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24.3 正多边形和圆
考点一：正多边形及有关概念
只要把一个圆分成 相等 的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的
外接 圆．
一个正多边形的外接圆的 圆心 叫作这个正多边形的中心，外接圆的 半径 叫作这个正多边形的半径；
正多边形每一边所对的 圆心角 叫作正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 边心
距 .
考点二：正多边形的有关计算
一般地，正n边形的一个内角的度数为 ，中心角的度数等于 ；正多边形的中
心角与外角的大小 相等 .
题型一：正多边形的中心角
1．在圆内接正六边形ABCDEF中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（ ）
A．30°，1 B．45°，2 C．60°， D．120°，4
2．如图，正六边形 内接于 ，点M在 上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若∠AOB是某正n边形的一个外角，则n的值为
（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
题型二：求正多边形的边数4．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在 上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内
接正n边形的一边，则n的值是（ ）
A．6 B．12 C．24 D．48
5．如图，四边形ABCD为 O的内接正四边形，△AEF为 O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n
边形的一边，则n的值为（⊙ ） ⊙
A．6 B．8 C．10 D．12
6．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( )
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．AC＝BC D．∠BAC＝30°
题型三：正多边形和圆
7．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为（ ）A． B．3 C． D．6
8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则边心距OM的长为________．
A． B． C． D．
9．如图， 的外切正六边形 的边心距的长度为 ，那么正六边形 的周长为（ ）
A．2 B．6 C．12 D．
题型四：正多边形的尺规作图
10．已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD．11．已如：⊙O与⊙O上的一点A
（1）求作：⊙O的内接正六边形ABCDEF；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE，BF，判断四边形BCEF是否为矩形，并说明理由．
12．仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法)
(1)如图①，画出 的一个内接矩形.
(2)如图②， 是 的直径， 是弦，且 ，画出 的内接正方形.
题型五：正多边形和圆的综合问题
13．已知等腰 中，AB＝AC．
（1）如图1，若 为 的外接圆，求证： ；
（2）如图2，若 ， ，I为 的内心，连接IC，过点I作 交AC于点D，求ID的长．
14．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、
内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．
（1）求图①中∠APB的度数；
（2）图②中，∠APB的度数是 90°，图③中∠APB的度数是 72°；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理
由．
15．如图所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是 的内接三角形、内接四边形、内接五
边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在 上逆时针运动．（1）求图①中 的度数
（2）图②中 的度数是______，图③中 的度数是______；
（3）若推广到一般的正n边形情况，请写出 的度数是______．
一、单选题
16．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，边心距OH＝ ，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
17．⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积
是（ ）
A． B． C．2 D．2
18．如图，正五边形 和正三角形 都是 的内接多边形，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
19．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
20．如图，是由边长为1的正六边形和六角星镶嵌而成的图案，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，已知 O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r、面积S．
6 6
⊙
一：选择题22．如图，正五边形 内接于 ，点F在 上，求 的度数．
23．下列命题中，真命题是（ ）
A．正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形
B．正六边形的每一个外角都等于中心角
C．正六边形每条对角线都相等
D．正六边形的边心距等于边长的一半
24．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合， 轴，交y轴于点
P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，六边形 是正六边形，点P是边 的中点， ， 分别与 交于点M，N，则
的值为（ ）A． B． C． D．
26．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则
小正六边形的边长是（ ）
A． B． C． D．
27．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（ ）
A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等 B．连接HD，则HD平分∠CHE
C．整个图形不是中心对称图形 D． 是等边三角形
28．如图，圆内接正八边形的边长为1，以正八边形的一边AB作正方形ABCD，将正方形ABCD绕点B顺时针旋
转，使AB与正八边形的另一边 重合，则正方形ABCD与正方形 重叠部分的面积为（ ）A． B． C． D．
29．如图，点O是边长为4的正六边形ABCDEF的中心，对角线CE，DF相交于点G，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
30．如图所示，放置正六边形 与正六边形 ，若五边形 的面积为5，则多边形
的面积是（ ）
A．12 B． C．17 D．
31．如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF内接于 ，则阴影部分的面积为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
32．第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图这个图案绕着它的中心旋
转后能够与它本身重合，则旋转角α最小可以为_____度．
33．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为____．
34．如图，正六边形ABCDEF的周长为24cm，则它的外接圆⊙O的半径为________cm．35．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC
的度数是 _____．
36．如图，由六块相同的含30°角的直角三角尺拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙，如果
该直角三角尺的较短直角边的长是1分米，那么这个小的正六边形的面积是 _____平方分米．
37．跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形 和等边
三角形 组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若 厘米，则这个正六边形的周长为_________厘
米．38．如图，已知点G是正六边形 对角线 上的一点，满足 ，联结 ，如果 的面积为
1，那么 的面积等于_______.
