重难点1-1基本不等式求最值（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）_2024年新高考资料_3.2024专项复习_2024年高考数学热点·重点·难点专练（新高考专用）

重难点 1-1 基本不等式求最值 基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决 数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。题型通常为选择题与填空题，但它 的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范 围等。 在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧 性强等特点。在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件 灵活运用。 【题型1 直接法求最值】 满分技巧 条件和问题之间存在基本不等式的关系 转化符号：若含变量的项是负数，则提取负号，将其转化为正数，再利用“公式”求最 值． 乘方：若目标函数带有根号，则先乘方后配凑为和为定值． 【例1】（2023·河南信阳·高三宋基信阳实验中学校考阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的最大值为（ ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】B 【解析】因为 ， ， 则由基本不等式可得 ，所以有 ， 当且仅当 时等号成立.故选：B.【变式1-1】（2023·山东聊城·高三统考期中）已知 ， ，且 ，则 的最小 值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为 ， ，则 ， 当且仅当 时，即 时，等号成立， 所以 的最小值为 .故选：A 【变式1-2】（2023·上海青浦·高三校考期中）若 且满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【解析】因为 ，所以 ， 则 ， 当 ，即 或 时取等号， 所以 的最小值为 . 【变式1-3】（2023·河北保定·高三易县中学校考阶段练习）若 都是正数，且 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】 ， 当且仅当 ，即 ， 时等号成立.【变式1-4】（2023·河南·模拟预测）已知 ，则 的最大值为 ． 【答案】1 【解析】由题意，在 中， ， 当且仅当 时取等号，即 . 【题型2 配凑法求最值】 满分技巧 将目标函数恒等变形或适当放缩，配凑出两个式子的和或积为定值. 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键。 利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变 形； (2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值是 . 【答案】 【解析】由 ，得 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最小值是 . 【变式2-1】（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）已知 ， ，且 ， 则 的最大值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】 ， 当且仅当 时取等号.即 的最大值为 .故选：A【变式2-2】（2023·山西晋中·高三校考开学考试）已知 ，则 的最大值为 （ ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号，因为 ，解得 ，故选：B 【变式2-3】（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知实数 ， 满足 ，则 的 最小值为 . 【答案】4 【解析】 ， 当且仅当 时，取得最小值. 【变式2-4】（2023·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知正实数x，y满足： ， 则 的最大值为 . 【答案】 【解析】 ， 当且仅当 ，即 时取得等号；故 的最大值为 . 【变式2-5】（2023·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知 ， ，则 的 最大值为 .【答案】 【解析】因为 ， ，所以 ， 当且仅当 即 等号成立. 【题型3 消元法求最值】 满分技巧 根据条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有 一个变量的函数，然后转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后 利用基本不等式求解．注意所保留变量的取值范围。 【例3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）实数 满足 ，则 的最 小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为 ，所以 所以 ，当且仅当 取等号故选：D． 【变式3-1】（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知正实数 、 满足 ，则 的 最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正实数 、 满足 ，则 ，可得 ， 所以， ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立，此时， ， 故 的最小值为 .故选：B.【变式3-2】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）已知 ，则 的最 小值为（ ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【解析】由 ， ，即 ，易知 ， 所以 ， 当且仅当 时等号成立，此时 ， 所以 的最小值为 .故选：D 【变式3-3】（2023·重庆·高三渝北中学校考阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为 . 【答案】 / 【解析】由 ，可得 ，因为 ，可得 ， ， 当 时，即 时，等号成立. 所以 的最小值为 . 【变式3-4】（2023·河南洛阳·高三校联考模拟预测）已知 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】由已知得 ，所以 ， 则， 当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为 . 【题型4 “1”的代换求最值】 满分技巧 1、若已知条件中的“１”（常量可化为“１”）与目标函数之间具有某种关系（尤其是 整式与分式相乘模型），则实施“１”代换，配凑和或积为常数. 模型1：已知正数 满足 ，求 的最小值。 模型2：已知正数 满足 求 的最小值。 2、常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【例4】（2023·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知正数a，b满足 ，则 的最小值为 （ ） A．25 B．36 C．42 D．56 【答案】B 【解析】因为 ， ， ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 的最小值为36.