文档内容
重难点 2-4 利用导数研究不等式与极值点偏移 8 大题型
函数与导数一直是高考中的热点与难点，利用导数研究不等式问题在近几年高考中出现的频率较高。求解
此类问题关键是要找到与待证不等式紧密联系的函数，然后利用导数工具来研究函数的单调性、极值、最
值（值域），从而达到目的。考查难度较大。
函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数
学问题，考查考生的化归与转化思想，逻辑思维能力、运算求解能力。
【题型1 单变量不等式的证明】
满分技巧
不等式证明的常用思路
1、移项构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
2、最值法：若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．
在证明过程中，等价转化是关键，此处 恒成立．从而f(x)>g(x)，
但此处 与 取到最值的条件不是同一个“x的值”．
3、适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
4、构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数
【例1】（2024·山东青岛·高三校考期末）已知函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）当 时，证明： ．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）当 时， ，则
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
（2）（法一）当 时，
由（1）可知 ，即 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
因此， （当且仅当 时取得等号）
（法二）当 时，
令 ，可知
于是 在 单调递减，在 单调递增，
因此， （当且仅当 时取得等号）．
令 ，则由（1）知：故 在 单调递增，
因此 ．所以 ．
【变式1-1】（2023·安徽合肥·高三校考期末）已知函数 .
（1）当 时，求 的单调区间
（2）讨论 的单调性；
（3）当 时，证明 .
【答案】（1） 在 单调递增，在 单调递减；（2）答案见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）当 时， ， 的定义域为 ，
则 ，
故当 时， ；当 时， .
故 在 单调递增，在 单调递减；
（2） 的定义域为 ， ．
若 ，则当 时， ，故 在 单调递增，若 ，则当 时， ；当 时， .
故 在 单调递增，在 单调递减；
（3）由（1）知，当 时， 在 取得最大值，最大值为
，
所以 等价于 ，即 ，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
故当 时， 取得最大值，最大值为 ，所以当 时， ，
从而当 时， ，即 .
【变式1-2】（2024·陕西榆林·高三一模）设函数 ，曲线 在点 处的切线
方程为 .
（1）求 ；
（2）证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）函数 的定义域为 .
将 代入 ，解得 ，即 ，
由切线方程 ，则切线斜率 .
故 ，解得 .
（2）证明：由（1）知 ，
从而 等价于 .
设函数 ，则 .
所以当 时， ，当 时， .
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 在 上的最小值为 .设函数 ，
从而 在 上的最大值为 .
故 ，即 .
【变式1-3】（2024·内蒙古·高三校考期末）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：在 上 .
【答案】（1）递增区间为 ，递减区间为 ；（2）证明见解析.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
（2）由（1）可知， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，即 ，
令 ，求导得 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
于是 ，即 ，
所以当 时， ，即 .
【题型2 双变量不等式的证明】
满分技巧
双变量不等式的处理策略：
含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，
具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
（1）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）已知 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析【解析】（1）由题意，得 ．
因为函数 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，即 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立．
因为当 时， （当且仅当 时，等号成立），
所以 ，解得 ．所以 的取值范围为 ．
（2）方法一：设 ．
由（1）知 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增．
因为 ，所以 ，即 ．
所以 ．
故 ．
方法二：要证 ，即要证 ，
即要证 ．
记 ，则只要证 ．
记 ，则 ．
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增．
所以 在 上单调递增，所以 ．
所以 在 上单调递增，所以 ．所以 成立．
故 ．
【变式2-1】（2024·北京西城·高三统考期末）已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间；（3）当 且 时，判断 与 的大小，并说明理由.
【答案】（1） ；（2）增区间 ，减区间
（3） ，理由详见解析
【解析】（1） 时， ， ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2） 的定义域为 ， ，
所以在区间 和 上 单调递减，
在区间 上 单调递增，
所以 的增区间 ，减区间 ；
（3）当 且 时， ，证明如下：
令 ，则 ，
设 ，
所以在区间 上 单调递减，
在区间 上 单调递增，
所以 ，即 ，
所以 的单调递增区间为 .
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
综上所述，当 且 时， .
【变式2-2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求 的极值；
（2）当 ， 时，证明： .
