文档内容
专题24.2.1 点与圆的位置关系（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
1. 了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。
2. 掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆
的方法。
3. 能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。
【知识点梳理】
考点1 点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
考点2 过三点的圆
1、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角
形的外心。【典例分析】
【考点1 点与圆的位置关系】
【例1】（2021秋•兴山县期末）已知 O的半径是4，OP＝7，则点P与 O的位置关系
是（ ） ⊙ ⊙
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【变式1-1】（2021秋•河西区期末）已知 O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为
4cm，则点P和 O的位置关系为（ ）⊙
A．点P在圆内⊙ B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【变式1-2】（2021秋•沭阳县期末）若 O的直径为10，点A到圆心O的距离为6，那么
点A与 O的位置关系是（ ） ⊙
A．点A⊙在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
【变式1-3】（2021秋•滦州市期末）已知 O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个
根，点A与圆心O的距离为6，则下列说⊙法正确在是（ ）
A．点A在 O外 B．点A在 O上 C．点A在 O内 D．无法判断
【例2】（202⊙2•常州模拟）如图，A⊙，B，C是某社区的三栋⊙楼，若在AC中点D处建一个
5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
【变式2-1】（2021秋•定州市期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC
＝6，以点B为圆心，3为半径作 B，则点C与 B的位置关系是（ ）
⊙ ⊙
A．点C在 B内 B．点C在 B上 C．点C在 B外 D．无法确定
⊙ ⊙ ⊙【变式2-2】（2021秋•越秀区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），
以点A为圆心，4为半径画 A，则坐标原点O与 A的位置关系是（ ）
A．点O在 A内 ⊙ B．点⊙O在 A外
C．点O在⊙A上 D．以上都有⊙可能
【变式2-3】（⊙2021秋•鼓楼区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，如
果以点A为圆心，AC为半径作 A，那么斜边AB的中点D在 A ．（填“内”、
“上”或者“外”） ⊙ ⊙
【例3】（2021秋•大石桥市期末）已知 O的半径为5cm，点P在 O外，则OP的长（
） ⊙ ⊙
A．小于5cm B．大于5cm C．小于10cm D．不大于10cm
【变式3-1】（2022•南山区模拟）一个点到圆的最小距离为 3cm，最大距离为6cm，则该
圆的直径是（ ）
A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm
C．4.5cm D．3cm或9cm
【变式3-2】（2017•南通一模）一个点到圆的最小距离为 6cm，最大距离为9cm，则该圆
的半径是（ ）
A．1.5cm B．7.5cm
C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm
【变式3-3】（2021秋•宁波期末）在同一平面上， O外有一点P到圆上的最大距离是
8cm，最小距离为2cm，则 O的半径为 cm．⊙
【考点2 确定圆的条件】
⊙
【例4】（2022•石家庄模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径 B．直径
C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点
【变式4-1】（2019秋•东台市期中）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB
外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（ ）
A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个【变式4-2】（2019•吴兴区校级一模）平面上有四个点，过其中任意 3个点一共能确定圆
的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
【例5】（2021秋•西城区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A，B，C的横、纵
坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．
【变式5-1】（2021秋•龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如
图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是
（ ）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
【变式5-2】（2021秋•甘州区校级期末）已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作
一圆，使它的圆心在直线a上．【变式5-3】（2021秋•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【考点3 三角形的外接圆与圆心】
【例6】（2022•沈河区校级模拟）如图，△ABC是 O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝
6，则 O的半径长为（ ） ⊙
⊙
A． B．2 C．3 D．4
【变式6-1】（2021•醴陵市模拟）如图，△ABC内接于 O，∠A＝50°．OD⊥BC，垂足为
E，连接BD，则∠CBD的大小为（ ） ⊙A．50° B．60° C．25° D．30°
【变式6-2】（2021•江干区模拟）如图， O是等边△ABC的外接圆，点D是弧BC上的
点，且∠CAD＝20°，则∠ACD的度数为⊙（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【变式6-3】（2021秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣
1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
【例7】（2022•宣州区一模）如图， O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点
⊙
P， ，则 O的直径为（ ）
⊙A． B． C．6 D．12
【变式7-1】（2019秋•相城区期中）如图， O的半径为5，△ABC是 O的内接三角形，
过点C作CD垂直AB于点D．若CD＝3，⊙AC＝6，则BC长为（ ）⊙
A．3 B．5 C．3 D．6
【变式 7-2】（2019•南岗区校级开学）如图， O 是△ABC 的外接圆，∠B＝60°，
OP⊥AC于点P，OP＝2，则AC的长为（ ）⊙
