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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题03 平方差公式与完全平方公式压轴题六种模型
【类型一 利用平方差公式和完全平方公式化简及化简求值问题】
例1.（2022·上海金山·七年级期中）先化简，再求值：（2x）2﹣[（3x﹣1）（3x＋1）﹣（x＋3）（x﹣5）
﹣（2x﹣3）2]，其中x＝﹣ ．
【变式训练1】（2022·重庆黔江·八年级期末）化简后求值： ， 其
中：
【变式训练2】（2021·全国·七年级期中）先化简，再求值： ，
其中 ．
【变式训练3】（2022·湖南长沙·八年级期末）己知x，y满足 ．先化简，再求值：
．
【类型二 通过乘法公式变式求值问题】
例2．（2022·广东·深圳市龙华中学七年级阶段练习）简答下列各题：
(1)已知a2＋b2＝2，ab＝1，求a＋b和a－b的值；
(2)若a＋ ＝3，那么a2＋ ＝_____；若a－ ＝3，那么a4＋ ＝_____．
【变式训练1】（2022·四川南充·八年级期末）已知 ， ，则 _____．【变式训练2】（2022·湖北荆门·八年级期末）已知a+b=5，ab=-2，那么a2+b2的值为______．
【变式训练3】（2021·全国·七年级期中）已知a+b=5，ab=﹣2．求下列代数式的值：
(1)a2+b2；
(2)2a2﹣3ab+2b2．
【类型三 展开式是完全平方式问题】
例3．（2022·重庆九龙坡·八年级期末）已知关于x，y的多项式x2﹣2kxy+16y2是完全平方式，则k＝
_____．
【变式训练1】（2022·浙江·宁波市海曙外国语学校七年级开学考试）若 是一个完全平方式，
那么m的值应为______．
【变式训练2】（2021·陕西西安·八年级阶段练习）若4x2+（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则k＝_____．
【变式训练3】（2022·湖北十堰·八年级期末）若 是完全平方式，则 ______．
【类型四 利用完全平方配方求最值问题】
例4．（2022·四川省荣县中学校八年级阶段练习）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式
及 的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用， 求代数式x2+4x+5
的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝(x+2)2+1．
∵(x+2)2 ≥0，
∴当x＝﹣2时，(x+2)2的值最小，最小值是0，
∴(x+2)2+1≥1
∴当(x+2)2＝0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：（1）当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是 ；又如探求多项式
的最大(小)值时，我们可以这样处理：
解：原式= ，因为无论x取什么数，都有
的值为非负数，所以 的最小值为0，此时 ，进而 的最小值是
，所以当 时，原多项式的最小值是−22．
解决问题：请根据上面的解题思路，探求：
（2）多项式 的最小值是多少，并写出对应的x的取值．
（3）多项式 的最大值是多少，并写出对应的x的取值．
【变式训练1】（2021·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：
在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出 的最小值吗？如果能，其最小值是多少？
小丽：能．求解过程如下：因为 ，
因为 ，所以 的最小值是 ．
问题：
（1）小丽的求解过程正确吗？
（2）你能否求出 的最小值？如果能，写出你的求解过程；
（3）求 的最大值．
【变式训练2】（2021·湖南永州·七年级期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题．
小明在学习完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2时，代数式（a±b）2的值具有非负性（即该式的值总是正数
或者0）的特点，在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式x2+6x﹣4的最小值时，我们可以这样处理：解：x2+6x﹣1＝x2+6x+9﹣10
＝（x2+6x+9）﹣10
＝（x+3）2﹣10．
因为无论x取什么数，都有（x+3）2的值为非负数，所以（x+3）2的最小值为0，当x＝﹣3时，（x+3）2﹣
10的最小值是﹣10，所以当x＝﹣3时，原多项式的最小值是﹣10．
解决问题：
（1）请根据上面的解题思路探求：多项式x2﹣4x+7的最小值是多少，并写出此时x的值；
（2）请根据上面的解题思路探求：多项式﹣x2﹣2x+5的最大值是多少，并写出此时x的值．
【变式训练3】（2021·湖南·长沙市湘郡培粹实验中学八年级阶段练习）上数学课时，王老师在讲完乘法公
式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学
们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是
；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
【类型五 平方差公式在几何图形中的应用】
例5.（2022·广东·深圳市龙岗区实验学校七年级阶段练习）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形
（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是________________（请选择正确的一个）
A.a2－2ab＋b2＝（a－b）2 B.a2－b2＝（a＋b）（a－b）
C.a2＋ab＝a（a＋b） D.a2－ab＝a（a－b）
(2)若x2－9y2＝12，x＋3y＝4，求x－3y的值；
(3)计算：（1－ ）（1－ ）（1－ ）…（1－ ）（1－ ）．
【变式训练1】（2022·广西·上思县教育科学研究所八年级期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一
个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中阴影部分面积为S，图2中阴影部分面积为S，请用含a、b的代数式表示：S＝ ，S＝
1 2 1 2
（只需表示，不必化简）；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式 ；
(3)运用（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014．
