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第 12 章 全等三角形能力测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．在下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是（ ）
A．已知两个锐角 B．已知一条直角边和一个锐角
C．已知两条直角边 D．已知一条直角边和斜边
【答案】A
【分析】此题主要考查全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL．
根据判定方法依次进行判断即可．
【详解】解：A、两个锐角对应相等，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意；
B、一个锐角和一条直角对应相等，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意；
C、两条直角边对应相等，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；
D、一条直角边和斜边对应相等，利用HL可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意；
故选：A．
2．已知△ABC≌△≝¿，A与D，B与E，C与F分别为对应顶点，若AB=7cm，BC=5cm，AC=8cm，
则EF=（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质；根据全等三角形的对应边相等可得答案．
【详解】解：∵△ABC≌△≝¿，BC=5cm，
∴EF=BC=5cm，
故选：A．
3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】A【分析】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌
握三角形全等的性质是解题的关键．利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′=∠AOB．
【详解】解：由作图知OC=O′C′，OD=O′D′，CD=C′D′，
∴△OCD≌△O′C′D′ (SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB，
∴依据是SSS，
故选：A．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（ ）
A．40° B．55° C．65° D．75°
【答案】C
【分析】本题考查了作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关
键．
由作图方法可得AG是∠CAB的角平分线，进而根据∠CAB=50°，求得∠CAD，根据直角三角形的
性质即可求解．
【详解】解：∵AG是∠CAB的角平分线，∠CAB=50°，
∴∠CAD=∠CAB=25°，
∵∠C=90°，
∴∠CDA=90°−25°=65°，
故选：C．
5．如图，在△ABC中，AC=5，AB=7，AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE=2，则△ABD的面积为
（ ）A．14 B．12 C．10 D．7
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过D点作DF⊥AB
于F，如图，根据角平分线的性质得到DF=DE=2，然后利用三角形面积公式进行计算．
【详解】解：过D点作DF⊥AB于F，如图，
∵AD ∠BAC DE⊥AC DF⊥AB
平分 ， ， ，
∴DF=DE=2，
1 1
∴S = AB·DF= ×7×2=7．
△ABD 2 2
故选：D
6．如图，已知AC=BD，添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△BAD的是（ ）
A．∠ABC=∠BAD B．∠C=∠D=90°
C．∠CAB=∠DBA D．CB=DA
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：AC=BD，AB=BA，
A．若添加∠ABC=∠BAD，满足边边角，不能判定△ABC≌△BAD，故该选项符合题意；
B．若添加∠C=∠D=90°，满足斜边直角边对应相等，能判定△ABC≌△BAD，故该选项不符合题
意；
C．若添加∠CAB=∠DBA，满足边角边，能判定△ABC≌△BAD，故该选项不符合题意；D．若添加CB=DA，满足边边边，能判定△ABC≌△BAD，故该选项不符合题意；
故选：A．
7．一块三角形玻璃板不慎被小强同学碰破，成了如图所示的四块，聪明的小强经过仔细地考虑认为只要
带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃板，你认为可行的方案是（ ）
A．带其中的任意两块去都可以 B．带 ①②或②③去就可以了
C．带 ①④ 或③④去就可以了 D．带①④或①③去就可以了
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，分别利用全等三角形的判定方法逐项判断即可得出答案，熟
练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键．
【详解】解：①④或③④都能构成已知两角及夹边，可以确定唯一的三角形．
故选C．
8．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为（ ）°
A．70 B．80 C．90 D．100
【答案】C
【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
首先证明三角形全等，根据全等三角形的性质可得对应角相等，再由余角的定义和等量代换可得∠1与
∠2的和为90°.