39．在平面内有n个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特
希点集．如图，是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的
中心构成），则∠ADO的度数是 __．
三、解答题40．如图，正方形 内接于 ， 为 上的一点，连接 ， ．
（1）求 的度数；
（2）当点 为 的中点时， 是 的内接正 边形的一边，求 的值．
41．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…
的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____
42．如图，正方形 内接于 ， 为 任意一点，连接 、 ．
（1）求 的度数．
（2）如图2，过点 作 交 于点 ，连接 ， ， ，求 的长度．43．如图1，边长为2的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点B、C
重合）·
第一次操作：将线段EF绕点顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺
时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去…
(1)图2中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为_______，求此时线段EF的长；
(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH．
①请判断四边形EFGH的形状为________，此时AE与BF的数量关系是_________．
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．
(3)若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请求出其
边长；如果不是，请说明理由．
44．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．
（1）如图①，若点E在 上，F是DE上的一点，DF=BE．求证：△ADF≌△ABE；
（2）在（1）的条件下，小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系：DE-BE= AE．请说明理由；
（3）如图②，若点E在 上．连接DE，CE，已知BC=5，BE=1，求DE及CE的长．45．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上．
（1）若∠ABC=120°，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，若点B是弧AC的中点，求证：四边形OABC为菱形．
46．已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转a（0°＜a＜360°），得到矩形AEFG，如
图1，M是线段BF的中点，点O是AB的中点，连接OM．
（1）将矩形AEFG绕点A顺时针旋转一周，求点M的路径长；
（2）旋转过程中，当点M落在AD上时．
①求△AMF的面积；
② 如图2，连接BE，ED，求证：B，E，D共线；（3）如图3，连接MG，在将矩形AEFG绕点A顺时针旋转一周的过程中，直接写出MG的最大值_____________．1．C
【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心 作 于点 ，先根据
等边三角形的判定可得 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 ，再利用勾股定理即
可得．
【详解】解：这个正六边形的中心角为 ，
如图，过圆心 作 于点 ，
，
是等边三角形，
，
，
即这个正六边形的边心距为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中
心角和边心距的概念是解题关键．
2．D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形 内接于 ，∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为 是解答的关键．
3．B
【分析】连接OC，先求出∠AOB的度数，然后利用正多边形外角和等于360°，即可求出答案．
【详解】解：连接OC，如图：
根据题意，正六边形和正方形的中心都是点O，
∴∠BOC=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOB=90° 60°=30°；
∵∠AOB是某正n边形的一个外角，
∴ ；
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的性质，正多边形的外角和定理，解题的关键是掌握正多边形的性质，正确求出
∠AOB的度数．
4．C
【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据
边数n=360°÷中心角即可求得答案．
【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的
度数是解题的关键．
5．D
【分析】连接 ，先根据圆内接正多边形的性质可得点 在 上，且 是 和 的角平分线，
从而可得 ，再根据角的和差可得 ，然后根据圆周角定理
可得 ，最后根据正多边形的性质即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
四边形 为 的内接正四边形， 为 的内接正三角形，
点 在 上，且 是 和 的角平分线， ，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正 边形的一边，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键．
6．D
【详解】在△QAB即，OA＝OB，OA＝AB，∴△OAB为等边之扇形，∴∠AOB＝60°，
∴弦AB的长等于园内接正方形的边长，故A对；
∵OC⊥AB，△OAB为等边之扇形，∴OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴AC的长为园内接正十二边形的边长，故B对；∵∠AOC=∠BOC，∴ 弧AC ＝ 弧BC， 故C对；
∵∠BAC＝ ∠BOC＝ ×30°＝150°，故D错；
故选D.
