文档内容
知识点 25：抛体运动
考点一：平抛运动
题型一：平抛运动的规律及处理方法：
【知识思维方法技巧】
平抛运动的规律及处理方法：
（1）平抛运动的研究方法：将运动沿初速度方向（匀速直线运动）和垂直于初速度方向
（自由落体运动）进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成法则求合运动。
（2）平抛运动的基本规律：
如图以抛出点O为坐标原点，以初速度v 方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴
0
正方向.
（3）平抛运动的重要推论：
①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，
如图所示，即x ＝.
B
推导：→x ＝
B
②做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.
推导：→tan θ＝2tan α
③速度改变量：Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度 g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间
隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
1
学科网（北京）股份有限公司类型一：落点在水平面上的平抛运动
【知识思维方法技巧】
落点在水平面上平抛运动的处理技巧：
除了要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用水平面的特点。
【典例1a提高题】 无人机在距离水平地面高度h处，以速度v 水平匀速飞行并释放一包
0
裹，不计空气阻力，重力加速度为g.
(1)求包裹释放点到落地点的水平距离x；
(2)求包裹落地时的速度大小v；
(3)以释放点为坐标原点，初速度方向为x轴方向，竖直向下为y轴方向，建立平面直角坐
标系，写出该包裹运动的轨迹方程．
【典例1a提高题】【答案】(1)v (2) (3)y＝x2
0
【解析】(1)平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，h＝gt2，t＝，水平分运动是匀速直线
运动，x＝vt，联立解得x＝v.
0 0
(2)法一：根据动能定理mgh＝mv2－mv，(或根据机械能守恒定律mv＋mgh＝mv2)，解得v
＝.
法二：应用运动的合成与分解，落地时，竖直方向分速度v＝gt，则合速度v＝，解得v＝.
y
(3)在竖直方向上y＝gt2，在水平方向上x＝vt，消t可得y＝x2.
0
【典例1a提高题对应练习】“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图所示，大人和小孩在同一
竖直线上的不同高度处分别以水平速度v 、v 抛出铁圈，都能套中地面上同一目标．设铁
1 2
圈在空中运动时间分别为t、t，则( )
1 2
A．v＝v B．v>v C．t＝t D．t>t
1 2 1 2 1 2 1 2
【典例1a提高题对应练习】【答案】D
【解析】根据平抛运动的规律h＝gt2知，运动的时间由下落的高度决定，故t>t ，所以选
1 2
项C错误，D正确；由题图知，两圈水平位移相同，再根据 x＝vt，可得vs可知，小球A与地面碰撞一次反弹到最高点前可以与小球B相遇，
1
若小球A第一次落地后再经时间t 与小球B相遇，由相遇的特点“同时、同位”可得竖直
2
方向：v′t－gt2＝v (t＋t)－g(t＋t)2，v′＝v 水平方向：s－x＝v t，解得v ＝10 m/s。
y 2 2 B 1 2 1 2 y y 1 A2 B
类型二：反向平抛的相遇问题
【典例3b提高题】（多选）如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别
以初速度v 和v 沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与两抛出点水平距离相等的 P
a b
点，并且落到P点时两球的速度互相垂直．若不计空气阻力，则( )
A．小球a比小球b先抛出 B．初速度v 小于v
a b
C．小球a、b抛出点距地面高度之比为v∶v D．初速度v 大于v
b a a b
【典例3b提高题】【答案】AB
【解析】h＝gt2，所以t＝，平抛运动的运动时间是由竖直的高度决定的，由于小球a的高
度比小球b的大，所以t ＞t ，由于小球a、b的水平位移相等，由x＝vt得v ＜v ，故A、
a b 0 a b
