文档内容
知识点 25：抛体运动
考点一：平抛运动
题型一：平抛运动的规律及处理方法：
【知识思维方法技巧】
平抛运动的规律及处理方法：
（1）平抛运动的研究方法：将运动沿初速度方向（匀速直线运动）和垂直于初速度方向
（自由落体运动）进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成法则求合运动。
（2）平抛运动的基本规律：
如图以抛出点O为坐标原点，以初速度v 方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴
0
正方向.
（3）平抛运动的重要推论：
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，
如图所示，即x ＝.
B
推导：→x ＝
B
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.
推导：→tan θ＝2tan α
③速度改变量：Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间
隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
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1
学科网（北京）股份有限公司类型一：落点在水平面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
落点在水平面上平抛运动的处理技巧：
除了要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用水平面的特点。
【典例1a拔尖题】(多选)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上
述过程中A、B的水平位移分别为l和2l.忽略空气阻力，则( )
A．A和B的位移大小相等 B．A的运动时间是B的2倍
C．A的初速度是B的 D．A的末速度比B的大
【典例1a拔尖题】【答案】AD
【解析】由抛出点和落地点的几何关系，可推出小球A、B的位移大小相等，A正确；平
抛的竖直分运动是自由落体运动，由h＝gt2可推出A运动的时间是B的倍，B错误；小球
A的初速度v ＝＝＝，小球B的初速度v ＝＝＝，A的初速度是B的，C错误；根据机械
0A 0B
能守恒定律，m v＝m v0A2＋m g·2l，m v＝m v＋m gl，解得v ＝，v ＝，v >v ，D正确．
A A A B B B A B A B
【典例1a拔尖题对应练习】如图所示，P、Q和M、N分别是坐标系x轴与y轴上的两点，
Q为OP的中点，N为OM的中点，a、b、c表示三个可视为质点的物体做平抛运动的轨迹，
a、b抛出点的位置相同，a、c落点的位置相同，以v、v、v 表示三个物体的初速度，t、
a b c a
t、t 表示三个物体做平抛运动的时间，则有( )
b c
A．v∶v＝1∶2 B．v∶v＝∶4 C．t∶t＝1∶ D．t∶t＝2∶1
a b b c a b b c
【典例1a拔尖题对应练习】【答案】B
【解析】三个物体都做平抛运动，在竖直方向上是自由落体运动，由h＝gt2解得t＝，可知
下落的时间之比为t∶t∶t＝∶∶1，由x＝vt解得v＝，可知水平方向上物体的初速度之
a b c 0 0
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2
学科网（北京）股份有限公司比v∶v∶v＝2∶1∶2，故B正确，A、C、D错误。
a b c
类型二：落点在斜面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
落点在斜面上平抛运动的处理技巧：
（1）除了要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面的倾角，找出斜面倾角
同位移和速度的关系，从而使问题得以顺利解决。
（2）顺着斜面平抛，要分解位移。求物体离斜面距离最大，要分解速度。
（3）对着斜面平抛，要分解速度。
（4）斜面上平抛运动的推论：
根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落
到斜面速度方向相同。
【典例1b拔尖题】（多选）如图所示，蜘蛛在两竖直杆a、b间织网，先布下一根蛛丝
MN，再在M点正下方的P点以水平速度v 向MN跃去，蜘蛛恰好能跃到MN上。已知
0
MN与竖直方向成角α，重力加速度为g。则下列说法中正确的是( )
A．蜘蛛跃到蛛丝上的速度为
B．蜘蛛从P点跃到MN上的时间为
C．蜘蛛从P点跃到MN上的水平距离为
D．P点与M点间的距离为
【典例1b拔尖题】【答案】CD
【解析】蜘蛛恰好能跃到MN上，表示蜘蛛平抛运动的轨迹恰好和MN相切，即蜘蛛跃到
MN上时速度v的方向沿MN方向，根据几何关系可得v＝，选项A错误；同理可得，蜘蛛
跃到MN上时竖直分速度v＝，所以蜘蛛从P点跃到MN上的时间t＝＝，选项B错误；蜘
y
蛛从P点跃到MN上的水平距离x＝vt＝，选项C正确；P点与M点间的距离h＝－gt2
0
＝，选项D正确。
【典例1b拔尖题对应练习】如图所示，一小球在斜面的顶端以初速度v 水平抛出，最后落
0
到斜面上。已知斜面的倾角为α，小球的质量为m，重力加速度为g。求：
(1)小球落到斜面时速度大小和方向与水平面夹角的正切值。
(2)小球离斜面最远时的速度大小和运动时间。
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3
学科网（北京）股份有限公司【典例1b拔尖题对应练习】【答案】(1)v 2tan α(2)
0
【解析】(1)如图所示，设小球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角为 θ小球在水平方
向上做匀速直线运动，有v ＝v，x＝vt，小球在竖直方向上做自由落体运动，有v ＝gt，
x1 0 0 y1
y＝gt2，小球落到斜面上，所以有tan α＝＝，解得t＝，tan θ＝＝＝2tan α，小球落到斜
面上的速度v＝＝v。
1 0
(2)当小球的运动方向与斜面平行时，小球与斜面相距最远，设此时经历时间为 t′，小球的
运动方向与水平方向的夹角为α，则有v＝vcos α，tan α＝＝，v＝v，解得t′＝，v＝。
x x 0
类型三：落点在圆弧面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
如图甲所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t：h＝gt2，R±＝vt.