点睛：本题考查了圆周角定理，及多边形内角的关系，要注意的知识结构即掌握能够根据选项所给的内容进行判
断是解题的关键.
7．C
【分析】连接BO、GO，则三角形EOG为直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接BE、GO，则BE经过O点，且O是BE的中点，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴ ，
，
∵DE=EC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设EG的长为x，则OG的长为 ，
∴ ，
解得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握各知识点，并能结合图形熟练
运用各知识点．8．B
【分析】连接OA、OB，证明△OAB是等边三角形，得出AB＝OA＝1，由垂径定理求出AM，再由勾股定理求出
OM即可．
【详解】解：连接OA、OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF为正六边形，
，
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
∵OM⊥AB，
∴AM＝BM＝ AB＝ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌
握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出BM是解决问题的关键．
9．C
【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，根据边心距得到OG= ，证明△OAB是等边三角形，利用勾股定理求出
AB，从而可得周长．
【详解】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
由题意可得：OG= ，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB= =60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA= =2，∴正六边形ABCDEF的周长为2×6=12，
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．
10．见解析
【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于D、B，然后连接AB、AD、CD、CB即可．
【详解】解：如图，四边形ABCD为所作．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形
的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图
拆解成基本作图，逐步操作．
11．（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）如图，在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于OA，从而得到正六边形ABCDEF；
（2）连接BE，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA， ，则判断
BE为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF为矩形．
【详解】解:（1）如图，正六边形ABCDEF为所作；
（2）四边形BCEF为矩形．理由如下：
连接BE，如图，
∵六边形ABCDEF为正六边形，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴BE为直径，
∴∠BFE=∠BCE=90°，
同理可得∠FBC=∠CEF=90°，
∴四边形BCEF为矩形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性
质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解
成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质．
12．（1）答案见详解；（2）答案见详解.
【分析】（1）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形；
（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到
⊙O的内接正方形．
【详解】解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求；
（2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，
HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求．
【点睛】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
13．（1）见解析；（2）
【分析】(1) 连接OB、OC，可得AB＝AC,利用垂直平分线的判定可得 ;
(2) 连接AI并延长交BC于点F，过点I分别作 于点G， 于点H, 通过 ，I为 的内
心，可知 ,利用勾股定理可求 ,设 ，由 ，可得： ,再
设 ，则 ， 再求解 证明 ,所以设 ，
，利用勾股定理可得答案.