【详解】解：在△ABD和△CBE中，
{
AB=BC
)
∠B=∠B
BD=BE
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠1=∠BAD，
∵∠BAD+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，
故选：C；
9．如图，三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，
则可供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质定理的应用．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
根据角平分线的性质定理判断作答即可．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴到三条公路的距离相等的点在角平分线的交点上，
如图，
三角形两个内角平分线的交点P ，三角形外角两两平分线的交点P ，P ，P 均为满足要求的点，共
4 1 2 34处，
故选：D．
10．如图所示，AB∥CD，DH=BE，∠CDH=∠ABE，点F是AB的中点．①△ABE≌△CDH；②
∠DHE=∠BEH；③DE∥BH；④S =S ；⑤CD=CE．以上结论，正确的是（ ）
△AEF △BEF
A．①③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，三角形中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
根据题意证明出△ABE≌△CDH(AAS)，进而判断①；然后根据全等三角形的性质可判断②③；然后
根据三角形中线的性质可判定④；然后根据直角三角形斜边中线的性质可判断⑤．
【详解】解：∵AB∥CD
∴∠C=∠A
又∵DH=BE，∠CDH=∠ABE，
∴△ABE≌△CDH(AAS)，故①正确；
∴∠CHD=∠AEB
∴∠DHE=∠BEH，故②正确；
∵△ABE≌△CDH(AAS)
∴AE=CH，AB=CD
∴AE+EH=CH+EH，即AH=CE
又∵∠C=∠A
∴△ABH≌△CDE(SAS)
∴∠AHB=∠CED
∴DE∥BH，故③正确；
∵点F是AB的中点
∴S =S ，故④正确；
△AEF △BEF
∵∠CDE≠∠CED
∴CD≠CE，故⑤错误．
综上所述，正确的是①②③④．故选：C．
11．如图，已知△ABC的面积为32，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于点P，则△BPC的面积是（ ）
A．12 B．16 C．24 D．18
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积
相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长AP交BC于E，根据已知条件证得
△ABP≌△EBP，根据全等三角形性质得到AP=PE，得出S =S ，S ❑ =S ❑ ，推出
△ABP △EBP △ ACP △ ECP
1
S = S ．
△PBC 2 △ABC
【详解】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
{∠ABP=∠EBP
)
BP=BP ，
∠APB=∠EPB
∴△ABP≌△EBP，
∴AP=PE，
∴S =S ，S =S ，
△ABP △EBP △ACP △ECP
1 1
∴S = S = ×32=16，
△PBC 2 △ABC 2
故选B．12．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，
PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC=180°；③∠CAB=2∠CPB；③S =S +S ．
△PAC △MAP △NCP
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过P作PQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质得出PQ=PN，PQ=PM，求出PQ=PM=PN，求出
∠PMA=∠PNC=∠PQA=∠PQC=90°，根据全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，
Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐个判断即可．
【详解】解：过P作PQ⊥AC于Q，
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM=PQ，PQ=PN，
∴PM=PN，
∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠PMA=∠PQA=90°，∠PQC=∠PNC=90°，
在Rt△PMA和Rt△PQA中，
{ PA=PA )
，
PM=PQ
∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），
∴∠MPA=∠QPA，
同理Rt△PQC≌Rt△PNC，∴∠QPC=∠NPC，
∵∠PMA=∠PNC=90°，
∴∠ABC+∠MPN=360°-90°-90°=180°，
∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正确；
∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠FCA=∠ABC+∠CAB=2∠PCN，
1
又∵∠PCN= ∠ABC+∠CPB，
2
1
∴∠ABC+∠CAB=2（ ∠ABC+∠CPB），
2
∴∠CAB=2∠CPB，故③正确；
∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴S =S +S ，故④正确；
PAC MAP NCP
△ △ △
即正确的个数是4，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距
离相等是解此题的关键．
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．在△ABC中，AB=AC，D是AB边的中点，E是AC边上一点，过点B作BF ∥ AC，交ED的延长
线于点F，若AD=6，BF=9，则CE的长 ．
【答案】3
【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．根据
AAS可证明△ADE≌△BDF，得出AE=BF=9，则可求出答案．
【详解】解：∵BF∥AC
∴∠F=∠AED，
∵D为AB的中点，∴AD=BD，
在△ADE和△BDF中，
{
∠AED=∠F
)
∠ADE=∠BDF ，
AD=BD
∴△ADE≌△BDF(AAS)，
∴AE=BF=9，
∵AB=AC，AD=BD=6，
∴AC=2AD=12，
∴CE=AC−AE=12−9=3．
故答案为：3．
14．某大学计划为新生配备如图1所示的折叠椅．图2是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AC和BD
的长相等，O是它们的中点．撑开后的折叠椅两支架着地部分BC的长度为27cm，则折叠椅面的宽
AD的长度为 cm．
【答案】27
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用SAS证明△ADO≌△CBO即可求得答案．
【详解】解：由题意得AO=BO，DO=CO，
在△ADO和△CBO中，
{
AO=BO
)
∠AOD=∠BOC ，
DO=CO
∴△ADO≌△CBO(SAS)
∴BC=AD=27cm（全等三角形对应边相等）．
故答案为：27．
15．如图，AB=8cm，∠A=∠B，AC=BD=6cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运
动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动．它们运动的时间为t(s)．当△ACP
与△BPQ全等时，x的值为 ．3
【答案】1或
2
【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求
出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当△ACP与△BPQ全等时，分△ACP≌△BPQ和
△APC≌△BPQ两种情况，根据全等的性质列方程求解即可．
【详解】解：∵点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t(s)，
AB=8cm，AC=BD=6cm，
∴AP=t，BP=8−t，BQ=xt，
∵∠A=∠B，
∴当△ACP与△BPQ全等时，有两种情况：
①当△ACP≌△BPQ时，
AP=BQ，AC=BP
t=tx，8−t=6，
解得t=2，x=1；
②当△APC≌△BPQ时
t=8−t，xt=6，
3
解得t=4，x= ，
2
3
综上所述，x的值是1或 ，
2
3
故答案为：1或 ．
2
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD上，
∠1=∠2=∠BAC，若△BDE的面积为1.4，△ABC的面积为18，则△CFD的面积为 ．【答案】7.4
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质和三角形的面积求法．先证△ABE≌△CAF，得出
S =S ，由△ABC的面积为18，CD=2BD，得出S =6，S =12，据此求解即可．
△ACF △ABE △ABD △ACD
【详解】∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∠2=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，
{∠ABE=∠CAF
)
AB=AC ，
∠BAE=∠ACF
∴△ABE≌△CAF(ASA)，
∴S =S ，
△ACF △ABE
∵△ABC的面积为18，CD=2BD，
1
∴S = ×18=6，S =18−6=12，
△ABD 3 △ACD
∵△BDE的面积为1.4，
∴S =S =6−1.4=4.6，
△ACF △ABE
∴S =12−4.6=7.4，
△CFD
故答案为：7.4．
17．如图，ABCD和GHIJ均为正方形，△CKG为等腰直角三角形，在如图放置情况下，请写出S 、S 、
1 2
S 、S 、S 之间的关系 ．
3 4 5【答案】S +2S +S =2S +2S
1 4 2 3 5
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形
1 1
的判定及性质是解题的关键．依题意，S =BC2 ，S =GH2 ，S = KG2= KC2 ，证明
1 2 3 2 2
