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专题强化三：圆的解答题必刷试题（30道）
1．（2022·全国·九年级）如图，PA与⊙O相切于点A，点B在⊙O上，且PA=PB．
(1)求证：PB与⊙O相切；
(2)点Q在劣弧AB上运动，过点Q作⊙O的切线分别交PA，PB于点M，N．若PA=6，则 PMN的周长为______．
△
2．（2022·河南·油田十中九年级期末）如图， 的边 为直径的 交 于D， ，作 垂
足为E，连接 ，
(1)求证： 是 的切线．
(2)若 ， ．求线段 的长．
3．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，⊙O与△ABC的边BC相切于点D，与AB、AC的延长线分别
相切于点E、F，连接OB，OC．(1)若∠ABC=80°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数．
(2)∠BOC与∠A有怎样的数量关系，并说明理由．
4．（2022·宁夏·中考真题）如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点 ， 平分 交 于点 ，过
点 作直线 于点 ，交 的延长线于点 ．连接 并延长交 于点 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
5．（2022·黑龙江绥化·九年级期末）已知：如图， 为 的直径， ， 交 于 ， 于 ．(1)请判断 与 的位置关系，并证明．
(2)连接 ，若 的半径为2.5， ，求 的长．
6．（2022·福建南平·九年级期末）如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O
于点H，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
(1)求证：AF=CE；
(2)若BF=2， ，求⊙O的半径．
7．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，
PD切⊙O于点C． ，垂足为D，连接BC．
(1)求证：BC平分∠PBD；
(2)若 ， ，求⊙O的半径．
8．（2022·江苏南通·中考真题）如图，四边形 内接于 ， 为 的直径， 平分 ，
点E在 的延长线上，连接 ．
(1)求直径 的长；(2)若 ，计算图中阴影部分的面积．
9．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）AB为 的直径，C是 上的一点，D在AB的延长线上，且 ，
(1)CD与 相切吗？如果相切，请你加以证明；如果不相切，请说明理由．
(2)若 ，BD＝12cm．求 的半径．
10．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，在 ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，
B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．
(1)求证：EC是⊙O的切线；
(2)若AD＝2 ，求扇形OAM的面积（结果保留π）．
11．（2022·江苏·九年级期中）如图，点A、P、B、C是 上的四个点，且 ．
(1)证明： 是正三角形．(2)若 的半径是6，求正 的边长．
12．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与AC，BC分别交于点D和
点E，过点E作EF⊥AC，垂足为F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若CD＝4，EF＝3，求⊙O半径．
13．（2022·湖南长沙·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且
AC=CD，∠ACD=120°．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=12，求AD的长；
(3)若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
14．（2022·福建南平·九年级期末）如图，在 中， ，点O为 边上一点，以点O为圆心，
长为半径的圆与边 相交于点D，连接 ，当 为 的切线时．
(1)求证： ；
(2)若 的半径为1，求 的长．
15．（2022·浙江台州·九年级期末）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AC=8，CD=12，求半径的长度．
16．（2022·山东东营·中考真题）如图， 为 的直径，点C为 上一点， 于点D， 平分 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 的半径为2，求图中阴影部分的面积．
17．（2022·浙江丽水·一模）如图， 是 的直径，C，D是 上两点，C是 的中点，过点C作 的垂
线，分别交 与 的延长线于点E和点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
18．（2022·山东烟台·一模）图，在平行四边形 中， 是对角线， ，以点A为圆心，以 的长为半径作 ，交 边于点E，交 于点F，连接 ．
(1)试判断直线 与 的位置关系，并证明你的判断．
(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
19．（2022·浙江台州·二模）如图，已知BC是 的直径，PB是 的切线．连接PO，过点C作OP的平行线交
于点A，连接PA．
(1)求证：PA是 的切线；
(2)若 ， ，求阴影部分的面积．
20．（2022·江苏·滨海县教师发展中心二模）如图，直线AB经过 上的点C，直线BO与 交于点F和点D，
OA与 交于点E，与DC交于点G， ， ．
(1)求证：AB是 的切线；
(2)若FC//OA， ，求图中阴影部分面积．
21．（2022·河北廊坊·一模）如图，四边形 内接于半 ， 是半 的直径，A、D是半圆弧的三等分点
连接 ，过D作 交 的延长线于E．(1)求证： 是半 的切线；
(2)已知 ，求图中阴影部分的面积．
22．（2022·湖北武汉·二模）如图，PA与⊙O相切于点A，AB是直径，点C在⊙O上，连接CB，CP，2∠B+∠P＝
180°．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)过O作OD∥PC，交AP于点D，若AB＝8，∠AOD＝30°．求由线段PA，PC及弧AC所围成阴影部分的面积．