故选：B. 【变式4-1】（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）若正数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】正数 ， 满足 ，即 ， 则 ， 当且仅当 即 时等号成立， 所以 的最小值为 ，故选：B. 【变式4-2】（2023·辽宁·高三校联考期中）若正实数 ， 满足 ，则 的最小值 是 . 【答案】 . 【解析】由正实数 ， 满足 ，即 ， 则 ， 当且仅当 且 ，即 ，时等号成立. 【变式4-3】（2023·青海海南·高三校联考期中）已知实数 ， ，且 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】由已知可得， ， 当且仅当 ，且 ，即 ， 时等号成立． 所以， 的最小值为 .【变式4-4】（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）若正数 满足 ， 则 的最小值是 . 【答案】 【解析】根据条件 ，得： ， 又函数 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 都是正数， 所以 ， 当且仅当 时取等，所以最小值为 . 【变式4-5】（2023·河南周口·高三校考阶段练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】 ， 由 ，得 ，故 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立． 故 的最小值为 ． 【题型5 双换元法求最值】 满分技巧 双换元法是“1”的代换更复杂情况的应用，常用于分母为多项式的情况。 3a4b a3b a2b 具体操作如下：如分母为 与 ，分子为 ， a2b3a4ba3b3a43b 设 1    5   31 2    ∴432 ，解得：  5 【例5】（2023·四川巴中·高三统考开学考试）已知 且 ，则 的 最小值为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【解析】由题意 得， ， 令 ，则 ， 由 得 ， 故 ， 当且仅当 ，结合 ，即 时取等号， 也即 ，即 时，等号成立， 故 的最小值为9，故选：B 【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则 的最大值为 ． 【答案】 【解析】令 ， ， 则 ， ， ， ， ，所以 ，所以 ， 当且仅当 ， ，即 ， 时等号成立． 【变式5-2】（2023·山东·高三省实验中学校考期中）已知a，b，c均为正实数， ， 则 的最小值是 . 【答案】 【解析】因为 ，即 ， 设 ，则 ，且 ， 原式 ， 当且仅当 时，即 时，等号成立， 所以 的最小值为 . 【变式5-3】（2023·福建龙岩·高三校联考期中）已知 且 ，则 的最小值为 ． 【答案】8 【解析】由 得 ， 即 ，所以 ， 令 得 所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立.【题型6 齐次化法求最值】 【例6】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知实数 、 满足 ，则 的最 小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ，即 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 的最小值为 ．故选：C． 【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）若 且 ，则 的 最小值为___________. 【答案】 【解析】因为 , , , 所以 ,所以 . 故 ， 当且仅当 ,即 时取等号，结合 ,即 时取等号， 所以最小值为 . 故答案为：【变式6-2】（2022秋·福建南平·高三校考期中）已知实数 ， ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， ， 当且仅当 等号成立， 又 ， 此时 ， .故选：D 【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最大值为 _________． 【答案】 【解析】因为 ，则 ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 则 的最大值为 . 故答案为： . 【题型7 构造不等式求最值】 满分技巧当条件式中给出了"和"与"积"之间的关系时，可以考虑借助基本不等式进行放缩，由条件式 构建得到关于"和"或"积"的不等式，解此不等式即可求得"和"或"积"的最值. 【例7】（2023·广东江门·高三统考阶段练习）已知 ， 且 ，则 的取值范 围为 . 【答案】 【解析】由题意 ，且 ， 当且仅当 时，即 时等号成立， 令 ，则上式为： ，即 ，解得 或 （舍）， 所以 的取值范围为 . 【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 的最小值是 （ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】 ，当且仅当 时取等号， 因此 ，即 ，解得 ， 所以当 时， 取得最小值2.故选：C 【变式7-2】（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知实数 ， 满足 ， ，且 ，则 的最大值为（ ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【解析】由 ，变形为 ，设 ， ∵ ，当且仅当 时，取等号，即 ， ∴ ，∴ ，即 ， ， ∴ ，∴ ， 此时， ，即 ， 时， 的最大值为8.故选：B. 【变式7-3】（2023·全国·高三专题练习）设 ， ，且 ，则 的取值范围 为______. 【答案】 【解析】因为 ， ，则 ， 由基本不等式可得 ，所以， ， 即 ，因为 ，解得 ，即 ， 当且仅当 时，等号成立， 故 的取值范围是 . 故答案为： . 【变式7-4】（2022秋·山西晋中·高三校考阶段练习）已知正数 满足 ，则 的最大值是___________. 【答案】 【解析】设 ，则 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号. 所以 ，解得 ，即 的最大值 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号. 故答案为： 【题型8 多次使用不等式求最值】 满分技巧通过多次使用基本不等式求得代数式最值的过程中，需要注意每次使用基本不等式时等式成 立的条件不同。 【例8】（2023·新疆喀什·统考一模）已知 ，则 的最小值为 . 【答案】 【解析】由 ，可得 ， 当且仅当 时，即 时，等号成立， 所以 的最小值为 . 【变式8-1】（2023·上海徐汇·高一上海中学校考期中）若x，y，z均为正实数，则 的最大值是 ． 【答案】 【解析】 ， 所以 ， 当且仅当 时取到等号. 【变式8-2】（2023·辽宁丹东·高三凤城市第一中学校考阶段练习）若 ，则 的最小值为 . 【答案】4 【解析】由完全平方公式可知： ，当且仅当 时取等号， 所以有 ，当且仅当 时取等号. 【变式8-3】（2023·天津宁河·高三芦台第一中学校考期末）已知 ，则 的最小值是 ．【答案】 【解析】 ， ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值是 . （建议用时：60分钟） 1．