文档内容
24.1.3 弧、弦、圆心角
弧、弦、圆心角定义
如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．
定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦 也
相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
注意：
(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
题型1：弧、弦、圆心角的概念
1.1．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．三角形的外心是三角形三边中垂线的交点
B．三点确定一个圆
C．平分一条弦的直径一定重直于弦
D．相等的两个圆心角所对的两条弧相等
【答案】A
【解析】【解答】解：A、符合外心的定义，故原命题正确；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；
C、平分一条弦（非直径）的直径一定垂直于弦，故原命题错误；
D、在同圆或等圆中，相等的两个圆心角所对的两条弧相等，故原命题错误.
故答案为：A.
【分析】根据外心的定义、确定一个圆的条件，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦之间的关系逐一判
断即可.
【变式1-1】下列语句中，正确的有( )
①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条
直线都是圆的对称轴.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A
【解析】【解答】解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中.
②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等.
③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧.
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴.正确.
故答案为：A.
【分析】根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等可判断A；根据弦所对的弧有两条可判断
B；根据等弧的概念可判断C；根据圆的对称性可判断D.
【变式1-2】下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等.其中正确的有（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．①②④
【答案】B
【解析】【解答】解：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦，选项正确，符合题意；
②如果平分的弦是直径的话，平分这条弦的直径不一定垂直于弦，选项错误，不符合题意；
③在同圆或等圆中，相等的弦对应的圆周角不一定相等，选项错误，不符合题意；
④同弧或等弧所对的弦相等，选项正确，符合题意.
∴正确的有：①④.
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理可判断①②；根据弧、圆周角的关系可判断③；根据弧、弦的关系可判断④.
题型2：弧、弦、圆心角求角度
2.如图，以AB为直径的半圆上有一点C，∠C＝25°，则 B´C 的度数为( )
A．25° B．30° C．50° D．65°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠C＝25°，
∴∠BOC＝2∠A＝50°，
∴^BC 的度数为50°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质可得∠A＝∠C＝25°，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可得
∠BOC＝50°，据此可得^BC的度数.【变式2-1】如图， AB 为⊙O的直径，点C、D是 B´E 的三等分点， ∠AOE=60° ，则 ∠BOD
的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴B´E 的度数是120°，
∵C、D是 B´E 上的三等分点，
∴弧CD与弧BC的度数都是40度，
∴∠BOD=80°．
故答案为：C．
【分析】先利用平角求出∠BOE=180°-∠AOE=120°，再根据C、D是 B´E 上的三等分点，得到弧CD
与弧BC的度数都是40度，即可得到答案。
【变式2-2】如图，在⊙O中， A´C=B´D ，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【解析】【解答】 ∵A´C=B´D ，
∴A´C−B´C=B´D−B´C ，
∴A´B=C´D ，
∴∠AOB=∠COD ．
∵∠AOD=150°，∠BOC=80°，1
∴∠AOB= ×(150°−80°)=35° ，
2
故答案为：D．
【分析】先求出 A ⌢ B=C ⌢ D ，利用等弧所对的圆心角相等可得∠AOB=∠COD，利用角的和差即可求
解.
题型3：弧、弦、圆心角求线段
3.如图，在 O中，若^AB=C^D，且AD＝3，求CB的长度．
⊙
【解题思路】根据^AB=C^D，得到^BC=^AD，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到CB＝AD．
【解答过程】解：∵^AB=C^D，
∴^AB−^AC=C^D−^AC，即^BC=^AD，
∴CB＝AD＝3．
【变式3-1】如图，已知 ⊙O 的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为
（ ）
A．3 B．4 C．3√2 D．4√2
【答案】C
【解析】【解答】作 OF⊥CD，OE⊥AB
∵AB=CD
∴OE=OF
在 RtΔOBE 中， OB=5，BE=4∴OE=√52−42=3
∴OF=PE=3
∴OP=3√2
故答案为：C.
