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专题 11 圆的相关概念和性质
【思维导图】
◎考点题型1 圆的基础概念
圆的概念：在一个平面内，线段 绕它固定的一个端点 旋转一周，另一个端点 所形成的图形叫圆．这个固
定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径．以 点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：
1 圆心；
2 半径，
3 其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
例．（2022·青海海东·九年级期末）下列说法中错误的是（ ）
A．直径是弦 B．经过不在同一直线上三点可以确定一个圆
C．三角形的外心到三个顶点的距离相等 D．两个半圆是等弧
变式1．（2021·全国·九年级课时练习） 、 是半径为 的 上两个不同的点，则弦 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2021·四川凉山·中考真题）点P是 内一点，过点P的最长弦的长为 ，最短弦的长为
，则OP的长为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2020·陕西·咸阳市秦都区教育局七年级阶段练习）一个圆柱的侧面展开图是长方形，这个长方形
的一组邻边长分别是6和8，则这个圆柱的底面半径是（ ）
A．3 B． C． D． 或
◎考点题型2 弦、弧、弦心距
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以 为端点的弧记作 ，读作弧AB．在同圆或
等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
弦心距、半径、弦长的关系：（考点）
例．（2022·河北唐山·九年级期末）如图所示，AB是⊙O的直径， ，∠COD＝34°，则∠A
的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
变式1．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学二模）如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径
AB⊥CD，连接AC、OD，∠A=26°，则∠D的度数是（ ）A．26° B．38° C．52° D．64°
变式2．（2021·黑龙江·大庆市第六十九中学九年级阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．平分弦的直径垂直于弦
变式3．（2022·安徽滁州·九年级期末）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂
足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：① = ；②OM=ON；
③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
◎考点题型3 圆周角
圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径．
（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）
例．（2022·福建厦门·九年级期末）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，
所对圆周角的是（ ）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC
变式1．（2021·四川乐山·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则
的长为（ ）
A． π B． π C． π D． π
变式2．（2022·湖南株洲·九年级期末）如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O
的弦，∠ABD=56°，则∠BCD的度数是（ ）
A．46° B．56° C．34° D．24°
变式3．（2022·河南商丘·九年级期末）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则
∠ABD等于（）
A．54° B．56° C．64° D．66°
◎考点题型4 圆心角
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组相等，那么他们
所对的其余各组量分别相等。
例．（2022·安徽·合肥市庐阳中学三模）如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过
点C，则∠OCB的度数为（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
变式1．（2020·安徽合肥·九年级期末）如图，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一点．若∠OAB＝25°，
∠OCA＝40°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
变式2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知 ，点 是 平分线 上一点，当点
是 的外心时， （ ）
A．95° B．100° C．110° D．115°
变式3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（
）
A．160o B．120o C．100o D．80o
◎考点题型5 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造 ，用勾股，求长度；
2） 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
例．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，
则四边形ACBD的面积为( )
A．36 B．24 C．18 D．72
变式1．（2019·浙江·丽水市实验学校一模）圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两
弦AB和CD的距离是（ ）
A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm
变式2．（2021·广东·珠海市斗门区实验中学九年级期中）如图，⊙O中，如果∠AOB＝2∠COD，那么（
）
A．AB＝DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC
变式3．（2022·山东·潍坊市寒亭区教学研究室二模）图，已知以 的边AB为直径的 经过点C，
交 于点D，连接BD．若 ，则 的度数为（ ）
A．32° B．27° C．24° D．18°
◎考点题型6 垂径定理的推论
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
例．（2022·江苏·九年级专题练习）下列命题是真命题的是（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等
B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
变式1．（2022·四川广安·二模）下列说法错误的是（ ）
A．方差可以衡量一组数据的波动大小
B．抽样调查抽取的样本是否具有代表性，直接关系对总体估计的准确程度
C．平分弦的直径垂直于这条弦
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
变式2．（2022·海南省直辖县级单位·二模）如图， 是 的直径，点 ， 在 上，点 是 的中
点，过点 画 的切线，交 的延长线于点 ，连接 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·内蒙古包头·模拟预测）下列说法中，正确的说法有（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；
②一元二次方程x2﹣x﹣6＝0 的根是x＝3，x＝﹣2
1 2
③点P（1，2）关于x 轴对称点的坐标是（1，2）；
④对角线垂直且相等的四边形一定是菱形；
⑤在数据 1，4，4，0，2中，众数是4，中位数是4
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
◎考点题型7 垂径定理的实际应用
例．（2022·湖北十堰·中考真题）如图， 是等边 的外接圆，点 是弧 上一动点（不与 ，
重合），下列结论：① ；② ；③当 最长时， ；④ ，其
中一定正确的结论有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（2022·广西大学附属中学八年级期末）往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面
宽 ，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（ ）cm．
A．10 B．14 C．26 D．52
变式2．（2022·湖北·鄂州市教学研究室一模）如图，小丽荡秋千，秋千链子的长为 ，秋千向两边摆动
的角度相同，摆动的水平距离 为3米，秋千摆至最高位置时与最低位置时的高度之差（即 ）为0.5
米．则秋千链子的长 为（ ）
A．2米 B．2.5米 C．1.5米 D． 米
变式3．（2022·湖北襄阳·九年级期末）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为
10mm，钢珠上项端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm．
A．4 B．6 C．7 D．8
