(1＋2sin α≠0)，则f＝________.感悟提升 1.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数―――――――→任意正角的三角函数―――――――――――→0～2π
内的角的三角函数――――――――――→锐角三角函数.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
考向三 同角关系式和诱导公式的综合应用
例3 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值；
(3)若cos＝，α∈，求f(α)的值.感悟提升 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间
的联系，灵活使用公式进行变形.
2.注意角的范围对三角函数符号的影响.
基础题型训练
一、单选题
1．下列等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题中，命题正确的是（ ）
A．终边相同的角一定相等
B．第一象限的角是锐角
C．若 ，则角 的三角函数值等于角 的同名三角函数值
D．半径为 ， 的圆心角所对的弧长为
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4． 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 角的终边交单位圆于点A，将A绕原点 顺时针旋转 至 ，则 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．6．如果 ，且 ，那么 的值是 ( )
A． B． 或
C． D． 或
二、多选题
7． （ ）
A． B．
C． D．
8．（多选）若 ， 的终边关于 轴对称，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知 ，且 ，则 _________.
10．已知 ，则 ___________.
11．已知 ，则 _________.
12．已知函数 是定义在 上的奇函数，对 都有 成立，当 且时，有 ．给出下列命题：
（1）
（2） 在[-2，2]上有5个零点
（3）点（2014，0）是函数 的一个对称中心
（4）直线 是函数 图像的一条对称轴．
则正确的是________．
四、解答题
13．设 ，求 .
14．已知函数 ，求 的值.
15．已知 ，求下列各式的值．
（1） ；（2） ．
16．（1）已知 ，求
的值；
（2）已知 ， ，求 的值.
提升题型训练
一、单选题1．已知s ，则 的值为（ ）
A． B．－
C． D．－
2． 的值是（ ）
A． B． C． D．
3．若sin2x>cos2x，则x的取值范围是（ ）
A．{x|2kπ－
