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专题 24.1 圆的有关性质
目录
圆的认识......................................................................................................................................................1
圆的相关概念.............................................................................................................................................2
求相关角度..................................................................................................................................................3
求相关长度..................................................................................................................................................4
有关证明......................................................................................................................................................5
垂径定理的计算........................................................................................................................................5
垂径定理的应用........................................................................................................................................6
圆周角圆心角相关概念...........................................................................................................................8
圆周角与圆心角求角度...........................................................................................................................9
圆周角与圆心角求长度........................................................................................................................10
垂径定理的推论......................................................................................................................................12
内接四边形...............................................................................................................................................13
证明综合....................................................................................................................................................14
圆的认识
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的
图形叫做圆。
①表示方法：⊙O，读作“圆O”
{定点—圆心
¿¿¿¿
②确定一个圆的条件：
【例1】下列结论正确的是（ ）
A．半径相等的两条弧是等弧
B．半圆是弧
C．半径是弦
D．弧是半圆
【变式训练1】数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，
说法正确的是（ ）A．学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直
平分”
B．车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”
C．射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直
线”
D．地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”
【变式训练2】下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦
B．半径相等的两个半圆是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆
D．半圆是圆中最长的弧
【变式训练3】在平面内与点P的距离为1cm的点的个数为（ ）
A．无数个 B．3个 C．2个 D．1个
圆的相关概念
【例2】已知 O的半径是3cm，则 O中最长的弦长是（ ）
A．3cm
⊙
B．6cm
⊙
C．1.5cm D．√3cm
【变式训练1】已知 O中最长的弦为12厘米，则此圆半径为 厘米．
⊙
【例3】下列说法：
①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是
等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，
（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个求相关角度
【例4】如图所示，MN为 O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为（ ）
⊙
A．38° B．52° C．76° D．104°
【变式训练1】如图，将一个含有60°角的三角板，按图所示的方式摆放在半圆形纸片上，
O为圆心，则∠ACO的度数为（ ）
A．150° B．120° C．100° D．60°
【例5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交