23．（2022·广东东莞·九年级期末）如图1，四边形ABCD内接于 ，AD为直径，过点C作 于点E，连
接AC．
(1)求证： ；
(2)若CE是 的切线， ，连接OC，如图2．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB＝2时，请直接写出AD，AC与 围成阴影部分的面积为______．24．（2022·河北石家庄·二模）如图， 的半径为3， 与 相切于点B， 交 于点C， 的延长线交
于点D，E是 上不与B，D重合的点， ．
(1)求 的度数；
(2)求图中阴影部分的面积．
(3)在 的延长线上取点F，使 ，作直线 ，判断直线 与 有怎样的位置关系，并说明理由．
25．（2022·河北承德·九年级期末）如图1，点B，C是以AD为直径的半圆⊙O上的两点，过点C作射线AB的垂
线，交射线AB于点E，连接BC，AC，CD．
(1)求证：∠CAD=∠ECB；
(2)如图2，若CE是⊙O的切线，点C是半圆⊙O的一个三等分点，连接OC．
①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；
②当AB=2时，求弦AB与 、弦BC与 所围成的阴影部分的面积．
26．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧 的中点，过点D作⊙O
的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．(1)求证： ；
(2)若⊙O的半径为 ，DE＝1，求AE的长度；
(3)在（2）的条件下，求 的面积．
27．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期末） 内接于 ，连接 ， ．
(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点 在 外， ，CD∥OB，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，点 在圆周上（若与点 位于AB的两侧），连接EB、EC，若 ，
， ，求 的半径长．
28．（2022·新疆·乌鲁木齐八一中学九年级期中）如图，在 中，点A是边BE上一点，以AB为直径的 与
CE相切于点D， ，点F为OC与 的交点．(1)求证：CB是 的切线；
(2)连接DB与OC交于点G， ， ，求阴影部分面积．
29．（2022·山东临沂·二模）如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是 的中点，过点E作
AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
(1)EM与BE的数量关系是 ；
(2)求证： ；
(3)若AM＝ ，MB＝2，求阴影部分图形的面积．
30．（2023·河北·九年级专题练习）已知，在半圆 中，直径 ，点 ， 在半圆 上运动，（点 ， 可
以与 ， 两点重合），弦 ．(1)如图1，当 时，直接写出图中标注顶点的所有全等三角形；
(2)如图2，若 时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的（图形）的面积；
(3)如图3，取CD的中点 ，点 从点 开始运动到点 与点 重合时结束，在整个运动过程中：
①点M到AB的距离的最小值是______；
②直接写出点M的运动路径长______．参考答案：
1．
（1）
证明：连接OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAO=90°，
在 APO和 BPO中，
△ △
，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB与⊙O相切；
（2）
解：∵PA，PB是⊙O的切线，过点Q作⊙O的切线，PA=6，
∴MA=MQ，NQ=NB，PA=PB=6，
∴△PMN的周长=PM+MQ+NQ+PN=PA+PB=12；
故答案为：12．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，切线长定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的
关键．
2．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接OD，由三角形中位线可知OD∥AC，然后问题可求证；
（2）连接AD，则可得△ABC是等边三角形，然后可得DC=4，则可知AB=8，OD=4，进而根据勾股定理可进行求
解．
（1）
证明：连接OD，如图所示：∵AB是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵ ，
∴ ，
∴OD⊥DE，
∵OD是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）
解：连接AD，如图所示：
∵AB是 的直径，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴△ABC是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
在Rt△ODE中，由勾股定理得： ．
【点睛】本题主要考查切线的判定、勾股定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握切线的判定、
勾股定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．
3．(1)60°
(2)∠BOC=90°- ∠A，见解析
【分析】（1）方法一：先根据平角的定义求出∠EBC和∠DCF的度数，再根据切线长定理得到∠EBO=∠DBO=
∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO= ∠DCF=70° ，据此理由三角形内角和定理求解即可；方法二：如图，连接OD，
OE，OF，则由切线的性质可知，证明Rt△ODB≌Rt△OEB(HL) ， Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，得到∠EOB=∠DOB
，∠COD=∠COF，先求出∠A的 度数，再利用四边形内角和定理求出∠EOF=120°，则∠BOC=∠BOD+∠COD=
∠EOF=60°．
（2）同（1）方法二求解即可．
（1）
解：方法一： 由题意得∠EBC=180°-∠ABC=180°-80°=100°，∠DCF=180°-∠ACB=180°-40°=140°，