【答案】（1） 有极大值 ，极小值 ；（2）证明见解析【解析】（1）由题意， ， ，
所以当 时， ， ，
由 解得： 或 ，由 解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
故 有极大值 ，极小值 .
（2）由题意， ， ，
要证 ，
只需证 ，
而 ，
，
所以只需证 ，
即证 ①，下面给出两种证明不等式①的方法：
证法1：要证 ，只需证 ，
即证 ，令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
显然 ，所以当 时， ，
因为 ，所以 ，即 ，
故 .
证法2：要证 ，只需证 ，即证 ，
令 ，则 ，所以只需证当 时， ，即证 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，又 ，所以 成立，即 ，
故
【变式2-3】（2024·全国·高三专题练习）知函数 ．
（1）求函数 的单调区间和最小值；
（2）当 时，求证： （其中 为自然对数的底数）；
（3）若 ， 求证： ．
【答案】（1） 在 上为增函数；在 上为减函数，
（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）
令 得 ；令 得： ；
在 上为增函数，在 上为减函数．
故 .
（2）由（1）知：当 时，有 ，
，即： ， ．
（3）将 变形为：
即只证：
设函数
，
令 ，得： ．
在 上单调递增；在 ， 上单调递减；
的最小值为： ，即总有： ．
，即： ，
令 ， ，则
，成立．
【题型3 对称化构造解决极值点偏移】
满分技巧
1、和型 （或 ）问题的基本步骤：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，
得 与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
2、积型 问题的基本步骤：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 的范围，结合 的单调性，可得 与 的大小关系，由此证得结论.
【例3】（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知函数 .
（1）讨论 的单调区间；
（2）已知 在 上单调递增， 且 ，求证： .
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1） 的定义域为 .
.
①当 时，由 得， 单调递增，
由 得， 单调递减，
在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
②当 时，由 得， 或 ，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
③当 时， 在 上单调递增；
④当 时，由 得， 或 ，
由 得， ，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
综上，当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（2）由（1）知，当且仅当 时， 在 上单调递增，
即： .
，
又 且 在 上单调递增，
和 均不成立.
故不妨设 ，
因此要证 ，即证 ，
因为 在 上单调递增，
所以即证 .
又 ，
故只需证 ，即证 .
设 ，
.
，
故 .
因此 在 上单调递增，所以 .
故 ，
又因为 在 上单调递增， .
【变式3-1】（2024·山西晋城·统考一模）已知函数 ．
（1）若 恒成立，求 的取值范围；（2）若 有两个零点 ，证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1） ．
令 ，易知 单调递增，且 ．
当 时， ,即 ， 单调递减；
当 时， ,即 ， 单调递增．
所以 ，即 ，
所以 的取值范围是 ．
（2）由 的单调性可设 ．
令 ．
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则 ，所以 ．
所以 ，即 ，即 ．
因为当 时， 单调递减，且 ，所以 ，即 ．
【变式3-2】（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）已知函数 .
（1）若 有唯一极值，求 的取值范围；
（2）当 时，若 ， ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
求导得 ，
当 时，若 ， ，函数 在 上单调递增，无极值点，不符合题意；
若 ，当 或 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
函数 有两个极值点，不符合题意；
若 ，当 或 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
函数 有两个极值点，不符合题意；
当 时，当 时， ，当 时， ，即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
2是函数 的极大值点，且是唯一极值点，
所以 的取值范围是 .
（2）当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ， ，不妨令 ，
要证 ，只证 ，即证 ，就证 ，
令 ，求导得
，
于是函数 在 上单调递减， ，
而 ，则 ，即 ，又 ，
因此 ，显然 ，
又函数 在 上单调递增，则有 ，所以 .
【变式3-3】（2024·江苏扬州·高三统考期末）已知函数 的最小值为 .
（1）求实数 的值；
（2）若 有两个不同的实数根 ，求证： .
【答案】（1）1；（2）证明见解析.
【解析】（1）因为 ，令 ，可得 ，
当 时 单调递减；当 时 单调递增.
所以 ，所以 .
（2）证明：由（1）知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时 ，当 时 ，所以 ，
先证明 .
记 ，
则 ，
当 时， ，所以 单调递减，
所以当 时， ，即 ，
故 ，即 .
又 ，由单调性知： ，即 .
再证明 .
记函数 与 和 交点的横坐标分别为 .
①当 时， ，故 ，所以， .