A．4 B． C． D．
【变式7-3】（2021秋•通州区期末）如图， O是等边三角形ABC的外接圆，若 O的半
径为2，则△ABC的面积为（ ） ⊙ ⊙
A． B． C． D．专题24.2.1 点与圆的位置关系（知识解读）
【直击考点】
【学习目标】
4. 1.了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关
系。 2.掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点
作圆的方法。
5. 能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。
【知识点梳理】
考点1 点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
考点2 过三点的圆
3、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
4、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角
形的外心。
【典例分析】
【考点1 点与圆的位置关系】
【例1】（2021秋•兴山县期末）已知 O的半径是4，OP＝7，则点P与 O的位置关系
是（ ） ⊙ ⊙
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵OP＝7，r＝4，
∴OP＞r，
则点P在 O外，
故选：C．⊙
【变式1-1】（2021秋•河西区期末）已知 O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为
4cm，则点P和 O的位置关系为（ ）⊙
A．点P在圆内⊙ B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：∵ O的半径为2cm，点P与圆心O的距离为4cm，2cm＜4cm，
∴点P在圆外．⊙
故选：C．
【变式1-2】（2021秋•沭阳县期末）若 O的直径为10，点A到圆心O的距离为6，那么
点A与 O的位置关系是（ ） ⊙
A．点A⊙在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定【答案】A
【解答】解：∵ O的直径为10，
∴ O的半径为⊙5，
而⊙圆心O的距离为6，
∴点A在 O外．
故选：A．⊙
【变式1-3】（2021秋•滦州市期末）已知 O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个
根，点A与圆心O的距离为6，则下列说⊙法正确在是（ ）
A．点A在 O外 B．点A在 O上 C．点A在 O内 D．无法判断
【答案】A⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：∵x2﹣3x﹣4＝0，
∴x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∵ O的半径为一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根，
∴⊙r＝4，
∵d＞r，
∴点A在 O外，
故选：A．⊙
【例2】（2022•常州模拟）如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个
5G基站，其覆盖半径为300m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）
A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
【答案】D
【解答】解：∵AB＝300cm，BC＝400cm，AC＝500cm，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，
∵点D是斜边AC的中点，
∴AD＝CD＝250cm，BD＝ AC＝250cm，
∵250＜300，
∴点A、B、C都在圆内，
∴这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是A，B，C．
故选：D．
【变式2-1】（2021秋•定州市期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC
＝6，以点B为圆心，3为半径作 B，则点C与 B的位置关系是（ ）
⊙ ⊙
A．点C在 B内 B．点C在 B上 C．点C在 B外 D．无法确定
【答案】C⊙ ⊙ ⊙
【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，
∴BC＝ AC＝2 ，
∵以点B为圆心，3为半径作 B，
∴R＜d， ⊙
∴点C在 B外．
故选：C．⊙
【变式2-2】（2021秋•越秀区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣4，﹣3），
以点A为圆心，4为半径画 A，则坐标原点O与 A的位置关系是（ ）
A．点O在 A内 ⊙ B．点⊙O在 A外
C．点O在⊙A上 D．以上都有⊙可能
【答案】B⊙
【解答】解：∵圆心A（﹣4，﹣3）到原点O的距离OA＝ ＝5，
∴OA＝5＞r＝4，
∴点O在 A外，
故选：B．⊙【变式2-3】（2021秋•鼓楼区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，如
果以点A为圆心，AC为半径作 A，那么斜边AB的中点D在 A ．（填“内”、
“上”或者“外”） ⊙ ⊙
【答案】上
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，AB＝4，
∴AD＝ ＝ ＝2，
∵ A半径为2，
∴⊙斜边AB的中点D在 A上，
故答案是：上． ⊙
【例3】（2021秋•大石桥市期末）已知 O的半径为5cm，点P在 O外，则OP的长（
） ⊙ ⊙
A．小于5cm B．大于5cm C．小于10cm D．不大于10cm
【答案】B
【解答】解：∵ O的半径为5cm，点P在 O外，
∴OP＞5cm， ⊙ ⊙
故选：B．
【变式3-1】（2022•南山区模拟）一个点到圆的最小距离为 3cm，最大距离为6cm，则该
圆的直径是（ ）
A．1.5cm B．1.5cm或4.5cm
C．4.5cm D．3cm或9cm
【答案】D
【解答】解：当点在圆外，则该圆的直径＝6cm﹣3cm＝3cm；当点在圆内，则该圆的直
径＝6cm+3cm＝9cm，
即该圆的直径为3cm或9cm．
故选：D．
【变式3-2】（2017•南通一模）一个点到圆的最小距离为 6cm，最大距离为9cm，则该圆
的半径是（ ）
A．1.5cm B．7.5cm
C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm
【答案】C【解答】解：分为两种情况：
①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因
而半径是7.5cm；
②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而
半径是1.5cm．
故选：C．
【变式3-3】（2021秋•宁波期末）在同一平面上， O外有一点P到圆上的最大距离是
8cm，最小距离为2cm，则 O的半径为 cm．⊙
【答案】3 ⊙
【解答】解：如图，PA的长是P到 O的最长距离，PB的长是P到 O的最短距离，
⊙ ⊙
∵圆外一点P到 O的最长距离为8cm，最短距离为2cm，
∴圆的直径是8﹣⊙2＝6（cm），
∴圆的半径是3cm．
故答案为：3
【考点2 确定圆的条件】
【例4】（2022•石家庄模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径 B．直径
C．三角形的三个顶点 D．平面上的三个已知点
【答案】D
【解答】解：A、已知圆心和半径能确定一个圆；
B、已知直径能确定一个圆；