【详解】（1）证明：连接OB、OC，∵AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上
又∵OB＝OC，∴O也在BC的垂直平分线上
∴
（2）连接AI并延长交BC于点F，过点I分别作 于点G， 于点H
∵ ，I为 的内心，∴ ， ，
∴
设 ，由
可得：
∴
设 ，则 ，∴
解得： 即
∵ ， 平分
∴
∴设 ，
在 中，
∴ 解得：
∴
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆的内心和外心，以及勾股定理，掌握圆的内心和外心的性质是解题的关键．
14．（1）120°；（2）=，=；（3）能，∠APB=
【分析】（1）由题意可得 ，根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得 ，在利用三角形外角
的性质即可求解
（2）根据（1）的求解过程，即可求解
（3）结合（1），（2）的推理过程，即可得出结论
【详解】（1）∠APB=120°（如图①）
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM=∠CBN，
又∵∠APN=∠BPM，
∴∠APN=∠BPM=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°，
∴∠APB=120°；
（2）同理可得：图②中∠APB=90°；图③中∠APB=72°．
（3）由（1），（2）可知，∠APB=所在多边形的外角度数，故在图n中，∠APB= ．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，以及正多边形外角的求法，三角形
外角的性质是解题关键．
15．（1）120°；（2）90°，72°；（3）
【分析】（1）根据等边三角形的性质、旋转的性质，求出 ，即可求出答案；
（2）与（1）同理，可求 ，根据正方形和正五边形的内角度数，即可求出答案；
（3）与（1）（2）同理，∠APB为所在多边形的外角度数，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵ 是正三角形，∴ ，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在 上逆时针运动，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）由图②，四边形ABCD是正方形，则与（1）同理，
，
∴ ；
由图③，正五边形ABCDE中，与（1）同理，
∴ ，
∴ ；
故答案为：90°；72°；
（3）由（1）可知，∠APB为所在正多边形的外角度数，故在图n中，有∠APB= ；
故答案为： ；
【点睛】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，
然后得出n边形的∠APN的度数．
16．C
【分析】连接OB、OA，根据正六边形的性质得到∠BOA=60°，OB=OA，根据等腰三角形的性质得到AH=BH，
∠AOH= ∠AOB=30°，根据直角三角形的性质得到结论．
【详解】解：如下图，连接OB、OA，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOA=60°，OB=OA，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，∠AOH= ∠AOB=30°，
∵OH= ，∴AH= OH=1，
∴AB=2，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质和等腰
三角形的判定与性质是解题的关键．
17．C
【分析】分别画出对应的图形计算出三条边心距，利用勾股定理的逆定理可证明它们构建的三角形为直角三角形，
然后根据三角形面积公式计算此三角形的面积．
【详解】解：如图1，△ABC为⊙O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，
∵∠OBC＝ ∠ABC＝30°，
∴OM＝ OB＝2；
如图2，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，
∵∠ODC＝ ∠ADC＝45°，
∴ON＝DN＝ OD＝2 ；
如图3，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，
∵∠OED＝ ∠FED＝60°，
∴EH＝ OE＝2，OH＝ EH＝2 ，
∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2 ，2 ，
∵22+（2 ）2＝（2 ）2，
∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积＝ ×2×2 ＝2 ．
故选：C．【点睛】本题考查了正多边形与圆：熟练掌握正多边形的有关概念和正多边的性质，会利用勾股定理解直角三角
形是解题的关键．
18．C
【分析】如图，连接 利用正多边形的性质求出 ， ，可得结论．
【详解】解：如图，连接 ．
是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性
质，属于中考常考题型．
19．A
【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B， 的度数即可解决问题．
【详解】解：在正五边形ABCDE中，
∠B=∠BCD= ×（5-2）×180=108°，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC= （180°-108°）=36°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=108°-36°=72°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．
20．C
【分析】计算出1个正六边形的面积，利用矩形的面积减去图中未涂色部分的面积即可．
【详解】解：如图所示，
∵正六边形的中心角为60°，
∴每个边长为1的正六边形由六个全等的等边三角形组成，
∴ ， ， ，
