文档内容
专题强化一：圆的性质各类考点一遍练
一、单选题
1．如图所示，在 中， ， ，则 的度数是（ ）
A．55° B．110° C．125° D．150°
2．如图， 为 的直径，点C，D在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
3．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠OAB＝70°，则∠CED＝（ ）
A．70° B．35° C．40° D．20°
4．下列命题中：①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；
③相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；④圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴．其中正确
的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，点A，B，C，D，E都在⊙O上，∠BAC＝15°，∠BOD＝70°，则∠CED的度数是（ ）A．15° B．20° C．25° D．55°
6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，
如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦
AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（ ）
A．（4﹣ ）米 B．2米 C．3米 D．（4+ ）米
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点P，OP＝2，则AC的长为（ ）
A．4 B． C． D．
8．如图，点 是 的劣弧 上一点， ，则 的度数为（ ）
A．192° B．120° C．132° D．150°9．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且 ，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，线段 是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两
点，作直线 ，交半圆O于点C，交 于点E，连接 ， ，若 ，则 的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝1，则OD长为（ ）
A．3 B． C． D．2
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦， ，则 的度数是（ ）A．50° B．45° C．40° D．35°
13．如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，P为优弧ABC上一点，则∠APC＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
14．如图，⊙O是 ABC的外接圆，将 ABC绕点C顺时针旋转至 EDC，使点E在⊙O上，再将 EDC沿CD翻
折，点E恰好与点△A重合，已知∠BAC△=36°，则∠DCE的度数是（△ ） △
A．24 B．27 C．30 D．33
15．如图，点A，B的坐标分别为A（3，0）、B（0，3），点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，点M为线段AC
的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A． B． C． D．
16．如图，点B，C，D均在⊙O上，四边形OBCD是平行四边形，若点A（不与点B，C重合）也在⊙O上，则∠BAC＝（ ）
A．30° B．45° C．60°或120° D．30°或150°
17．如图，⊙O的半径为1，点A、B、C、D在⊙O上，且四边形ABCD是矩形，点P是劣弧AD上一动点，PB、
PC分别与AD相交于点E、点F．当PA＝AB且AE＝EF＝FD时，AE的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
18．如图，等边 的三个顶点均在 上，连接 ， ， ，则 的度数为_______．
19．如图，点A、B、C在⊙O上，∠C＝45°，半径OB的长为3，则AB的长为_____．
20．如图， 的弦 与直径 相交，若 ，则∠AOD=____度．21．如图，点 在以 为直径的 上， ， ，则 的长为______．
22．下列说法中正确的有__（填序号）．
（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相
等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知点 、 、 ，点 在以点 为圆心， 为
半径的圆上运动，且始终满足 ，则 的最小值为______， 的最大值为______．
24．如图，在 中、三条劣弧 、 、 的长都相等，弦 与 相交于点 ，弦 与 的延长线相交
于点 ，且 ，则 的度数为________．
25．如图， 是半圆 的直径，四边形 和 都是正方形，其中 ， ， 在 上， 、 在半圆上．若则正方形 的面积与正方形 的面积之和是16，则 的长为________．
三、解答题
26．如图，锐角 是 内接三角形，弦 ，垂足为 ．在 上取点 ，使 ，连接 ，并
延长交 于点 ．求证： ．
27．如图，AB，DF是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，且 ，过点D作DE⊥AB于点E．
(1)证明：F是 的中点；
(2)若 ，求FC的长．
28．如图，AB为 的直径，CD为弦， 于点E，连接DO并延长交 于点F，连接AF交CD于点G，连
接AC，且 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 和GD的长．
29．如图， 为 的直径，E为 的中点，弦 于点E，连接 并延长交 于点F，连接 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)若 的半径为2，求 的长．