0
联立两方程可求t.
如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆
心角α与速度的偏向角相等．
如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角
θ与速度的偏向角相等．
【典例1c拔尖题】图中给出了某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB上可上下移动的弹
射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在 B点的正上方．竖直面内的半圆
弧轨道BCD的半径R＝2.0 m，直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直面内．小孔P和圆
心O连线与水平方向夹角为37°.游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进
入下一关．为了能通关，弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻力，
g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
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学科网（北京）股份有限公司A．0.15 m,4 m/s B．1.50 m,4 m/s
C．0.15 m,2 m/s D．1.50 m,2 m/s
【典例1c拔尖题】【答案】A
【解析】如图所示，OE＝OP·cos 37°＝1.6 m ，PE＝OPsin 37°＝1.2 m，x＝MN＝BO＋
OE＝3.6 m，即vt＝3.6 m，OF＝PN－1.2 m＝y－1.2 m，GF＝－OE＝－1.6 m，而＝tan
0
37°＝，则y＝x＝×3.6 m＝1.35 m，所以MB＝y－PE＝(1.35－1.2) m＝0.15 m，＝＝tan
37°，vt＝3.6 m，解得v＝4 m/s，A正确．
0 0
【典例1c拔尖题对应练习】（多选）在某次高尔夫球比赛中，一选手击球后，球恰好落在
洞的边缘，假定洞内bc表面为球面，半径为R，且空气阻力可忽略，重力加速度大小为
g，把此球以大小不同的初速度v 沿半径方向水平击出，如图所示，球落到球面上，下列说
0
法正确的是( )
A．落在球面上的最大速度为2
B．落在球面上的最小速度为
C．小球的运动时间与v 大小无关
0
D．无论调整v 大小为何值，球都不可能垂直撞击在球面上
0
【典例1c拔尖题对应练习】【答案】BD
【解析】平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，由h＝gt2，得t＝。设小球落在A点
时，OA与竖直方向之间的夹角为θ，水平方向的位移为x，竖直方向的位移为y，到达A
点时竖直方向的速度为v，则x＝vt＝Rsin θ，y＝＝＝Rcos θ，得v2＝2gRcos θ，v2＝，
y 0 y 0
又由v＝＝＝，所以落在球面上的小球有最小速度，当cos θ＝时，速度最小，最小速度为，
t
故A错误，B正确；由以上的分析可知，小球下落的时间 t＝＝ ，其中cos θ与小球的初
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学科网（北京）股份有限公司速度有关，故C错误；小球撞击在球面上时，根据“平抛运动速度的反向延长线交于水平
位移的中点”结论可知，由于O点不在水平位移的中点，所以小球撞在球面上的速度反向
延长线不可能通过O点，也就不可能垂直撞击在球面上，故D正确。
类型四：落点在抛物面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
结合抛物面方程解题，注意符号。
【典例1d拔尖题】如图所示，竖直平面第一象限有一个接触面，接触面表面满足 ，
质量为 的钢球从图中其坐标为 处，以 的初速度水平抛出，经过
时，落在接触面某处（不考虑反弹），g取 ，下列说法正确的是（ ）
A．接触表面抛物线方程表达式为
B．落在接触面上时，钢球的速度方向与水平面的夹角为
C．落在接触面上时，钢球的位移大小为
D．假设该钢球以 的初速度从图中原坐标处平抛，则不能落在接触面上
【典例1d拔尖题】【答案】D
【解析】设落在接触面上位置坐标为(x，y)根据平抛运动规律，有：
，解得 ，所以接触表面抛物线方程表达式为
，故A错误；
设钢球落在接触面上竖直分速度为 ，钢球的速度方向与水平面的夹角为 ，