因此每个正六边形的面积为： ，
图中未涂色部分面积等于16个正六边形的面积： ．
整个图形是一个矩形，长为12，宽为 ，
矩形的面积为： ，
因此图中阴影部分的面积是： ，
故选C．
【点睛】本题考查等边三角形相关计算，利用等边三角形计算出每个正六边形的面积是解题的关键．
21．
【分析】连接OB，OG⊥CB于G，证明△COB是等边三角形，继而可得正六边形的外接圆半径R，然后由勾股定
理求得边心距，又由S ＝6S△OBC求得答案．
正六边形
【详解】解：如下图所示，连接OB，设OG⊥CB于G，∵六边形ABCDEF是 O的内接正六边形，
∴∠COB＝60°，OC⊙＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝6cm，
即 O的半径R＝6cm，
∵⊙OC＝OB＝6，OG⊥CB，
∴ ，
在Rt△COG中， （cm），
∴ （cm2）．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是掌握正六边形的相
关知识．
22．
【分析】如图所示，连接OC、OD，由正五边形的性质可得 的度数，由圆周角与圆心角的关系：在同圆或
等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案．
【详解】
如图所示，连接OC、OD，
五边形 是正五边形，
，
．
【点睛】本题考查正多边形和圆以及圆周角定理，解题关键是构造弧CD所对的圆心角．
23．B
【分析】根据正六边形的性质判定即可．
【详解】解：A、正六边形是轴对称图形但不是中心对称图形，假命题，故此选项不符合题意；B、正六边形的每一个外角都等于中心角，真命题，故此选项符合题意；
C、正六边形每条对角线都相等，假命题，故此选项不符合题意；
D、正六边形的边心距等于边长的一半，假命题，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查判定命题真假，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．
24．B
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合， 轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝ ＝ ，
∴A（1， ），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（ ，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1， ）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（ ，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1， ）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1， ），
故选：B
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方
法，属于中考常考题型．
25．D
【分析】设正六边形的边长为a．想办法求出 PMN， PBM的面积即可．
△ △
【详解】解：设正六边形的边长为a．则S PCD=2× a2= a2，S BCDE=3× a2= a2，
四边形
△
由题意MN是 PCD的中位线，
△
∴S PMN= S PCD= a2，
△ △∴S MNDC= a2- a2= a2，
四边形
∴S BMC=S DNE= ( a2- a2）= a2，
△ △
∵PM=CM，
∴S PBM=S BMC= a2，
△ △
∴S PMN：S PBM= a2： a2=2：3= ，
△ △
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，
解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．D
【分析】在边长为2的大正六边形中，根据正六边形和圆的性质可求出ON和半径OD，进而得出小正六边形MF
的长，再根据正六边形的性质求出半径GF，即边长FH即可．
【详解】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连
接GH，GQ，
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2 ，
∴OD OF，
∴MF 1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FH MF ，
故选：D．【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形和圆的性质是解决问题的关键．
27．D
【分析】根据正八边形和圆的性质进行解答即可．
【详解】解：A．∵ 根据正八边形的性质， 四边形ABCH与四边形EFGH能够完全重合，即四边形ABCH与四边
形EFGH全等
∴四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等，
故选项正确，不符合题意；
B．连接DH，如图1，
∵ 正八边形是轴对称图形，直线HD是对称轴，
∴ HD平分∠CHE
故选项正确，不符合题意；
C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；
D．∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴ B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，
设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，
∠DOE＝∵OE＝OH
∴∠OEH＝∠OHE＝ ∠DOE＝22.5°
∴∠CHE＝2∠OHE＝45°
∴∠HCE＝∠HEC＝ （180°－∠CHE）＝67.5°
∴ 不是等边三角形，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．
28．A