30．如图，AB是 的直径，点C为 的中点，CF为 的弦，且 ．垂足为E，连接 交CF于点
G，连接CD，AD，BF．
(1)求证： ；
(2)若 ，求BF的长．
31．如图，AB是⊙O的弦，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过O作OC⊥AP于点C，OD⊥BP于点D．(1)试判断CD与AB的数量和位置关系？并说明理由；
(2)若 ，AP=4，则⊙O的半径为________．（直接写出答案）
32．如图，已知 是某圆的内接四边形， ， 于 ，求证： ．
33．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，且AF⊥BC，垂足为D．若BE=6，
AB=8．
(1)求证：BE=CF；
(2)若∠ABC=∠EAC，求AC的长．
34． 内接于 ，连接 ， ．(1)如图1，求证： ；
(2)如图2，点 在 外， ，CD∥OB，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，点 在圆周上（若与点 位于AB的两侧），连接EB、EC，若 ，
， ，求 的半径长．参考答案：
1．B
【分析】连接OC，根据圆周角定理可得∠BOC=50°，∠DOC=60°，根据∠BOD=∠BOC+∠DOC即可求解．
【详解】如图，连接OC，已知 ， ，
由圆周角定理可得∠BOC=50°，∠DOC=60°，
所以∠BOD=∠BOC+∠DOC=50°+60°=110°．
故选：D．
2．C
【分析】根据圆内接四边形对角互补求得 ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，根据直角三角形
的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：∵ 为 的直径，
∴ ，
∵四边形 是圆内接四边形， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，掌握以上知
识是解题的关键．
3．D
【分析】连接OD、OC，可得 ，再由圆周角定理可得∠CED＝ 即可解答．
【详解】解：连接OD、OC，如下图∵AB＝CD，∠OAB＝70°，
∴∠OAB＝ ＝70°，
∴ ＝40°，
又由圆周角定理可得∠CED＝ ＝20°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，解题关键是正确添加辅助线．
4．A
【分析】根据垂径定理、圆周角定理、轴对称和等弧的知识点一一判断即可．
【详解】解：①平分弦的直径不一定垂直于弦，不一定平分弦所对的两条弧，故原说法错误；
②同弧或等弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故原说法错误；
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故原说法错误；
④圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，故原说法正确；
综上所述，正确的说法有1个；
故选：A．
【点睛】本题考查命题与定理，熟练掌握相应的知识点是解题的关键．
5．B
【分析】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数、∠BED的度数，然后由圆周角定理，再根据角的和差
即可得解．
【详解】：解：连接BE，
∵∠BOD＝70°，
∴∠BED＝ ∠BOD＝35°，
∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∴∠CED＝∠BED−∠BEC＝35°−15°＝20°，
故选：B．
【点睛】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
6．A
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，
由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为 的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD= AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD= = = ，
∴CD=OC﹣OD=4﹣ ，
即点 到弦 所在直线的距离是（4﹣ ）米，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
7．C
【分析】由圆周角定理得出∠AOC＝2∠B＝120°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠OAC＝∠OCA＝
30°，由垂径定理得出AP＝CP，由勾股定理得出AP＝2 ，即可得出答案．
【详解】解：∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，
∴AP＝CP，OA＝2OP＝4，∴AP＝ ，
∴AC＝2AP＝4 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径
定理是解题的关键．
8．C
【分析】作圆周角∠ADB，根据圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形性质求出∠C即可．
【详解】解：如图，作圆周角∠ADB，使D在优弧上，
∵∠AOB＝96°，
∴∠D＝ ∠AOB＝48°，
∵四边形ADBC是 的内接四边形，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝132°，
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键．
9．D
【分析】在同圆中，根据圆心角、弧和弦之间的关系即可判断．
【详解】解：在⊙O中，
∵
∴ ，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵ ，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意．
故选D
【点睛】本题考查圆的对称性，理解同圆中圆心角、弧和弦之间的关系是解题的关键．
10．A
【分析】根据作图知CE垂直平分AC，即可得 ， ，根据圆的半径得 ， ，根据
圆周角的推论得 ，根据勾股定理即可得 ．
