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第12 章 全等三角形（单元测试·培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，已知 ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在 中， ， 平分 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中， 是 中点， 为 上一点，连接 并延长至点 ，使得 ，连接 ，
若 、 平分 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AD与BC交于点O， ，添加一个条件后能使用“边角边”基本事实判定
的是（ ）A． B． C． D．
5．如图所示，已知 ，补充一个条件，可使 ，那么补充的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 中， 是边 上的中线，中线 的取值范围在数轴上表示正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中， 为等腰直角三角形， ．点 ，点
．则点A坐标为（ ）A． B． C． D．
8．如图，在 中， 是 的角平分线，点E、F分别是 上的动点，若 ，当
的值最小时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形 中， 是 的平分线，且 ．若 ，则四
边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图， 为 的角平分线，且 ， 为 延长线上一点， ，过点 作
于点 ，则下列结论：① 可由 绕点 旋转而得到；② ；③
；④ ；正确的为（ ）A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，在 的上方有一点 ，连接 ， ， ， ， ，则
的度数为 ．
12．如图， 中，D为 的中点. ， ，则 的取值范围为 .
13．如图， ， ， ， ，则 等于 ．
14．小明与爸妈在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置 处， 与地面垂直，两脚在地面上
用力一蹬，妈妈在距地面 高的 处接住他后用力一推，爸爸在 处接住他．若妈妈与爸爸到 的水
平距离 、 分别为 和 ， ．爸爸在 处接住小明时，小明距离地面的高度是
．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若
BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．
16．如图， 中，一内角和一外角的平分线交于点D，连接 ， ，则
， ．
17．如图， 是 的角平分线，延长 至点 ，使 ，若 ， ，
则 ．
18．如图，在 中， 延长 到E，使得 ，连接 ，过点A作，且 ．连接 与 的延长线交于D点，则 的长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图所示，已知 ， ， ，且 ， ， ， 在同一条直线上．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长度．
20．（8分）如图，在 中， 是 边上的高，点E在 上， ， ，连接 并
延长交 于点F．
（1）求证： ；
（2）若 恰好平分 ， ，求 的长21．（10分）（1）模型的发现：
如图1，在 中， ， ，直线 经过点A，且B，C两点在直线 的同侧， 直
线 ， 直线 ，垂足分别为点D、E．问： 、 和 的数量关系．
（2）模型的迁移：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若B、C两点在直线 的异侧，请说明 、 和 的数量关系，并证明．
22．（10分）如图，在四边形 中， 于点F，交BC于点G，交
的延长线于点E，且 ．
（1）求证： ；
（2）如图2，连接AG，若 ，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是
面积的2倍．23．（10分）如图1，在 中， ，点D在 的延长线上，连接 ，
．
（1）求证： ；
（2）如图2，若点F为 的中点， 的延长线交 于点G，求证： ；
（3）在（2）的条件下，若 ，求 的面积．
24．（12分）【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线 ， 上，过点A垂直 的直线与过点B垂直 的直
线交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”．
【迁移运用】
（1）如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道 是
的“边垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是 ；（2）若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是 ；
（3）若 是 的“边垂角”，且 ．
①如图2，已知 ， 交 于点E，点C关于直线 对称点为点F，连接 ， ，且
， ，求证： ；
对于上述问题，小明有这样的想法：在 上截取 ，连接 ，如图3．你明白小明的做法吗？
接下来请你求证 ．
②如图4，若 ，直接写出四边形ABDC的面积．参考答案：
1．D
【分析】先根据“全等三角形对应角相等”得出 ，再根据三角形内角和定理即可求出
的度数．本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵ ，
，
在 中， ， ，
．
故选：D
2．C
【分析】证 ，得 ， ， ，则 ，当
时， ，即可得出结论．
【详解】解： 平分 ，
，
在 和 中，
，
，
， ， ，
，
当 时， ，
故选项 、 、 不符合题意，选项 符合题意，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线定义等知识，证明 是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角
形的判定与性质，角平分线，三角形内角和定理是解题的关键．证明 ，则 ，由 平分 ，可得 ，则
，计算求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
4．B
【分析】根据全等三角形的判定对四个选项进行依次判定即可.