由切线长定理可知，∠EBO=∠DBO= ∠EBC=50°，∠DCO=∠FCO= ∠DCF=70° ，
∴在△OBC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠BCO=180°-70°-50°=60°；
方法二：如图，连接OD，OE，OF，则由切线的性质可知，
∠BEO=∠BDO=∠CDO=∠CFO=90°，
又∵OD=OE=OF，OB=OB，OC=OC，
∴Rt△ODB≌Rt△OEB(HL) ， Rt△ODC≌Rt△OFC(HL)，
∴∠EOB=∠DOB ，∠COD=∠COF，
在△ABC中，∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°，
在四边形AEOF中，∠A+∠EOF=180°，
∴∠EOF=120°，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD= ∠EOF=60°．（2）
解：同（1）方法二可得 ，∠EOB=∠DOB ，∠COD=∠COF，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD= ∠EOF= ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理，四边形内角和定理，全等三角形的性质
与判定等等，熟知切线的性质和切线长定理是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接OD，由∠ODA＝∠OAD＝∠DAC证明OD AC，得∠ODF＝∠AED＝90°，即可证明直线DE
是⊙O的切线；
（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB＝90°，再根据等角的余角相等证明∠M＝∠ABM，则AB＝AM；
（3）由∠AEF＝90°，∠F＝30°证明∠BAM＝60°，则 ABM是等边三角形，所以∠M＝60°，则∠EDM＝30°，所
以BD＝MD＝2ME＝2，再证明∠BDF＝∠F，得BF＝△BD＝2．
（1）
证明：连接OD，则OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠DAC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∴OD AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）
证明： 线段 是 的直径，
，
∴∠ADM＝180°－∠ADB＝ ，
∴∠M＋∠DAM＝ ，∠ABM＋∠DAB＝ ，
∵∠DAM＝∠DAB，
∴∠M＝∠ABM，
∴AB＝AM．
（3）
解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，
∴∠BAM＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠M＝60°，
∵∠DEM＝90°，ME＝1，
∴∠EDM＝30°，
∴MD＝2ME＝2，
∴BD＝MD＝2，
∵∠BDF＝∠EDM＝30°，
∴∠BDF＝∠F，
∴BF＝BD＝2．
【点睛】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等
边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地
作出所需要的辅助线是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)【分析】（1）连接AD、OD，根据直径所对圆周角是直角，等腰三角形的性质，证明OD是△ABC的中位线，继
而可得DE⊥OD，即可得证；
（2）由Rt△ADC中根据勾股定理求出DC，根据等面积法可以求出DE．
（1）
DE与 相切，
证明：连接AD、OD，
∵AB为O的直径，
∴∠BDA= 90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD = DC，
又∵OB= OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是 的切线．
（2）
解：∵ 的半径为2.5，
则AB=AC=5，
在 中，AD=3，AC=5，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上
某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可，掌握以上知识是解题的关键．6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接DF，根据菱形的性质可得AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．再由切线的性质，可得
∠CED=∠ADE=90°．可证得 DAF≌△DCE．即可求证；
△
（2）连接AH，DF，根据等腰三角形的性质可得 ．在Rt ADF和Rt BDF中，根据勾股定理，
△ △
即可求解．
（1）
证明：如图，连接DF，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD，AD∥BC，∠A=∠C．
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ADE=90°．
∵AD∥BC，
∴∠CED=∠ADE=90°．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠DFA=90°．
∴∠AFD=∠CED=90°．
在 DAF和 DCE中， ，
△ △
∴△DAF≌△DCE（AAS）．
∴AF=CE．
（2）
解：如图，连接AH，DF，∵AD是⊙O的直径，
∴∠AHD=∠DFA=90°．
∵AD=AB， ，
∴ ．
在Rt ADF和Rt BDF中，
由勾股△定理，得△DF2=AD2－AF2，DF2=BD2－BF2，
∴AD2－AF2=BD2－BF2．
∴AD2－（AD－BF）2=BD2－BF2．
∴ ．
∴AD=5．
∴⊙O的半径为 ．
【点睛】本题考查了圆的综合，涉及了圆周角定理，菱形的性质，切线的性质，三角形全等的性质和判定，勾股
定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．
7．(1)见解析
(2)2cm
【分析】（1）连接OC，由切线的性质易得到 ，进而推出 ，结合 易得
，即可求解；