【详解】解：根据作图知CE垂直平分AC，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得，
，
故选A．
【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点．
11．D
【分析】先利用垂径定理得到 ，再根据圆周角定理得到∠AOD＝60°，然后根据含30度的直角三角形三
边的关系得到OD的长．
【详解】解：∵CD⊥AB，AB是直径，
∴ ，
∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，
在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×1＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角
的一半．也考查了垂径定理．
12．C
【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB=90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠ABC=90°-∠CAB=40°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出∠D=∠B=40°．
【详解】解：∵AB是直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理，正确理解在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．
13．B
【分析】连接OC，设DC与OA的交点为E，则OE= ，求得∠OCE=30°，∠AOC=60°，根据圆周角定理计算
即可．
【详解】如图，连接OC，设DC与OA的交点为E，
根据题意，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，
得OE= ，
∴∠OCE=30°，∠AOC=60°，
∴∠APC＝ =30°，
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理，圆周角定理是
解题的关键．
14．B
【分析】延长CD交 O于点F，连接AF，则由CD经过圆心O可得∠CAF＝90°，先由翻折得到∠BCA＝
∠DCA，AB＝AD，∠⊙CAD＝∠CAB＝36°，然后得到∠FAO＝54°，再由圆周角定理得到AB＝AF，进而得到AF
＝AD，也就有∠ADF＝∠AFD＝63°，再由三角形的外角性质得到∠ACD的大小，最后由旋转的性质得到∠DCE
的大小．
【详解】解：如图，延长CD交 O于点F，连接AF，
⊙由题可知， ,
垂直平分 ,
CD经过圆心O，
∴∠CAF＝90°，
由翻折得，∠DCA＝∠BCA，AB＝AD，∠CAD＝∠CAB＝36°，
∴∠FAO＝∠CAF﹣∠CAD＝90°﹣36°＝54°，AB＝AF，
∴AF＝AD，
∴∠ADF＝∠AFD＝ （180°﹣∠DAF）＝ （180°﹣54°）＝63°，
∵∠ADF是△ACD的外角，
∴∠ACD＝∠ADF﹣∠CAD＝63°﹣36°＝27°，
∴∠BCA＝27°，
由旋转的性质得，∠DCE＝∠BCA＝27°，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、翻折的性质、三角形的外角性质，解
题的关键是熟知“直径所对的圆周角为直角”求得∠DAF的大小．
15．A
【分析】作点A关于点O的对称点A'根据中位线的性质得到OM= ，求出A'C的最大值即可．
【详解】解：如图，作点A关于点O的对称点A'（﹣3，0），则点O是AA'的中点，
又∵点M是AC的中点，
∴OM是△AA'C的中位线，
∴OM= ，
∴当A'C最大时，OM最大，
∵点C为坐标平面内的一点，且BC＝2，
∴点C在以B为圆心，2为半径的⊙B上运动，
∴当A'C经过圆心B时，AC最大，即点C在图中C'位置．
A'C'＝AB+BC'＝3 ．
∴OM的最大值 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是解题的
关键．
16．D
【分析】分点A在优弧BC上和劣弧BC上两种情况，分别连接OC，根据平行四边形的性质及圆的性质可得
△OBC是等边三角形，进而得到∠BOC=60°，再根据圆周角定理即可解答．
【详解】解：（1）当点A在优弧BC上时，连接OC，
∵四边形OBCD是平行四边形，
∴BC=OD，
∴BC=OB=OC，
∴ΔOBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°
∴∠BAC= ∠BOC=30°；（2）当点A在劣弧BC上 位置时，连接OC，
∵四边形ABA'C为圆内接四边形，
∴∠BAC+∠BA'C=180°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BA'C=150°．
综上∠BAC的度数为30°或150°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形，熟记圆周角定理并作出合理的辅助线是解答本题的关
键．
17．A
【分析】作辅助线，构建矩形的对角线，根据等边对等角得∠ABP＝∠APB，由同弧所对的圆周角相等可得∠ACB
＝∠ACP，根据矩形的四个角都是直角得∠ABC＝90°，AE＝EF＝FD得FC＝2FD，∠DCF＝30°，得出∠ACB＝
30°，求出BC的长，则可得AD的长，再三等分即可．
【详解】解：连接AC、BD，
∵PA＝AB，
∴∠ABP＝∠APB，
∵∠ABP＝∠ACP，∠APB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠ACP，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ACP＝∠DAC，
∴AF＝CF，
∵AE＝EF＝FD，
∴AF=DE=CF，则FC＝2FD，
设FD＝x，则FC＝AF＝2x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠ADC=∠BCD＝90°，
∴AC为⊙O的直径，
在Rt△DFC中，FC＝2FD，
∴∠DCF＝30°，
∴∠ACB＝∠ACP＝30°，
∵⊙O的半径为1，
∴AC＝2，
∴AB＝1，BC ，
∴AD＝BC ，
∵AE＝EF＝FD，
∴AE ．
故选：A.