【分析】作OF⊥CD，OE⊥AB，由在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相
等，那么其余各组量也分别相等可得OE=OF，在RtΔOBE中，用勾股定理可求OE的长，则OF=OE
可求，根据有三个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形可得OFPE是正方形，所以可得
PF=OF，用勾股定理可求得OP的长。
【变式3-2】如图，MN是 O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是^AN的中点，点B'是点B关于
MN的对称点， O的半径为1，则AB'的长等于（ ）
⊙
⊙
A．1 B．√2 C．√3 D．2
【解题思路】连接OB、OB′，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB′＝90°，根据勾股定理计
算，得到答案．
【解答过程】解：连接OB、OB′，
∵点A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON＝60°，
∵点B是^AN的中点，
∴∠BON＝30°，
∵点B'是点B关于MN的对称点，
∴∠B′ON＝30°，
∴∠AOB′＝90°，
∴AB′=√12+12=√2，
故选：B．
题型4：弧、弦、圆心角与比较问题
4.如图，在同圆中，弧 AB 等于弧 CD 的 2 倍，试判断 AB 与 2CD 的大小关系是（ ）A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB=2CD D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】连接OA、OB、OC、OD，取弧AB的中点E，连接AE、BE
∴弧AE=BE
∵弧 AB =弧 CD×2
∴∠AOB=2∠COD
∴弧AE=弧BE=弧CD
∴AE= BE=CD
∵AE+BE>AB
∴2CD>AB
∴AB<2CD
故答案为：B
【分析】先画图，再根据弧、弦、圆心角的关系得出∠AOB=2∠COD，取弧AB的中点E，连接AE、
BE,根据三角形的三边关系定理可得出AB< AE+BE,从而得出AB<2CD．
【变式4-1】如图，在⊙O中，A´B=2A´C，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入
“＞”或“＜”或“＝”）．【答案】=
【解析】【解答】解：如图，过点O作OF⊥AB于点E，交⊙O于点F，
1
∴A´F=B´F，AE= AB
2
∵A´B=2A´C
∴∠AOF=∠AOC
∵AD⊥OC，AE⊥OE
1
∴AD=AE= AB
2
即AB=2AD
故答案为：=
1
【分析】先求出∠AOF=∠AOC，再求出AD=AE= AB，最后求解即可。
2
【变式4-2】如图， A´C=B´C ，D、E分别是半径OA和OB的中点，试判断CD与CE的大小关系，
并说明理由.
【答案】解：CD=CE.
理由：连接OC，∵D、E分别是OA、OB的中点，
1 1
∴OD= OA，OE= OC，
2 2
∵OA=OB，
∴OD=OE，
又∵AC=BC，
∴∠DOC=∠EOC，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△CDO≌△CEO（SAS），
∴CD=CE.
【解析】【分析】首先连接OC，由 A´C=B´C ，根据弧与圆心角的关系，可得∠COD=∠COE，又由
D、E分别是半径OA和OB的中点，可得OD=OE，则可利用SAS，判定△COD≌△COE，继而证得结
论.
题型5：弧、弦、圆心角与证明问题
5.如图，已知⊙O的两条弦AB、CD，且AB＝CD．求证：AD＝BC．
【答案】证明：∵ ⊙O的两条弦AB、CD，AB＝CD，
∴A´B=C´D，
∴A´B−B´D=C´D−B´D，
∴A´D=B´C，∴AD=BC.
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
【解析】【分析】先求出 AB−BD=CD−BD， 再证明求解即可。
【变式5-1】如图，A，B是⊙O上的两点，C是 A´B 的中点．求证： ∠A=∠B ．
【答案】证明：连接OC．
∵ C是 A´B 的中点，
∴A´C=B´C ，
∴ ∠AOC=∠BOC，
∵ OA=OB，OC=OC，
∴ △AOC ≌ △BOC（SAS），
∴ ∠A=∠B．
【解析】【分析】先求出 A´C=B´C ， 再利用SAS证明三角形全等，最后求解即可。
【变式5-2】如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点E，且EA＝EC．求证：AB＝CD．
【答案】证明：如图，连接AC，∵EA＝EC，
∴∠A=∠C，
由圆周角定理，由A´D=B´C，
∴A´D−B´D=B´C−B´D，
即A´B=C´D，
∴AB=CD
【解析】【分析】利用圆周角定理可得A´D=B´C，再利用弧的运算可得A´B=C´D，再利用弧和弦的关
系可得AB=CD。
题型6：弧、弦、圆心角综合问题
6.如图， MB ， MD 是 ⊙O 的两条弦，点 A，C 分别在 M´B ， M´D 上，且 AB=CD ，
M 是 A´C 的中点.
求证：
（1）MB=MD .
