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24.1.4 圆周角定理
圆周角定义：
像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与
圆相交的角叫做圆周角．
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心
角的一半．
注意：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
题型1：圆周角定理求角度
1.1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．55°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠ACB=35°，
∴∠AOB=2∠ACB=70°．
故答案为：B．
【分析】利用圆周角的性质可得∠AOB=2∠ACB=70°。
【变式1-1】如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB=110°，那么∠ACB的度数是
（ ）A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=110°，
1
∴∠ACB= ∠AOB=55°．
2
故答案为：D．
1
【分析】利用圆周角的性质可得∠ACB= ∠AOB=55°。
2
【变式1-2】如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若弧CE的度数是92°，
则∠C的度数是（ ）
A．46° B．88° C．24° D．23°
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接OE，
∵弧CE的度数是92°，
∴∠COE＝92°，
1
∴∠CDE＝ ∠COE＝46°，
2
∵OA∥DE，
∴∠AOD＝∠CDE＝46°，1
∴∠C＝ ∠AOD＝23°，
2
故答案为：D．
1
【分析】连接OE，先利用圆周角的性质求出∠CDE＝ ∠COE＝46°，再利用OA//DE，可得∠AOD
2
1
＝∠CDE＝46°，再利用圆周角的性质可得∠C＝ ∠AOD＝23°。
2
题型2：圆周角定理的有关证明
2.已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．
求证：△ADE是等腰三角形．
【答案】证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，
∴∠A=∠BCE，
∵BC=BE，
∴∠E=∠BCE，
∴∠A=∠E，
∴DA=DE，即△ADE是等腰三角形．
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠A=∠BCE，由等腰三角形的性质可得∠E=∠BCE，
推出∠A=∠E，则DA=DE，据此证明.
【变式2-1】如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F.
求证： A´E=B´F .
【答案】证明：连接BE、AF，如图，∵AB为直径，
∴∠AEB＝∠AFB＝90°，
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠ABE＝∠BAF，
∴A´E=B´F .
【解析】【分析】连接BE、AF，由圆周角定理得∠AEB＝∠AFB＝90°，由等腰三角形性质得∠CAB
＝∠CBA，推出∠ABE＝∠BAF，据此证明.
【变式2-2】如图，A、B、C、D四点共圆，且∠ACB＝∠ACD＝60°．求证：△ABD是等边三角形．
【答案】证明：∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
∵∠ACD＝60°，
∴∠ABD＝∠ACD＝60°，
在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ABD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形．
【解析】【分析】先得出∠ADB＝∠ACB＝60°，在得出∠ABD＝∠ACD＝60°，在△ABD中，求得
∠BAD、∠ABD的度数，由此得出△ABD是等边三角形．
圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
题型3：推论1-同弧或等弧所对圆周角相等
3.如图，在⊙O中，A´B＝A´C，若∠B＝70°，则∠A等于（ ）A．70° B．40° C．20° D．140°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵⊙O中^AB=^AC，∠B=70°，
∴∠C=∠B=70°，
∴∠A=180°−∠B−∠C=180°−70°−70°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据等弧所对的圆周角相等得出∠C的度数，然后根据三角形的内角和求∠A的度数即可.