AC于点E．若∠A＝25°，求∠DCE的度数．
【变式训练1】如图，CD是 O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交 O于
点B，且AB＝OC． ⊙ ⊙
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．求相关长度
【例6】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过
AB的中点D，则 C的半径为（ ）
⊙
A．5√3 B．8 C．6 D．5
【变式训练1】如图，AB是 O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），
CH⊥AB，垂足为 H，点 M⊙是 BC 的中点．若 O 的半径是 3，则 MH 长的最大值是
（ ） ⊙
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练2】如图，OA是 O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B
作OA的垂线交 O于点C．⊙以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若CD＝6，BC＝
8，则AB的长为⊙（ ）
A．6 B．5 C．4 D．2
【变式训练3】如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点
P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（
）5
A．2 B． C．3 D．√10
2
有关证明
【例7】已知，如图，在 O中，C、D分别是半径OA、BO的中点，求证：AD＝BC．
⊙
【变式训练1】已知：如图，AB 是 O 的直径，点 C、D 在 O 上，CE⊥AB 于 E，
DF⊥AB于F，且AE＝BF，AC与BD⊙相等吗？为什么？ ⊙
垂径定理的计算
垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的 两条 弧 ；
要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
【例8】如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝AP＝8，则 O的半径
为（ ） ⊙ ⊙A．10 B．8 C．5 D．3
【变式训练1】如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则
四边形ACBD的面积为（ ）
A．36√3 B．24√3 C．18√3 D．72√3
【变式训练2】如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，
若BG＝4，则半圆O的半径是（ ）
A．4+√5 B．9 C．4√5 D．6√2
【变式训练3】已知 O的直径CD＝10，CD与 O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝
4.8，则直径CD上的⊙点（包含端点）与A点的距离⊙为整数的点有（ ）A．1个 B．3个 C．6个 D．7个
垂径定理的应用
【例9】往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大
深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10 B．14 C．26 D．52
【变式训练1】一装有某种液体的圆柱形容器，半径为 6cm，高为18cm．小强不小心碰倒，
容器水平静置时其截面如图所示，其中圆心 O到液面AB的距离为3cm，若把该容器扶正
竖直，则容器中液体的高度为（ ）
4π−3√3 12π−9√3 12π−9√3 12π−9√3
A． cm B． cm C． cm D． cm
12π 2π π 2
【变式训练2】往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽
AB＝72cm，则水的最大深度为（ ）A．36cm B．27cm C．24cm D．15cm
【变式训练3】如图，某同学测试一个球体在水中的下落速度，他测得截面圆的半径为
5cm，假设球的横截面与水面交于A，B两点，AB＝8cm．若从目前所处位置到完全落入水
中的时间为4s，则球体下落的平均速度为（ ）
A．0.5cm/s B．0.75cm/s C．1cm/s D．2cm/s
【例10】如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下的水面宽度AB为7.2m，拱顶高出水
面（CD）2.4m，现有一艘宽EF为3m且船舱顶部为长方形并高出水面1.5m的货船要经过
这里，则货船能顺利通过这座拱桥吗？请作出判断并说明理由．
【变式训练1】诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏
州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面
AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
说说你的理由．圆周角圆心角相关概念
圆心角：顶点在圆心的角叫做 圆心角 ．
圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做 圆周角 ．
【例11】下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；
（2）优弧一定比劣弧长；
（3）弧相等则所对的圆心角相等；
（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练1】下列说法正确的是（ ）
A．同弧或等弧所对的圆心角相等
B．所对圆心角相等的弧是等弧
C．弧长相等的弧一定是等弧
D．平分弦的直径必垂直于弦
【变式训练2】下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
【变式训练3】下列说法中，正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径也平分弦所对的弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④经过圆心的每一条直线将圆分成两条等弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
圆周角与圆心角求角度
【例12】如图，AB是 O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（ ）
⊙A．158° B．58° C．64° D．116°
【变式训练1】如图，在 O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，∠OCA＝