B正确，D错误．h＝gt2＝g，故小球a、b抛出点距地面高度之比为＝，C错误．
【典例3b提高题对应练习】如图所示，将a、b两小球以大小均为20 m/s的初速度分别从
A、B两点水平相向、相差1 s先后抛出，a小球从A点抛出后，经过时间t，a、b两小球恰
好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。则抛出点
A、B间的水平距离为( )
14
学科网（北京）股份有限公司A．80 m B．100 m
C．200 m D．180 m
【典例3b提高题对应练习】【答案】D
【解析】a、b两球在空中相遇时，设a球运动的时间为t，则b球运动的时间为t－1 s，此
时两球速度相互垂直，如图所示，由图可得tan α＝＝，代入数据解得t＝5 s，故抛出点
A、B间的水平距离为x＝vt＋v(t－1 s)，解得x＝180 m，故选项D正确。
0 0
考点二：类平抛运动
【知识思维方法技巧】
类平抛运动问题分析：
（1）受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。
（2）运动特点：在初速度v 方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直
0
线运动，加速度 。
（3）求解方法：
①常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即
沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。
②特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为
a、a，初速度v 分解为v、v，然后分别在x、y方向列方程求解。
x y 0 x y
题型一：光滑斜面模型
【典例1提高题】如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长a＝5 m，宽b＝4 m，倾角θ＝
30°，一可视为质点的小球从底端A处沿斜面射入，恰好从斜面右上方顶点B处水平射出，
重力加速度g取10 m/s2.则下列说法正确的是( )
A．小球运动的加速度为10 m/s2
B．小球从A运动到B所用时间为2 s
C．小球从B点水平射出时的速度为2 m/s
D．若小球从B点以4 m/s的速度水平向左射入，则恰能从底端A点离开斜面
【典例1提高题】【答案】C
【解析】对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律可得mgsin 30°＝
ma ，解得a ＝gsin 30°＝5 m/s2，方向沿斜面向下，故A错误；逆向分析，小球从B到A
0 0
做类平抛运动，水平方向有 b＝vt，沿斜面向下方向有 a＝at2，联立解得t＝ s，v ＝2
0 0 0
m/s，故B错误，C正确；由上述分析可知，若小球从B点以2 m/s的速度水平向左射入，
则恰能从底端A点离开斜面，若小球从B点以4 m/s的速度水平向左射入，则小球会在A
15
学科网（北京）股份有限公司点上方离开斜面，故D错误．
【典例1提高题对应练习】（多选）a、b两质点从同一点O分别以相同的水平速度v 沿x
0
轴正方向抛出，a在竖直平面内运动，落地点为p ，b沿光滑斜面运动，落地点为p ，p 和
1 2 1
p 在同一水平面上，如图所示，不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )
2
A．a、b的运动时间不同
B．a、b沿x轴方向的位移相同
C．a、b落地时的速度大小相同
D．a、b落地时的速度相同
【典例1提高题对应练习】【答案】AC
【解析】质点a在竖直平面内做平抛运动，质点b在斜面上运动时，只受沿斜面方向垂直
于斜面底边的重力的分力mgsin θ的作用，如图所示，质点b做类平抛运动．分析如下：
对a，运动时间t ＝ ；对b，＝gsin θt，所以运动时间t ＝≠t ，则A项正确；对a，沿x
a b a
轴方向位移x ＝vt ，对b，沿x轴方向位移x ＝vt≠x ，则B项错误；由动能定理知：mgh
a 0a b 0b a
＝mv－mv，所以v 的大小相等，则C项正确；a、b落地时速度的方向不同，不能说速度
t
相同，则D项错误．
题型二：竖直弹性碰撞模型
【典例2提高题】（多选）如图所示，竖直墙MN、PQ间距为l，竖直线OA到两边墙面等
距．从离地高度一定的O点垂直墙面以初速度v 水平抛出一个小球，小球与墙上B点、C
0
点各发生一次弹性碰撞，且最后恰好落在地面上的A点．设B点距地面高度为h，C点距
1
地面高度为h，所有摩擦和阻力均不计．下列说法正确的是( )
