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专题 06 相似、锐角三角比与平面向量（36 题）
一、单选题
1．（2023·上海宝山·统考二模）已知点D、E分别在 的边 、 的延长线上， ，
，设 ，那么 用向量 表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，已知正方形 的顶点D、E在 的边 上，点G、F分
别在边 上，如果 ， 的面积是32，那么这个正方形的边长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
3．（2023·上海松江·统考二模）如图，点G是 的重心，四边形 与 面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，已知点D、E分别在 的边 、 上， ，
，那么 等于（ ）A． B． C． D．
二、填空题
5．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知在 中，点D是边AC上一点，且 ．设 ，
，那么向量 ______．（用 的形式表示，其中x、y为实数）
6．（2023·上海松江·统考二模）如图，已知在矩形 中，点 在边 上，且 ，设
，那么 ＝________（用 、 的式子表示）．
7．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在 中，点D是 边上一点，且 ．设 ，
，那么 ____ ．(用 、 表示)
8．（2023·上海崇明·统考二模）已知梯形 中， ， ，设 ， ，那么
可用 、 表示为________．9．（2023·上海浦东新·统考二模）我们规定：两个正多边形的中心之间的距离叫做中心距，在同一个平面
内有边长都为6的正三角形和正方形，当它们的一边重合时，中心距为_____．
10．（2023·上海静安·统考二模）如图，已知四边形 中，点 、 、 分别是对角线 、 和边
的中点．如果设 ， ，那么向量 ______（用向量 、 表示）．
11．（2023·上海崇明·统考二模）在六张卡片上分别写有6， ，3.1415， ，0， 六个数，从中
随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是________．
12．（2023·上海金山·统考二模）如图，已知 、 分别是 的边 、 上的点，且 ，联
结 ，如果 ， ，当 时，那么 ________．（用含 、 的式子表示）
13．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在菱形 中， ， ，如果将菱形 绕着点
D逆时针旋转后，点A恰好落在菱形 的初始边 上的点E处，那么点E到直线 的距离为___________．
14．（2023·上海闵行·统考二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角 、 满足 ，那么
我们称这个三角形为特征三角形．
问题解决：如图，在 中， 为钝角， ， ，如果 是特征三角形，那么线
段 的长为___________．
15．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，将矩形 纸片沿对角线 折叠，点B落在点E处， 与
边 相交于点F．如果 ，那么 的正弦值等于_____．
16．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在 中， ， ， ，以点C为圆心，
R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是____．17．（2023·上海金山·统考二模）已知 中， ， ， ，点 是线段 上的动
点，点 在线段 上，如果点 关于直线 对称的点 恰好落在线段 上，那么 的最大值为
________．
18．（2023·上海宝山·统考二模）如果一个三角形的两个内角 与 满足 ，那么我们称这样的
三角形为“倍角互余三角形”．已知在 中， ， ， ，点D在边 上，
且 是“倍角互余三角形”，那么 的长等于__________．
19．（2023·上海黄浦·统考二模）已知点G是 的重心，设 ， ，那么 用 、 可表示
为________．
20．（2023·上海崇明·统考二模）如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，
， ， ， ，将 绕着点C顺时针旋转，当点D
恰好落在 边上时，联结 ，那么 ________．
21．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在平面直角坐标系 中，点A在直线 上，点A的横坐标
为1，点P是x轴正半轴上一点，点B在反比例函数 图象上，联结 和 ．如果四边形
是矩形，那么k的值是__________．22．（2023·上海崇明·统考二模）如图， 和 都是等边三角形，点D是 的重心，那么
________．
23．（2023·上海金山·统考二模）如图，已知 、 是 的中线， 和 交于点 ，当
时，那么 的值等于________．
24．（2023·上海浦东新·统考二模）如图， 过 的重心G，设向量 ，那么向量
_____（结果用 、 表示）三、解答题
25．（2023·上海浦东新·统考二模）计算： ．
26．（2023·上海松江·统考二模）如图，四边形 中， ．
(1)如果 ，求 的值；
(2)如果 ，求四边形 的面积．
27．（2023·上海嘉定·统考二模）计算：
28．（2023·上海宝山·统考二模）计算： ．29．（2023·上海静安·统考二模）如图，已知 、 分别是平行四边形 的边 、 上的高，对
角线 、 相交于点 ，且 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)当 ， 时，求 的余切值．
30．（2023·上海浦东新·统考二模）已知：如图， 是 的外接圆， 平分 的外角 ，
， ，垂足分别是点M，N，且 ．
(1)求 的度数；
(2)如果 ， ，求 的半径长．31．（2023·上海松江·统考二模）如图，已知正方形 ， 、 分别为边 、 的中点， 与
交于点 ， ，垂足为点 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求 正弦值．
32．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在 中， ， ，圆O经过A、B两点，圆心O
在线段 上，点C在圆O内，且 ．
(1)求圆O的半径长；
(2)求 的长．33．（2023·上海金山·统考二模）如图，已知在 中， ， ，点 、 分别是 、
的中点，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求 的正弦值；
(2)求线段 的长．
34．（2023·上海崇明·统考二模）如图，已知在 中， ， ， 经过 的顶点
A、C，交 边于点D， ，点C是 的中点．
(1)求 的半径长；
(2)联结 ，求 ．35．（2023·上海徐汇·统考二模）如图， 分别是 边 上的高和中线，已知 ，
， ．
(1)求 的长；
(2)求 的值．
36．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在 中， ， ， ，点D为 的中点，
过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E．
(1)求线段 的长；
(2)求 的值．