【点睛】本题是有关圆的计算题，考查了矩形，含30°的直角三角形的性质、等腰三角形的性质及圆周角、圆心角、
弦、弧之间的关系，熟练掌握矩形的四个角都是直角，对角线相等且平分；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角相等．
18．120°##120度
【分析】根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解∶∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵∠AOC=2∠ABC，
∴∠AOC=120°．
故答案为：120°
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
19．
【分析】首先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，然后解直角三角形求出AB的长．
【详解】根据题意可知，，
∠AOB=2∠ACB= ，
又知OA=OB=3，
故答案为: ．
【点睛】本题考查圆周角定理以及勾股定理，熟练掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解题的关键.
20．80
【分析】由题意易得 ，则有 ，然后根据圆周角定理可求解．
【详解】解：∵AB是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为80．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
21．5
【分析】根据直径所对圆周角是直角，可知∠C=90°，再利用30°直角三角形的特殊性质解出即可．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=30°，
∴ ．
故答案为：5．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论及特殊直角三角形，关键是掌握直径所对的圆周角等于90°．
22．（1）（3）（4）
【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可．
【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，
弯曲程度也要相同；
（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；
（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径．
故答案为：（1）（3）（4）．【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键．
23． 4 6
【分析】根据点 、 、 的坐标，可知点 是 的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得
的长，再由勾股定理解得 的长，最后由点与圆的位置关系解得 的最大值与最小值，进而确定 的取值范围．
【详解】解：连接 ，
由题意，得： ， ，
，
，
，
要最大，就是点 到 上的一点的距离最大，
在 的延长线上，
， ，
，
的最小值是 ，
的最大值是 ，
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等知识，
是重要考点，难度较易，将问题转化为求 的最大值是解题关键．
24． ##70度
【分析】连接 ，由弧 、 、 的长相等，可得 ，设 ，在
中，根据三角形内角和定理建立方程，解方程求得 的值，进而即可求解．
【详解】解：连接 ，弧 、 、 的长相等，
，
设 ，
，
，
，
在 中， ，
解得 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，三角形的外角与内角和，掌握弧与圆周角的的关系是解题的关键．
25．8
【分析】连接ON、OF，设正方形 的边长为 ，正方形 边长为 ， ，根据正方形的性质和勾
股定理可得 、 ，进而得到 ，化简得 ，再代入
，最后根据两正方形的和为16列方程求解即可．
【详解】解：连接 ， ，设正方形 的边长为 ，正方形 边长为 ， ，则 ，
，
四边形 和 都是正方形，
， ，
设 ，
由勾股定理得： ， ，①， ②，
① ②，得 ，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
把 代入①，得 ，
正方形 的面积与正方形 的面积之和是16，
，
，解得 （负值舍去），
．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了勾股定理在直角三角形中的运用、正方形的性质、圆的性质等知识点，灵活运用勾股定
理解决实际问题成为解答本题的关键．
26．见解析
【分析】连接 ，可得 ，证明 ，可得 ，结合 ，可得
，即可得证．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，∴ （HL），
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，垂直平分线的性质，HL证明三角形全等，证明 是解
题的关键．
27．(1)见解析
(2)FC=
【分析】（1）连接BF，OC，根据 ，可得∠CBF=∠OFB，再由圆周角定理可得∠COF=∠BOD，从而可
得 ，进而得到 ，即可求证；
（2）作OH⊥BC于点H，连结BD，先证得△OHB≌△DEO，可得OH=DE=2，从而得到 ，继而得到BE=
1，再由勾股定理可得BD的长，即可求解．
（1）
证明：如图，连接BF，OC，
∵ ，
∴∠CBF=∠OFB，
∵∠COF=2∠CBF，∠BOD=2∠OFB，
∴∠COF=∠BOD，
∴ ，∵∠AOF=∠BOD，
∴ ，
∴F是 的中点 ；
（2）
解：作OH⊥BC于点H，连结BD，
∵ ，
∴∠CBO=∠BOD，
∵OD=OB，∠OED=∠OHB=90°，
∴△OHB≌△DEO，
∴OH=DE=2，BH=OE，
∵OH⊥BC，BC=3，
∴BH=OE=1.5，
∴ ，即BE=OB-OE=OB-BH=1，
∴ ，
∵ ，
∴FC=BD= ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理等知识，根据 ，得到 是解题的关键．
28．(1)见详解
(2) ，
【分析】（1）由平行线的性质可得 ，然后可得结论；
（2）由垂径定理和圆周角定理可求 ，可证 是等边三角形，可得 ，