40°，则∠BOC的度数为（⊙ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式训练2】如图，△ABC的顶点A、B、C均在 O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则
∠OAC的大小是（ ） ⊙
A．25° B．50° C．65° D．75°
【变式训练3】如图， O在△ABC三边上截得的弦长相等，即 DE＝FG＝MN，∠A＝
50°，则∠BOC＝（ ⊙）A．100° B．110° C．115° D．120°
圆周角与圆心角求长度
【例13】如图，AB是 O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长
DE交 O于点F，若A⊙E＝2， O的直径为10，则AC长为（ ）
⊙ ⊙
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式训练1】如图，AB为 O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，
延长DE交 O于点F，若A⊙E＝3， O的直径为15，则AC长为（ ）
⊙ ⊙
A．10 B．13 C．12 D．11
【变式训练2】如图，在半径为2√5的 O中，弦AB，CD互相垂直，垂足为点P．若AB
＝CD＝8，则OP的长为（ ） ⊙A．4√2 B．2√2 C．4 D．2
【变式训练3】如图，AB为 O的直径，点D是弧AC的中点，过点D作DE⊥AB于点E，
延长DE交 O于点F，若A⊙C＝12，AE＝3，则 O的直径长为（ ）
⊙ ⊙
A．10 B．13 C．15 D．16
垂径定理的推论
垂直于弦的直径平分 弦 ，并且平分 弦所对的两条弧 ；
要点：①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弧（优弧、劣弧）；⑤平分圆心角
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
【例14】如图，DC是 O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（ ）
⊙
A．AM＝BM B．CM＝DM C．^AC=^BC D．^AD=^BD
【变式训练1】如图，CD是 O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是
（ ） ⊙A．AE＝BE B．OE＝DE C．^AC=^BC D．^AD=^BD
【变式训练2】如图，AB是 O的直径，弦CD与AB相交于点E．不能推出CE＝DE的条
件是（ ） ⊙
A．AB⊥CD B．^AC=^AD C．^BC=^BD D．OE＝ED
【变式训练3】如图，CD是 O的弦，AB是 O的直径，AB⊥CD于点E，下列结论：①
^AC=^AD；②^BC=^BD；③⊙EO＝EB；④E⊙C＝ED．其中一定成立的是（ ）
A．①③ B．①④ C．①②④ D．①②③④
内接四边形
定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
【例15】如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接OA，OC．若∠ABC＝108°，则
∠AOC的度数为（ ） ⊙A．72° B．108° C．144° D．150°
【变式训练1】如图，四边形ABCD内接于 O，对角线BD垂直平分半径OC，若∠ABD＝
50°，则∠ADC的大小为（ ） ⊙
A．130° B．120° C．110° D．100°
【变式训练2】如图，C，D是 O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝15°，则∠BDC＝（
） ⊙
A．85° B．75° C．70° D．65°
【变式训练3】如图，AB是 O的直径，弦CD垂直平分OB，P是^AD上一点，则∠APD
等于（ ） ⊙
A．120° B．125° C．135° D．150°证明综合
【例16】如图，AB为 O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，连接DO并延长交 O于点
F，连接AF交CD于点⊙G，连接AC，且AC∥DF． ⊙
（1）求证：CG＝AG；
（2）若AB＝12，求∠CAO和GD的长．
【变式训练1】如图，AB是 O的直径，点C在 O上，^AC=^BC，点D是^BC的中点，
连结OC，AD，交于点E，连⊙结BE，BD． ⊙
（1）求∠EBA的度数．
（2）求证：AE=√2BD．
（3）若DE＝1，求 O的面积．
⊙
一．选择题（共8小题）
1．下列说法正确的是
A．直径是圆中最长的弦，有4条
B．长度相等的弧是等弧C．如果 的周长是 周长的4倍，那么 的面积是 面积的8倍
D．已知 的半径为8， 为平面内的一点，且 ，那么点 在 上
2．小明在半径为5的圆中测量弦 的长度，下列测量结果中一定是错误的是
A．4 B．5 C．10 D．11
3．如图， 的直径 的延长线与弦 的延长线交于点 ，且 ，已知
，则 等于
A． B． C． D．
4．如图， 的直径 ，弦 垂直 于点 ．若 ，则 的长为
A． B． C． D．
5．已知 的半径为5，点 到弦 的距离为3，则 上到弦 所在直线的距离为2
的点有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面 ，拱高 ，则该拱门的半径为A． B． C． D．
7．如图，在 中 ，以直角边 为直径的 交线段 于点 ，点
是弧 的中点， 交 于点 ， 的半径是6，则 的长度为
A． B． C．3 D．
8．如图，在 中， ，连接 ， ，则 与 的关系是
A． B． C． D．无法比较
二．填空题（共4小题）
9．运动场上的环形跑道的跑道宽都是相同的，若一条跑道的两个边缘所在的环形周长的差
等于 米，则跑道的宽度为 米．
10．大圆的半径是 ，小圆的半径是大圆半径的一半，则大圆面积比小圆面积大 ．
11．我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等分
线”，“等分线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等分线段”（例如圆的直径就是圆的“等分线段” ．已知等边三角形的边长为4，则它的“等分线段”长度 的取
值范围是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，放置半径为1的圆，圆心到两坐标轴的距离都等于半径，
若该圆向 轴正方向滚动2022圈（滚动时在 轴上不滑动），此时该圆圆心的坐标为
．
三．解答题（共3小题）
13．在平面内，给定不在同一直线上的点 ， ， ，如图所示．点 到点 ， ， 的
距离均等于 为常数），到点 的距离等于 的所有点组成图形 ， 的平分线交
图形 于点 ，连接 ， ．
求证： ．
14．如图， 的半径 ， 为 上一点， ， ，垂足分别为
、 ， ，求直径 的长．
15．已知：如图， 、 是 的高， 为 的中点．试说明点 、 、 、在以点 为圆心的同一个圆上．
