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重难点 2-2 抽象函数及其应用 8 大题型
抽象函数指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成
的数学问题叫做抽象函数问题。抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表
现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之
一。
【题型1 抽象函数的定义域问题】
满分技巧
求抽象函数的定义域
①已知 的定义域，求 的定义域：
若 的定义域为 ，则 中 ，解得 的取值范围即为 的定义域;
②已知 的定义域，求 的定义域：
若 的定义域为 ，则由 确定 的范围，即为 的定义域；
③已知 的定义域，求 的定义域:
可先由 定义域求得 的定义域，再由 的定义域求得 的定义域；
④运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交
集.
注意：求抽象函数的定义域，要明确定义域指的是 的取值范围，同一个 下括号内的范围是一样的.
【例1】（2023·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）已知函数 的定义域是 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 的定义域是 ，所以 ，所以 ，所以函数 的定义域为 ，
所以要使函数 有意义，则有 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，故选：A.
【变式1-1】（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若函数 的定义域为 ，
则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 的定义域为 ，则 ，可得 ，
所以，函数 的定义域为 ，
对于函数 ，则有 ，解得 ，
因此，函数 的定义域为 .故选：C.
【变式1-2】（2023·新疆阿克苏·高三校考阶段练习）已知函数 的定义域是 ，则函数
的定义域是 .
【答案】
【解析】依题意，函数 的定义域是 ，
所以对于函数 来说，有 ，
所以函数 的定义域是 .
【变式1-3】（2023·福建莆田·高三莆田一中校考开学考试）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为 .
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，
则由 有意义，得 ，解得 ，即 ，
所以函数 的定义域为 .【变式1-4】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第三十二中学校校考阶段练习）已知函数 的定义
域是 ，则函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为 ，
所以 ，则 ，所以函数 的定义域为 .
【题型2 抽象函数的求值问题】
满分技巧
以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽
象代数式的值。常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令 等特殊值求抽象函数
的函数值。
【例2】（2024·山西晋城·统考一模）已知定义在 上的函数 满足 ，
， ，且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】令 ，得 ，即 ①
因 ②，联立①②解得： 或 ，
又 ，所以 ．故选：B.
【变式2-1】（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知函数 的定义域为 ， ，
且 ，则 （ ）
A．0 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【解析】令 ，解得 ，
逐项带入 ，故选：C.
【变式2-2】（2023·贵州遵义·高三校考阶段练习）已知函数 满足 ，
则 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】令 ，得 ；
令 ， ，得 ；令 ， 得 .
将以上三式相加得 ，即 ，故选：A．
【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）设函数 的定义域是 ，且对任意正实数 ，y，都有
恒成立，已知 ，则 .
【答案】－1
【解析】令 ，得 ，
所以 ，解得 ，
，解得 .
【变式2-4】（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）对于任意的实数 、 ，函数 满足关系式
，则 ．
【答案】
【解析】依题意，取 ，有 ，则 恒成立，
取 ，则 .
【题型3 抽象函数的解析式问题】
满分技巧
①换元法：用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出f(x)；
②凑合法：在已知 的条件下，把 并凑成以 表示的代数式，再利用代换即可求
；
③待定系数法：已知函数类型, 设定函数关系式, 再由已知条件，求出出关系式中的未知系数；
④利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式；
⑤赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出 的表达式；
⑥方程组法：一般等号左边有两个抽象函数(如 )，将左边的两个抽象函数看成两个变量，变
换变量构造一个方程，与原方程组成一个方程组，利用消元法求 的解析式.
【例3】（2023·江苏扬州·高三统考开学考试）写出满足 的函数的解析式
．
【答案】
【解析】 中，令 ，得 ；
令 得 ，故 ，则 ．【变式3-1】（2024·海南海口·高一海南中学校考期末）已知函数 的定义域为R，且
， ，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）．
【答案】1, （答案不唯一）
【解析】令 ，则 ，
又 ，所以 ，即 ，
所以函数为偶函数，
不妨取偶函数 ，则 ，
也可取 ，则 ，满足题意.