（2）设半径为r，进而求出 ，然后根据勾股定理求解．
（1）
证明：连接OC，
∵ 是⊙O的切线，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴BC平分∠PBD；
（2）
解：设半径为r，
则 ，
则 ，
在Rt△POC中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ ，
即⊙O的半径是2cm．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的判定和性质，角平分线的判定，勾股定理，理解相关知识是解答
关键．
8．(1)4
(2)6
【分析】（1）设 辅助线，利用直径、角平分线的性质得出 的度数，利用圆周角与圆心角的关系得出
的度数，根据半径与直径的关系，结合勾股定理即可得出结论．
（2）由（1）已知 ， 得出 的度数，根据圆周角的性质结合 得出 ，
再根据直径、等腰直角三角形的性质得出 的值，进而利用直角三角形面积公式求出 ，由阴影部分面积
可知 即为所求．
（1）解：如图所示，连接 ， 为 的直径， 平分 ，， ， ． ． ， ，
，即 ． ． ．
（2）解：如图所示，设其中小阴影面积为 ，大阴影面积为 ，弦 与劣弧 所形成的面积为 ，
由（1）已知 ， ， ， ，
． ， 弦 弦 ，劣弧 劣弧 ． ．
为 的直径， ， ， ． ， ．
． ．
【点睛】本题考查圆的性质的理解与综合应用能力．涉及对半径与直径的关系，直径的性质，圆周角与圆心角的
关系，圆周角的性质，勾股定理，直角三角形，角平分线等知识点．半径等于直径的一半；直径所对的圆周角是
直角；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角等于圆心角的一半；在同圆或等圆中，圆周角相等 弧相等 弦相
等．一个直角三角中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．恰当借助辅助线，灵活运用圆周角的性
质建立等式关系是解本题的关键．
9．(1)CD与⊙O相切．证明见解析
(2)12cm
【分析】（1）连接CO，由已知可证得∠OCD=90°，即可得CD是⊙O的切线；
（2）由已知可推出∠A=∠BCD=30°，即BC=BD=12，从而得到AB=24，即可得到半径的长．
（1）解：CD与⊙O相切．理由如下： 如图，连接CO， ∵AB为⊙O的直径，C
是⊙O上一点， ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°； ∵∠A=∠OCA，且∠DCB=∠A， ∴∠OCA=∠DCB，
∴∠OCD=90°， ∴CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠D=30°； ∴∠COD=60°， ∴∠A=30°， ∴∠BCD=∠D=30°， ∴BC=BD=12，∴AB=24， ∴r=12（cm）．
【点睛】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），
再证垂直即可，同时考查了等腰三角形的判定与性质，含 的直角三角形的性质．
10．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根据等腰三角形的
性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后说明∠OBC=90°即可证明结论；
（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2 ，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，然后再说明
△AOM是等边三角形，即∠AOM＝60°；最后根据扇形的面积公式求解即可．
（1）
证明：连接OB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ABC=∠D=60°
∴∠ABE=120°
∵AB=EB
∴∠E=∠BAE=30°
∵OA=OB
∴∠ABO=∠OAB=30°
∴∠OBC=30°+60°= 90°
∴OB⊥CE
∵OB是半径
∴EC是⊙O的切线．
（2）
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=2过O作OH⊥AM于H
则四边形OBCH是矩形
∴OH=BC=2 ，OH∥EC
∴∠AOH=∠E=30°
∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°
∵OA=OM，∠OAH=60°
∴△AOM是等边三角形
∴∠AOM＝60°
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、扇形面积计算等
知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．
11．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC=∠BAC=60°，利用等边三角形的判定即可证的结论；
（2）连接OB、OC，过O作OH⊥BC与H，证明∠BOC=120°，利用等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质
求解即可．
（1）
解：∵ ，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴∠ACB=180°－∠ABC－∠BAC=60°,
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB，
∴△ABC是正三角形；
（2）
解：连接OB、OC，过O作OH⊥BC与H，
∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBE=30°，BE=CE，
∴在Rt△OBE中，OE= OB=3，BE= = ，
∴BC= ，
即正△ABC的边长为 ．
【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质，熟练
掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
12．(1)见解析
(2)⊙O半径为
【分析】(1)连接OE，利用等腰三角形的性质，证明OE// AC即可解答；
(2)过点O作OG⊥AD，垂足为G，易证四边形OEFG是矩形，从而得出OG = EF= 3，设⊙O的半径为x，然后利
用垂径定理表示出AG，最后在Rt∆OAG利用勾股定理列出关于x的方程进行计算即可解答．