则有 ，可知，落在接触面上时，钢球的速度方向与水平面的夹角不等于 。
故B错误；
落在接触面上时，钢球的位移大小为 ，故C错误；
设钢球速度为v时，恰好落在坐标原点，则 解得 ，球以
的初速度从图中原坐标处平抛，则不能落在接触面上。故D正确。故选D。
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学科网（北京）股份有限公司【典例1d拔尖题对应练习】以某一初速度水平抛出一物体，若以抛出点为坐标原点O，初
速度方向为x轴的正方向，物体所受重力方向为y轴的正方向，它的运动轨迹恰好满足方
程y＝x2，经过一段时间速度大小变为初速度的2倍，不计空气阻力，重力加速度为g，以
下说法正确的是( )
A．物体水平抛出的初速度为
B．该过程的运动时间为
C．该过程中的位移大小为
D．该程的位移方向与水平方向的夹角为θ，tan θ＝
【典例1d拔尖题对应练习【答案】ABC
【解析】根据平抛运动的规律y＝gt2，x＝vt，联立解得y＝x2，则有＝，则物体水平抛出
0
的初速度为v ＝，所以选项A正确经过一段时间速度大小变为初速度的2倍，则有v＝＝
0
2v ，解得v＝v ，又v＝gt，解得该过程的运动时间为t＝，所以选项B正确，该过程中的
0 y 0 y
位移为s＝＝，解得s＝，所以选项C正确，该过程的位移方向与水平方向的夹角为 θ，有
tan θ＝＝＝＝，所以选项D错误．
类型五：落点在竖直面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
如图所示，水平初速度v 不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝。
0
【典例1e拔尖题】如图是对着竖直墙壁沿水平方向抛出的小球a、b、c的运动轨迹，三个
小球到墙壁的水平距离均相同，且a和b从同一点抛出。不计空气阻力，则( )
A．a和b的飞行时间相同 B．b的飞行时间比c的短
C．a的水平初速度比b的小 D．c的水平初速度比a的大
【典例1e拔尖题】【答案】D
【解析】由题图可知b下落的高度比a的大，根据t＝可知，b飞行的时间较长，根据v
0
＝，可知a、b的水平位移相同，则a的水平初速度比b的大，选项A、C错误；b下落的
高度比c的大，则b飞行的时间比c的长，选项B错误；a下落的高度比c的大，则a飞行
的时间比c的长，根据v ＝，可知a、c的水平位移相同，则a的水平初速度比c的小，选
0
项D正确。
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学科网（北京）股份有限公司【典例1e拔尖题对应练习】如图所示是网球发球机，某次室内训练时将发球机放在距地面
一定的高度，然后向竖直墙面发射网球．假定网球水平射出，某两次射出的网球碰到墙面
时与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑网球在空中受到的阻力，则( )
A．两次发射的初速度之比为3∶1 B．碰到墙面前空中运动时间之比为1∶3
C．下降高度之比为1∶3 D．碰到墙面时动能之比为3∶1
【典例1e拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】在平抛运动过程中，h＝gt2，x＝vt，位移与水平方向夹角的正切值tan α＝＝.速
0
度与水平方向夹角的正切值tan β＝＝.则tan β＝2tan α.在平抛运动中，h＝x.所以＝＝，
由h＝gt2可知，＝＝，速度v＝，可得＝；由于v＝可知，＝＝，所以动能之比＝＝.综上
t
分析，C正确．
类型六：落点在水平台阶上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
（1）临界速度法（2）虚构斜面法
v v
0 0
)θ
h s h s
θ(
【典例1f拔尖题】如图所示，A、B、C是三级台阶的端点位置，每一级台阶的水平宽度
是相同的，其竖直高度分别为h 、h 、h ，将三个相同的小球分别从A、B、C三点以相同
1 2 3
的速度v 水平抛出，最终都能到达A的下一级台阶的端点P处，不计空气阻力．关于从
0
A、B、C三点抛出的小球，下列说法正确的是( )
A．在空中运动时间之比为t ∶t ∶t ＝1∶3∶5
A B C
B．竖直高度之比为h∶h∶h＝1∶2∶3
1 2 3
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学科网（北京）股份有限公司C．在空中运动过程中，动量变化率之比为∶∶＝1∶1∶1