2
A. h∶h＝8∶5 B. h∶h＝15∶7
1 2 1 2
16
学科网（北京）股份有限公司C. 仅将间距l加倍而仍在两墙中央O点平抛，小球不会落在A点
D. 仅将初速度v 增为nv (n为正整数)，小球一定落在A点
0 0
【典例2提高题】【答案】BD
【解析】由于竖直线OA到两边墙面的距离均为 ，小球与墙面发生弹性碰撞，无能量损失，
小球在运动过程中，竖直方向为自由落体，运动到B、C及A所用时间之比为1∶3∶4，O
到B、C、A的竖直距离分别为y、y、y，由匀变速运动规律得y∶y∶y＝1∶9∶16，h
1 2 3 1 2 3 1
＝y－y，h＝y－y，故h∶h＝15∶7，A错误，B正确；由于OA间距离不变，小球落
3 1 2 3 2 1 2
到地面时间不变，仅将间距l加倍，仍在两墙中央O点平抛，小球将与墙面碰撞一次后落
在A点，C错误；仅将初速度v 增为nv (n为正整数)，小球从抛出到落地在水平方向通过
0 0
路程s＝2nl，根据对称性，小球一定落在A点，D正确．
题型三：其他模型
【典例3提高题】据悉，我国已在陕西省西安市的阎良机场建立了一座航空母舰所使用的
滑跳式甲板跑道，用来让飞行员练习在航空母舰上的滑跳式甲板起飞。如图所示的 AOB为
此跑道纵截面示意图，其中AO段水平，OB为抛物线，O点为抛物线的顶点，抛物线过O
点的切线水平，OB的水平距离为x，竖直高度为y。某次训练中，观察战机(视为质点)通
过OB段时，得知战机在水平方向做匀速直线运动，所用时间为t，则战机离开B点的速率
为( )
A. B. C. D.
【典例3提高题】【答案】D
【解析】战机的运动轨迹是抛物线，当水平方向做匀速直线运动时，竖直方向做初速度为
零的匀加速直线运动，则战机到达B点时的水平分速度大小v ＝，竖直分速度大小v＝，
x y
合速度大小为v＝＝，选项D正确。
【典例3提高题对应练习】在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v ＝10 m/s
0
沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿y轴正方向(竖直方向)的恒力F＝15 N作用，直线
OA与x轴成α＝37°，如图所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8)．求：
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点
的坐标；
(2)质点经过P点的速度大小.
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学科网（北京）股份有限公司【典例3提高题对应练习】【答案】(1)3 s P(30 m,22.5 m) (2)5 m/s
【解析】(1)质点在水平方向上无外力作用做匀速直线运动，竖直方向受恒力 F和重力mg
作用做匀加速直线运动．由牛顿第二定律得：a＝＝ m/s2＝5 m/s2，设质点从O点到P点经
历的时间为t，P点坐标为(x ，y )，则x ＝vt，y ＝at2，又tan α＝，联立解得：t＝3 s，x
P P P 0 P P
＝30 m，y ＝22.5 m.
P
(2)质点经过P点时沿y方向的速度，v＝at＝15 m/s，故P点的速度大小v ＝ ＝5 m/s.
y P
考点三：斜上抛运动及类斜抛运动
题型一：斜上抛运动的处理方法
【知识思维方法技巧】
斜抛运动问题的处理方法：
（1）常规分解法：将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线
运动。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为
a、a，初速度v 分解为v、v，然后分别在x、y方向列方程求解．
x y 0 x y
（3）逆向思维法：把物体的斜抛运动看做从最高点开始的反向的平抛运动．斜抛运动可以
从最高点分段研究，后半段相当于平抛运动，前半段相当于反向的平抛运动，且两段运动
时间、位移和速度具有对称性．
类型一：应用常规分解法解决斜上抛运动
【知识思维方法技巧】
应用常规分解法解决斜上抛运动的技巧：
将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线运动。
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，
建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
初速度可以分解为v ＝vcos θ，v ＝vsin θ.