（1）
证明：连接OE，
∵EF⊥AC，
∴∠EFD=∠EFC=90°
∵AB= AC，
∴∠B=∠C，
∵OB= OE，
∴∠B=∠OEB，
∴∠OEB=∠C，
∴OE// AC，
∴∠OEF=∠EFC = 90°，
∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；
（2）
过点O作OG⊥AD，垂足为G，
∴∠OGF = 90°
∵∠OEF=∠EFG=90°
∴四边形OEFG是矩形，
∴OG= EF= 3，
设⊙O的半径为x，
∴AB=AC=2x，
∵CD= 4，
∴AD= AC-CD= 2x- 4，
∵OG⊥AD，
∴AG= AD=x-2，
在Rt△OAG中，AG2 +OG2 =OA2
(x-2)2+9=x2
x=
⊙O的半径为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接OC，AC=CD，∠ACD=120°得∠A=∠D=30°，根据圆周角定理求得∠COD=2∠A=60°，则∠OCD=90°，可证得CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，由∠OCD=90°，∠D=30°得OD=2OC=2r，在Rt DOC中根据勾股定理列
方程求出r的值，即可求出AD的长； △
（3）在Rt DOC中根据勾股定理列方程求出CD的长，而∠COB=60°，由S =S COD-S COB求出图中阴影
阴影 扇形
部分的面积△即可． △
(1)
证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A=30°．
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=90°．即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
(2)
解：如图，设⊙O的半径为r，则OC=OA=r，
∵∠OCD=90°，∠D=30°，
∴OD=2OC=2r，
∵ ，且CD=AC=12，
∴ ，解得 或 （不符合题意，舍去），
∴ ， ，
∴ ．
(3)
如图，∵⊙O的半径为3，
∴OC=3，
∵∠OCD=90°，∠D=30°，
∴OD=2OC=6，
∴ ，
∵∠COB=60°，∴ ．
【点睛】本题考查切线的判定、圆周角定理、含30°角的直角三角形、勾股定理、扇形面积的计算等知识，正确地
作出所需要的辅助线是解题的关键．
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，利用切线的性质可以得到∠ODC＝90°，则 ，然后利用等腰三角形
的性质以及等角的余角相等证明∠A＝∠ADC，即可解答；
（2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠DCB＝∠DBC＝∠BDO＝30°，然后在Rt ODC中进行
计算即可． △
（1）
证明：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴OC＝2OD＝2，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练
掌握切线的性质是解题的关键．
15．(1)答案见解析
(2)5
【分析】（1）连接OD，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠DAB+∠DBA＝90°，再由∠CDA＝∠CBD可得
∠CDA+∠DAO＝90°，然后利用OD＝OA证出∠DAB＝∠ADO，从而得∠CDO＝90°，根据切线的判定即可得出；
（2）在Rt△CDO中利用勾股定理列出关于r的方程即可解答．
（1）
证明：连接OD，
∵AB是 O的直径，
∴∠ADB⊙＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
∵OD是 O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2） ⊙
解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，
∴122+r2＝（8+r）2，
∴r＝5，
∴半径的长度为5．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
16．(1)见解析(2)
【分析】（1）连接OC，根据OB=OC，以及 平分 推导出 ，即可得出 ，从而推
出 ，即证明得出结论；
（2）过点O作 于F，利用 即可得出答案．
（1）
证明：连接OC，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点D，
∴ ，
∴直线 是 的切线；
（2）
过点O作 于F，如图，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，包括垂径定理，圆的切线，扇形的面积公式等，熟练掌握以上性质并正确作
出辅助线是本题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，根据题意证明 ，得出 ，根据 ，得出 ，即可证
明结论；
（2）设 ，则 ，根据勾股定理列出关于r的方程，解方程，得出圆的半径，求出
，得出 ，根据圆周角定理得出 ，即可求出 的长度．
(1)
解：连接OC，
∵C是弧 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是圆O的切线．
(2)设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆的切线判定，圆周角定理，平行线的判定和性质，勾股定理，弧长的计算，根据题意
证明 ，求出圆的半径r，是解题的关键．
18．(1)相切，理由见解析
(2)4
【分析】（1）证明：连接AE，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得∠DAE=∠AEB，根据全等三角
形的性质得到∠DEA=∠CAB，得到DE⊥AE，于是得到结论；
（2）根据已知条件得到△ABE是等边三角形，求得AE=BE，∠EAB=60°，得到∠CAE=∠ACB，得到CE=BE，根
据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
(1)
DE与⊙A相切
证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，
∴△AED≌△BAC（SAS），
∴∠DEA＝∠CAB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AE，