【变式3-1】如图，AE是四边形ABCD外接圆⊙O的直径，AD=CD，∠B=50°，则∠DAE的度数
为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OC、OD，
∵∠B=50°，
∴∠AOC=2∠B=100°，
∵AD=CD，
∴A´D=C´D，
1
∴∠AOD=∠COD= ∠AOC=50°，
2
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，
∴∠DAE=（180°－50°）÷2=65°，
故答案为：D．
【分析】先求出A´D=C´D，再求出∠OAD=∠ODA，最后计算求解即可。
【变式3-2】如图，已知在 O中，^AB=^BC=C^D，OC与AD相交于点E．
求证：（1）AD∥BC；
⊙
（2）四边形BCDE为菱形．
【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB＝∠CBD，根据平行线的判定可得结论；
（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE＝BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据^BC=C^D得到BC
＝CD，从而证明菱形．
【解答】证明：（1）连接BD，
∵^AB=C^D，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）连接CD，BD，设OC与BD相交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠CBF，
∵^BC=C^D，
∴BC＝CD，BF＝DF，
又∠DFE＝∠BFC，
∴△DEF≌△BCF（ASA），
∴DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形，又BC＝CD，
∴四边形BCDE是菱形．
题型4：推论2-直径所对圆周角是90°
4.如图，AB是⊙O的直径．若∠BAC＝43°，那么∠ABC的度数是（ ）
A．43° B．47° C．53° D．57°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC＝43°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC＝180°-90°-43°=47°，
故答案为：B．
【分析】利用圆周角的性质可得∠ACB=90°，再利用三角形的内角和求出∠ABC的度数。
【变式4-1】如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】C
【解析】【解答】解：连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠DCB＝∠DEB＝20°，∴∠ACD＝90°﹣∠DCB＝70°，
故答案为：C．
【分析】连接BC，利用圆周角的性质可得∠ACB＝90°，∠DCB＝∠DEB＝20°，再利用角的运算可
得∠ACD＝90°﹣∠DCB＝70°。
【变式4-2】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D．若∠A＝30°，OD＝2．求CD
的长．
【答案】解： 连接BC，如图，
∵OD⊥AB，∴∠AOD＝90°，
∵∠A＝30°，
∴AD＝2OD＝4，OA＝ √3 OD＝2 √3 ，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
1
∴BC＝ AB＝2 √3 ，
2
∴AC＝ √3 BC＝2 √3 × √3 ＝6，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2
【解析】【分析】连接BC，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD=4，OA= 2√3 ，再
根据圆周角定理得到∠ACB=90°，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC= √3 BC=6，从而得
到CD的长．
题型5：圆周角定理多结论问题
5.有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；
④相等的圆心角对的弧相等.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】解： ①直径是圆中最长的弦，正确；
②在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，错误；
③圆中90°的圆周角所对的弦是直径，错误；④在同圆或等圆中，相等的圆心角对的弧相等，错误；
综上，正确的有1个，
故答案为：A.
【分析】直径是圆中最长的弦；在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；圆中 90°的圆周角所对的弦是
直径；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。
【变式5-1】如图， AB 是⊙O的直径，点 P 是 ⊙O 上一个动点（点 P 不与点 A ， B 重
合），在点 P 运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点 P ，使得 PA>AB ；②若
P´B=2P´A ，则 PB=2PA ；③∠PAB 不是直角；④∠POB=2∠OPA ．上述结论中，所有正确结
论的序号是（ ）
A．①③ B．③④ C．②③④ D．①②④
【答案】B
【解析】【解答】①因为直径是圆中最长的弦，故①不符合题意，
②若 P´B=2P´A 则 PB＜2PA ，故②不符合题意，
③ 因为直径所对的圆周角是90°，∠APB=90°，所以∠PAB不可能是90°，故③符合题意，
④ 连接PA，PO，如图
∵∠POB=∠PAO+∠APO
又∠PAO=∠APO
∴∠POB=2∠OPA
故④符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系解决问题即可。
【变式5-2】如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，则下列说法中正确的有（ ）
①点C、O、B一定在一条直线上；②若点E、点D分别是CA、AB的中点，则OE=OD；③若点E
是CA的中点，连接CO，则△CEO是等腰直角三角形．A．3个 B．2个 C．0个
【答案】A
【解析】【解答】解：①∵∠A=90°，
∴∠A所对的弦是直径，
∴点C、O、B一定在一条直线上，故①正确；
②根据相等的弦所对的弦心距也相等可知当点E、点D分别是CA、AB的中点时，则OE=OD，故②
正确；
③∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
1 1
∵AD= AB，AE= AC，∠ADO=∠AEO=90°，
2 2
∵AB⊥AC，
∴∠DAE=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴OE=AE=CE，
∴△CEO是等腰直角三角形，故③正确.
故答案为：A．
【分析】①根据圆周角定理的推论”90°的圆周角所对的弦是直径”可知点C、O、B一定在一条直线
上；②根据”在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距也相等“可得OE=OD；③先判定四边形
ADOE是正方形，得OE=AE；再由垂径定理得，∠OEC=90°，AE=CE，从而得出△CEO是等腰直角
三角形。
圆内接四边形：
（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．
题型6：圆内接四边形的性质
6.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=105°，则∠α=（ ）A．150° B．130° C．105° D．75°
【答案】A
【解析】【解答】解：优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，
∵四边形ACBD内接与⊙O，∠ACB＝105°，
∴∠ADB＝180°−∠C＝180°−105°＝75°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝2×75°＝150°．
故答案为：A．
【分析】优弧AB上任取一点D，连接AD，BD，利用圆内接四边形的性质求出∠D的度数，再利用
圆周角的性质可得∠AOB＝2∠ADB＝2×75°＝150°。
【变式6-1】如图，ABCD是⊙O的内接四边形，且∠ABC=125°，那么∠AOC等于（ ）
A．125° B．120° C．110° D．130°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°
∵∠ABC=125°
∴∠D=180°-∠A=180°-125°=55°，
由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=110°，
故答案为：C．
【分析】根据圆内接四边形对角互补，可得∠D+∠ABC=180°，据此求出∠D的度数，由圆周角定理得∠AOC=2∠D，从而得解.
