跟踪训练04基本不等式（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 04 基本不等式 一．选择题（共15小题） 1．设 ， ，且 ，求 的最小值是 A．1 B．2 C． D． 【解答】解：因为 ， ，且 ， 所以 ， ， ，当且仅当 ，即 时取 等号， 故选： ． 2．已知 ，则 的最小值为 A． B．0 C．1 D． 【解答】解： ， ， 当且仅当 ，即 时取等号． 故选： ． 3．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨 论过这个定理的有关问题．如果一个直角三角形的斜边长等于 ，则当这个直角三角形 周长取最大值时，其面积为 A． B．1 C．2 D．6 【解答】解：记该直角三角形的斜边为 ，直角边为 ， ，则 ，因为 ，所以 ，即 ， 当且仅当 ，且 ，即 时，等号成立， 因为 ， ，所以 ， 所以该直角三角形周长 ， 故这个直角三角形周长取最大值时，该三角形的面积为 ． 故选： ． 4．下列命题中真命题的个数为 ①负数没有平方根； ②对任意的实数 ， ，都有 ； ③二次函数 的图象与 轴恒有交点； ④ ， ， ． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①任意负数没有平方根，故①正确； ② ，即对任意的实数 ， ，都有 ，故②正确； ③二次函数 中，△ 二次函数 的图象与 轴 恒有交点，故③正确； ④当 时， ，故④错误， 故选： ． 5．若实数 ， 满足 ，则 A． B． C． D． 【解答】解： ， ，由 ，得 ，于是 ，整理得 ，当且仅当 时取等号， 解得 ， 错误， 正确； 又 ，即 ，当且仅当 时取等号， 错误． 故选： ． 6．已知 ， ，且 ，则 的最小值为 A．4 B．6 C．8 D．12 【解答】解： ， ，且 ， ，当且仅当 时取等号， 整理得： ， 解得 或 （舍 ， 的最小值为4． 故选： ． 7．已知 ，则 的最小值为 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解： ， ， ，当且仅当 ，即 时， 等号成立， 的最小值为5． 故选： ． 8．已知 ， ，且 ，则 的最小值是 A．2 B．4 C． D．9【解答】解：因为 ，所以 ， 则 ， 当且仅当 ， 时，等号成立． 故选： ． 9．若实数 ， 满足 ，则 成立． A． B． C． D． ． 【解答】解： ， ， 又 ，当且仅当 时，取等号， ，即 ，故 错误， ，故 正确， ， ，故 错误， 故选： ． 10．当 时，函数 A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 【解答】解： ， ， ，当且仅当 时等号成立， 故选： ． 11．设 、 ， ，若 ，则 的最小值为A． B． C． D． 【解答】解：因为 、 ， ， ，则 ，即 ， 由题意可得 ， ， 所 以 ， ， 当且仅当 时，即当 时，等号成立， 故 的最小值为 ． 故选： ． 12．已知正数 ， 满足： ，则以下结论中 （1） （2） （3） 的最小值为9 （4） 的最小值为3 正确结论个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：因为 ， 所以 ， 设 ，其中 ，则 ， 所以 在 上是单调增函数； 所以 ，即 ，结论（1）正确、（2）错误； ，当且仅当 时取“ ”， 所以 的最小值为9，结论（3）正确、（4）错误． 故选： ． 13．正项等比数列 中， ，若 ，则 的最小值等于 A．1 B． C． D． 【解答】解：因为正项等比数列 中， ， 则 ，可得 ， 又 ，则 ，则 ， 则 ，当且仅当 时， 等号成立， 故选： ． 14．已知： ， ， ，则下列说法正确的是 A． 有最大值1 B． 有最小值1 C． 有最大值4 D． 有最小值4 【解答】解：因为 ， ， ，所以有 ，当且仅当 时 取等号，因此 正确， 错误；因为 ， ， ， 所以有 ， 当且仅当 时取等号，即当且仅当 时取等号， 不正确， 当 时，显然有 ， 不正确， 故选： ． 15．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 A．3 B．9 C．4 D．8 【解答】解：因为正实数 ， 满足 ， 则 当且仅当 且 ，即 时取等号． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．