故答案为： , （答案不唯一）
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)满足 ，并且对任意实数x，y都
有 ，求 的解析式.
【答案】
【解析】对任意实数 ， ， ，
令 ，得 ，即 ，
又 ，所以 .
【变式3-3】（2023·江苏·高一课时练习）设 是R上的函数， ，并且对于任意的实数 都
有 ，求 .
【答案】
【解析】由已知条件得 ，又 ，
设 ，则 ，
所以 即
∴ .
此时 ,
而 ,
符合题设要求，故 .
【题型4 抽象函数的值域问题】
【例4】（2024·全国·高三专题练习）若函数 的值域是 ，则函数 的值域为
．
【答案】【解析】因为函数 的值域是 ，
所以函数 的值域为 ，
则 的值域为 ，
所以函数 的值域为 ．
【变式4-1】（2022·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
，若函数 在区间 上的值域为 ，则 在区间 上的值域是
.
【答案】
【解析】因为 是 上周期为1的函数，
，
故对任意的整数 ，当 时， ，
而 ，
，即 ，
故当 ，
当 ，
当 ，
当 ，
当 ，
当 ，
当 ，
当 .
则 在 的值域是
【变式4-2】（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）已知 ，且 的定义域为 ， ，
值域为 ， ，设函数 的定义域为 ､值域为 ，则 （ ）
A． B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【解析】因为 ，且 的定义域为 ， ，值域为 ， ，
则 的定义域为 ， ，值域为 ， ，由 得 ，
所以 的定义域为 ， ，值域为 ， ，则 ， ， ， ，所以 ，故选：C.
【变式4-3】（2023·湖南·高三祁东县第一中学校联考阶段练习）（多选）已知函数 的定义域和值域
均为 ，则（ ）
A．函数 的定义域为 B．函数 的定义域为
C．函数 的值域为 D．函数 的值域为
【答案】ABC
【解析】函数 中的x需满足 ，解得 ，
故函数 的定义域为 ，故A正确；
函数 中的x需满足 解得 ，
故函数 的定义域为 ，故B正确；
函数 和 的值域都为 ，故C正确，D错误．故选：ABC．
【变式4-4】（2022·全国·高三课时练习）已知函数 的定义域是 ，值域为 ，则下列四个函
数① ；② ；③ ；④ ，其中值域也为 的函数个
数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于①，因为 ，则 ，①不满足条件；
对于②，对于函数 ， ，则函数 的值域为 ，②满足条件；
对于③，因为 ，则 ，③满足条件；
对于④，因为 ， ，则 ，④满足条件.故选：B.
【题型5 抽象函数的单调性问题】
满分技巧
判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
①若给出的是“和型”抽象函数 ，判断符号时要变形为：
或 ;
②若给出的是“积型”抽象函数 ，判断符号时要变形为：或 .
【例5】（2023·河北·高三泊头市第一中学校联考期中）已知函数 对于任意x， ，总有
，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为
．
【答案】
【解析】令 得 ，
令 ，得 ，则 为奇函数，
设 ，则 ，
因为当 时， ，所以 ，则 ，
所以 在R上单调递增．
由 ，得 ，
所以 ．
可化为 ，所以 ，解得 ．
【变式5-1】（2023·江西上饶·高三校考阶段练习）（多选）已知定义在 的函数 满足：当
时，恒有 ，则（ ）
A． B．函数 在区间 为增函数
C．函数 在区间 为增函数 D．
【答案】ABD
【解析】依题意，当 时，恒有 ，
令 ，则 ，所以A选项正确.
不妨设 ，设 ， ，
由于 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 在 为增函数，所以B选项正确.
设 的符号无法判断，所以 的单调性无法判断，所以C选项错误.
由上述分析可知，函数 在 为增函数，
所以 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ，
所以
，所以D选项正确.故选：ABD
【变式5-2】（2023·江西上饶·高三婺源县天佑中学校考期中）已知定义在 上的函数 满足：①对
， ， ；②当 时， ；③ .