（2023·广东·高三统考学业考试）若 ，则 的最小值（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】 ，当且仅当 时取等号.故选：C 2．（2023·河北·高三统考阶段练习）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ） A．8 B．16 C．12 D．4 【答案】A 【解析】令 ，则 ， 可得 ， ， 则 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值为8.故选：A. 3．（2023·黑龙江牡丹江·高一牡丹江第三高级中学校考期中）已知 ，则 的最小 值是（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D【解析】已知 ，则 ， ， 当且仅当 ，即 时“ ”成立， 故所求最小值是16.故选：D． 4．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知 ， 且 ，则 的最小值 为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ， ， ，所以 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时等号成立， 所以 的最小值为 .故选：C． 5．（2023·全国·模拟预测）已知点 在直线 上，则 的最小值为（ ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【解析】因为点 在直线 上，则 ，即 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时，其取得最小值4.故选：C． 6．（2023·广东肇庆·高三统考阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的最大值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】因为 ，所以 ， 设 ，则 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故选：B 7．（2023·重庆·高三渝北中学校考阶段练习）若 都是正实数，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】 ， 即 ， ， 当 ，即 时等号成立. 即 ，则 ， 则 ，解得： ， ， 或 ，解得： ， ， 所以 的最小值为 .故选：A 8．（2023·河南·高三校联考期中）已知正数 满足 ，则 的最小值 为（ ） A．16 B． C．8 D．4 【答案】D 【解析】由正数 满足 ，可得 ，即 ， 则 ， 当且仅当 时，即 时，等号成立，所以 又由 ， 所以 的最小值为 .故选：D. 9．（2023·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）已知正实数 满足 ，则 的最小 值为（ ）A．9 B．8 C．3 D． 【答案】C 【解析】由条件知 ， ， 当且仅当 时取等号.故选：C 10．（2022·重庆·高三统考阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的最 小值为（ ） A．10 B．9 C． D． 【答案】C 【解析】由已知，令 ， ， 所以 ， ，代入 得： ， 因为 ， ， 所以 . 当且仅当 时，即 时等号成立. 的最小值为 .故选：C. 11．（2023·湖北·高三校联考期中）（多选）已知 ， ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为 ， ，且 ，且 ， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立，故A正确； 易知 ，即 ，所以 ，所以 ，故 ， 当且仅当 时取等号，故B正确； 因为 ，又 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，故C正确； 因为 ， ，且 ，所以 ， 当且仅当 时取等号，又 ， 所以 ，故D错误.故选：ABC 12．（2023·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）（多选）已知 ， ， ，则（ ） A． 的最小值为9 B． 的最小值为 C． 的最大值为 D． 的最小值为 【答案】CD 【解析】A：因为 ， ， ， 所以 ， 当且仅当 时取等号， 取得最小值 ，错； B： ，二次函数的性质知， 当 ， 时 取得最小值 ，错； C：因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号， 对； D： ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，对.故选：CD 13．（2023·山东·高三济南一中校联考期中）（多选）若实数 满足 ， 则（ ） A．当 时， 有最大值 B．当 时， 有最大值 C．当 时， 有最小值 D．当 时， 有最小值 【答案】ACD 【解析】当 时， ， 当且仅当 时等号成立， 有最大值，最大值为18，选项A正确； 当 时， ，设 ，则 化 ，因为 ， ， 所以方程 有两不等实根 ， ， 只要 ，则 ，即方程 有两个不等正根， 相应的关于 的方程 都有实数解， 所以 取任意大的正实数，都存在 使之成立， 从而 即 没有最大值，选项B错误； 当 时， ， 当且仅当 时，即 时， 有最小值，最小值为－6，选项C正确； 当 时， ， 当且仅当 时等号成立， 有最小值，最小值为 ，选项D正确．故选： ACD． 14．（2023·全国·高三模拟预测）（多选）实数 ， 满足 ，则（ ） A． B． 的最大值为 C． D． 的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A选项，由 ，得 ，所以 ，当且仅当 时取“=”，故A正确； 对于B选项，令 且 ，则 ， 其中 ， ， 又 ，所以 的最大值为1， 所以 的最大值 ，故B错误； 对于C选项，由B中的分析知， ， 其中 ， ， 又 ，所以 ，故C正确； 对于D选项，令 ，则 ， 且 ，所以当 时， 取最大 ，故D正确.故选：ACD. 15．（2023·山东烟台·高三统考期中）若 ， ， ，则 的最小值为 . 【答案】 【解析】 ， ， ， 则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 的最小值为8. 16．（2023·重庆·高三统考期中）已知x， ，且 ，则 的最大值为 ． 【答案】【解析】设 ， 由 得 ， ，解得 ， 时， . 17．（2023·上海宝山·高三校考期中）当 时， 的最小值是 . 【答案】 【解析】因为 ， ， 其中 ， 当且仅当 时，即 时，等号成立， 此时 即 的最小值是 . 18．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小值 为 ． 【答案】 【解析】依题意得， ，则 ， 故 ， 当且仅当 时等号成立，又 ， 解得 ，所以 的最小值为 . 19．（2023·江苏南通·高一统考期中）已知 ， ， ，则 的最小值 为 . 【答案】 【解析】因为 ， 所以 ， 因为 ， ，所以 ， 当且仅当 时取等号， 即 时， 有最小值 . 20．（2023·山西·校考模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值是 . 【答案】8 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ，所以 . 又 ，所以 ，即 ， 即 ，所以 ， 则 ，当且仅当 时，等号成立.