△BCK≌△HKG，得BK=GH，BC=KH，进而利用梯形的面积公式得S +2S +S =2S +2S ，
1 4 2 3 5
即可得解．
1
【详解】解：依题意，S =BC2 ，S =GH2 ， S = BC⋅BK，CK=KG，
1 2 4 2
∠KHG=∠CBK=90°，四边形BHGC是梯形，
∴∠BCK+∠BKC=90°，2S =KG2=KC2 ，
3
∵△CKG为等腰直角三角形，
∴∠CKG=90°，
∴∠BKC+∠HKG=90°，
∴∠BCK=∠HKG，
∴△BCK≌△HKG，
∴BK=GH，BC=KH，S =S ，
4 5
1
∵S = (BC+GH)(BK+KH)=S +S +S
梯形 2 3 4 5
∴(BC+BK) 2=2S +2S +2S
3 4 5
∴BC2+2BC⋅BK+BK2=2S +2S +2S ,即BC2+2BC⋅BK+GH2=2S +2S +2S
3 4 5 3 4 5
∴S +4S +S =2S +2S +2S
1 4 2 3 4 5
∴S +2S +S =2S +2S
1 4 2 3 5
故答案为：S +2S +S =2S +2S ．
1 4 2 3 5
18．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，
1
∠EAF= ∠BAD，线段BE，EF，FD之间的数量关系是 ．
2【答案】EF=BE+DF
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，延长FD至点H，使得DH=BE，连接AH，可证
1
△ABE≌△ADH(SAS)得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，进而由∠EAF= ∠BAD可得
2
∠HAF=∠EAF，即可证得△AEF≌△AHF(SAS)，得到HF=EF，即可由HF=HD+DF得到
EF=BE+DF，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长FD至点H，使得DH=BE，连接AH，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADF+∠ADH=180°，
∴∠B=∠ADH，
在△ABE和△ADH中，
{
BE=DH
)
∠B=∠ADH ，
AB=AD
∴△ABE≌△ADH(SAS)，
∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
1
∵∠EAF= ∠BAD，
2
1
∴∠BAE+∠FAD=∠BAD−∠EAF= ∠BAD，
2
1
即∠HAD+∠DAF=∠HAF= ∠BAD，
2
∴∠HAF=∠EAF，
在△AEF和△AHF中，
{
AE=AH
)
∠EAF=∠HAF ，
AF=AF
∴△AEF≌△AHF(SAS)，
∴HF=EF=HD+DF，
∵HF=HD+DF，∴EF=HD+DF
又∵DH=BE，
∴EF=BE+DF．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）如图，点B、F、C、E四点在同条直线上，∠B=∠E，AB=DE，BF=CE．求证：
∠A=∠D．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意得出BC=EF，证明
△ABC≌△≝(SAS)，再利用全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
即BC=EF，
在△ABC和△≝¿中，
{
AB=DE
)
∠B=∠E ，
BC=EF
∴△ABC≌△≝(SAS)，
∴∠A=∠D．
20．（6分）如图，E为线段BC上一点，AB⊥BC，△ABE≌△ECD，判断AE与DE的关系，并证明．【答案】AE⊥DE，AE=DE，证明见解析．
【分析】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质可
求得∠A=∠DEC，结合∠A+∠AEB=90°，可求得∠DEC+∠AEB=90°，进而可求得∠AED
的度数，由此可得出结论．
【详解】证明：AE⊥DE，AE=DE，理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠B=90°．
∵△ABE≌△ECD，
∴∠A=∠DEC，AE=ED，
又∠A+∠AEB=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠AED=180°−(∠DEC+∠AEB)=90°，
∴AE⊥DE．
21．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，延长AC到点F，过点F作FE⊥AB于点E，FE与BC交
于点D，若DE=DC．
(1)求证：BD=DF；
(2)若AC=3cm,AB=5cm，求CF的长度．
【答案】(1)见解析
(2)2cm
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用ASA证明△BDE≌△FDC即可得证；
（2）利用等式性质证明BC=EF，再利用AAS证明△ACB≌△AEF，得出AB=AF，即可求解．
【详解】（1）证明：∵EF⊥AB,∠ACB=90°，
∴∠BED=∠FCD，
在△BDE和△FDC中，
{∠BED=∠FCD=90°
)
DE=DC ，
∠BDE=∠FDC
∴△BDE≌△FDC(ASA)，
∴BD=FD；
（2）解：∵DE=DC，BD=FD，
∴BD+CD=FD+DE，即BC=EF，
在△ABC和△AFE中，