【分析】先计算出正八边形的内角∠ABC′=135°，再利用旋转的性质得∠ABC=∠A′BC′=90°，∠BA′D′=∠BAD=90°，
所以∠ABA′=135°-90°=45°，则延长BA′过点D，然后利用正方形ABCD与正方形A′BC′D′重叠部分的面积=S BDC-
△
S DA′E进行计算．
△
【详解】解：正八边形的一个内角为： ，
∵正方形 绕点B顺时针旋转，使BC与正八边形的另一边 重合，
， ，
，
延长 至点D，DC与 相交于点E，如图所示：
，
， ，
，
∴正方形 与正方形 重叠部分的面积为：
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，把一个圆分成n等份，依次连接各点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，也考查了正方形和正八边形的性质．
29．C
【分析】根据ABCDEF是边长为4的正六边形，可得CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，根据三角形内角和定理
可得∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，所以∠FEG=90°，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的长，进而
可以解决问题．
【详解】解：∵ABCDEF是边长为4的正六边形，
∴CD=DE=DF，∠CDE=∠DEF=120°，
∴∠CED=∠ECD=∠EDF=∠EFD=30°，
∴∠FEG=90°，
∵EF=4，
∴EG= EF= ，
∴△GEF的面积= ×EF•GE= ，
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解决本题的关键是掌握正六边形的性质．
30．C
【分析】设正六边形 的中心为点 ，正六边形 的中心为点 ，连接 ， ， ， ，
过点 作 交于点 ，过点 作 交于点 ，过点 作 交于点 ，设正六边形
的边长为 ，即 ，由正六边形的性质求出 ， 以及 ，由
得出 ，由 ,代入即可得出答案．
【详解】
如图，设正六边形 的中心为点 ，正六边形 的中心为点 ，连接 ， ， ， ，过
点 作 交于点 ，过点 作 交于点 ，过点 作 交于点 ，设正六边形 的
边长为 ，即 ．
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ， ，∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵六边形 是正六边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形，掌握正多边形相关性质是解题的关键．
31．A
【分析】阴影部分为等边三角形，要求三角形的面积就要先求它的边长，根据正多边形与圆的关系即可求出．
【详解】解：连接OE、OC，过点O作OH CE于H
在六边形ABCDEF中
AF=FE=DE=DC=CB=AB同理，
是等边三角形
阴影部分的面积=3
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的性质，得出阴影部分三角形的边长是解题的关键．
32．60
【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
【详解】解：根据题意得：该图形可以看做为一个正六边形，
∵360°÷6=60°，
∴旋转角α最小可以为60°，
故答案为：60
【点睛】本题考查的是旋转对称图形、正多边形的性质，求出正六边形的中心角是解题的关键．
33．2
【详解】解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝ ＝45°，AB＝BC，
∴ ＝ ，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝ AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝ （180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2 ，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2 ）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．
34．4
【分析】先根据正六边形的性质求得△AOB是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF
∴∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=24÷6=4（cm），即R=4cm．
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了正六边形与外接圆，证得△AOB是等边三角形是解答本题的关键．
35．36【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为108°，根据等腰三角形的性质可求出∠EAC＝∠DCA＝
72°，进而可得四边形AEDF是平行四边形，求出∠DFC的度数，再根据三角形的内角和定理求出答案即可．
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠ABC＝∠EAB= =108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠ACB＝∠BAC= =36°，
∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，
∴DE∥AC，
又∵DE＝AE＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，
∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题考查正多边形与圆，掌握正五边形的性质以及三角形的内角和定理是正确解答的前提．
36．