∵AE是⊙A的半径，
∴DE与⊙A相切；
(2)
∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE，∠EAB＝60°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，
∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CAE＝∠ACB，
∴AE＝CE，
∴CE＝BE，
∴S ABC AB•AC 8 ，
△
∴S ACE S ABC 4 ，
△ △
∵∠CAE＝30°，AE＝4，
∴S AEF ，
扇形
∴S ＝S ACE﹣S AEF＝4 ．
阴影 扇形
△
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性
质，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OA，AB，AB交OP于点D，易得 ，根据平行线的性质求得 ，结合
，利用等腰三角形的三线合一易得OP是 的平分线，得到 ，利用判定三角形全等的“SAS”得到 与 全等，进而得到 ，再利用切线的判定求解；
（2）根据等腰三角形的性质易得 ，利用平行线的性质求得 ，结合 得到
，求出OP和AP的长度，再利用三角形的面积减去扇形的面积求出阴影部分的面积即可．
(1)
证明：连接OA，AB，AB交OP于点D，如下图．
∵BC是 的直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴OD垂直平分AB，
∴OP是 的平分线，
∴ ．
在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
∵PB是 的切线，
∴ ，
∴ ．
∵点A是 上的一点，且OA为半径，
∴PA是 的切线；
(2)
解：∵ ， ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含 的直角三角形
的性质，勾股定理，扇形的面积公式．作出辅助线构建直角三角形是解答关键．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接OC，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得OC⊥AB，根据OC是半径即可证明AB
是 的切线；
（2）根据平行线的性质可得∠AOC=∠OCF，根据等腰三角形的性质可得∠OCF=∠OFC，∠AOC=∠COF，可得
△COF是等边三角形，∠COF=AOC=∠DOE=60°，根据等腰三角形的性质可得OE⊥CD，根据垂径定理可得DG=
CD=6，根据含30°角的直角三角形的性质可得OG= OD，利用勾股定理列方程可求出OD的长，利用扇形及三
角形面积公式即可得答案．
(1)
如图，连接OC，
∵ ， ，
∴OC⊥AB，∠AOC=∠COF，
∵直线AB经过 上的点C，OC是 半径，
∴AB是 的切线(2)
∵CF//OA，
∴∠AOC=∠OCF，
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC，
∵∠AOC=∠COF，
∴∠COF=∠OFC=∠OCF，
∴△COF是等边三角形，
∴∠COF=AOC=∠DOE=60°，
∵OD=OC，
∴OE⊥CD，DG= CD=6，∠ODG=30°，
∴OG= OD，
在Rt△ODG中， ，即 ，
解得： （负值舍去）， ，
∴S =S -S = = ．
阴 扇形ODE ODG
△
【点睛】本题考查切线的判定、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质及扇形的面积公式，
过直径的外端点且垂直于直径的直线是圆的切线；垂直于弦的直径平分弦，且平分这条弦所对的两条弧；30°角所
对的直角边等于斜边的一半；胜利在望相关性质及判定定理是解题关键．
21．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）连接 、 ，通过 、 是半圆弧的三等分点，可求出 ，由 可得
，从而证明 ，因为 ，所以 证出结论；
（2）把阴影部分面积转化成扇形的面积求解即可．
(1)
证明：连接 、 ，、 是半圆弧的三等分点，
，
，
，
，
，
，
，
是半 的切线；
(2)
解： 、 是半圆弧的三等分点，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查切线的判定以及扇形的面积计算，掌握切线的判定方法以及扇形的计算公式是解决问题的
关键．
22．(1)见解析
(2)由线段PA，PC及弧AC所围成阴影部分的面积为
【分析】（1）连接 ，证明∠B=∠OCB，得到 ，根据 ，得到 ，得到 ，根据 是 的切线，得到 ，推出 ，
得到 是 的切线
（2）连接OP，根据 ， 知， ，根据 ，得到 ，
根据 ， 是 的切线，得到 ，推出 ，根据 ，得到 ，
，推出 与 ，根据 ， ，推出
，得到
（1）
证明：连接 ，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
又 是 的切线，
则 ，
∴
∴ 是 的切线
（2）
连接OP，
由 ， 知，
∵ ，则又由（1）知 ， 是 的切线
∴ ，则
∵ ，则 ， ，则
同理，
∵ ， ，
则
∴
【点睛】本题主要考查了圆的切线，熟练掌握四边形内角和性质，三角形外角性质，圆切线的判定和性质定理，
切线长定理，含30°角的直角三角形边的性质，三角形面积和扇形面积公式，是解决问题的关键，
23．(1)见解析
(2)①四边形ABCO是菱形．理由见解析；②
【分析】（1）先判断出∠CBE=∠D，再用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；
②先求出AC，BC，再求△AOC和扇形OCD的面积和，即可得出结论．
（1）
证明：∵四边形ABCD内接于
∴∠D＋∠ABC＝180°
∵∠CBE＋∠ABC＝180°
∴∠CBE＝∠D
∵AD为☉O的直径
∴∠ACD＝90°
∴∠CAD＋∠D＝90°∵CE⊥AB
在Rt BCE中，∠CBE＋∠ECB＝90°
∴∠C△AD＝∠ECB
（2）
①四边形ABCO是菱形
理由：∵CE切☉O于点C
∴CE⊥OC
∵CE⊥AB
∴AB∥OC
∵∠CAD＝30°
∴∠COD＝60°.
∴∠BAO＝∠COD＝60°
由（1）知∠CAD＝∠ECB ＝30°
∴∠CBE＝60°
∴∠CBE＝∠BAO＝60°
∴BC∥AO
又AB∥OC
∴四边形ABCO是平行四边形
∵OA＝OC
四边形ABCO是菱形.