（2）过 O 作 OE⊥MB 于点 E .当 OE=1 ， MD=4 时，求 ⊙O 的半径.
【答案】（1）证明：∵M 为 AC 的中点
∴A´M=C´M ，
∵AB=CD ，
∴A´B=C´D
∴A´M+A´B=C´M+C´D ，
∴B´M=D´M
∴MB=MD
（2）解：连接OM，∵OE⊥MB ， MB=MD=4
1
∴ME= MB=2 ，
2
∵OE=1
根据勾股定理得： OM=√M E2+OE2=√5
∴半径为 √5
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得A´M=C´M，根据弦、弧的关系可得 A´B=C´D，进而推出
B´M=D´M，据此证明；
1
（2）连接OM，由垂径定理可得ME= MB=2，利用勾股定理求出OM，据此可得半径.
2
【变式6-1】如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC=BF．
求证：
（1）弧BC=弧AF；
（2）AM=BN．
【答案】（1）解：连接OC、OF，
∵AC=BF，
∴∠COA=∠BOF，
∴∠COB=∠FOA．∴弧BC=弧AF
（2）解：∵∠COA=∠BOF，OC=OF=OA=OB
∴∠A=∠OCA=∠BFC=∠B，
∴∠BFC=∠ACF．
∵CD∥EF，
∴∠AMC=∠ANE．
又∵∠BNF=∠ANE．
∴∠AMC =∠BNF．
在△AMC和△BNF中
{ ∠A＝∠B
∠AMC＝∠BNF
AC=BF
∴△AMC≌△BNF（AAS）
∴AM=BN．
【解析】【分析】（1）连接 OC、OF，利用圆心角、弧、弦之间的关系定理，可证得
∠COA=∠BOF，从而可证得∠COB=∠FOA，就可得出它们所对的弧相等。
（2）利用等边对等角及等量代换，可证得∠BFC=∠ACF．再利用平行线的性质及等量代换证明
∠AMC =∠BNF，然后利用全等三角形的判定和性质，可证得结论。
【变式6-2】如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB.
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长.
【答案】（1）证明：如图，∵AD=BC，
∴A´D = B´C ，
∴A´D ﹣ B´D = B´C ﹣ B´D ，即 A´B = C´D ，
∴AB=CD；
（2）解：如图，过 O 作 OF⊥AD 于点 F，作 OG⊥BC 于点 G，连接 OA、OC.则 AF=FD，BG=CG.
∵AD=BC，
∴AF=CG.
{AF=CG
在 Rt△AOF 与 Rt△COG 中， ，
OA=OC
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF=OG，
∴四边形 OFEG 是正方形，
∴OF=EF.
设 OF=EF=x，则 AF=FD=x+1，
在直角△OAF 中.由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52， 解得 x=5.
则 AF=3+1=4，即 AE=AF+3=7.
【解析】【分析】（1）根据弧、弦的关系可得A´D=B´C，进而推出A´B=C´D，据此证明；
（2）过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC，则AF=FD，BG=CG，利用HL证
明Rt△AOF≌Rt△COG，得到OF=OG，推出四边形OFEG是正方形，得到OF=EF，设OF=EF=x，则
AF=x+1，在Rt△OAF中，由勾股定理可得x，进而得到AF、AE的值.