（1）求 ，判断并证明 的单调性；
（2）若对任意的 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ； 在 上的单调递增，证明见解析；（2）
【解析】（1）令 ，得 ，解得 ； 在 上的单调递增.
证明如下：任取 ，即 ，
则 ，
因为 时， ，所以 时， ，
所以 在 上的单调递增.
（2）令 ，得 ，
因为 ，所以 ，
不等式 等价于 ，
即 ；
因为 在 上单调递增，所以 恒成立，
① 时， ，解得 ，不等式并非在 上恒成立；
② 时，只有 满足条件，解得 .
综上可得 .【变式5-3】（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）函数 的定义域为 ，对于 ，
， ，且当 时， ．
（1）证明： 为减函数；
（2）若 ，求不等式 的解集．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）设 ，且 ，则 ， ，
因为 ，
所以 ，即 为减函数.
（2）因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 ，
又因为 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
【变式5-4】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 对任意实数 恒有
成立，且当 时， .
（1）求 的值;
（2）判断 的单调性，并证明;
（3）解关于 的不等式: .
【答案】（1） ；（2） 是 上的减函数，证明见解析；（3）答案见解析
【解析】（1）因为函数 对任意实数 恒有 成立，
令 ，则 ，所以 .
（2）函数 为 上的减函数.
证明:令 ，则 ，所以 ，故 为奇函数.
任取 ，且 ，则 ，
因为当 时， ，所以 ，所以
，
即 ，所以 是 上的减函数.
（3）根据题意，可得 ，
由（2）知 在 上单调递减，所以 ，
即 ，可得 ，
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
【题型6 抽象函数的奇偶性问题】
满分技巧
奇偶性：抽象函数奇偶性判定的根本依据是函数奇偶性的定义，判断 和 的关系.
【例6】（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）（多选）已知 是定义在 上不恒为0的偶
函数， 是定义在 上不恒为0的奇函数，则（ ）
A． 为奇函数 B． 为奇函数
C． 为偶函数 D． 为偶函数
【答案】BCD
【解析】由题意可知， ，所以 ，所以 为偶函数，A项错误；
由 ，得 ，所以 为奇函数，B项正确；
因为 ，所以 为偶函数，C项正确；
因为 ，所以 为偶函数，D项正确.故选：BCD.
【变式6-1】（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知 ， 都是定义在 上且不恒为0的函
数，则（ ）
A． 为偶函数
B． 为奇函数
C．若 为奇函数， 为偶函数，则 为奇函数
D．若 为奇函数， 为偶函数，则 为非奇非偶函数
【答案】AD
【解析】选项A：设 ，因为 是定义在 上的函数，所以 的定义域为 ，
，所以 为偶函数，故A正确；
选项B： ，
因为 是定义在 上的函数，所以 的定义域为 ， ，
所以 为偶函数，故B错误；
选项C：设 ，
因为 ， 都是定义在 上的函数，所以 的定义域为 ，
因为 为奇函数， 为偶函数，所以 ，
所以 为偶函数，故C错误；
选项D：设 ，
因为 ， 都是定义在 上的函数，所以 的定义域为
，
因为 是不恒为0的函数，
所以 不恒成立，所以 不是奇函数
，
因为 是不恒为0的函数，所以 不恒成立，
所以 不是偶函数，所以 是非奇非偶函数，故D正确，故选：AD.
【变式6-2】（2023·江苏扬州·高三仪征市第二中学校考期中）已知 ，且
，则 是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶函数 D．不能确定
【答案】A
【解析】取 ，则 ，因为 ，所以 .
取 ，则 ，即 .
