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专题强化二：圆的性质、切线、弧长和面积必刷题
1．（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）如图，⊙O的直径AB＝2，点C、D在⊙O上，∠ADC＝
30°，则BC的长为（ ）
A． B． C．2 D．1
2．（2021·山东潍坊·九年级期末）如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是
上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65° B．60° C．58° D．50°
3．（2022·全国·九年级课时练习）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，点 是 的中点，过点 画
的切线，交 的延长线于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．4．（2022·黑龙江·绥棱县绥中乡学校九年级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启
在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图
2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低
点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．（4﹣ ）米 B．2米 C．3米 D．（4+ ）米
5．（2022·吉林吉林·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上一点，∠CDB=25°，过点C作⊙O的
切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．（2022·四川·渠县崇德实验学校九年级期末）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知
半径为3，则EG的长为（ ）
A． B．3 C． D．67．（2022·甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末）如图，将 绕点 旋转 得到 ，已知 ，
，则线段 扫过的图形面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·湖北十堰·九年级期末）如图，已知 是 的两条切线，A，B为切点，线段 交 于点M．
给出下列四种说法：① ；② ；③四边形 有外接圆；④M是 外接圆的圆心，其中正
确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，两个半径长均为 的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形
的圆心C是 的中点，且扇形 绕着点C旋转，半径 ， 交于点G，半径 ， 交于点H，则图中阴
影面积等于（ ）
A． B． C． D．10．（2023·广东·东莞市东华初级中学九年级期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中， ，
，内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD （ ）
A． B． C． D．
11．（2022·四川资阳·中考真题）如图．将扇形 翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与 交
于点C，连接 ．若 ，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
12．（2022·浙江温州·九年级期中）如图，在△ABC中， ， ，点D，E分别在AC和BC上，
，若以DE为直径的⊙O交AB的中点F，则⊙O的直径是（ ）
A． B．2 C． D．513．（2022·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）如图1所示的正六边形（记为“图形 ”）边长为6，将每条边三
等分，沿每个顶点相邻的两个等分点连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个
小三角形拼接成图2外轮廓所示的正六边形（记为“图形 ”），作出图形 的内切圆⊙O，如图3，得到如下结
论：
①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；
②把图2中空白部分记作“图形 ”，则图形 的周长之比为3：2： ；
③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+ ．
以上结论正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．② D．①
14．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在矩形 中， ， ，以点 为圆心， 长为半径画弧，
交 于点 ，连接 ，则扇形 的面积为（ ）
A． B． C． D．15．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，边长为 的正方形 内接于 ， ， 分别与 相切于点
和点 ， 的延长线与 的延长线交于点 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线， ， ，以
B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2020·浙江湖州·九年级期末）如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于
F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（ ）
A．3cm B． cm C．2.5cm D． cm18．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是 上一点，且 ，连接CF并延
长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
19．（2021·黑龙江大庆·九年级期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且
AD＝2，BC＝5，则△ABC的周长为( )
A．16 B．14 C．12 D．10
20．（2021·全国·九年级课时练习）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交
⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55° B．65° C．60° D．75°
21．（2022·河南大学附属中学九年级期末）如图， ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，
△以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2 ，则线段CD的长是（
）
A．2 B． C． D．
22．（2022·四川德阳·九年级期末）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点， 是以点 （0,3）为圆心，
2为半径的圆上的动点， 是线段 的中点，连结 .则线段 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
23．（2019·江苏无锡·九年级期中）如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交
于点D，以OC为半径的 交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π+18 B．12π+36 C．6π+18 D．6π+36二、填空题
24．（2022·湖南·长沙市中雅培粹学校二模）已知扇形的圆心角为 ，半径为2，则扇形的弧长为__（结果保留
．
25．（2022·广东顺德德胜学校三模）如图，点 是 的中点，点 是 上的一点，若 ，则
______．
26．（2022·广东·东莞市粤华学校二模）在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，
并有这个扇形，围成一个圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为120°，圆锥的底面半径为6，则此圆锥的母
线长为 _____．
27．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）如图， 、 是 的切线，切点分别为A、B，若
，则 ___________
28．（2022·云南·昭通市昭阳区第一中学九年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点
A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝6，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为
_____．（结果保留π）29．（2022·新疆·乌鲁木齐市第六十八中学模拟预测）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，
若圆锥母线l=6，扇形的圆心角 ，则该圆锥的底面圆的半径r长为______．
30．（2022·福建省福州外国语学校模拟预测）如图，菱形 的边长为 ， ， 是以点 为圆心，
长为半径的弧， 是以点 为圆心， 长为半径的弧，则阴影部分的面积为______ ．
31．（2023·广东·东莞市东华初级中学九年级期中）设一个圆锥的底面积为10，它的侧面展开后平面图为一个半
圆，则此圆锥的侧面积是____________.