（或： 的图象在 的图象的下方，且两个函数在 上都是减函数）
②当 时，记 ，所以 .
当 时 单调递减；当 时 单调递增.
又 ，当 时， ，即 .
故
所以 ，故 .
（或 的图象在 的图象的下方，且两个函数在 上都递增）
综上， .
【题型4 比值代换法解决极值点偏移】
满分技巧
比值换元的目的也是消元、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点
的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的。设法用比值（一般用 表示）表示两个极值点，即
，化为单变量的函数不等式，继而将所求问题转化为关于 的函数问题求解。
【例4】（2023·全国·高三统考月考）已知 是函数 的导函数．
（1）讨论方程 的实数解个数；
（2）设 为函数 的两个零点且 ，证明： ．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）函数 ， ，令 ，
，
（i）当 时， ，则 在 上单调递减，有且仅有1个零点；
（ii）当 时， ，则 在 上单调递减，
，则 在 上有一个零点；
（iii）当 时，令 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
因此 的最小值为 ，令 ，解得 ，
又因为 ， ，
令函数 ，求导得 ，函数 在 上单调递增，
于是 ，而 ，因此 ，
由函数零点存在定理得， 在区间 和 上各有一个零点，
当 ，即 时， 在 上只有一个零点，当 时， 在 上没有零
点，
所以当 时， 在 上有两个零点，即方程 的有两个实数解；
当 或 时， 在 上有一个零点，即方程 的有一个实数解；
当 时， 在 上没有零点，即方程 的无实数解.
（2）由（1）知 有两个零点， ，
， ，则 ，
由 是 的两个零点，得 ， ，
即 ， ，两式相减得 ，
令 ，则 ， ， ，
于是 ， ， ，要证 ，即证 ，即证 ，只需证：
，
令 ， ， ，
令 ,故 在 上单调递减，
因此 ，则 在 上单调递增，
所以 ，从而 得证，即 .
【变式4-1】（2023·河南驻马店·高三统考期末）已知函数 有两个零点.
（1）求 的取值范围；
（2）设 ， 是 的两个零点， ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）由 且 ，可得 .
设 ， ，则 ，
令 ，解得 .
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
又当 趋向于0时， 趋向于 ，当 趋向于 时， 趋向于0，
所以要使 的图象与直线 有两个交点，则 ，
故 的取值范围是 .
（2）证明： ，由（1）得 ，
则 ， .
设 ，则 ，即 ，
.
设 ，则 .
设 ，则 ，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增.
又 ， ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，
所以 的最小值为 ， ，
所以 ，故 .
【变式4-2】（2024·福建厦门·统考一模）已知函数 有两个极值点 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）证明： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题设 且 ，
若 ，则 在 上恒成立，即 递增，不可能有两个极值点，不符；
故 ，又 有两个极值点，则 ， 是 的两个不同正根，
所以 ，可得 ，即实数 的取值范围是 .
（2）由（1） 且 ， ，不妨设 ，
则
，
要证 ，需证 ，即 ，
只需证 ，即 ，令 ，则证 ，由（1）， 时 ，即 ，
所以 在 上递增，又 ，故 ，即 ，
综上， .
【变式4-3】（2022·全国·模拟预测）设函数 .
（1）若 ，求函数 的最值；
（2）若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证： .
【答案】（1）无最小值，最大值为 ；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得 ，则 .
令 ，解得 ；令 ，解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，
无最小值，最大值为 .
（2） ，则 ，
又 有两个不同的极值点 ，
欲证 ，即证 ，
原式等价于证明 ①.
由 ，得 ，则 ②.
由①②可知原问题等价于求证 ，
即证 .
令 ，则 ，上式等价于求证 .
令 ，则 ，恒成立， 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，
原不等式成立，即 .
【题型5 导数与数列不等式证明】
满分技巧
1、证明此类问题时长根据已知的函数不等式，用关于正整数 的不等式替代函数不等式中的自变量。通
过多次求和达到证明的目的。此类问题一般至少两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得
来。
2、已知函数式为指数不等式（或对数不等式），而待证不等式为与对数有关的不等式（或与指数有关的
不等式），还有注意指、对数式的互化，如 可化为
【例5】（2024·安徽合肥·高三统考期末）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：对于任意正整数n，都有 ．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1） 的定义域为 ， ，
若 ，当 ，则 ，所以 在 上单调递增；
若 ，当 ，则 ，所以 在 上单调递减；
当 ，则 ，所以 在 上单调递减；
综上所述，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递减.