即函数 是偶函数，故选：A
【变式6-3】（2023·重庆·高三统考阶段练习）（多选）已知定义在 上的函数 满足
，定义在 上的函数 满足 ，则（ ）
A． 不是奇函数 B． 既是奇函数又是偶函数
C． 是奇函数 D． 既不是奇函数又不是偶函数
【答案】BC
【解析】令 ，得 ，令 ，得 ，则 ，所以 既是奇函数又是偶函数．
由 ，得 ，
因为 ，所以 是奇函数．故选：BC
【变式6-4】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
， ， ，且 ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）判断 的奇偶性，并证明．
【答案】（1） ， ， ；（2）偶函数，证明见解析
【解析】（1）令 ，得 ，
因为 ，所以 ．
令 ，得 ，
因为 ，所以 ．
令 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
（2） 为偶函数．
证明如下：令 ，得 ，
由（1）得 ，
即 ，又 的定义域为 ，所以 为偶函数．
【题型7 抽象函数的周期性问题】
满分技巧
函数周期性的常用结论（ 是不为0的常数）
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 ；
（4）若 ，则 ；
（5）若 ，则 ；
（6）若 ，则 （ ）；
【例7】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 的定义域为R，对任意实数 ，都满足且， ，当 时， ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，有 ，可得 ，所以 的周期为2．
令 ，代入 ，可得 ，所以 ，
故函数 为奇函数，
所以
因为 ，所以 ，所以 ．故选：C
【变式7-1】（2023·重庆开州·高三重庆市开州中学校考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且对任
意实数 ， 满足 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】因为 且 ，
令 ， ，
则 ，故 ，即 ，
所以： ， ，
所以函数 是周期为6的周期函数.
在 中，
令 ， ，得 ，则 ；
令 ， ，得 ，则 ；
由 得：
， ， ， ，
所以
故由函数的周期性知 中，
任意连续6个数之和为 ，而 ，
所以 ，故选：B
【变式7-2】（2024·福建厦门·统考一模）已知函数 的定义域为 ， ， ，，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，得 ，所以函数 为偶函数，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
， 或 ，
若 ，解得 与已知 矛盾，
，即 ，解得 ， ，
令 ，得 ，
， ， ，
，所以函数 的周期为4.
，故选：A.
【变式7-3】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数 的定义域为 ，且
， ，则 （ ）
A．2024 B． C． D．0
【答案】D
【解析】由题意，
在 中， 定义域为 ， ，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，
即
当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
当 时， ，解得： ，
函数值周期性变化，周期为3，
∵ ，
可得：
，故选：D.【变式7-4】（2023·陕西咸阳·高三统考期中）已知函数 的定义域为 ，且
， ，则 .
【答案】
【解析】依题意， ， ，
令 得 ，
所以 ，则 ，
，
所以 ，
所以 是周期为 的周期函数.
令 ，则 ，
，
，
，所以 ，
因为 ，所以 .
【题型8 抽象函数的对称性问题】
满分技巧
1、轴对称：
（1）函数 关于直线 对称
（2）函数 关于直线 对称 .
2、中心对称：
（1）函数 关于点 对称 ；
（2）函数 关于点 对称
3、函数的奇偶性和对称性的关系：
（1）若 为奇函数，则 关于 对称；
（2）若 为偶函数，则 关于 对称；
（3）若 为奇函数，则 关于 对称；
（4）若 为偶函数，则 关于 对称.
【例8】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知对任意实数x，y，函数 (不是常函数）满足，则 （ ）
A．有对称中心 B．有对称轴 C．是增函数 D．是减函数
【答案】B
【解析】令 ，得 ，∴ ；
令 ，得 ，∴ ；
令 ，得 ，
∴ 的图象关于直线关于 对称，故选：B.
【变式8-1】（2023·四川南充·高三南充高级中学校考阶段练习）已知定义在 上的函数 满足
，且与曲线 交于点 ， ，…， ，则
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 可得 ，
所以 关于 对称，
又 关于 对称，
因此 ，故选：B
【变式8-2】（2024·湖南邵阳·统考一模）（多选）已知函数 与其导函数 的定义域均为 ，且
和 都是奇函数，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 关于 对称 B． 关于 对称
C． 是周期函数 D．
【答案】ACD
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 的图象关于直线 对称.故A正确；
因为 为奇函数，则其图象关于 对称，
向左平移一个单位后得到 的图象，则 的图象关于 对称，故B错误；
因为 为奇函数，则 ，则有 ，所以 ①,
又 ，则 ②,
由①② ，则 ，
则 ， ，则 ，
所以8是函数 的一个周期.， 是周期函数，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，
，
所以 ，故D正确，故选：ACD.