0x 0 0y 0
在水平方向，物体的位移和速度分别为x＝v t＝(vcos θ)t①v＝v ＝vcos θ②
0x 0 x 0x 0
在竖直方向，物体的位移和速度分别为y＝v t－gt2＝(vsin θ)t－gt2③
0y 0
v＝v －gt＝vsin θ－gt④
y 0y 0
斜抛运动中的极值：在最高点，v＝0，由④式得到t＝⑤
y
将⑤式代入③式得物体的射高y ＝⑥
m
物体落回与抛出点同一高度时，有y＝0，由③式得总时间t ＝⑦
总
18
学科网（北京）股份有限公司将⑦式代入①式得物体的射程x ＝
m
当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．
所以对于给定大小的初速度v，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大．
0
【典例1a提高题】某同学在高度h处以一定大小的速度 抛出一小球，当其速度方向不同
时，落地点与抛出点的水平距离即射程大小也不同，若不计空气阻力，则最大射程为（
）
A． B． C． D．
【典例1a提高题】【答案】D
【解析】如图所示
对初速度 进行分解，水平方向 ，竖直方向 ，则水平射程为
，竖直方向落地时 ，消去 解得
则 ，当 ，时x有最大值
，即 ，ABC错误，D正确。故选D。
【典例1a提高题对应练习】（多选）如图所示，从水平地面上a、b两点同时抛出两个物
体，初速度分别为v 和v ，与水平方向所成角度分别为30°和60°。某时刻两物体恰好在ab
1 2
连线上一点O(图中未画出)的正上方相遇，且此时两物体速度均沿水平方向，不计空气阻
力。则( )
A．v＞v B．v＝v
1 2 1 2
C．Oa＞Ob D．Oa＜Ob
【典例1a提高题对应练习】【答案】AC
【解析】两物体做斜抛运动，在竖直方向减速，在水平方向匀速，对从a点抛出的物体：
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学科网（北京）股份有限公司v ＝vcos 30°＝v ，v ＝vsin 30°＝v ，竖直方向通过的位移为：h＝＝，对从b点抛出的物
1x 1 1 1y 1 1
体：v ＝vcos 60°＝，v ＝vsin 60°＝v，竖直方向通过的位移为：h′＝＝。因h＝h′，联立
2x 2 2y 2 2
解得：v ＞v ，故A正确，B错误；由于v ＝v ，v ＝v ，则有从a点抛出的物体在水平方
1 2 1x 1 2x 2
向的速度大于从b点抛出的物体在水平方向的速度，故在水平方向上，从a点抛出的物体
通过的位移大于从b点抛出的物体的位移，即Oa＞Ob，故C正确，D错误。
类型二：应用特殊分解法解决斜上抛运动
【知识思维方法技巧】
对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为 a 、a，初速度v
x y 0
分解为v、v，然后分别在x、y方向列方程求解．
x y
【典例1b提高题】如图，斜面倾角为30°，某一物体从斜面上距地面高为h＝2 m处的A
点以速度v＝4 m/s与斜面成60°飞出，最后落回斜面上B点．不计空气阻力，重力加速度
0
g＝10 m/s2，O点为斜面最低点．关于物体的运动情况下列说法正确的是( )
A. 物体飞行时间为0.8 s B. 物体离斜面的最远距离为 m
C. AB长度为1.6 m D. 物体离地面的最大高度为0.2 m
【典例1b提高题】【答案】A
【解析】将运动沿着斜面和垂直斜面方向正交分解，
在垂直斜面方向上2vsin 60°＝gtcos 30°，可得飞行时间t＝0.8 s，故A正确；物体离斜面的
0
最远距离：d＝ ＝ m，故B错误；AB的长度L＝vtcos 60°＋ gsin 30°·t2＝
0
4×0.8× m＋ ×10× ×0.82m＝3.2 m，故C错误；将运动沿水平方向和竖直方向分解，由几
何关系可得初速度与竖直方向夹角为60°，因此最大高度H＝h＋ ＝2.2 m，故
D错误．
类型三：应用逆向思维法解决斜上抛运动
【知识思维方法技巧】
应用逆向思维法解决斜上抛运动的技巧:
把物体的斜抛运动看做从最高点开始的反向的平抛运动．斜抛运动可以从最高点分段研究
后半段相当于平抛运动，前半段相当于反向的平抛运动，且两段运动时间、位移和速度具
有对称性．
【典例1c提高题】甲、乙两个同学对打乒乓球，设甲同学持拍的拍面与水平方向成α角，
乙同学持拍的拍面与水平方向成β角，如图所示，设乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，
且乒乓球每次击打球拍前与击打后速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍
20
学科网（北京）股份有限公司的速度v 与乒乓球击打乙的球拍的速度v 之比为( )