给出下面四个结论，其中正确的是 A．若实数 ， ， ，则 B．设正实数 ， 满足 ，则 有最小值4 C．若函数 的值域是 ， ，则函数 的值域为 ， D．若函数 满足 ，则 【解答】解：对于选项 ， ，则 ， 又 ，则 ，又 ，则 ， 则 ， 即选项 错误； 对于选项 ，正实数 ， 满足 ， 则 ， 当且仅当 时取等号， 则 有最小值4， 即选项 正确； 对于选项 ，函数 的值域是 ， ， 则函数 的值域为 ， ， 即选项 错误； 对于选项 ，函数 满足 ， 则 ， ， ， 则 ， 即选项 正确， 故选： ． 17．下列函数中，最小值不为4的函数为 A． B． C． D． 【解答】解：当 时， 显然不成立；因为 ， ，当且仅当 ，即 ，显然 等号无法取得， 不成立； ，当且仅当 ，即 时取等号， 成立； 当 时， 显然不成立． 故选： ． 18．已知实数 ， 满足 ，则 A． B． C． D． 【解答】解：因为 ， 设 ，则 ，所以 ， 即 ， 由△ ， 解得 ，即 ，选项 正确， 错误； 因为 ，所以 ， 当且仅当 时取等号， 解得 ，选项 正确，选项 错误． 故选： ． 19．下列说法正确的是 A．不等式 的解集是 B．若正实数 ， 满足 ，则 的最大值为2C．若 ，则 D．不等式 对 恒成立 【解答】解：对 ，解得 ， 故不等式 的解集是 ， 正确； 对 ， ，则 ，当且仅当 时等号成立， 错误； 对 ，令 ，则 ，可得 ， 当 时，则 ，当且仅当 ，即 时等号成 立； 当 时，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 故 ， 综上所述： ， 错误； 对 ， ， ， 不等式 对 恒成立， 正确． 故选： ． 20．下列结论中，正确的是 A．若 ，则函数 的最小值为B．若 ， ，则 的最小值为8 C．若 ， ， ，则 的最大值为1 D．若 ，则 的最大值为 【解答】解：对于 ：若 时，函数 无最小值，故 错误； 对于 ：若 ， ，则 ， ，则 ， 则 ，当且仅当 ， 时取等号，故 正确； 对于 ：若 ， ， ， ，解得 ，故 正确； 对于 ：若 ， 则 ， 即 ， 整 理 为 ， 则 ，解得 ，或 ，解得 ， 则 ，即 ，可得 ，当 时等 号成立，所以 的最大值为 ，故 正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为 ． 【解答】解：因为 ，所以 ， ， ， 所以 ， 当 ，即 ，即 ， 时等号成立， 所以 的最小值是 ． 故答案为： ． 22．已知 ， ， ，则 的最小值为 ． 【解答】解： ， ， 又 ， ， ， ， 当 时， 的值最小，最小值为 ． 故答案为： ． 23．已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为 ． 【 解 答 】 解 ： ， 当 且 仅 当 时等号成立． 所以目标式最大值为 ． 故答案为： ．24．已知 ， ，则 的最小值为 3 ． 【解答】解： ， ， ， ， ， 当且仅当 ， 时取等号， 的最小值为3， 故答案为：3． 25．已知 ， ，且 ，则 的最小值为 6 ． 【解答】解：因为 ， ， ， 所以 ， ， 令 ， 则 ， 其中 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 故 ，此时 ， ， 故答案为：6． 四．解答题（共3小题） 26．求下列函数的最值． （1）已知 ，求 的最小值； （2）已知 ， ，且 ，求 的最小值． 【解答】解（1） ， ，， 当且仅当 即 时取等号， 的最小值为9． （2）因为 ， ，且 ， ， ， 当且仅当 且 ，即 ， 时取等号， 故 的最小值8． 27．已知奇函数 在 上单调，且正实数 ， 满足 ． （1）求 的最大值； （2）求 的最小值． 【解答】（1）解：由题意 是奇函数，且在 上单调， 所以 ，所以 ，即 ． 所以 ，得 ，当且仅当 时，等号成立． 故 的最大值为 ； （2）由（1）得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立． 故 的最小值为48．28．（1）已知 ，求 的最小值； （2）已知 ， ，若 ，求 的最小值． 【解答】解：（1）因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号，此时 的最小值为9； （2）由 ， ， 可得 ， 则 ， 当且仅当 即 ， 时取等号，此时 的最小值为 ．