（2）由（1）知当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， ，即当 时， ，
对于任意正整数 ，令 ，
有 ，
所以 ，
即 ，
即 .【变式5-1】（2024·山西·高三统考期末）已知函数 .
（1）若当 时， ，求实数 的取值范围；
（2）求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）由题可知 .
令 ，其图象的对称轴为直线 .
当 即 时， 在 单调递增，
又 ，
所以当 时， 恒成立，从而 恒成立，
所以 在 单调递增，
又 ，所以 恒成立.
当 即 时， 在 单调递减，在 单调递增，
又 ，
所以当 时， 恒成立，从而 恒成立， 在 单调递减，
又 ，所以当 时， ，与已知矛盾，舍去.
综上所述， 的取值范围为 .
（2）由（1）可知，当 时， ，
从而 ，
于是 .
【变式5-2】（2023·天津红桥·统考一模）已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程：
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）证明： （ ， ）.
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析
【解析】（1）当 时，函数 的定义域为 ， ， ，
曲线 在点 处的切线方程的斜率 ，则切线方程为 ；
（2）若 恒成立，则 恒成立，
设 ， ， ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
. ；
（3）证明：结合（2），令 ，则 ，即 ，
则 ，（当且仅当 时取等号），
， ，…， ，
，（ ， ）.
【变式5-3】（2024·湖南长沙·统考一模）已知函数 .
（1）若 有且仅有一个零点，求实数 的取值范围：
（2）证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）易知函数 的定义域为 .
由 ，可得 .
设 ，则 ，
，且 与 有相同的零点个数.
思路1：令 ， ，则 .
当 时， ，则 ，即 ，
可得 在 单调递减，则 有且仅有一个零点.
当 时，显然 ，则 ，
可得 在 单调递减，则 有且仅有一个零点.
当 时，由 ，解得 ， ，且 .当 时， ，即 ，则 单调递增；
当 时， ，即 ，则 单调递减.
不难得知 ，
，
（令 ，故 在 单调递减，
故 ，即 ， ），
则 在 有一个零点，可知 不只一个零点，不合题意.
综上，可知 .
思路2：令 ， .
当 时， 在 单调递减，有 ，即 ，
可得 在 单调递减，则 有且仅有一个零点.
当 时， .
若 ，则 ，可得 在 单调递减，
则 有且仅有一个零点.
若 ，存在 ，且 ，使得 .后续过程同思路1.
综上，可知
（2）取 ，当 时， ，有 ，
即 ，则 .
令 ， ，则 ，即 ，
从而
.
【题型6 三角函数型不等式证明】
满分技巧
1、正余弦函数的有界性： ；
2、三角函数与函数的重要放缩公式： .
【例6】（2023·全国·高三专题练习）当 时，证明： 恒成立.
【答案】证明见解析【解析】由题意可知，函数 的定义域为 ，
先证明 ，令 ，
则 ，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，即 ，
所以， ，
设 ，其中 ，则 且 不恒为零，
所以， 在 上为增函数，故当 时， ，
所以， ，
因为 ，故 ，故原不等式得证.
【变式6-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， .
（1）讨论 的极值；
（2）若 ， ，求证： .
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）因为 ，所以 .
当 时， ，此时 在R上单调递增，无极值.
当a>0时，令 ，则 ，解得 .
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减.
所以当 时， 有极小值，极小值为 .
综上所述，当a≤0时， 没有极值；
当a>0时， 有极小值，为 ，无极大值.
（2）证明：因为 ，所以 .
要证 ，可证 ，分两步进行.
①先证当 时， .
令 ，则 .
令 ，则 .
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.
因为 ，所以 ，即 .
②再证当 时， .
易知 ，
由（1）知，当 ， 时， ，即 ，
所以当 时， .
令 ， ，则 ，显然 为减函数，
，
所以 在 上先正后负， 先增后减， 且
所以 ，所以当 时， ，
所以 .
因为当 时， ，即 ，
所以 .
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
即 ，所以 .
结合①②可知 ，即 .
【变式6-2】（2023·江苏常州·校考一模）已知函数 .