1 2
A. B. C. D.
【典例1c提高题】【答案】A
【解析】乒乓球被甲的球拍击打后以速度v 做斜上抛运动到最高点，此运动可看成平抛运
1
动的逆过程，设平抛的初速度为v，则v＝，v＝，得＝，A项正确。
0 1 2
【典例1c提高题对应练习】如图所示，某同学由O点先后抛出完全相同的3个小球(可将
其视为质点)，分别依次垂直打在竖直木板M、N、P三点上。已知M、N、P、O四点距离
水平地面高度分别为4h、3h、2h、h。不计空气阻力，以下说法正确的是( )
A．击中P点的小球速度最小
B．分别到达M、N、P三点的小球的飞行时间之比为1∶2∶3
C．分别到达M、N、P三点的小球的初速度的竖直分量之比为 ∶ ∶1
D．分别到达M、N、P三点的小球的加速度大小之比为3∶2∶1
【典例1c提高题对应练习】【答案】C
【解析】B．将运动逆向看，可看成是三个平抛运动，且达到O点时水平位移相等，根据
，可得运动时间： ；则到达M、N、P的运动时间之比为 ，故
B错误；A．水平方向有 ，则击中M、N、P水平方向的速度之比为 ，击
中M点的小球速度最小，P点的小球速度最大，故A错误；C．由 可知，达到M、
N、P三点的小球的初速度的竖直分量之比为 ，故C正确；D．做斜抛运动的物
体加速度为重力加速度，故到达木板前小球的加速度相同，故D错误。故选C。
题型二：斜抛运动与其他运动的相遇问题
【典例2提高题】（多选）如图，两位同学同时在等高处抛出手中的篮球A、B，A以速度
v 斜向上抛出，B以速度v 竖直向上抛出，当A到达最高点时恰与B相遇。不计空气阻力，
1 2
A、B质量相等且均可视为质点，重力加速度为g，以下判断正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．相遇时A的速度一定为零 B．相遇时B的速度一定为零
C．A从抛出到最高点的时间为 D．从抛出到相遇A、B动量的变化量相同
【典例2提高题】【答案】BCD
【解析】A分解为竖直方向的匀减速直线运动与水平方向的匀速直线运动，相遇时A达到
最高点则其竖直方向的速度为0，水平方向速度不变，合速度不为0，故A错误；A在竖直
方向的分速度为v，则相遇时：vt－gt2＝v t－gt2，解得v ＝v，B达到最高点，速度也为
y y B B y
0，故B正确；A与B到达最高点的时间相等为t＝，故C正确；两者受到的外力为重力，
时间相同则冲量相同，动量的变化量相同，故D正确。
题型三：类斜抛运动的处理方法
【知识思维方法技巧】
类斜抛运动问题的处理方法：
（1）常规分解法：将类斜抛运动分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的匀变速直
线运动。
（2）特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为
a、a，初速度v 分解为v、v，然后分别在x、y方向列方程求解．
x y 0 x y
（3）逆向思维法：把物体的类斜抛运动看做从最高点开始的反向的类平抛运动。类斜抛运
动可以从最高点分段研究，前半段相当于反向的类平抛运动，后半段相当于类平抛运动，
且两段运动时间、位移和速度具有对称性．
类型一：已知合外力模型
【典例3a提高题】在光滑的水平面上，一质量为m＝2 kg的滑块在水平方向恒力F＝4 N
的作用下运动．如图所示给出了滑块在水平面上运动的一段轨迹，滑块过P、Q两点时速
度大小均为v＝5 m/s，滑块在P点的速度方向与PQ连线夹角α＝37°，sin 37°＝0.6，cos
37°＝0.8，则下列说法正确的是( )
A．水平恒力F的方向与PQ连线成53°夹角 B．滑块从P点运动到Q点的时间为3 s
C．滑块从P点运动到Q点的过程中速度最小值为3 m/s
D．P、Q两点连线的距离为10 m
【典例3a提高题】【答案】B
【解析】 滑块在水平恒力作用下由P点到Q点，滑块过P、Q两点时速度大小均为v＝5
m/s，即水平恒力不做功，所以力应该和位移的方向垂直，A错误；把滑块在P点的速度分
22
学科网（北京）股份有限公司解到垂直于PQ方向上有v ＝vsinα＝5×0.6 m/s＝3 m/s，由题意知在这个方向上滑块先减速
2