32．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在 中，点 是直径 的延长线上一点，过点 作 的切线 ，C为切
点．连接 ，若 ，则 的度数为____________ ．
33．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校模拟预测）如图， 是以原点为圆心，半径为 的圆，点 是直线
上的一点，过点 作 的一条切线 ， 为切点，则 的最小值为______．34．（2022·甘肃·民勤县第六中学九年级期中）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC BD交
OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB＝∠OBD＝30°，则图中阴影部分的面积______．
35．（2022·黑龙江·大庆市祥阁学校九年级期中）在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点N是线段BC的中点，点
E，G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为_____．
36．（2022·浙江嘉兴·一模）如图，在 中， ， ．分别以 、 为斜边，向三角形外
作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，则 和 面积之和为____________；连接 ，则线段
的最大值为____________．参考答案：
1．B
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，根据含30度角的直角三角形的性质得出 ，勾股定
理即可求解．
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠ADC＝30°，
∴AC AB＝1，
∴BC AC ．
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求得∠ACB＝90°是解
题的关键．
2．B
【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF= ∠EOF=60°，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
3．B
【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．
【详解】解：∵AD是⊙O的切线，
∴BA⊥AD，
∵∠ADB=58.5°，
∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，
∵点A是弧EC的中点，
∴BA⊥EC，
∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
4．A
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，
由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为 的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD= AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD= = = ，
∴CD=OC﹣OD=4﹣ ，
即点 到弦 所在直线的距离是（4﹣ ）米，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
5．A【分析】首先连接OC，由切线的性质可得OC⊥CE，又由圆周角定理，可求得∠COB的度数，继而可求得答案．
【详解】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
即∠OCE＝90°，
∵∠COB＝2∠CDB＝50°，
∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°．
故选：A．
【点睛】本题考查了切线性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．C
【分析】连接BO、GO，则三角形EOG为直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接BE、GO，则BE经过O点，且O是BE的中点，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴ ，
，
∵DE=EC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设EG的长为x，则OG的长为 ，
∴ ，
解得： ．故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正六边形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握各知识点，并能结合图形熟练
运用各知识点．
7．D
【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积= ，由旋转的性质就可以得出
就可以得出AB扫过的图形的面积= 求出其值即可．
【详解】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴ ， ．
∵AB扫过的图形的面积= ，
∴AB扫过的图形的面积= ，
∴AB扫过的图形的面积= ．
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的
性质求解是关键．
8．C
【分析】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等
于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．
【详解】如图， 是 的两条切线，
故①正确，故②正确，
是 的两条切线，
取 的中点 ，连接 ，
则
所以：以 为圆心， 为半径作圆，则 共圆，故③正确，
M是 外接圆的圆心，
与题干提供的条件不符，故④错误，
综上：正确的说法是 个，
故选C．
【点睛】本题考查的是切线长定理，三角形的外接圆，四边形的外接圆，掌握以上知识是解题的关键．
9．D
【分析】先根据扇形面积公式求出两扇形面积，再过C分别作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，连接EC，再证明
△CMG≌△CNH，可证得白色部分的面积等于对角线为 的正方形CMEN得面积，进而可求得阴影部分的面积．
【详解】解：∵两个直角扇形的半径长均为 ，
∴两个扇形面积和为 ，
过C分别作CM⊥AE于M，CN⊥BE于N，连接EC，则四边形CMEN是矩形，
∵C是 的中点，
∴∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB，
∴CM=CN，
∴四边形CMEN是正方形，
∴∠CMG=∠MCN=∠CNH，∴∠MCG+∠GCN=∠NCH+∠GCN=90°，
∴∠MCG=∠NCH，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴白色部分的面积等于对角线为 的正方形CMEN的面积，