（1）若 ，求 的值；
（2）证明：当 时， 成立.
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1）解法一：由 ，得 ，
又 ，所以 是 的极小值点，
故 ，而 ，故 ，
若 ，则 ，
当 ；当 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
故 是 唯一的极小值点，也是最小值点，由 ，所以当且仅当 时 ，
解法二：由 ，得 ，又 ，
当 时，有 恒成立，所以 在 上单调递减，
又 ，则 不成立，
当 时，令 ，得 ，
则 时，有 时，有 ，
即 在 单调递减，在 单调递增，
所以 的最小值为 ，
，
函数 在 单调递减， 单调递增，
，当且仅当 取等号，故 ；
（2）当 时， ，
设 ，
当 时， ，
又由（1）知 ，故 ，
当 时， ，
设 ，则 ，
则 在 单调递增， ，
所以 ，则 在 单调递增，
，
综上， ，即当 时， .
【变式6-3】（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数 .
（1）求 的极值；
（2）已知 ，证明： .
【答案】（1）极大值为 ，极小值为 ；（2）证明见解析
【解析】（1） ， ，令 ，可得 .令 ，可得 ，
令 ，可得 ，或
所以 在 上单调递增，在 和 上单调递减.
所以 的极大值为 的极小值为 .
（2）由 ，
可得 ，
所以 .
由对称性，不妨设 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 .
由（1）可知 在 上的最大值为 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
因为等号不能同时取到，所以 .
【题型7 不等式恒成立求参问题】
满分技巧
1、利用导数求解参数范围的两种方法
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关
系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别解出满足题意的参数范围
最后取并集。
2、不等式恒成立问题转化：
（1） ，（2） ，
【例7】（2023·辽宁·高三校联考期中）已知函数 ， ， ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， 等价于 ，
记 ，即 在 上恒成立，
.
当 即 时， ， 在 上单调递减，
所以当 时， 即 恒成立；
当 时，记 ，则 ，
当 时 单调递减，又 ， ，
所以存在 ，使得 ，当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
所以当 时 ，即 ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意.
综上， 的取值范围是 .故选：C
【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若对任意 ，
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，
故 ，故 ，
令 ，则 ，
令 ，故 ，
令 ，故 ，
故当 时， ，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 ，故选：D
【变式7-2】（2024·江西赣州·高三统考期末）设函数 ，曲线 在点 处
的切线方程为 ．
（1）求a和b的值；
（2）若 ，求m的取值范围．
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1）依题意知，当 时， ，
即 ，所以 ，则 ，
易得 ，
于是 ，所以 ，即 ；
（2）因为 ，所以原不等式可变为 ，
记 ，则上式等价于 ，
，
记 ，则 ，
于是 在 上单调递减，
又 ，所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，从而 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，所以 ，
故m的取值范围是 .
【变式7-3】（2024·山东枣庄·高三统考期末）已知函数 .
（1）若 是增函数，求 的取值范围；
（2）若 有两个极值点 ，且 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由题意 .
因为函数 在其定义域上单调递增，
所以 .
设 ，
①当 时，函数 在 上单调递增，只须 ，无解.
②当 时，只须 ，解得： ，
综上所述：实数 的取值范围是 .
（2）由（1）知 ，
因为 有两个极值点为 ，
所以 在 上有两个不同的根，
此时方程 在 上有两个不同的根.
则 ，且 ，解得 .
若不等式 恒成立，
则 恒成立.
因为
设 .则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上递减，所以 ，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
【题型8 不等式能成立求参问题】
满分技巧
1、形如 有解问题的求解策略
（1）构造函数法：令 ，利用导数求得函数 的单调性与最小值，只需
恒成立即可；
（2）参数分离法：转化为 或 恒成立，即 或 恒成立，只需利
用导数求的函数 的单调性与最值即可。
2、单变量不等式能成立问题转化
（1） ，
（2） ，
3、双变量不等式成立问题：一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集．
【例8】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 ．若存在实数 ，使得
成立，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减， ，
若存在实数 ，使得不等式 成立，
等价于 成立，又 ， ，
，所以 ．
当 时， ，函数 在 上单调递增，当 时， ，函数 在 上单调递减，
为正实数， ，又 函数 在 上单调递增，
，解得
正实数 的取值范围为 ．故选：C．
【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，对于存在的
，存在 ，使 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为对于存在 ，存在 ，使 ，
所以 ， ， ，
又 ， ，
显然 在 上单调递减，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增，
则 ，
由 解得： ，
所以实数 的取值范围为 .故选：A.