弧、弦、圆心角练习
一、单选题
1．已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么 A´B 与 C´D 的关系是（ ）
A．A´B = C´D B．A´B ＞ C´D
C．A´B ＜ C´D D．不能确定
【答案】D
【解析】【解答】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和等圆的条件，本题
是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小，
故答案为：D
【分析】根据在同圆或等圆中，如果圆心角、弦、弧三组量中，有其中一组量相等，那么其余各组量
也分别相等可知，题目中缺少了条件“在同圆或等圆中”。
2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AD∥BC．那么 ^AB 与 C^D 的数量关系是（ ）A．^AB = C^D B．^AB ＞ C^D
C．^AB ＜ C^D D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】证明：连接AC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
^ ^
∴ = ．
AB CD
故答案为：A．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAC=∠ACB，再根据在同圆或等圆中，相等的圆周角
所对的弧相等进行判断。
3．如图所示，在⊙O中，弧AB=弧AC，∠A=30°，则∠B=
A．150° B．75° C．60° D．15°
【答案】B
【解析】【分析】∵在⊙O中，弧AB=弧AC，∴AB=AC。∴∠B=∠C。
180°−30°
又∵∠A=30°，∴根据三角形内角和定理，得∠B= =75°。
2故选B。
4．下列说法正确的个数有（ ）
①一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0②平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
③同弦或等弦所对的圆周角相等④方程x2＝x的解是x＝1．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：①一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），所以①不符合题意；
②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，所以②不符合题意；
③同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，所以③不符合题意；
④方程x2＝x的解是x＝1或x＝0，所以④不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据有关性质与定理，分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
∧ ∧
5．如图，在⊙O中，
AB
=2
CD
，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＞2CD B．AB=2CD
C．AB＜2CD D．以上都不正确
【答案】C
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
【解析】【解答】取 的中点E，连接AE，BE，∵在⊙O中， =2 ，∴ = = ，
AB AB CD AE BE CD
∴AE=BE=CD，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故选C．∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
【分析】首先取 的中点E，连接AE，BE，由在⊙O中， =2 ，可证得 = = ，即可得
AB AB CD AE BE CD
AE=BE=CD，然后由三角形的三边关系，求得答案．
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=40°
∴∠BOC=180°-40°-40°=100°
∴∠A=100°÷2=50°
故答案为：B.
【分析】根据圆的半径相等，由三角形的内角和定理，即可得到∠O的度数，根据同弧所对的圆周角
等于圆心角的一半，即可得到答案。
二、填空题
7．如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝ ．【答案】68°
【解析】【解答】∵∠AOE=78°，∴劣弧 ^AE 的度数为78°．
∵AB是⊙O的直径，∴劣弧 ^BE 的度数为180°﹣78°=102°．
2
∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE= × 102°=68°．
3
故答案为：68°．
【分析】根据∠AOE的度数求出劣弧 ^AE 的度数，得到劣弧 ^BE 的度数，根据圆心角、弧、弦的关
系定理解答即可．
8．如图，在⊙O中，若弧AB＝BC＝CD，则AC与2CD的大小关系是：AC 2CD．（填
“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】＜
【解析】【解答】解：连接AB、BC，如图，
∵A´B=B´C=C´D ，
∴AB=BC=CD，
∵AB+BC＞AC，
∴2CD＞AC，
即AC＜2CD．
故答案为：＜．
【分析】连接AB、BC，根据题意知：ABBCCD，又由三角形三边得到AB+BC>AC得到：AC＜
2CD．9．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是 ．
【答案】140°
【解析】【解答】解：设四个扇形的圆心角的度数是2x，4x，5x，7x，
得出方程2x+4x+5x+7x=360，
解得：x=20，
故7×20°=140°．
故答案为：140°
【分析】将一个圆分成四个扇形，可知道四个圆心角的度数之和为360°，根据它们的圆心角的度数比
为2：4：5：7，设未知数建立方程，求解即可知道最大圆心角的度数。
10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为底边向外作高为
∧ ∧
AC，BC长的等腰△ACM，等腰△BCN， ， 的中点分别是P，Q．若MP+NQ=12，
AC BC
AC+BC=15，则AB的长是 ．
【答案】10.5
【解析】【解答】解：连接OP，OQ，
∧ ∧
∵ ， 的中点分别是P，Q，
AC BC
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，
∴H、I是AC、BD的中点，
1 15
∴OH+OI= （AC+BC）= ，
2 2
∵MH+NI=AC+BC=15，MP+NQ=12，
∴PH+QI=15﹣12=3，
15 21
∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI= +3= ，
2 2
故答案为：10.5．∧ ∧
【分析】连接OP，OQ，根据
AC
，
BC
的中点分别是P，Q得到OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得到H、I是
1 15
AC、BD的中点，利用中位线定理得到OH+OI= （AC+BC）= 和PH+QI，从而利用
2 2
AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI求解．
三、解答题
11．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：AD＝BC．
【答案】证明：∵AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD，
∴A´B=C´D，
∴A´B−B´D=C´D−B´D，
∴A´D=B´C，
∴AD=BC．
【解析】【分析】根据同圆中等弦所对的优弧与劣弧分别相等得 A´B=C´D，然后根据弧的和差关系得
出 A´D=B´C， 最后再根据等弧所对的弦相等，则可证得结论．
12．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的弦，∠1＝∠2，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：
BE＝CF.【答案】证明：连接DB、DF，
∵∠A的平分线AD交圆于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，∠DBE＝∠DFC＝90°，∠BAD＝∠CAD，
∴DB＝DC，
{DE=DF
∴在Rt△BED和Rt△CFD中，
DB=DC
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF.