【变式6-2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上的一点，点C为B´D的中点．若∠DCE
＝110°，求∠BAC的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DCE=∠BAD
∵∠DCE=110°
∴∠BAD=110°
∵点C为B´D的中点
∴B´C=D´C
1 1
∴∠BAC=∠DAC= ∠BAD= ×110°=55°
2 2
【解析】【分析】利用圆内接四边形的性质可得∠BAD=∠DCE=110°，再利用B´C=D´C可得
1 1
∠BAC= ∠BAD= ×110°=55°。
2 2
题型7：圆周角定理综合
7.如图，已知⊙O是等腰△ABC的外接圆，且AB＝AC，点D是A´B上一点，连结BD并延长至点
E，连结AD，CD.
（1）求证：DA平分∠EDC.
（2）若∠EDA＝72°，求B´C的度数.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADB+∠ACB＝180°
∵∠ADB+∠ADE＝180°，∴∠ACB＝∠ADE.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC；
（2）解：由（1）得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，
∴∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=36°，
∴∠BOC=2∠BAC=72°，
∴B´C的度数为72°.
【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的性质得到∠ACB＝∠ADE，由AB＝AC，可得∠ABC
＝∠ACB，等量代换得∠ADE＝∠ABC，由圆周角定理可得∠ABC＝∠ADC，故∠ADC＝∠ADE，
即DA平分∠EDC；
（2）结合已知条件和(1)得∠ADE＝∠ACB＝∠ABC＝72°，根据三角形内角和定理可得
∠BAC=180°−∠ACB−∠ABC=36°，根据圆周角定理得到 ∠BOC=2∠BAC=72°，即 ⌢ 的度
BC
数为72°.
【变式7-1】如图，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，连接CD、BD、AD，CD=BD.连接AC
并延长，与BD的延长线相交于点E.
（1）求证：CD=DE；
（2）若AC=6，半径OB=5，求BD的长.
【答案】（1）证明：连接BC，∵O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠ECD+∠DCB=90°，
在Rt△ECB中，∠E+∠EBC=90°.
∵CD=BD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠ECD=∠E，
∴三角形ECD为等腰三角形，
∴CD=DE.
（2）解：在Rt△ACB中，BC=√AB2−AC2=√102−62=8，
∵CD=DE，CD=BD，
∴BD=ED
在△ADB和△ADE中
AD=AD
{∠ADB=∠EDA，
BD=ED
∴△ADB≌ADE(SAS)，
∴AE=AB=10，
∴CE=AE−AC=10−6=4，
在Rt△ECB中，BE=√CE2+CB2=√42+82=4√5，
1
∴BD= BE=2√5.
2
【解析】【分析】（1）连接BC， CD=BD，可以得到∠DCB=∠DBC，由直径所对的圆周角是直
角，可得到∠ACB=∠ADB=90°，可得到∠ECD=∠E，即可解答；
（2）由题意可以很容易得到 △ADB≌ADE，由全等三角形的性质可以得到AE=AB=10，进而易求
CE，在Rt△ECB中， 由勾股定理可以得到BE的长度，即可得到BD的长度.
【变式7-2】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于点
D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，此时BD//EG.（1）求证：AB=BF；
（2）当F为BC的中点，且AC=3时，求⊙O的直径长.
【答案】（1）证明：连接AF，
∵AE是⊙O的直径，
∴AF⊥EG，
∵BD//EG，
∴BD⊥AF，
∵∠BAC=90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴BD垂直平分AF，
∴AB=BF；
1
（2）解：∵当F为BC的中点，∴BF= BC，
2
∵AB=BF
1
∴AB= BC
2
∵∠BAC=90°
∴∠C=30°
√3
∴∠ABC=60°，AB= AC=√3
3
∵AB=BF
∴∠ABD=30°，∴BD=2，
∴⊙O的直径长为2.