{∠ACB=∠AEF=90°
)
∠A=∠A ，
BC=FE
∴△ACB≌△AEF(AAS)，
∴AB=AF，
又AC=3cm,AB=5cm，
∴CF=AF−AC=AB−AC=2cm．
22．（10分）如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，AB⊥AC，AD⊥AE，
AB=AC，AD=AE，CD分别交AE，BE于点M，F．求证：
(1)DC=EB；
(2)CD⊥BE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）证明△ADC≌△AEB(SAS)，得出DC=EB即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠ADC=∠AEB，根据∠AMD=∠EMF，结合三角形内角和得
出∠EFM=∠DAM=90°，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，
即∠EAB=∠DAC，
{
AD=AE
)
在△ADC和△AEB中， ∠DAC=∠EAB ，
AC=AB
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴DC=EB；
（2）证明：∵△ABE≌△ACD，
∴∠ADC=∠AEB，
∵∠DAM+∠ADM+∠AMD=∠EMF+∠MFE+∠MEF=180°，
又∵∠AMD=∠EMF，
∴∠EFM=∠DAM=90°，
∴CD⊥BE．
23．（10分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
(1)求证：ED=DF．
(2)∠EAD与∠EAC有什么数量关系？请写出结论并说明理由．
(3)请猜想AC、AB、BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)∠EAC=2∠EAD，详见解析
(3)AC−AB=2BE，详见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的性质和角平分线的性质，（1）根据题意得∠E=∠DFC=90°，即可证明Rt△BDE≌Rt△CDF，有DE=DF成立；
（2）由（1）知，BE=CF，则AD平分∠BAC，那么，∠EAD=∠CAD，即有∠EAC=2∠EAD；
（3）由（1）知，BE=CF，可证明Rt△ADE≌Rt△ADF，有AE=AF，则AB+BE=AC−CF，
即有AC−AB=BE+CF=2BE．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE与Rt△CDF中
¿
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴DE=DF．
（2）解：∠EAC=2∠EAD，理由如下：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
即∠EAC=2∠EAD．
（3）解：AC−AB=2BE，理由如下：
由（1）知，BE=CF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△ADE与Rt△ADF中
¿
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴AE=AF，
∴AB+BE=AC−CF，
即AC−AB=BE+CF=2BE．
24．（10分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠BAD=110°，∠ABC的平分线交AC于点E，过
点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF=55°，连接DE．(1)求∠CAD的度数；
(2)求证：DE平分∠ADC；
(3)若AB=8，AD=4，CD=8，且S =15，求△ABE的面积．
△ACD
【答案】(1)35°
(2)证明见解析
(3)10
【分析】（1）根据垂直得到∠AFE=90°，利用三角形外角的性质得到∠BAE=145°，再根据
∠BAE=∠BAD+∠CAD，即可求出∠CAD的度数；
（2）过点E作EG⊥AD，EH⊥BC，根据角平分线的性质得到EF=EG，EF=EH，进而得到
EG=EH，再根据角平分线的判定定理即可证明结论；
5
（3）根据三角形的面积公式求出EH= ，再根据三角形的面积公式计算，即可求出△ABE的面积．
2
【详解】（1）解：∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠AEF=55°，
∴∠BAE=∠F+∠AEF=90°+55°=145°，
∵∠BAE=∠BAD+∠CAD，∠BAD=110°，
∴∠CAD=∠BAE−∠BAD=145°−110°=35°，
（2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H，
∵∠F=90°，∠AEF=55°，
∴∠EAF=90°−55°=35°，
由（1）可知，∠EAF=∠CAD=35°，
∴AE平分∠FAD，
∵EF⊥AF，EG⊥AD，
∴EF=EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF=EH，
∴EG=EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S =15，
△ACD
∴S +S =15
△ADE △CDE
1 1
∴ AD⋅EG+ CD⋅EH=15