【详解】已知
A， 时不构成全等的条件，故错误，不符题意；
B， 时，在△AOC和△BOD中
∴ (SAS)，使用了“边角边”，故符合题意；
C， 时，在△AOC和△BOD中
∴ (AAS)，使用了“角角边”，故不符合题意；
D， 时，在△AOC和△BOD中
∴ (ASA)，使用了“角边角”，故不符合题意，
故选B
【点拨】本题考查三角形全等的判定定理的应用，理解区分各种判定定理是关键．
5．A【分析】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可得出答案．
【详解】解：由题意知 ， ，
添加 后，满足 ，不能判定 ，故A选项符合题意；
添加 后，满足 ，能判定 ，故B选项不合题意；
添加 后，满足 ，能判定 ，故C选项不合题意；
添加 后，满足 ，能判定 ，故D选项不合题意；
故选A．
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，在数轴上表示不等式的解集，根据题
目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长 到点 ，使 ，连接 ，根
据三角形的中线定义可得 ，然后利用 证明 ，从而可得 ，再在
中，利用三角形的三边关系求得 的范围，再进行选择即可．
【详解】解：延长 到点 ，使 ，连接 ，
是边 上的中线，
，
， ，
，
，
在 中， ，
，
，
只有选项A符合要求，
故选：A
7．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．过C作直线 轴，过B作 于E，过A作 于D，于是得到 ，得到
，根据全等三角形的性质得到 ，根据点 ，点 ，得到
，于是得到结论．
【详解】解：过C作直线 轴，过B作 于E，过A作 于D，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，点 ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识．过点 作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，与 交于点 ，连接 ，可证得 ，
同理 ，可知 ， ， ，进而可知 ，即 ，
在 上时 最小．由 是 的角平分线，可知 ，由“直角三角形两锐
角互余”可得 ，则 ，由此可得结论．
【详解】解：在 上，作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，与 交于点
，连接 ， ，如图，则 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，同理 ，
∴ ， ， ，
∴ ，即： ， 在 上时 最小．
是 的角平分线，
，
∵ ，
，则 ，
．
故选C．
9．B
【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得
CD=CF，即可求得四边形 的周长．
【详解】解：在线段AC上作AF=AB，∵AE是 的平分线，
∴∠CAE=∠BAE，
又∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，
∵AB∥CD，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠AFE+∠CFE=180°，
∴∠D=∠CFE，
∵ ，
∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中
∵ ,
∴△CEF≌△CED（AAS）
∴CE=CF，
∴四边形 的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD= ，
故选：B．
【点拨】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
10．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质．可证 ，所以 可由
绕点 旋转而得到；由 可得 ， ，因为
，等量代换 ；因为 ，所以，因为 ， ， ，
所以 ，即 ，因为 ，可得
；过 作 ，可证 ， ，所以 ，
，据此可证明 ．
【详解】解： 为 的角平分线，
，
， ，
，
可由 绕点 旋转而得到，故①符合题意，
，
，
，
，
，
，
，故②符合题意，
，
，
， ，
，
，
，
，
，故③符合题意，
过 作 ，交 延长线于点 ，， 为 的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
，故④符合题意，
故选：B．
11．
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意直接证明 ，即可得出
，即可求解．
【详解】解：在 中，
，
∴ ，
又 ，∴ ，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，理解倍长中线法，构造全等三角形是
解题的关键．延长 至E，使得 ，连接 ，证明 ，得出 ，再根据三角
形的三边关系即可得到结论．
【详解】延长 至E，使得 ，连接 ，如图，
∵点D是BC的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．3；
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据 得到 ，结合角边角判定即可得到
答案；
【详解】解：∵ ，∴ ，
在 与 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为：3．
14．
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，垂线定义，由直角三角形的性质得出 ，根
据 可证明 ，由全等三角形的性质得出 ，求出 的长即可解答．
证明 是解题的关键．
【详解】解：由题意可知： ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵水平距离 、 分别为 和 ，
∴ ，
∵
∴ ．故答案为： ．
15．3
【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论．
【详解】解：如图，连接AD．
在Rt△ADF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），
∴DF＝DC，
∵BD＝5，BC＝4，
∴CD＝DF＝5﹣4＝1，
∵EF＝BC＝4，
∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决
问题，属于中考常考题型．
16． /40度 /70度
【分析】本题考查的三角形的外角的性质，角平分线的判定与性质，关键是掌握三角形的外角等于不相邻
两个内角的和，利用 和 是 和 的外角的性质便可求得 ．过点D作
交BA的延长线于F， 于点H， 于点T，证明 ，进而可求出
的度数．
【详解】解： 的平分线 与 的外角 的平分线 相交于点 ，， ，
是 的外角，
，
，
，
，
，
，
．
过点D作 交BA的延长线于F， 于点H， 于点T，如下图所示：
∵ 是 的平分线，
∴ ．
在 和 中