D．到达P点时，重力做功的功率之比P ∶P ∶P ＝1∶4∶9
A B C
【典例1f拔尖题】【答案】C
【解析】根据x＝vt，水平初速度相同，A、B、C水平位移之比为1∶2∶3, 所以它们在空
0
中运动的时间之比为 1∶2∶3，A 错误；根据 h＝gt2，竖直高度之比为 h∶h∶h ＝
3 2 1
1∶3∶5，B错误；根据动量定理可知，动量的变化率为小球受到的合外力即重力，重力相
同，则动量的变化率相等，故C正确；到达P点时，由v＝gt知，竖直方向速度大小之比
y
为 1∶2∶3, 重力做功的功率 P＝mgv ，所以重力做功的功率之比为 P ∶P ∶P ＝
y A B C
1∶2∶3，故D错误．
【典例1f拔尖题对应练习】如图所示，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第1级台
阶的紧靠右边缘处，反弹后再次下落至第3级台阶的紧靠右边缘处．已知小球第一、二次
与台阶相碰之间的时间间隔为0.3 s，每级台阶的宽度和高度均为18 cm.小球每次与台阶碰
撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的，取g＝10 m/s2，则小球( )
A．第一次落点与小球抛出点间的水平距离为0.144 m
B．第一次落点与小球抛出点间的竖直距离为0.72 m
C．抛出时的初速度为1.0 m/s
D．会与第5级台阶相撞
【典例1f拔尖题对应练习】【答案】A
【解析】设第一次落在第1级台阶时，竖直方向的速度为v ，水平方向的速度为v ，由于
y1 0
第一、二次与台阶相撞的时间间隔为 Δt＝0.3 s，所以v ＝ m/s＝1.2 m/s，选项C错误；在
0
竖直方向上，小球做匀变速直线运动，以向下为正方向，有－v Δt＋g(Δt)2＝2×0.18 m，即
y1
v ＝1.2 m/s(与第1级台阶碰撞前在空中平抛的时间为0.12 s)，设第一次从抛出到落地过程
y1
下落高度为h，有v 2＝2gh，解得h＝0.072 m，水平位移x＝1.2×0.12 m＝0.144 m，选项A
y1
正确，B错误；设落到第3级台阶时竖直方向的速度为v ，v ＝－v ＋gΔt＝2.7 m/s.假设
y3 y3 y1
小球可以到达第5台阶右边缘处，第3台阶与第5台阶的竖直高度为0.36 m，两边缘处水
平距离为0.36 m，即x′＝vt＝0.36 m，解得t＝0.3 s，小球离开第3台阶后再运动0.3 s到达
0
第5台阶，竖直位移y′＝－t＋gt2＝0.247 5 m＜0.36 m，所以小球不能到达第5台阶，D选
项错误.
题型二：平抛运动的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
平抛运动临界极值问题的处理技巧：
（1）找出临界状态对应的临界条件。分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方
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学科网（北京）股份有限公司法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找到产生临界的条件。
（2）分解速度或位移．
（3）画出临界轨迹．
类型一：乒乓球平抛运动的临界极值问题
【典例2a拔尖题】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球
发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、
方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h 处以速度v 水平发出，落在球台上的P 点(如图中
1 1 1
实线所示)，求P 点距O点的距离x.
1 1
(2)若球从O点正上方某高度处以速度v 水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的
2
P 点(如图中虚线所示)，求v 的大小．
2 2
(3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P 点，
3
求发球点距O点的高度h.
3
【典例2a拔尖题】【答案】(1)v (2) (3)h
1
【解析】(1)如图甲所示，根据平抛规律得 h＝gt，x＝vt，联立解得：x＝v.
1 1 11 1 1
(2)根据平抛规律得：h＝gt，x＝vt 且h＝h，2x＝L，联立解得v＝.