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得AF⊥EG，由BD∥EG，可推出
BD⊥AF；利用垂径定理证明BD垂直平分AF，利用垂直平分线的性质，可证得结论.
（2）利用线段中点的定义求出BF的长，根据AB=BF可证得∠C=30°，利用勾股定理求出AB，BD
的长，从而可求出圆O的直径.一、单选题
1．如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=35°，则∠ COB的度数是（ ）
A．75° B．70° C．65° D．35°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠BAC=35°，
∴∠COB＝ 2 ∠BAC＝ 70° ，
故答案为：B.
【分析】由圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可求解.
2．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB、OC，若∠BAC=64°，则∠OCB的度数为（ ）
A．64° B．36° C．32° D．26°
【答案】D
【解析】【解答】∵△ABC内接于⊙O，
∴∠BOC=2∠BAC=128° ，
∵OB=OC ，
∴∠OBC=∠OCB ，
1
∴∠OCB= （180°−128°）=26° .
2
故答案为：D.
【分析】由圆周角定理可得 ∠BOC=2∠BAC=128°，利用等腰三角形的性质求出∠OCB的度数.
3．如图， ⊙O 是 △ABP 的外接圆，半径 r=2 ， ∠APB=45∘ ，则弦 AB 的长为（ ）A．√2 B．2 C．2 √2 D．4
【答案】C
【解析】【解答】连接OA、OB，如图所示：
则∠AOB＝2∠APB＝90°，
∵OA＝OB＝r＝2，
∴AB＝ √OA2+OB2 ＝ √22+22 ＝2 √2 ；
故答案为：C．
【分析】先求出∠AOB＝2∠APB＝90°，再利用勾股定理计算求解即可。
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=50°，则
∠ABC的大小是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】C
【解析】【解答】连接OC，因为点C为弧BD的中点，所以∠BOC=∠DAB=50°，因为OC=OB，所以∠ABC=∠OCB=65°，
故答案为：C．
【分析】因为点C是弧BD的中点，所以可知∠COB =∠BAD，又因为OB=OC ，可知∠ABC的度数.
5．如图，点C是⊙O的劣弧AB上一点，∠AOB＝96°，则∠ACB的度数为（ ）
A．192° B．120° C．132° D．l50
【答案】C
【解析】【解答】解：如图做圆周角∠ADB，使D在优弧上，
∵∠AOB＝96°，
1
∴∠D＝ ∠AOB＝48°，
2
∵A、D、B、C四点共圆，
∴∠ACB+∠D＝180°，
∴∠ACB＝132°，
故答案为：C.
【分析】添加辅助线作圆周角∠ADB，使D在优弧上，利用一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的
一半求出∠D的度数，再根据圆内接四边形的对角互补，就可求出∠ACB的度数。
6．如图，AB是 ⊙O 的直径，C，D为 ⊙O 上的两点，若 AB=6 ， BC=3 ，则 ∠BDC 的大
小是（ ）A．60∘ B．45∘ C．30∘ D．15∘
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，连接OC，
∵AB=6 ， BC=3 ，且AB为直径，
∴OC=OB=BC ，
∴△BOC 为等边三角形，
∴∠BOC=60° ，
1
∴∠BDC= ∠BOC=30° ，
2
故答案为：C
【分析】连接OC，由已知易得OB=OC=BC，所以三角形OBC是等边三角形，根据等边三角形的性
质可得∠BOC=60 ° ，由圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半即可求得
1
∠BDC= ∠BOC。
2
二、填空题
7．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠D＝50°，则∠ABC的度数为 .
【答案】130°
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠ABC+∠D＝180°
∵∠D＝50°
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝130°.
故答案为：130°【分析】根据圆的内接四边形对角互补的性质列式即可求出∠ABC的度数.
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果∠A=15°，弦CD=4，那么AB的长是 .
【答案】8
【解析】【解答】解：∵∠A=15°，
∴∠COB=30°，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，弦CD=4，
∴CE=2，∠OEC=90°
∵∠COE=30°，
∴OC=2CE=4，
∴AB=2OC=8，
故答案为：8.
【分析】利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求出∠COB的度数，利用垂径定理求出CE的长，
利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OC的长，根据AB=2OC可求出AB的长.
9．已知点A、B、C、D均在圆上，AD∥BC，AC 平分∠BCD，∠ADC=120°，则∠ABC的度数为
．
【答案】60°
【解析】【解答】∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，∵∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=30°，^AB + ^AD + C^D =180°，
∴BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ABC=90°−30°=60°.