【分析】求出内部留的小正六边形的边长，再根据正六边形的面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：由含30°的直角三角形的性质可知斜边是短直角边的2倍；
根据拼图可知，内部留下一个小的正六边形的边长为1分米，
所以它的面积为 1 6 （平方分米），
故答案为： ．
【点睛】本题考查正多边形与圆，含有30°角的直角三角形，掌握含有30°角的直角三角形的边角关系以及正多
边形与圆的有关计算方法是解决问题的前提．
37．54
【分析】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、
△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解．
【详解】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图，∵六边形MNGHPO是正六边形，
∴∠GNM=∠NMO=120°，
∴∠FNM=∠FMN=60°，
∴△FMN是等边三角形，
同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形，
∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，
∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，
∵等边△ABC≌等边△DEF，
∴AB=DE，
∵AB=27cm，
∴DE=27cm，
∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，
故答案为：54．
【点睛】本题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边的性质
是解答本题的关键．
38．4
【分析】解：如图，连接CE，由 得 ，由六边形 是正六边形证明 ，从而得
的面积为 的面积的4倍即可求解．
【详解】解：如图，连接CE，
，
，六边形 是正六边形，
AB=AF=EF=BC， ，
，
，
，
，
四边形BCEF是平行四边形，
，
的面积为1， ，
的面积为 ，
故答案为4．
【点睛】本题主要考查了正多边形的性质及平行四边形的判定及性质，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
39．18°##18度
【分析】由题意知点A、B、C、D为正五边形任意四个顶点，且O为正五边形中心得出∠AOB 72°，继而
得出∠AOD＝144°，根据OA＝OD可得答案．
【详解】解：由题意知点A、B、C、D为正五边形任意四个顶点，且O为正五边形中心，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD 72°，
∴∠AOD＝360°﹣3∠AOB＝144°，
又∵OA＝OD，
∴∠ADO 18°，
故答案为：18°．
【点睛】本题考查了正多边形的内角，正多边形的性质，等腰三角形的性质，求出∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝72°
是解题关键．
40．（1）45°；（2）8
【分析】(1)连接 ， ，由正方形 内接于 ，可求中心角 ． ．
(2)连接 ， ，由正方形 内接于 ，可求 ．由点 为 的中点，可求 ,可得，利用周角除以一个中心角即可求解
【详解】解：（1）连接 ， ，
∵正方形 内接于 ，
∴ ．
∴ ；
（2）连接 ， ，
∵正方形 内接于 ，
∴ ．
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴∠COP=∠BOP，
∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆内接正方形的性质，圆周角定理，圆内接正n边形的中心角，掌握圆内接正方形的性质，圆
周角定理，圆内接正n边形的中心角，利用周角除以正n边形的中心角求边数是解题关键．
41．（1） ；（2） ， ；（3） ．
【分析】（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得 ，再根据圆内接正三角形的
性质可得 ，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，最后根据角的和
差、等量代换即可得；
（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得 ，再根据（1）同样的方法可得
；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角 ，再根据（1）同样的方法可得 ；
（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．
【详解】（1）如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求
法是解题关键．
42．（1）45°；（2）
【分析】（1）如图1中，连接OA、OD．根据∠AED＝ ∠AOD，只要证明∠AOD＝90°即可解决问题；
（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．首先证明CE＝AF＝1，求出AC、AD，设DH＝EH＝x，
在Rt ADH中，利用勾股定理即可解决问题.
【详解△】（1）如图1中，连接 、 ．
四边形 是正方形，
，
．
（2）如图2中，连接 ， ， ， ，作 于 ．， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，设 ，
在 中， ，
，
解得 或 （舍弃），
【点睛】本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
43．(1) 的形状为等边三角形， 的长为
(2)①正方形， ；② ，
(3)经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为
【分析】（1）由旋转性质，易得 是等边三角形；利用等边三角形的性质、勾股定理求出 的长；（2）①四边形 的四边长都相等，所以是正方形；利用三角形全等证明 ；