2 2 22 2 2 2
(3)如图乙所示，得：h ＝gt，x ＝vt 且 3x ＝2L，设球从恰好越过球网到达到最高点时所
3 3 33 3
用的时间为t，水平距离为s，有h －h＝gt2，s＝vt，由几何关系得：x ＋s＝L，解得：h
3 3 3 3
＝h.
【典例2a拔尖题对应练习】如图所示，乒乓球的发球器安装在水平桌面上，竖直转轴OO′
距桌面的高度为h，发射器O′A长度也为h。打开开关后，可将乒乓球从A点以初速度v
0
水平发射出去，其中 。设发射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓
球自身尺寸及空气阻力不计。若使该发球器绕转轴OO′在90º角的范围内来回缓慢水平转
动，持续发射足够长时间后，乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积S是( )
A．8πh2 B．4πh2 C．6πh2 D．2πh2
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学科网（北京）股份有限公司【典例2a拔尖题对应练习】【答案】B
【 解 析 】 平 抛 运 动 的 时 间 ： ， 当 速 度 最 大 时 水 平 位 移 ：
，当速度最小时水平位移： ，故
圆环的半径为：3h≤r≤5h；乒乓球第一次与桌面相碰区域的最大面积 S＝ π[(5h)2﹣(3h)2]
＝4πh2，故ACD错误、B正确。故选B。
类型二：网球平抛运动的临界极值问题
【典例2b拔尖题】（多选）如图所示，一网球运动员将球在边界正上方某处水平向右击出，
球的初速度垂直于球网平面，且刚好过网落在对方界内。相关数据如图，不计空气阻力，
下列说法正确是( )
A．击球点高度h 与球网高度h 之间的关系为h＝1.8h
1 2 1 2
B．若保持击球高度不变，球的初速度v 只要不大于，一定落在对方界内
0
C．任意降低击球高度(仍大于h)，只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内
2
D．任意增加击球高度，只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内
【典例2b拔尖题】【答案】AD
【解析】由题意可知球通过水平位移s和s，所用的时间之比为2∶3，则在竖直方向上，
根据h＝gt2，可得＝，解得h ＝1.8h ，故A正确；竖直方向上，根据h＝gt2，可得时间t
1 2
＝，若保持击球高度不变，球恰不越界时，运动时间t ＝，故可得球的最大初速度v ＝
1 01
＝；球恰好过网时，运动时间t ＝，故可得球的最小初速度v ＝＝s，故球初速度的取值范
2 02
围是s≤v ≤，选项B错误；任意降低击球高度(仍大于h)，存在一个临界高度h ，这个临界
0 2 0
高度值满足h －h ＝gt2＝g()2，h ＝gt′2＝g()2，联立得该临界高度h ＝h ，球的初速度v
0 2 0 0 2 0
＝，低于这一高度击球，球不能落在对方界内，故选项C错误；增加击球高度，只要球的
初速度合适，球一定能落到对方界内，故D正确。
类型三：曲面模型平抛运动的临界极值问题
【典例2c拔尖题】如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平
距离L＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g
取10 m/s2.求：
(1)小球离开屋顶时的速度v 的大小范围；
0
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学科网（北京）股份有限公司(2)小球落在空地上的最小速度．
【典例2c拔尖题】【答案】(1)5 m/s≤v≤13 m/s (2)5 m/s
0
【解析】(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v ，则小球的水平位移：L
01
＋x＝v t ，小球的竖直位移：H＝gt，解以上两式得v ＝(L＋x) ＝13 m/s；设小球恰好越
011 01
过围墙的边缘时的水平初速度为v ，则此过程中小球的水平位移：L＝v t，小球的竖直位
02 022
移：H－h＝gt，解以上两式得：v ＝L＝5 m/s，小球离开屋顶时的速度大小为5 m/s≤v≤13
02 0
m/s
(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边
缘落在空地上时，落地速度最小．竖直方向：v＝2gH，又有：v ＝解得：v ＝5 m/s
min min
【典例2c拔尖题对应练习】（多选）如图所示，水平面内放置一个直径d＝1 m，高h＝1
m的无盖薄油桶，沿油桶直径距左桶壁s＝2 m 处的正上方有一点P，P点的高度H＝3
m，从P点沿直径方向水平抛出一小球，不考虑小球的反弹，下列说法正确的是(取g＝10
m/s2)( )
A．小球的速度范围为 m/s