【变式8-3】（2024·河南漯河·高三统考期末）（多选）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，
若函数 为奇函数，函数 为偶函数， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由 为奇函数可得 ，即 ，
，即 ，即 ，
所以函数 的图像关于直线 对称，
由 是偶函数可得 为奇函数，
，即 ，
所以函数 的图像关于点 对称；
将 代入 ，得 ，
将 代入 ，得 ，B选项正确；
将 代入 得 ，得 ，A选项错误；
，C选项正确；
将 代入 ，得 ，
故 ， ，D选项错误.故选：BC.【变式8-4】（2024·湖南邵阳·统考一模）（多选）已知函数 与其导函数 的定义域均为 ，且
与 均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ）
A． 关于 对称 B． 关于点 对称
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A项，因为 为偶函数，所以 关于 对称.
若 关于 对称，则导函数 关于点 对称，
这与 关于 对称矛盾，所以A错误；
对于B项，因为 为偶函数，所以 ，即 ，
所以 ，所以B正确；
对于C项，因为 为偶函数，所以 为奇函数，
所以 关于 对称， 关于 对称，所以 .
又 关于 对称，所以 .
所以， ，
所以 ，故C正确；
对于D项，由A知， 关于点 对称， .
但 无法确定.故D错误，故选：BC.
（建议用时：60分钟）
1．（2022·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）若函数 的定义域是 ，则函数
的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的定义域是 ， 满足 ，即 ，
又分母不为0，则 ，所以函数 的定义域为： ，故选：C.
2．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若函数 的定义域为 ，则
的定义域为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知 ，所以 ，所以 的定义域为 ，
从而 的定义域为 ，故选：D.
3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）下列函数中，满足 的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】（方法1）令 ，则 ， ．
由于 ，即 ，所以 ．
而满足 的函数有对数函数 （ ， ），
所以 ，只有B选项符合题意，其它选项均不符合．
（方法2）令 ，则 ，得 ．
在四个选项中，只有B选项满足 ，其它选项均不符合．故选：B
4．（2022·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）已知函数 满足： ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
令 得： ，
因为 ，所以 ，
令 ， 得： ，即 ，
则 ，
上面两式子联立得： ，所以 ，
故 ，故 是以6为周期的函数，
且 ，
所以 ，故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 定义域为 ，对 ，恒有
，则下列说法错误的有（ ）
A． B．C． D．若 ，则 周期为
【答案】A
【解析】由 ，
令 ， ，有 ，可得 或 ，A错；
当 时，令 ，则 ， ，
函数 既是奇函数又是偶函数， ，
当 时，令 ，则 ，则 ，
函数 是偶函数， ，综上，B正确；
令 ，则 ，故 ，
由于 ，令 ，即 ，即有 ，C正确；
若 ，令 ，则 ，
所以 ，则 ，
，
所以 ，则 周期为 ，D正确，故选：A
6．（2023·福建·校联考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且对任意非零实数 ，
都有 .则函数 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
【答案】B
【解析】令 ，则 ，所以 .
令 ，则 ，所以 .
令 ， ，则 ，
所以 为偶函数，故排除D选项；
由题意可知，函数 满足定义域为 ，且对任意非零实数 ，
都有 ，
符合题意，但 不为奇函数，故排除AC，故选：B.
7．（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函
数，且 在 单调递减，则（ ）
A． 在 单调递减 B． 在 单调递减
C． 在 单调递减 D． 在 单调递减
【答案】D
【解析】不妨设 ，满足题意，此时 在 单调递增，故A选项错误；
在 单调递增，故B选项错误；
在 单调递增，故C选项错误；
对于D选项，因为 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，
所以有 ，
又 在 单调递减，且当 时，有 ，
所以由复合函数单调性可知， 在 上分别单调递增、单调递
减，
不失一般性，不妨设 ，则 ， ，
所以 在 单调递减，故D选项正确，故选：D.