∴空白部分面积为 ，
∴阴影部分面积为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积公式、圆的有关性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与
性质，熟记扇形面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理和全等三角形的判定与性质，求出空白部分面积是解答
的关键．
10．D
【分析】取内切圆的圆心O，连接圆心与切点，由 ， 可得∠BAC=60°，再根据内切圆的圆心的
是三角形三条角平分线的交点，可知∠OAE=30°，从而得到AE= ，CE=1， CD=1，再用勾股定理即可求解．
【详解】解：取内切圆的圆心O，与AC，AB的切点E、F，连接OD、OE、OF．
∵ ， ，
∴∠BAC=60°，
∵内切圆的圆心的是三角形三条角平分线的交点，
∴
又∵OE=1，OE⊥AC（切线的性质），
∴AE= ，
∵OE⊥AC，OD⊥BC， ，∴四边形CDOE是矩形，
又∵OD=OE，
∴四边形CDOE是正方形，
∴CE=CD=OE=1，
∴AC= AE+CE= +1，
在Rt△ACD中， ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，正方形的判定与性质，三角形的内切圆，切线的性质等知识，根据题意正确画出的
辅助线是解题的关键．
11．B
【分析】连接CO，且直线l与AO交于点D，解直角三角形求出 ，即可求出扇形 的面积，再算
出 的面积，即可求出阴影部分面积．
【详解】连接CO，且直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形 中， ，
∴ ，
∵点A与圆心O重合，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∵ ， ，
∴ ，故选：B．
【点睛】此题考查求不规则图形的面积，扇形面积公式，添加辅助线是本题的关键．
12．C
【分析】作FG⊥AC，FH⊥CB，垂足分别为G、H，然后证明△DFG≌△EFH，得到DF=EF，再利用勾股定理，即
可求出DE的长度．
【详解】解：作FG⊥AC，FH⊥CB，垂足分别为G、H，如图
则四边形BCGF是矩形， ， ，
∵ ，点F是AB的中点，
∴ ，
∴四边形BCGF是正方形，
∴∠GFH=90°，
∵DE是直径，则∠DFE=90°，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴△DFG≌△EFH，
∴DF=EF，
∵在直角△DFG中， ， ，
∴ ，
在直角△DEF中，
；
故选：C
【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识，证明
DF=EF．
13．A
【分析】①根据题意可知过点 作 于 ，根据正六边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，求得，即可判断①；
②根据正六边形的性质，结合①的结论，分别求得三个正六边形的边长，即可判②；
③依题意可知图形 的内接圆的半径与外接圆的半径之和即为所求，根据正六边形的性质，等边三角形的性质即
可求解．
【详解】解：标注字母如图，过点 作 于
， 为 的三等分点， 为 是三等分点
，
∵正六边形的每一个内角为
∴ 中， ，
在 中
，
，
①不正确，
图形 ，边长为6，所以图形 的周长为
如图，依题意可得则 ，依题意， 是正六边形，
所以图形 的周长为
把图2中空白部分记作“图形 ”，由①可得 ，
是正六边形，
所以图形 的周长为
∴图形 的周长之比为 =3：2： ；
故②正确；
如图，过点 作 于点 ， 交内切圆于点 ，则 即为所求，
根据正六边形的性质可得 是等边三角形，
，
，
，，
故③正确，
故选A．
【点睛】本题考查了正六边形与内切圆的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，理解题意求得各线段
长是解题的关键．
14．C
【分析】解直角三角形求出 ，推出 ，再利用扇形的面积公式求解．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
， ，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查扇形的面积，三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是求出 的度数．
15．C
【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得 的长，勾股定理求得 的长，进而根据
即可求解．
【详解】如图，连接 , ，
边长为 的正方形 内接于 ，即 ，
， ， 为 的直径， ，
， 分别与 相切于点 和点 ，，
四边形 是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形 是矩形，
，
四边形 是正方形，
，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题
的关键．
16．A
【分析】连接BM，过M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等边三角形，得到
∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接BM，过M作MH⊥BC于H，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵AB=1，∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC= ，
∵BA=BM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠ABM=60°，
∴∠MBN=30°，
∴MH= BM= ，
∴S =S BCM-S BMN= = ，
阴 扇形
△故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确S =S BCM-S
阴 扇形
△
BMN是解题的关键．
17．D
【详解】分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解
答即可．
详解：连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm．
在Rt OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2
解得：△OE=3，
∴OB=3+2=5，
∴EC=5+3=8．
在Rt EBC中，BC= ．
△
∵OF⊥BC，
∴∠OFC=∠CEB=90°．
∵∠C=∠C，
∴△OFC∽△BEC，
∴ ，即 ，
解得：OF= ．
故选D．
点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长．
18．B
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵ ，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
19．B
【分析】根据切线长定理进行求解即可.