，
，
∴ ．
同理可证 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
17．102°
【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，如图，先根据SAS证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，
∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，进而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根据SAS证明△CDE≌△CDF，再根
据全等三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，如图，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠FBD，
∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD，
∴△ABD≌△FBD（SAS），
∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°，
∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°，
又∵∠EDC＝∠ADB＝60°，
∴∠EDC＝∠FDC，
∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC，
∴△CDE≌△CDF（SAS），
∴∠E=∠DFC=102°；
故答案为：102°．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义以及对顶角相等的性质等知识，正确添加
辅助线、构造全等三角形是解题的关键．
18．
【分析】此题重点考查了全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．作 ，交 的延长线于点 ，可证明 ，得 ，因为
，所以以 ，求得 ，再证明 ，得 ，则
，于是得到问题的答案．
【详解】解：作 ，交 的延长线于点 ，
，
，
在 和 中
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，，
故答案为： ．
19．(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判
定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键．
（1）证明 ，则 ，进而可证 ；
（2）由题意得， ，由 ，可得 ，根据 ，计算求解
即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长度为9．
20．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的内角和定理．
（1）证明 即可得证结论；
（2）由 得到 ，又 ，从而 ，因此，再由 ，即可证明 ，进而得到 ，
．
【详解】（1）证明：∵ 是 边上的高，
∴ ．
在 和 中
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
21．（1） （2）【分析】（1）证明 ，根据全等三角形的性质得到 ， ，结合图形得出结论；
（2）仿照（1）的方法证明；
本题是三角形综合题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判
定定理和性质定理是解题的关键．
【详解】解：（1） ，
理由如下： ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
；
（2） ，
证明如下： ，
，
直线 ，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
；
22．(1)见详解
(2)【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是
解题的关键；
（1）用 即可证明 ；
（2）先证明 ，则 ，再证明 ，则 ，由 与
同底等高，得 ，再证明 ，则 ，最后 与
同底等高，
得 ，所以 ．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴在 和 中，
，
∴ ；
（2）
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ， ,
∴ ，
∴
∵
∴ 与 同底等高，
∴ ,
∴
∵ ，∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ 与 同底等高，
∴ ，
∴ ，∴ 的面积为 面积的2倍．
23．(1)见详解
(2)见详解
(3)80
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用了三角形全等的判定和性质解题．正确作出辅助线是
解答本题的关键．
（1）根据 ，可得 ，然后根据 ，可证明
，继而可得出 ；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ，证 ，可得出 ，证
，从而证得 ，通过 ，得到 ；
（3）求出 ，由（2）可求出 ，则 的面积可求出．
【详解】（1）证明：∵ ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明：延长 至 ，使 ，连接 ，
在 与 中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，
，
，
，
，
即 ；
（3）解：如图，∵ ，
，
，
，
，，
．
24．(1)
(2) 或
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案；
（2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；
（3）①延长 交于点 ，先证明 ，再证明 ，依据题意得出
，即可得到结论；
②连接 ，过点 作 与 延长交于点 ，根据等腰三角形性质证明即可得到答案．
【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义， 的“边垂角”是 ；
（2）解：若 是 的“边垂角”，分两种情况
①如图， 是 的“边垂角”，
，
，
，
，
②如图，
是 的“边垂角”，
，
，
，，
综上所述， 与 的数量关系是 或 ；
（3）解：①延长 交于点 ，
是 的“边垂角”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点 关于直线 对称点为点 ，
，
，
；②连接 ，过点 作 与 延长交于点 ，
是 的“边垂角”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过点 作 于点 ，
，
，
．
【点拨】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟
练理解“边垂角”的定义是解题的关键．