后反向加速，由牛顿第二运动定律得，运动的加速度 a＝＝2 m/s2，运动具有对称性，得滑
块从P到Q的时间t＝2×＝2× s＝3 s，B正确；把速度分解到 PQ方向上有v ＝vcosα＝
1
5×0.8 m/s＝4 m/s，滑块在PQ方向上做匀速运动，所以当滑块在垂直于 PQ方向上的速度
等于零时，速度最小，为4 m/s，C错误；P、Q两点之间的距离为PQ＝vt＝4×3 m＝12
1
m，D错误．
类型二：已知二个相互垂直的外力模型
【典例3b提高题】如图所示，在风洞实验室中，从A点以水平速度v 向左抛出一个质量
0
为m的小球，小球抛出后所受空气作用力沿水平方向，其大小为F，经过一段时间小球运
动到A点正下方的B点处，重力加速度为g，在此过程中，求：
（1）小球离A、B所在直线的最远距离；
（2） A、B两点间的距离；
【典例3b提高题】【答案】(1) (2) (3)
【解析】 (1)将小球的运动沿水平方向和竖直方向分解，水平方向：F＝ma ，v2＝
x 0
2ax ，解得：x ＝ .(2)水平方向速度减小为零所需时间t＝ ，由对称性知总时间t
x max max 1
＝2t 竖直方向上：y＝ gt2＝ .(3)小球运动到B点时速度最大，有v＝v，v＝gt，
1 x 0 y
则v ＝ ＝ .
max
考点四：三维空间抛体运动
题型一：平抛运动模型
【典例1提高题】如图所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s
处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)．球员顶球点的高度为h.足球做平
抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )
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学科网（北京）股份有限公司A．足球位移的大小x＝
B．足球初速度的大小v＝
0
C．足球末速度的大小v＝
D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝
【典例1提高题】【答案】B
【解析】根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x ＝ ，则足
水平
球位移的大小为：x＝＝ ，选项A错误；由h＝gt2，x ＝vt，可得足球的初速度为 v
水平 0 0
＝ ，选项B正确；对足球应用动能定理：mgh＝mv2－mv，可得足球末速度v＝ ＝ ，选
项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝，选项D错误．
【典例1提高题对应练习】如图所示，边长为a的正方体无盖盒子放置在水平地面上，O
为直线B′A′延长线上的一点，且与A′的距离为a，将小球(可视为质点)从O点正上方距离
2a处以某一速度水平抛出，不计空气阻力，重力加速度为 g。为使小球能落在盒子内部，
调整抛出方向，则小球抛出时的速度最大不超过( )
A. B.
C. D.
【典例1提高题对应练习】【答案】A
【解析】当小球恰好从C点落入盒子时水平速度最大，此时小球的水平位移为x＝OC′＝＝
a，竖直位移为a，根据平抛运动的规律得a＝vt，a＝gt2，联立解得v＝，故选A。
0 0
题型二：流体抛体运动
【典例2提高题】为了节约用水又能完成浇水任务，绿化洒水车在工作时需要根据工作环
境中的实际情况控制水量的大小。如图所示，若洒水车的水平喷水口满管径工作，且距某
绿化带两侧的水平距离分别为 、 ，忽略水滴受到的空气阻力，为完成绿化带浇水任务，
则洒水车单位时间内最大出水量和最小出水量之比为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【典例2提高题】【答案】C
【解析】设管的横截面积为S，喷水距离为L，水流速度为v，则出水量为 最大出水
量水流速为 ，则t时间内出水量 最小出水量水流速为 ，则t时间内出
水量
单位时间内最大出水量与最小出水量之比 故C正确，ABD错误。故选C。
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