由勾股定理可求 的长，即可求解．（1）
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：如图，连接 ，
，
， ，
，
，
，
，
是直径，
，
，
是等边三角形，
， ，
，
， ，
，
，
，
，，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解
决问题是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)
【分析】（1）设 的半径为 ，取 的中点 ，连接 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可
得 ，根据E为 的中点，则 ，可得 是等边三角形，得出 ，即可
得证；
（2）根据勾股定理求得 的长，根据垂径定理即可求解．
（1）
证明：如图，取 的中点 ，连接 ，
设 的半径为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴
∵E为 的中点，
∴ ，
∴
∴ 是等边三角形，
∴
∵∴ 是等边三角形，
（2）
解：∵ 的半径为2，
，
∴ ，
∵ 为 的直径， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆的基本概念，等边三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关
键．
30．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据弧与弦的关系证明 ，根据同弧所对的圆周角相等，证明 ，结合对顶角相
等，根据AAS证明：△BFG≌△CDG；
（2）连接OF，设⊙O的半径为r,由CF=BD列出关于r的勾股方程即可求解；
（1）
证明：∵点C为 的中点，
∴ ，
∵AB是 的直径，且
∴
∴
∴
在△BFG和△CDG中，
∵△BFG≌△CDG（AAS）；（2）
如图，连接OF，设⊙O的半径为r,
Rt△ADB中， ，即 ，
Rt△OEF中， ，即 ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得：r=1（舍）或3，
∴
∴ ．
【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理，综合运用以上知识是解题
的关键．
31．(1) ， ，理由见解析
(2)
【分析】（1）先根据垂径定理得到 ，然后根据三角形中位线定理判断 与 的关系；
（2）连接 ，根据圆周角定理可得 ，勾股定理即可求解．（1）
解： ， ．
理由：∵ 于点 ， 于点 ，
∴ ， ，
∴ 为 的中位线，
∴ ， ．
（2）
解：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
在 中， AP=4，
∴ ，
解得 （负值舍去）．
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查了垂径定理，中位线的性质，勾股定理，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
32．见解析
【分析】在 上截取 ，连接 ，利用圆周角定理易得 ，利用三角形的性质得到
即可求解．
【详解】证明：在 上截取 ，连接 ，
，
，
．
，，
，
而 ，
．
又 ， ，
．
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建三角形全等是解答关键．
33．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得出∠ABE=90°，得出∠BAE+∠BEA=90°，由AF⊥BC得出∠ACD+∠CAD=90°，由圆
周角定理得出∠BEA=∠ACD，再由同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，即可得出结论；
（2）连接OC，根据圆周角定理证明△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得．
（1）
证明：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵ ，
∴∠BEA=∠ACD，∴∠BAE=∠CAD，
∴弧BE=弧FC
∴BE=CF．
（2）
解：连接OC，如图所示：
∴∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC＝∠CAE，
∴∠AOC＝2∠CAE，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO＝ ∠AOC，
∵ ，
∴ ，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵BE=6，AB=8，∠ABE=90°
∴ ，
∴AO＝CO＝5，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、余角的性质、三角形内角和定理，
熟练掌握圆周角定理，作出辅助线，证明△AOC是等腰直角三角形是解决问题的关键．
34．(1)见解析
(2)见解析
(3)⊙O的半径长为
【分析】（1）利用圆的两个半径构成的三角形是等腰三角形，最后用等腰三角形性质即可得出结论；
（2）先判断出∠CFB=90°，进而得出∠OBD=90°，再判断出∠BCD=∠ODB，进而判断出∠CAB=∠CBA，即可得出结论；
（3）先判断出∠ABE=∠AEB，进而判断出△AEM≌△ABN，得出CE-CM=CB+CN，再判断出CM=CN，最后用勾股
定理求出BC，即可得出结论．
（1）
如图1，连接OA、OC，
∵OA＝OB＝OC，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）
如图2，连接 并延长 交于 ，
由（1）知， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
由（1）知， ，
∴ ，
（3）
如图3，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；设 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
在 中，根据勾股定理得， ，
∴
在 和 中，根据勾股定理得， ，
即： ，解得 或 （舍），
∴ ，
连接OC交AB于 ,
∴
在 中，根据勾股定理得， ，
设 ，在 中， ，
∴