C、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；
D、平面上的三个已知点不能确定一个圆．
故选：D．
【变式4-1】（2019秋•东台市期中）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB
外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（ ）A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个
【答案】C
【解答】解：∵点A、B、C在同一条直线上，
∴经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆，
故选：C．
【变式4-2】（2019•吴兴区校级一模）平面上有四个点，过其中任意 3个点一共能确定圆
的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
【答案】C
【解答】解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一
个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，
能确定四个圆．
故选：C．
【例5】（2021秋•西城区期末）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点A，B，C的横、纵
坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 ．【答案】 （ 2 ， 1 ）
【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐
标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆
心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），
故答案为：（2，1）．
【变式5-1】（2021秋•龙凤区期末）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如
图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（
）
A．第一块 B．第二块 C．第三块 D．第四块
【答案】A
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的
垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
【变式5-2】（2021秋•甘州区校级期末）已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作
一圆，使它的圆心在直线a上．
【答案】略【解答】解：作图如右：
【变式5-3】（2021秋•任城区校级月考）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【答案】（1）略 （2）R＝ cm
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝ cm，
∴圆片的半径R为 cm．
【考点3 三角形的外接圆与圆心】
【例6】（2022•沈河区校级模拟）如图，△ABC是 O的内接三角形，∠C＝45°，AB＝
6，则 O的半径长为（ ） ⊙
⊙
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，∴2OA2＝36，
∴OA＝3 ，
即 O的半径是3 ，
⊙
故选：C．
【变式6-1】（2021•醴陵市模拟）如图，△ABC内接于 O，∠A＝50°．OD⊥BC，垂足为
E，连接BD，则∠CBD的大小为（ ） ⊙
A．50° B．60° C．25° D．30°
【答案】C
【解答】解：连接CD，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝50°，
∴∠CDB+∠A＝180°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵OD⊥BC，
∴E是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∴∠CBD＝∠BCD＝ （180°﹣∠CDB）＝ （180°﹣130°）＝25°，
故选：C．
【变式6-2】（2021•江干区模拟）如图， O是等边△ABC的外接圆，点D是弧BC上的
点，且∠CAD＝20°，则∠ACD的度数为⊙（ ）A．70° B．80° C．90° D．100°
【答案】D
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝40°，
∵ ＝ ，
∴∠BCD＝∠BAD＝40°，
∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝100°，
故选：D．
【变式6-3】（2021秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，﹣3），B（2，﹣
1），C（2，3）．则△ABC的外心坐标为（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
【答案】D
【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，1）．
故选：D．
【例7】（2022•宣州区一模）如图， O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC于点
⊙
P， ，则 O的直径为（ ）
⊙
A． B． C．6 D．12
【答案】B
【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
又OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，
∴∠APO＝90°，
在Rt△AOP中，OP＝2 ，∠OAC＝30°，
∴OA＝2OP＝4 ，
∴圆O的直径为8 ．故选：B．
【变式7-1】（2019秋•相城区期中）如图， O的半径为5，△ABC是 O的内接三角形，
过点C作CD垂直AB于点D．若CD＝3，⊙AC＝6，则BC长为（ ）⊙
A．3 B．5 C．3 D．6
【答案】B
【解答】解：连接OC，OB，
∵CD垂直AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝3，AC＝6，
∴CD＝ AC，
∴∠A＝30°，
∴∠O＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB，
∵ O的半径为5，
∴⊙BC＝5，
故选：B．
【变式 7-2】（2019•南岗区校级开学）如图， O 是△ABC 的外接圆，∠B＝60°，
⊙OP⊥AC于点P，OP＝2，则AC的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，
∴AP＝CP，OA＝2OP＝4，
∴AP＝ ＝2 ，
∴AC＝2AP＝4 ，
故选：C．
【变式7-3】（2021秋•通州区期末）如图， O是等边三角形ABC的外接圆，若 O的半
径为2，则△ABC的面积为（ ） ⊙ ⊙
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC＝2BD，
∵ O是等边△ABC的外接圆，
⊙∴∠BOC＝ ×360°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝ ＝ ＝30°，
∵ O的半径为2，
∴⊙OB＝2，
∴BD＝OB•cos∠OBD＝2×cos30°＝2× ＝ ，OD＝ OB＝1，
∴BC＝2 ．
∴等边△ABC的面积为3S△BCO ＝3× BC•OD＝3× ×1＝3 ．
故选：D．