2 2
∵AD=4，CD=8，EG=EH，
1 1
∴ ×4×EH+ ×8×EH=15，
2 2
15 5
∴EH= =
6 2
5
∴EF=
2
∵AB=8
1 1 5
∴S = AB⋅EF= ×8× =10．
△ABE 2 2 2
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积
公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键．
25．（10分）如图，在△ABC中，点D为AB的中点， AB=AC=10cm，∠B=∠C，BC=8cm．
(1)若点P 在线段BC上以3cm/s的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段CA上从点 C 向终点
A运动．①若点 Q 的速度与点 P 的速度相等，经 1 s 后， 请说明 △BPD≌△CQP；
②若点Q的速度与点P 的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；
(2)若点P以3cm/s的速度从点B 向点C运动，同时点Q以5cm/s的速度从点C向点A 运动，它们都
依次沿△ABC的三边运动，则经过多长时间，点 Q 第一次在△ABC 的哪条边上追上点P？
15
【答案】(1)① 见解析；② (cm/s)
4
(2)经过10s，点 Q第一次在BC 边上追上点 P
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用路程=速度×时间公式，能够分析出追及相遇
的问题中得路程关系．
（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边长，根据SAS判定两个三角形全等即可；
②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的
时间，再求得点Q的运动速度即可；
（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应
该比点P多走等腰三角形的两个腰长即可．
【详解】（1）① ∵BP=3×1=3(cm)，CQ=3×1=3(cm)，
∴ BP=CQ．
∵点 D 为AB 的中点，
1
∴BD=AD= AB=5(cm)
2
∵CP=BC−BP=8−3=5(cm)，
∴BD=CP．
在△BPD和△CQP 中，
{
BD=CP
)
∠B=∠C ，
BP=CQ
∴△BPD≌△CQP(SAS)．
② 设点 Q 的运动时间为t s，运动速度为v cm/s．
∵△BPD≌△CPQ，
∴BP=CP=4cm，CQ=BD=5cm．
BP 4
∴ t= = s．
3 3CQ 5 15
v= = = (cm/s)．
∴ t 4 4
3
（2）设经过x s后，点Q第一次追上点P．
由题意，得5x−3x=2×10．
解得x=10．
∴点 P 运动的路程为3×10=30(cm)．
∵30=28+2，
∴此时点 P 在BC边上，
∴经过10 s，点 Q第一次在BC边上追上点 P．
26．（10分）如图，AB⊥AD，AB=AD，AC⊥AE，AC=AE．
(1)如图1，∠BAC、∠ADE、∠AED之间的数量关系为 ；
(2)如图2，点F为DE的中点，连接AF．
①求证：BC=2AF．
②判断BC与AF的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)∠BAC=∠ADE+∠AED
(2)①见解析；②垂直，见解析
【分析】（1）证明∠DAB=∠CAE=90°，利用周角的定义，三角形内角和定理计算即可得出结论；
（2）①延长AF至M，使FM=AF，连接ME，证明△AFD≌△MFE(SAS)，得出AD=ME，
∠ADF=∠MEF，证明△AEM≌△CAB(SAS)，由全等三角形的性质得出AM=BC，则可得出结论；
②延长FA交BC于点N，由全等三角形的性质得出∠MAE=∠ACB，证出∠ANC=90°，则可得出
结论．
【详解】（1）解：∵AB⊥AD，AC⊥AE，
∴∠DAB=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAC=180°−∠DAE，
∵∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，
∴∠ADE+∠AED=180°−∠DAE，
∴∠BAC=∠ADE+∠AED，
故答案为：∠BAC=∠ADE+∠AED．
（2）解：①延长AF至M，使FM=AF，连接ME，
∵点F为DE的中点，
∴DF=EF，
{
DF=EF
)
∵ ∠DFA=∠EFM ，
FA=FM
∴△AFD≌△MFE(SAS)，
∴AD=ME，∠ADF=∠MEF，
∴AD∥EM，
∴∠MEA+∠DAE=180°，
∵∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAC=∠MEA，
∵AB=AD，
∴AB=EM
{
BA=ME
)
∵ ∠BAC=∠MEA ，
AC=AE
∴△AEM≌△CAB(SAS)，
∴AM=BC，
∴BC=2AF．②延长FA交BC于点N，
∵△AEM≌△CAB(SAS)，
∴∠MAE=∠ACB，
∵∠EAC=90°，
∴∠MAE+∠NAC=90°，
∴∠ACB+∠NAC=90°，
∴∠ANC=90°，
∴AF⊥BC．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，余角
的性质，补角的性质，构造倍长中线法证明全等，熟练掌握构造倍长中线法证明全等是解题的关键．