【变式训练2】（2022·江西·新余四中八年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的选项）
A. ；B． ；C．
(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①己知 ， ，则 ______．
②计算：
【变式训练3】（2022·广东东莞·八年级期末）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图
1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；
（2）运用你从（1）写出的等式，完成下列各题：
①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；
②计算： ．【类型六 完全平方公式在几何图形中的应用】
例6．（2022·福建·厦门市湖滨中学七年级期末）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪
刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
(1)你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于___________；
(2)观察图b，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式： ， ，
【变式训练1】（2021·上海浦东新·七年级期中）数学课上，王老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种
纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种
纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(2)观察图2，请你写出代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系 ；
(3)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；
②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．
【变式训练2】（2022·广东广州·八年级期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边
长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸
板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
(1)观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
(2)已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
(3)用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．
【变式训练3】（2022·福建龙岩·八年级期末）（1）【观察】如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿
图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．请你
写出（a+b）2，（a-b）2，ab之间的等量关系：______；
（2）【应用】若m+n=6，mn=5，则m-n=______；
（3）【拓展】如图3，正方形ABCD的边长为x，AE=5，CG=15，长方形EFGD的面积是300，四边形
NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．【专项训练】
一、选择题
1．（2022·吉林长春·八年级期末）已知 是完全平方式，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（安徽省蚌埠市局属初中2020-2021学年七年级下学期第三次联考数学试题）已知m2+n2﹣6m+4n+13＝
0，则2m+n的值（ ）
A．﹣2 B．3 C．4 D．﹣4
3．（2022·广东·东莞市光明中学八年级期末）若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于（ ）
A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣1
4．（2021·重庆永川·八年级期末）已知 ，则 的值为（ ）
A．9 B． C．6 D．
5．（2022·福建·泉州五中九年级开学考试）已知x，y为实数，且满足 ，记
的最大值为M，最小值为m，则 （ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022·陕西·交大附中分校七年级阶段练习）已知（a﹣b）2＝3，（a+b）2＝6，则ab＝_____．
7．（2022·福建漳州·八年级期末）若a2﹣b2＝6，a+b＝2，则a﹣b＝_____．
8．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学七年级开学考试）若x2﹣3kx+9是一个完全平方式，则常数k＝_____．
9．（2021·全国·七年级期中）若关于x的二次三项式 是完全平方式，则k=____．
10．（2021·江苏南通·八年级期中）已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值是_____．
三、解答题
11．（2022·陕西·交大附中分校七年级阶段练习）先化简，再求值：
[（x+3y）（x﹣3y）﹣（x﹣3y）2]÷（6y），其中x＝6，y ．
12．（2022·广东广州·八年级期末）先化简，再求值：（3x＋2y）2﹣（3x＋y）（3x﹣y），其中x＝ ，y
＝﹣1
13．（2022·福建泉州·八年级期末）先化简，再求值： ，其中 ，
．
14．（2022·广东·湖景中学八年级阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ，
．
15．（2021·重庆市第九十五初级中学校七年级期中）先化简，再求值：
，其中 ．
16．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学七年级期中）(1) ．(2)运用乘法公式计算： ．
17．（2022·吉林白城·八年级期末）下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x（x＋2y）－（x＋1）2＋2x
＝（x2＋2xy）－（x2＋2x＋1）＋2x第一步
＝x2＋2xy－x2＋2x＋1＋2x第二步
＝2xy＋4x＋1第三步
（1）小颖的化简过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
（2）写出此题正确的化简过程．