【变式8-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若 ，不等式 在 上存在实数解，求实数 的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为 ，单调减区间为 ；（2）
【解析】（1）当 时， ，
∴ ，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
（2）原条件等价于： 在 上存在实数解．
化为 在 上存在实数解，令 ，则 ，
∴在 上， ，得 ，故 在 上单调递增，
∴ 的最小值为 ，
∴ 时，不等式 在 上存在实数解．
【变式8-3】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知函数 ．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2） （ ），若对任意 ，均存在 ，使得 ，求实数a
的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由题意 ，
则 ，即切线的斜率 ，
且 ，即切点坐标为 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由题意可知： ，
因为 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
则 在 上单调递减，可得 ，
由（1）可设 ，则 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
且 ，
可知 在区间 上只有一个零点，设为 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
且 ，可得当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .（建议用时：60分钟）
1．（2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）设实数 ，若不等式 对任意 恒
成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 恒成立，
令 ，则 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
因为 ，所以 ，
若 时，不等式 恒成立，则 恒成立，
若 时， ， 恒成立，则 也成立，
所以当 时， 恒成立，所以得 ，即 ，
设
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，所以 ，即正实数 的最小值为 .故选：C.
2．（2024·河北·高三石家庄精英中学校联考期末）设实数 ，若 对 恒成立，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，则 ， ，
当 时， ， 恒成立，
即任意 ， 对 恒成立；
当 时， ，即 ，其中 ，
构造函数 ，则 .
，因为 ，所以 ， 单调递增；
则有 ，则 ，
构造函数 ，
则 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
则 ， 即当 时， ，
故要使 恒成立，则 ，即 的取值范围为 .故选：B.
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若关于 的不等式 在 内有
解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 有意义可知， .
由 ，得 .
令 ，即有 .
因为 ，所以 ，令 ，
问题转化为存在 ，使得 .
因为 ，令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ，所以当 时， .
因为存在 ，使得 成立，所以只需 且 ，解得 .故选： .
4．（2024·陕西西安·高三统考期末）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】（1） ，则 ，因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）证明： 的定义域为 ，要证明 ，
只需证 .
设函数 ，则 .
当 时， ；当 时， .
所以 .
设函数 ，则 ，
所以 恒成立，从而 ，故
5．（2023·云南昆明·高三云南民族大学附属中学校考阶段练习）已知函数
．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，若 且 ，求证： ．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意得函数定义域为 ，
当 时， ，
则令 ，得 ，故 在 上单调递增；
令 ，得 ，故 在 上单调递减；
当 时， ，
则当 时， ，故 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ，则当 时， ，
故 在 上均单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ，等号仅在 时取到， 在 上单调递增；当 时， ，则当 时， ，故 在 上均
单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上均单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上均单调递增，在 上单调递减；
（2）当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 为函数的最大值点；
若 且 ，不妨设 ，则可得 ，
要证明 ，只需证 ，此时 ，
故只需证 ，即证 ；
令 ，而 ，
则
，
因为 ，
所以 恒成立，故 在 上单调递减，
故 ，
即 ，即 ，
故 得证.
6．（2024·天津宁河·高三统考期末）已知函数 ， ．
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）求 的单调区间；
（3）设 是函数 的两个极值点，证明： ．
【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）证明见解析
【解析】（1）当 时， ，得 ，则 ， ，
所以切线方程为 ，即 ；
（2） ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，无减区间，
当 时，令 ，得 ， 单调递增，
令 ，得 ， 单调递减，
综合得：当 时， 的单调递增区间为 ，无减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ；
（3） ，
则 ，
因为 是函数 的两个极值点，
即 是方程 的两不等正根，
所以 ，得 ，
令 ，则 ，
得 ，
则 ，
所以
，
则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 .
7．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）证明： ．
【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上递减，在 上递增，
所以函数 在 处取得极小值 ，无极大值.
（2）证明：由（1）知， ，即 ， ，
因此 ，当且仅当 时取等号，
令 ， ，则 ，
，而 ，
所以 .
