文档内容
专题24.3 正多边形和圆（知识解读）
【学习目标】
1. 了解正多边形和圆的有关概念；
2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边
形和圆的有关知识画多边形．
【知识点梳理】
考点1 圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在 ⊙ 中 △ 是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在 中 进 行 ：
；
C
O B C
B D A O O
A E D B
A
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 中进行， .
考点2 与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
考点3 正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正 n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过
正n边形的中心。
2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
【典例分析】
【考点1 正多边形】
【例1】（2021•江油市模拟）如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半
径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（ ）
A．（2，2 ） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2 ） D．（﹣1， ）
【变式1-1】（2018•武汉模拟）如图，正五边形 ABCDE的顶点A在y轴正半轴上，边
CD∥x轴，若点E坐标为（3，2），则点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）【变式1-2】（2021秋•宜春期末）如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝2，则点B的坐标
为（ ）
A．（﹣ ，1） B．（﹣1， ） C．（﹣2，﹣ ） D．（﹣ ，2）
【变式1-3】（2021秋•沂源县期末）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原
点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，
当n＝100时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2 ） B．（﹣2，﹣2 ） C．（2，﹣2 ） D．（2，2 ）
【例2】（2021秋•大连期末）正六边形的边心距是 ，则它的面积是（ ）
A．2 B．6 C．9 D．12
【变式2-1】（2021秋•南沙区期末）如图，正六边形螺帽的边长是 4cm，那么这个正六边
形半径R和扳手的开口a的值分别是（ ）
A．2，2 B．4，4 C．4，2 D．4，
【变式2-2】（2021秋•西城区期末）如图， O是正方形ABCD的外接圆，若 O的半径
⊙ ⊙为4，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【变式2-3】（2022•灞桥区校级模拟）如图，点 O为正六边形ABCDEF的中心，连接
AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 ．
【考点2 正多边形和圆】
【例3】（2021秋•中山区期末）如图，正五边形 ABCDE内接于 O，则正五边形中心角
∠COD的度数是（ ） ⊙
A．76° B．72° C．60° D．36°
【变式3-1】（2022•东坡区校级模拟）如图，正五边形ABCDE内接于 O，连接AC，则
∠BAC的度数是（ ） ⊙
A．30° B．36° C．38° D．45°
【变式3-2】（2021秋•长沙县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，则∠ADB的度
数是（ ） ⊙A．15° B．30° C．45° D．60°
【变式3-3】（2021秋•庐江县期末） O半径为4，以 O的内接正三角形、正方形、正
六边形的边心距为边作一个三角形，⊙则所得三角形的面⊙积是（ ）
A． B． C．2 D．2
【例4】（2021•盘州市模拟）如图，六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，则
阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2021秋•新昌县期末）如图，圆的半径π为 4，则图中阴影部分的周长是（
）
A． B． C．24 D．
【变式4-2】（2021秋•阜阳月考）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，连
接OA，OC，若正六边形ABCDEF的边长为6，则图中阴影部分的面积是（ ）A．36 B．18 C．12 D．6
【变式4-3】（2021•海陵区一模）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定
值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）．图中
阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点
O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
专题24.3 正多边形和圆（知识解读）
【学习目标】
3. 了解正多边形和圆的有关概念；
4. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边
形和圆的有关知识画多边形．
【知识点梳理】
考点1 圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在 ⊙ 中 △ 是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在 中 进 行 ：
；
C
O B C
B D A O O
A E D B
A（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 中进行， .
考点2 与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
考点3 正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正 n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过
正n边形的中心。
2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
【典例分析】
【考点1 正多边形】
【例1】（2021•江油市模拟）如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半
径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（ ）A．（2，2 ） B．（﹣2，2） C．（﹣2，2 ） D．（﹣1， ）
【答案】C
【解答】解：连接OF．
∵∠AOF＝ ＝60°，OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴OA＝OF＝4．
设EF交y轴于G，则∠GOF＝30°．
在Rt△GOF中，
∵∠GOF＝30°，OF＝4，
∴GF＝2，OG＝2 ．
∴F（﹣2，2 ）．
故选：C．
【变式1-1】（2018•武汉模拟）如图，正五边形 ABCDE的顶点A在y轴正半轴上，边
CD∥x轴，若点E坐标为（3，2），则点B的坐标为（ ）A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（2，﹣3）
【答案】B
【解答】解：观察图形发现：该正五边形关于y轴对称，
所以点E和点B关于y轴对称，
∵点E的坐标为（3，2），
∴点B的坐标为（﹣3，2），
故选：B．
【变式1-2】（2021秋•宜春期末）如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝2，则点B的坐标
为（ ）
A．（﹣ ，1） B．（﹣1， ） C．（﹣2，﹣ ） D．（﹣ ，2）
【答案】A
【解答】解：连接OB，
∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，
∴OB＝OA＝AB＝2，∠ABO＝∠60°，
∴∠OBH＝60°，
∴BH＝ OB＝1，OH＝OBcos∠OBH＝ ×2＝ ，
∴B（﹣ ，1），
故选：A．