②求面积 的表达式，这是一个二次函数，利用二次函数性质求出最值及 的取值范围．
（3）如答图2所示，经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，可能是正多边形，最大边数为8，边长为
．
（1）
由旋转性质可知 ，则 为等边三角形．
在 与 中，
，
．
设 ，则
为等腰直角三角形．
．
．
在 中，由勾股定理得： ，即： ，
解得： ， （舍去）
．
的形状为等边三角形， 的长为 ．
（2）
四边形 的形状为正方形，此时 ．理由如下：
依题意画出图形，如答图1所示：连接 、 ，作 于 ， 于 ．设 交 于 ，
交 于 ，交 于 ．由旋转性质可知， ，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
由 ， ， ，可得 ，可知 ，
四边形 的形状为正方形．
， ，
．
， ，
．
在 与 中，
，
．
②利用①中结论，易证 、 、 、 均为全等三角形，
， ．
．
，
当 时， 取得最小值2；当 或 时， ，的取值范围为： ．
（3）
过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为 ．
如答图2所示，粗线部分是由线段 经过7次操作所形成的正八边形．
设边长 ，则 ，
，解得： ．
【点睛】本题是几何变换综合题，以旋转变换为背景考查了正方形、全等三角形、等边三角形、等腰直角三角形、
正多边形、勾股定理、二次函数等知识点．本题难度不大，着重对于几何基础知识的考查，是一道好题．
44．（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）DE=7，CE=
【分析】（1）根据正方形的性质，得AB=AD；根据圆周角的性质，得 ，结合DF=BE，即可完成
证明；
（2）由（1）结论得AF=AE， ；结合∠BAD=90°，得∠EAF=90°，从而得到△EAF是等腰直角三
角形，即EF= AE；最后结合DE-DF=EF，从而得到答案；
（3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH；结合题意，得∠CBE+∠CDE=180°，从而得到E，D，
H三点共线；根据BC=CD，得 ，从而推导得∠BEC=∠DEC=45°，即△CEH是等腰直角三角形；再根据
勾股定理的性质计算，即可得到答案．
【详解】（1）如图， ， ， ，
在正方形ABCD中，AB=AD在△ADF和△ABE中
∴△ADF≌△ABE（SAS）；
（2）由（1）结论得：△ADF≌△ABE
∴AF=AE，∠3=∠4
正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BAF+∠3=90°
∴∠BAF+∠4=90°
∴∠EAF=90°
∴△EAF是等腰直角三角形
∴EF2=AE2+AF2
∴EF2=2AE2
∴EF= AE
即DE-DF= AE
∴DE-BE= AE；
（3）连接BD，将△CBE绕点C顺时针旋转90°至△CDH
∵四边形BCDE内接于圆
∴∠CBE+∠CDE=180°
∴E，D，H三点共线
在正方形ABCD中，∠BAD=90°
∴∠BED=∠BAD=90°
∵BC=CD
∴
∴∠BEC=∠DEC=45°
∴△CEH是等腰直角三角形在Rt△BCD中，由勾股定理得BD= BC=5
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=
在Rt△CEH中，由勾股定理得：EH2=CE2+CH2
∴（ED+DH）2=2CE2，即（ED+BE）2=2CE2
∴64=2CE2
∴CE=4 ．
【点睛】本题考查了正方形、圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握正
方形、圆周角、正多边形与圆、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、旋转的性质，从而完成求解．
45．（1）∠AOC=120°；（2）见解析
【分析】（1）先由圆内接四边形的性质得∠ADC=60°，再由圆周角定理即可得出答案；
（2）证△OAB和△OBC都是等边三角形，则AB=OA=OC=BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．
【详解】（1）∵A、B、C、D四点都在⊙O上
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°；
（2）连接OB，如图所示：
∵点B是弧AC的中点，∠AOC=l20°，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAB和△OBC都是等边三角形，
∴AB=OA=OC=BC，
∴四边形OABC是菱形．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所
对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．46．（1） ；（2）①12；②见详解；（3）
【分析】（1）由题意得从OM看，绕A点一周，形成了一个圈，可得M的路径长为圆O的周长，且OM为半径，
求出OM的长，即可得出答案；
（2）①由题意可知，S =S -S ，求出S 和S 即可得出答案，；
AMF ADF MDF ADF MDF
△ △ △ △ △
②先推出OM∥DB，根据E点为绕A点一周后形成的点，即可得证；
（3）由题意可知，当M为圆心，BG为直径时，该圆最大且直径最大，然后计算即可．
【详解】（1）由题意得从OM看，绕A点一周，形成了一个圈，
∴M的路径长为圆O的周长，且OM为半径，OM= =5，
∴圆O的周长为 = = ；
（2）①由题意可知，S =S -S ，
AMF ADF MDF
△ △ △
S = =24，S = =12，
ADF MDF
△ △
∴S =12；
AMF
△
②由题意的O为AB中点，M为DA中点，
∴OM∥DB，
E点为绕A点一周后形成的点，
即E，B，D三点共线；
（3）由题意可知，当M为圆心，BG为直径时，该圆最大且直径最大，
∴BM=MG=r= = = = ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．