②由①知，四边形ABCO是菱形，
∴OA=OC=AB=2，
∴AD=2OA=4，
由①知，∠COD=60°，
在Rt ACD中，∠CAD=30°，
△
∴CD=2，AC=2 ，
∴AD，AC与 围成阴影部分的面积为：
S AOC+S COD= S ACD+S COD
扇形 扇形
△ △
= ．
．故答案为： ．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出
BC∥OA是解本题的关键．
24．(1)
(2)
(3)直线 与 相切，理由见解析
【分析】（1）连接 ，如图1，证明 再利用圆周角定理可得答案；
（2）在 中，先求解 ， ，再利用阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形面
积即可；
（3）连接 ，证明 ，再证明 ，可得 ，从而可得答案．
（1）
解：连接 ，如图1，
∵ 与 相切于点B，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ；
（2）
在 中， ，
∴ ，
．，
，
∴ ．
（3）
直线 与 相切
理由：连接 ，
∵ 是切线，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 相切．
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的性质与判定，扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质，掌
握切线的性质与判定定理是解本题的关键．
25．(1)见解析
(2)①四边形ABCO是菱形，理由见解析；②阴影部分的面积为 ．
【分析】（1）先判断出∠CBE=∠D，再用等角的余角相等，即可得出结论；
（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；
②先求出AC，OB，∠COA，再用S COD-S ABCO，即可得出结论．
扇形 菱形（1）
证明：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠CBA=180°，∠CBE+∠CBA=180°，
∴∠CBE=∠D，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∴∠CBE+∠CAD=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE；
（2）
解：①四边形ABCO是菱形，理由如下：
∵点C是半圆⊙O的一个三等分点，
∴∠COD=60°，
∵OD=OC，
∴ DOC是等边三角形，
∴△∠D=60°，
∴∠CAD= ∠COD=30°，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵CE⊥AB，
∴OC∥AB，
∴∠DAB=∠COD=60°，
由（1）知，∠CBE=∠D=60°，
∴∠CBE=60°=∠DAB，
∴BC∥OA，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴▱ABCO是菱形；
②连接OB，由①知，四边形ABCO是菱形， DOC是等边三角形，
∴OA=OC=AB=OB=OD=CD=2，∠△COD=60°，∠COA=120°，
∴AD=2OA=4，
在Rt ACD中，∠CAD=30°，CD=2，
△
∴AC=2 ，
∴阴影部分的面积为S -S ABCO
扇形AOC 菱形
= ．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了同角的余角相等，切线的性质，菱形的判定，扇形的面积公式，判断出
BC∥OA是解本题的关键．
26．(1)见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）连接 ，利用垂径定理可得 ，由 为⊙O的切线可得 ，由平行线的判定定理
可得结论；
（2）连接 ， ，设 ，则 ，由 可得 ， ，在
中，利用勾股定理可得 ，即 ；
（3）连接 ， ，设 与 交于点 ，利用 可得 ，在 中利用
勾股定理可得 ，所以 ，又证明四边形 为矩形，所以 面积为矩形 面积
的一半，进而可得 的面积．
（1）
解：证明：如图，连接 ，为劣弧 的中点，
，
，
又 为⊙O的切线，
，
；
（2）
解：如图，连接 ， ，
设 ，则 ，
为劣弧 的中点，
，
，
又 ，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
又 ⊙O的半径为 ，
，
由 得 ，
解得 或 （舍），
；（3）
解：如图，设 与 交于点 ，
由（2）知 ，
， ，
在 中，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
由（1）可知 ， ，
四边形 为矩形，
， ，
．【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性质，圆
的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握这些性质并能灵活运用是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)见解析
(3)⊙O的半径长为
【分析】（1）利用圆的两个半径构成的三角形是等腰三角形，最后用等腰三角形性质即可得出结论；
（2）先判断出∠CFB=90°，进而得出∠OBD=90°，再判断出∠BCD=∠ODB，进而判断出∠CAB=∠CBA，即可得
出结论；
（3）先判断出∠ABE=∠AEB，进而判断出△AEM≌△ABN，得出CE-CM=CB+CN，再判断出CM=CN，最后用勾股
定理求出BC，即可得出结论．
（1）
如图1，连接OA、OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
如图2，连接 并延长 交于 ，由（1）知， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
由（1）知， ，
∴ ，
（3）
如图3，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 中，根据勾股定理得， ，
∴
在 和 中，根据勾股定理得， ，
即： ，解得 或 （舍），
∴ ，
连接OC交AB于 ,
∴
在 中，根据勾股定理得， ，