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵BE+CE＝BC＝5，
∴BD+CF＝BC＝5，
∴△ABC的周长＝2+2+5+5＝14，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆以及切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键.
20．B
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD
＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝ ∠BDC＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键．21．B
【分析】连接OD，得Rt OAD，由∠A=30°，AD=2 ，可求出OD、AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可
△
得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理可得结论．
【详解】连接OD，
∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，
∴OD⊥AC，
在Rt AOD中，∵∠A=30°，AD=2 ，
△
∴OD=OB=2，AO=4，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠CBD，
∴∠ODB=∠CBD，
∴OD∥CB，
∴ ，即 ，
∴CD= ．
故选B．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质、等边对等角以及平行线分线段成比例定理，
解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加
的辅助线．
22．C
【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=
BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值．
【详解】解：连结BP，
∵抛物线 与 轴交于A、 两点，
当y=0时， ，解得 ，
∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4，
在直角 COB中，
△
BC= ，
∵Q是AP上的中点，O是AB的中点，
∴OQ为 ABP中位线，即OQ= BP，
△
又∵P在圆C上，且半径为2，
∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大，
此时BP=BC+CP=5+2=7，
OQ= BP= ．
故选择C．
【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到圆上最长的距离，
解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况．
23．C
【分析】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD
的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S 即可求出阴影部分的面积．
空白ADC
【详解】如图，连接OD，BD，
∵点C为OB的中点，
∴OC= OB= OD，
∵CD⊥OB，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△BDO为等边三角形，OD=OB=12，OC=CB=6，
∴CD=6 ，∴S = =24π，
扇形BOD
∴S =S ﹣S ﹣（S ﹣S ）
阴影 扇形AOB 扇形COE 扇形BOD COD
△
= =18 +6π，
故选C．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S= ．
24． ##
【分析】已知扇形的圆心角为 ，半径为2，代入弧长公式计算．
【详解】解：依题意， ， ，
扇形的弧长 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长= ．
25．110°##110度
【分析】根据同圆中，等弧所对的圆周角相等，即可得到∠AEC的度数，再根据圆内接四边形对角互补，即可求
得∠ADC的度数．
【详解】解：∵点 是 的中点，
∴ ，
∴∠AED=∠CED=35°，
∴∠AEC=70°，
∵∠AEC+∠ADC=180°，
∴∠ADC=110°．
故答案为：110°【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键．
26．18
【分析】设此圆锥的母线长为R，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的
半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到2π×6= ，然后解方程即可．
【详解】解：设此圆锥的母线长为R，
根据题意得2π×6= ，
解得R=18，
即此圆锥的母线长为18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半
径等于圆锥的母线长．
27．70
【分析】首先连接OA，OB，由PA、PB是⊙O的切线，即可得∠PAO=∠PBO=90°，又由∠APB=40°，即可求得
∠AOB的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案．
【详解】解：如图，连接OA，OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=360°-∠APB-∠PAO-∠PBO=140°，
∴∠ACB= ∠AOB=70°．
故答案为：70．
【点睛】此题考查了切线的性质与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应
用．
28．
【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=3，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=6，
∴AC=BD＝6，∴OA=OC=OB=OD=3，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
29．2
【分析】结合题意，根据弧长公式，可求得圆锥的底面圆周长．再根据圆的周长的公式即可求得底面圆的半径长．
【详解】∵母线l长为6，扇形的圆心角 ，
∴圆锥的底面圆周长 ，
∴圆锥的底面圆半径 ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图的相关计算，弧长公式等知识．掌握圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆
的周长是求解本题的关键．
30．
【分析】先作出辅助线，进而得出两个弓形的面积相等，即可确定阴影部分的面积等于△BCD的面积，计算求解
即可.