故答案为：60°．
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义，证明∠DAC=∠DCA，根据∠ADC的度数，可求出
∠ACD和∠ACB，∠DAC的度数，再证明BC是圆的直径，然后根据直径所对的圆周角是直角，可
得出∠BAC的度数，从而可求出∠ABC的度数。
10．如图， ⊙C 经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知 ∠OBA=30° ，点A的坐标
为 (2,0) ，则点D的坐标为 .
【答案】（0， 2√3 ）
【解析】【解答】解：连接AD，
∵点 A 的坐标为 (2,0) ，
∴OA=2，
∵∠ODA= ∠OBA=30° ,∠AOD=90°，
OA
∴OD=
=2√3
，
tan30∘
∴点D的坐标是（0， 2√3 ），
故答案为：（0， 2√3 ）.
【分析】连接AD，先求出OA及∠D的度数，再根据三角函数即可求出OD的长得到点D的坐标.
11．如图，点A、B、C是半径为4的⊙O上的三个点，若∠BAC＝45°，则弦BC的长等于 ．【答案】4√2
【解析】【解答】解：连接OB，OC．
∵∠BOC＝2∠BAC，∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝√42+42=4√2，
故答案为：4√2．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角的性质可得∠BOC＝90°，再利用勾股定理求出BC的长即可。
三、解答题
12．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，求
∠BAC.
【答案】解：∵∠ABC与∠ADC是 A´C 对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC=68°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-∠ABC=90°-68°=22°.
【解析】【分析】根据圆周角定理可得∠ABC=∠ADC=68°，∠ACB=90°，然后根据直角三角形两锐角
互余的性质进行求解.
13．已知BC为半圆O的直径，AB=AF，AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，求
证：AE=BE.
【答案】证明：∵AB=AF∴弧AB=弧AF ∴∠ABE=∠ACB∵BC为圆O的直径 ∴∠BAC=90°又
∵AD⊥BC∴∠ACB+∠DAC=∠BAD+∠DAC=90°∴∠ACB=∠BAD∴∠ABE=∠BAD∴AE=BE.
【解析】【分析】根据同圆中等弦所对的劣弧相等得出弧AB=弧AF ，根据等弧所对的圆周角相等得
出∠ABE=∠ACB 根据直径所对的圆周角是直角得出∠BAC=90°，根据同角的余角相等得出
∠ACB=∠BAD ， 故∠ABE=∠BAD 根据等角对等边得出AE=BE.
14．如图，AB是⊙O的直径，C是 B´D 的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.
（1）求证：CF=BF
（2）若CD=6，CA=8，求AE的长
【答案】（1）证明： ∵ AB是⊙O的直径
∴∠ACB=900∴∠CAB+∠ABC=900∵CE⊥AB
∴∠ABC+∠BCE=900
∵ C是 B´D 的中点
∴∠CAB=∠BCE
∴∠DBC=∠CDB
∵∠CAB=∠CDB
∴∠BCE=∠DBC
∴CF=BF（2）解： ∵ C是 B´D 的中点
∴ BC=CD=6
在Rt△ABC中，由勾股定理得 AB=√AC2+BC2=10
又AB•CE=AC•BC
6×8 24
∴CE= =
10 5
32
在Rt△ACE中，AE= .
5
【解析】【分析】 （1）根据直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余，借助同角的余角相
等可得∠CAB=∠BCE，再根据等弧或同弧所对的圆周角相等∠DBC=∠CDB=∠CAB，故有
∠BCE=∠DBC，从而得CF=BF；
（2）根据同圆或等圆中等弧对等弦可知 BC=CD=6，利用勾股定理可得AB=10，借助面积法可求出
CE，再根据勾股定理即可得到AE的长。
15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一个动点（不与A、B重合）．设
∠OAB=α，∠C=β
（1）当α=35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
【答案】（1）解：连接OB，则∠OBA=∠OAB=35°
∴∠AOB=180°－∠OBA－∠OAB =110°1
∴∠C= ∠AOB=55°
2
（2）解：α+β=90°，证明如下
连接OB，则∠OBA=∠OAB=α
∴∠AOB=180°－∠OBA－∠OAB =180°－2α
1
∴β=∠C= ∠AOB=90°－α
2
即α+β=90°
【解析】【分析】此题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握同弧所对
的圆心角等于圆周角的二倍、三角形内角和为180度，利用角的关系可知α+β=90°．