8．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）（多选）若函数 的定义域为 ，且
， ，则（ ）
A． B． 为偶函数 C． 的图象关于点 对称 D．
【答案】BCD
【解析】对于A，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，故A错误；
对于B，令 ，则 ，则 ，故B正确；
对于C，令 得， ，所以 ，
令 得， ，则 的图象关于点 对称，故C正
确；
对于D，由 得 ，
又 ，所以 ，则 ， ，
所以 ，则函数 的周期为 ，
又 ， ，则 ， ，
则 ，
所以 ，故D正确，故选：BCD.
9．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选）已知不恒为0的函数 ，满足 ， 都有
．则（ ）
A． B． C． 为奇函数 D． 为偶函数
【答案】BD
【解析】令 ，则 ，∴ 或1．令 ，则 ，若 ，则 ，与 不恒为0矛盾，
∴ ，∴选项B正确选项A错误；
令 ，则 ，∴ ，∴ 为偶函数，
∴选项D正确选项C错误，故选：BD．
10．（2024·广东汕头·高三统考期末）（多选）已知定义在 上的函数 满足： ，
，且当 时， ，若 ，则（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为 ， ，
令 ，得 ，则 ，故A正确；
对于C，令 ，得 ，则 ，所以 ，故C正
确；
对于B，设 且 ，则 ，
则 ，
因为当 时， ，所以 ，即
所以 在 上单调递增，故B错误；
对于D，令 ，得 ，
则 ， ， ， ，
上述各式相加，得 ，
又 ，所以 ，故D错
误；
故选：AC.
11．（2023·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：
的函数解析式为 .
【答案】
【解析】 中，令 ，解得 ，
令 得 ，故 ，
不妨设 ，满足要求.
12．（2023·四川泸州·统考一模）若函数 对一切实数 ， 都满足 且，则 ．
【答案】
【解析】由题知， ，
令 ， ，则 ，所以 .
13．（2023·全国·模拟预测）若函数 的定义域为 ，且 ，
，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，
令 ，有 ，则 或 ．
若 ，则令 ， ，
有 ，得 ，与已知 矛盾，所以 ．
令 ，有 ，
则 ，得 ．
令 ， ，有 ，得 ．
令 ， ，有 ，得 ．
令 ， ，有 ，得 ．
令 ， ，有 ，得 ．
令 ， ，有 ，得 ．
令 ，有 ，得 ，
令 ，有 ，即 ，
所以 ，故 ，
所以 的周期为12．
又因为 ，
所以 ．
14．（2023·辽宁·高三校联考开学考试）定义在R上的函数 对任意 ，都有
，当 时， .（1）求 的值；
（2）试判断 在R上的单调性，并说明理由；
（3）解不等式 .
【答案】（1） ；（2） 在R上单调递增，理由见解析；（3）
【解析】（1）令 ，可得 ，解得 .
（2） 在R上单调递增，理由如下：
设 ，则 ，
，
因为当 时， ，所以 ，
则 ，即 .
故 在R上单调递增；
（3） ，即 ，
因为 在R上单调递增，所以 ，解得 ，
故原不等式的解集为 .
15．（2023·四川绵阳·高三江油中学校考阶段练习）已知函数 对任意 ， ，总有
，且当 时， ， ．
（1）求证： 是 上的奇函数；
（2）求证： 是 上的减函数；
（3）若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】（1）证明：函数 对任意 ， ，总有 ，
令 ，则 ，解得 .
令 ，得到 ，
则可证， 是 上的奇函数.
（2）证明：在 上任取 、 且 ，则 ，
由（1） 是 上的奇函数，
所以 ，
因为 ，所以 .
由题可知，当 时， ，
所以 .即
所以函数 是 上的减函数.（3）因为 ，
令 ，则
令 ，则 .
因为 ，
所以
又因为函数 是 上的减函数，
所以 ，则 ，解得 ，
则实数 的取值范围是 .