【解析】【分析】连接DB、DF，然后根据角平分线的性质可以得到DE和DF的关系，弦DB和DC
的关系，再根据三角形全等的知识可以得到BE和CF的关系.
∧
13．如图，∠AOB=90°，C、D是
AB
的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=CD．
【答案】证明：连接AC，
∧
∵∠AOB=90°，C、D是
AB
的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=30°，
∴AC=CD，又OA=OC，
∴∠ACE=75°，
∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∠AEC=∠AOC+∠OAB=75°，∴∠ACE=∠AEC，
∴AE=AC，
∴AE=CD．
【解析】【分析】连接AC，根据题意证明AE=AC，由AC=CD得到答案．
14．如图，在⊙O中，弦AC与弦BD交于点P，AC＝BD.
（1）求证AP＝BP；
（2）连接AB，若AB＝8，BP＝5，DP＝3，求⊙O的半径.
【答案】（1）解：如图，连接 AB ，
∵AC=BD ，
∴A´C=B´D ，
∴A´C−C´D=B´D−C´D ，即 A´D=B´C ，
∴∠ABD=∠BAC ，
∴AP=BP ；
（2）解：连接 PO ，并延长交 AB 于点 E ，连接 OA，OB ，过 O 作 OF⊥AC 于点 F ，1
∴AF= AC ，
2
∵AP=BP，OA=OB ，
∴PE 是 AB 的垂直平分线，
1
∴PE⊥AB，AE= AB=4 ，
2
∵AB=8，BP=5，DP=3，AC=BD ，
∴AC=BD=AB=8，AP=5 ，
∴AF=4=AE，PF=AP−AF=1，PE=√AP2−AE2=3 ，
{AE=AF
在 Rt△AOE 和 Rt△AOF 中， ，
OA=OA
∴Rt△AOE≅Rt△AOF(HL) ，
∴OE=OF ，
设 OE=OF=x(x>0) ，则 OP=PE−OE=3−x ，
4
在 Rt△POF 中， OF2+PF2=OP2 ，即 x2+12=(3−x) 2 ，解得 x= ，
3
√ 4 2 4√10
在 Rt△AOE 中， OA=√AE2+OE2= 42+( ) = ，
3 3
4√10
即 ⊙O 的半径为 .
3
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
【解析】【分析】（1）连接AB，根据弧、弦的关系可得 AC=BD ，推出 AD=BC ，根据等弧所对的
圆周角相等可得∠ABD=∠BAC，据此证明；
（2）连接PO，并延长交AB于点E，连接OA、OB，过O作OF⊥AC于点F，易得PE为AB的垂直
平分线，则AE=4，易得AC=BD=AB=8，AP=5，AF=AE=4，PF=1，利用勾股定理求出PE，利用HL
证明△AOE≌△AOF，得到OE=OF，设OE=OF=x，则OP=3-x，在Rt△POF中，由勾股定理可得x，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理就可求出OA，据此可得⊙O的半径.
⌢ ⌢
15．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AD为⊙O的直径.连结BD，若 AC=BD
（1）求证：∠1=∠2
（2）当AD=4√2，BC=4时，求△ABD的面积.
⌢ ⌢
【答案】（1）证明：∵ AC=BD
⌢ ⌢ ⌢ ⌢
∴ AB+BC=CD+BC
⌢ ⌢
∴ AB=CD
∴∠1=∠2
（2）解：过O点作OE⊥BC于点E
1
∴BE=CE= BC=2
2
∵AD为⊙O的直径
1
∴OB= AD=2√2
2
∴OE=√OB2−BE2=√ (2√2) 2 −22=2
1 1
∴S = AD•OE= ×4√2×2=4√2
ΔABD 2 2
⏜ ⏜
【解析】【分析】（1）根据题意得出 AB=CD ，再根据等弧所对的圆周角相等，即可得出∠1=∠2；
（2） 过O点作OE⊥BC于点E， 根据垂径定理得出BE=CE=2，根据勾股定理求出OE的长，再根
据三角形面积公式进行计算，即可得出△ABD的面积.