【变式1-3】（2021秋•沂源县期末）如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，
当n＝100时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2 ） B．（﹣2，﹣2 ） C．（2，﹣2 ） D．（2，2 ）
【答案】B
【解答】解：连接OA，
∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH＝ ＝2 ，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
100÷6＝16…4，
∴当n＝100时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣2 ），
故选：B．
【例2】（2021秋•大连期末）正六边形的边心距是 ，则它的面积是（ ）
A．2 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，OG＝ ，∠AOG＝30°，
∵OG＝OA•cos 30°，
∴OA＝ ＝2，
∴这个正六边形的面积＝6S△OAB ＝6× ×2× ＝6 ．故选：B．
【变式2-1】（2021秋•南沙区期末）如图，正六边形螺帽的边长是 4cm，那么这个正六边
形半径R和扳手的开口a的值分别是（ ）
A．2，2 B．4，4 C．4，2 D．4，
【答案】B
【解答】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OC，OB，AB，AB与OC交于G，
则∠AOC＝ ＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC＝4cm，
即这个正六边形半径R为4cm；
∵△AOC是等边三角形，
同理△BOC是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形ACBO是菱形，
∴AB⊥OC，∠CAG＝ CAO＝30°，
∵AC＝4cm，
∴CG＝2cm，
∴AG＝ ＝2 （cm），∴a＝AB＝4 （cm），
即a的值是4 cm，
故选：B．
【变式2-2】（2021秋•西城区期末）如图， O是正方形ABCD的外接圆，若 O的半径
为4，则正方形ABCD的边长为（ ） ⊙ ⊙
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接BD．
由题意，△BCD是等腰直角三角形，
∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，
∴BC＝ BD＝4 ．
故选：D．
【变式2-3】（2022•灞桥区校级模拟）如图，点 O为正六边形ABCDEF的中心，连接
AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 ．【答案】1
【解答】解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD＝ ＝60°，AB＝BC
＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OG＝ OC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
【考点2 正多边形和圆】
【例3】（2021秋•中山区期末）如图，正五边形 ABCDE内接于 O，则正五边形中心角
∠COD的度数是（ ） ⊙A．76° B．72° C．60° D．36°
【答案】B
【解答】解：∵五边形ABCDE是 O的内接正五边形，
⊙
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为 ＝72°，
故选：B．
【变式3-1】（2022•东坡区校级模拟）如图，正五边形ABCDE内接于 O，连接AC，则
∠BAC的度数是（ ） ⊙
A．30° B．36° C．38° D．45°
【答案】B
【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠B＝ ×（5﹣2）×180°＝108°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝ （180°﹣108°）＝36°，
故选：B．
【变式3-2】（2021秋•长沙县期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，则∠ADB的度
数是（ ） ⊙
A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B
【解答】解：连接OB，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴∠AOB＝ ＝60°，
∴∠ADB＝ ∠AOB＝ ×60°＝30°．
故选：B．
【变式3-3】（2021秋•庐江县期末） O半径为4，以 O的内接正三角形、正方形、正
六边形的边心距为边作一个三角形，⊙则所得三角形的面⊙积是（ ）
A． B． C．2 D．2
【答案】C
【解答】解：如图1，△ABC为 O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，
⊙
∵∠OBC＝ ∠ABC＝30°，
∴OM＝ OB＝2；
如图2，四边形ABCD为 O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，
⊙
∵∠ODC＝ ∠ADC＝45°，
∴ON＝DN＝ OD＝2 ；
如图3，六边形ABCDEF为 O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，
⊙
∵∠OED＝ ∠FED＝60°，
∴EH＝ OE＝2，OH＝ EH＝2 ，
∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2 ，2 ，∵22+（2 ）2＝（2 ）2，
∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积＝ ×2×2 ＝2 ．
故选：C．
【例4】（2021•盘州市模拟）如图，六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，则
阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A π
【解答】解：设圆心为O，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接正六边形，
∴∠AOB＝60°，∠ABC＝120°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴S△AOB ＝ ×22＝ ，
∴阴影部分的面积为S正六边形ABCDEF ﹣S扇形AOC ﹣S扇形DOF ＝6 ﹣ ＝6﹣ ，
故选：A．
【变式4-1】（2021秋•新昌县期末）如图，圆的半径为 4，则图中阴影部分的周长是（
）
A． B． C．24 D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB于C，
根据图形可知：
∠OCB＝90°，∠OBA＝30°，圆的半径OB＝4，
∴OC＝2，
∴BC＝2 ，
∴AB＝2BC＝4 ，
∴图中阴影部分的周长＝6×4 ＝24 ．
故选：D．【变式4-2】（2021秋•阜阳月考）如图，点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点，连
接OA，OC，若正六边形ABCDEF的边长为6，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．36 B．18 C．12 D．6
【答案】B
【解答】解：过E作EM⊥FD于M，连接AC，
∵∠FED＝120°，FE＝ED，
∴∠EFD＝30°，
∴EM＝ EF＝3，
∴FM＝ ＝3 ，
∴DF＝2FM＝6 ，
∵∠BAF＝120°，∠BAC＝30°，
∴∠CAF＝90°，
同理∠ACD＝90°，
∴AF∥CD，AF＝CD，
∴四边形ACDF是矩形，
∴图中阴影部分的面积＝ S矩形ACDF ＝ × ＝18 ，
故选：B．
【变式4-3】（2021•海陵区一模）一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定
值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点
O旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
【答案】D
【解答】解：如图，连接OA，OC．
∵∠HOG＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA，
在△OHC和△OGA中，
，
∴△HOC≌△GOA（ASA），
∴AG＝CH，
∴S阴 ＝S四边形OABC ＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，
故选：D．