【详解】如图，连接BD．
∵菱形ABCD中∠A=60°，
∴△ABD和△BCD是边长相等的等边三角形．
∴BD与 围成的弓形面积等于CD与 围成的弓形面积．
∴阴影部分的面积等于△BCD的面积．
过点D作 ，于点E，
在Rt△CDE中，CD=4cm，CE= =2cm，
∴ ，∴△BCD的面积等于 （cm2），即阴影部分的面积等于 cm2．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为求三角形的面
积是解题的关键．
31．20
【分析】根据圆锥底面周长得到半径和母线的关系，然后计算侧面积即可；
【详解】解：∵侧面展开图是半圆，
∴
∴
∵
∴
故答案为20；
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，掌握并熟练使用相关知识，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
32．
【分析】连接 ，根据切线的性质，得出 ，再根据直角三角形两锐角互余，得出 的度数，然
后再根据三角形的外角和定理，得出 ，再根据等边对等角，得出 ，再
进行计算即可得出 的度数．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的切线， 为切点，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ，
∵点 是直径 的延长线上一点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．故答案为：
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角和定理、等边对等角，解本题的关键在
熟练掌握相关的性质定理．
33．
【分析】过点 作 于点 ，根据切线的性质得到 ，根据勾股定理用 表示出 ，根据三角形
的面积公式求出 ，得到答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，
是 的切线，
，
，
是 的半径，大小不变，
当 最小时， 的面积最小，
在 中， ，
则当 最小时， 最小，
对于直线 ，当 时， ，当 时， ，
则 ， ，
由勾股定理得： ，
，
则 ，
解得： ，当点 与点 重合时， 最小， 的最小值为 ，
则 的最小值为： ，
的最小值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是切线的性质、一次函数的图象和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
34．
【分析】根据条件证得 ，由此可知 ．
【详解】解：连接OC，交BD于点E，如图所示，
∵∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠OBD＝30°，
∴∠OEB=∠CED =90°，
∴BE=DE，
在 和 中，
∵ ，
∴ （ASA），
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆中的综合应用，重点是利用三角形全等进行阴影面积的转化．
35． ##
【分析】作 关于 的对称点 ，取 中点 ，连接 ， ， ，由题意可得出 点的运动轨迹，同
时通过作点 关于 的对称点 的方式可以将 进行转换，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，作 关于 的对称点 ，取 中点 ，连接 ， ， ．可得 ，
在以 为直径的圆上，
，
为直角三角形，点M在以CD为直径的圆上，
为 斜边的中点，
，
此时当 ， ， 三边共线时，有 长度的最小值等于 ，
， 分别是 ， 的中点，
， ，
，
，
长度的最小值为 ，
，
的最小值为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了轴对称问题、勾股定理、直角三角形斜边中线定理及圆的基本性质，本题的重难点在于
找出 点的运动轨迹，属于中等题．
36． 1
【分析】（1）设两等腰直角三角形的腰长，然后用勾股定理，三角形面积公式即可求解；
（2）取AB中点F，设 的外接圆为 ，因为A、F为定点，又可知 为定值，所以D为圆上一动
点，可知 为一定圆，设点C在 上时，可以确定圆心O的位置，然后BD的最大值迎刃而解．
【详解】（1） 、 均是等腰直角三角形，
设 ， ，， ，
即 ，
=1．
故答案为：1．
（2）如图1，取AB中点F，连接DF，CF，
则AF=CF=BF=1，又AD=CD，
DF垂直平分AC，
，
设 的外接圆为 ，
A、F为圆上两定点，点D为动点，又 为定值，
为一位置与大小确定的定圆，
当点C运动到 上时（如图2），
， ，
，
，
为等腰直角三角形，
四边形AFCD为正方形，
的圆心O在此时正方形AFCD的中心处，取AF中点G，连接OG，则OG=GF= ， 的半径r=OF= ，
，
当BD过点O时（如图3），BD最大，
此时BD的最大值为BO+r= + = ．
故答案为： ．
`