设 ，在 中， ，
∴
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形和全
等三角形是解本题的关键．
28．(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）连接OD，利用 证明 ，证明∠CBO=∠CDO即可证出；
（2）利用已知线段的长求出半径和∠OCD的度数，求得CD的长，通过阴影部分面积=四边形CDOB面积-扇形
DOB面积即可求出．
（1）
连接OD，则OD=OA，
∴∠DAO=∠ADO，
，
，
，
∵在△COD和△COB中，
，
∴∠CBO=∠CDO，
∵CD是切线，
∴OD⊥CD，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴CB是 的切线；
（2）
∵CD、CB都是圆O的切线，
∴CD=CB，OC垂直平分DB，
设圆O的半径为r，则OD=r，OG=OF-FG=r-2，
∵OD2=OG2+DG2∴ ，
解得r=4，
∴OG=2，
∴∠ODG=30°，
∴∠COD=60°，
∠DOB=2∠COD=120°，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵S CDOB ，
四边形
S DOB ，
扇形
∴S = S CDOB- S DOB= ．
阴影 四边形 扇形
【点睛】本题考查了圆和三角形，熟练掌握切线、扇形面积、全等三角形等相关知识，熟练运用SSS、SAS、
AAS、ASA等判定三角形全等是解本题的关键．
29．(1)BE＝ EM
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；
（2）根据点E是 的中点，得出∠AOE＝90°，由∠EMB＝90°，证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到 ，根
据题意得到 ，进一步得到 ；
（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝2 ，
然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．
(1)
∵AC为⊙O的直径，点E是 的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝ EM，
故答案为：BE＝ EM；
(2)
连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是 的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝ ∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴ ＝ ，
∵点E是 的中点，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ；
(3)
（3）连接AE，OB，ON，如图所示，∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝2，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝2，
又∵BE＝ EM，
∴BE＝ ，
∵在Rt AEM中，EM＝2，AM＝ ，
△
∴tan∠EAB＝ ＝ ，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝ ∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝ ，
又∵ ＝ ，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S OCN＝ ，S OCN＝ CN• CN＝ × ＝ ，
扇形
△
∴S ＝S OCN﹣S OCN＝ ．
阴影 扇形
△【点睛】本题考查了扇形的面积，全等三角形的判定化为性质，圆周角定理，解直角三角形以及等边三角形的判
定和性质，作出辅助线构建等腰三角形是解题的关键．
30．(1) ；
(2)
(3)① ，②
【分析】（1）由∠DAB=∠CBA可得AC=BD，∠CAB=∠DBA，从而由SAS可证明 CAB≌ DBA；再根据同弧或等
弧所对的圆周角相等可得∠DCB=∠CDA，∠CAD=∠DBC，从而由AAS可证明 CA△D≌ D△BC；
△ △
（2）过D作 于H，由∠DAB=15°，可得∠ODB=∠DAB+∠ADO=30°，即知DH= ，
，故
，即得 ；
（3）①连接OC、OD、OM，过M作ME⊥AB于E，根据直径AB=6，弦CD=3，可得 COD是等边三角形，而M
△
是CD的中点，即知CM = ，OM⊥CD，OM= ，ME= ，即得
当OE最大时，ME最小，而 COD是等边三角形，即可得点M到AB的距离的最小值是 ；
△
②根据OM= ，知M的轨迹是以O为圆心， 为半径的弧，当C与A重合时，∠AOM =30°，即可得∠MOM
'=120°，故点M的运动路径长为 ．
（1）
证明：∵ ，
∴∠CAD=∠DBC，
∵∠DAB=∠CBA，
∴AC=BD，∠CAD+∠DAB=∠DBC+∠CBA，即∠CAB=∠DBA，
在 CAB和 DBA中，
△ △∴ CAB≌ DBA（SAS）；
∵△∠DAB=∠△CBA，∠DAB=∠DCB，∠CBA=∠CDA，
∴∠CDA=∠DCB，
在 CAD和 DBC中，
△ △
∴ CAD≌ DBC（AAS）；
（△2） △
解：过 作 于 ，如图：
∵半圆O中，直径 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
，
∴ ；
答：阴影部分面积是 ；
（3）
① ，②
解：①连接OC、OD、OM，过M作ME⊥AB于E，如图：∵直径AB=6，弦CD=3，
∴OC=OD=CD=3，
∴ COD是等边三角形，
∵△M是CD的中点，
∴CM = ，OM⊥CD，
∴OM= ，
∴ME= ，
∴当OE最大时，ME最小，
而当C与A重合（或D与B重合）时，OE最大，如图：
∵ COD是等边三角形，M是CD的中点，
∴∠△MOC=30°，
∴ME= ，
即点M到AB的距离的最小值是 ，
故答案为： ；
②如图，由①知：OM ，M的轨迹是以O为圆心， 为半径的弧，
当C与A重合时，∠AOM=30°，
同理，当D与B重合时，∠BOM '=30°，
∴∠MOM '=120°，
∴点M的运动路径长为 ，
故答案为： ．