18．（2022·吉林长春·八年级期末）例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
(2)填空：若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；
(3)如图所示，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，CF＝2，长方形EMFD的面积
是12，则x的值为 ．19．（2022·四川省渠县中学七年级开学考试）我们在求代数式 的最小值时，可以考虑用如下法
求得：
解：
∵ ∴
∴ 的最小值是4．
请用上面的方法解决下面的问题：
(1)代数式 的最小值为______．
(2)某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边
用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多
少？
20．（2022·云南·昆明市第三中学八年级期末）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2
的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最
后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题
（1）当x＝ 时，代数式x2﹣6x+12有最小值；最小值是 ；
（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，请判断y有最大还是最小值；这个值是多少？此时x等于哪个数？
（3）若﹣x2+3x+y+5＝0，则y+x= （用含x，y的代数式表示） 请求出y+x的最小值．
21．（2021·河北邢台·八年级阶段练习）观察：（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为a，正方形FGCH
的边长为b，长方形ABGE和长方形EFHD为阴影部分，则阴影部分的面积可表示为 （写成平方差
的形式）；
（2）将图1中的长方形ABGE和长方形EFHD剪下来，拼成如图2所示的长方形，则长方形AHDE的面积
是 （写成多项式相乘的形式）；
探究：（3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得等量关系 ；
（4）若7x﹣y＝5，y+7x＝7，则49x2﹣y2＝ ；
应用：（5）利用公式计算：（1﹣ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）+ ．
22．（2022·贵州黔西·八年级期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中
的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式： ．
（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ；
②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．
23．（2022·内蒙古·科尔沁左翼中旗教研室八年级期末）探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙
的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是
（用式子表示），即乘法公式中的 公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．
24．（2021·吉林长春·八年级期末）图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形．
（1）图②中间空白部分的面积是 （填（a＋b）2、（a－b）2或ab）．
（2）观察图②，请写出代数式（a＋b）2、（a－b）2、ab之间的等量关系式 ．
（3）根据图②得到的关系式解答下列问题：若x＋y＝4，xy＝3，求x－y的值．
25．（2021·福建泉州·八年级期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现
一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题．比如：用图 1 所示的正方形与
长方形纸片，可以拼成一个图 2 所示的正方形．
请你解决下列问题：
(1)利用不同的代数式表示：图 2 中阴影部分的面积 S，写出你从中获得的等式，并加以证明；
(2)已知（2022−m）（2019−m）=3505，请用（1）中的结论，求 （2022−m）2+（2019−m）2的值．
26．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边
长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积（答案直接填到题中横线上）．
方法1 ；
方法2 ．
(2)观察图2，请你直接写出下列三个代数式：（a+b）2，a2+b2，àb之间的等量关系为 ；
(3)晓晓同学利用上面的纸片拼出了一个面积为a2+3ab+2b2的长方形，这个长方形相邻两边长为 ；
(4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b＝6，a2+b2＝14，求ab的值；
②已知：（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝34，求（x﹣2021）2的值．
27．（2021·广东·深圳市龙岗区南京师范大学附属龙岗学校七年级阶段练习）如图①，是一个长为2m、宽
为2n的长方形，用剪刀沿图中的虚线(对称轴)剪开，把它分成四个形状和大小都相同的小长方形，然后按
图②那样拼成一个正方形(中间是空的)．
(1)图②中画有阴影的小正方形的边长为__________(用含m，n的式子表示)；
(2)观察图②，写出代数式(m＋n)2，(m-n)2与mn之间的等量关系；
(3)根据(2)中的等量关系解决下面的问题：①若m＋n=7，mn=5，求(m-n)2的值；
②若a＋ =3，求a2＋ 的值．
28．（2022·江西赣州·八年级期末）图1是一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块
小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系为 ．
(2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且mn＝﹣3，m﹣n＝4，试求m+n的值．
(3)如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和
S+S＝26，求图中阴影部分面积．
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