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专题 06 相似、锐角三角比与平面向量（36 题）
一、单选题
1．（2023·上海宝山·统考二模）已知点D、E分别在 的边 、 的延长线上， ，
，设 ，那么 用向量 表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明 ，从而推出 ，则 ，由 ，可得 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，向量的计算，证明 ，从而推出
是解题的关键．
2．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，已知正方形 的顶点D、E在 的边 上，点G、F分
别在边 上，如果 ， 的面积是32，那么这个正方形的边长是（ ）A．4 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】过点A作 于H，交 于M，如图，先利用三角形面积公式计算出 ，设正方形
的边长为x，则 ，再证明 ，则根据相似三角形的性质得方
程，然后解关于x的方程即可．
【详解】解：如图，过点A作 于H，交 于M，
∵ 的面积是32， ，
∴ ，
∴ ，
设正方形 的边长为x，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，解得∶ ，
即这个正方形的边长是4．故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及正方形的性质，添加合适的辅助线是解题的关键．
3．（2023·上海松江·统考二模）如图，点G是 的重心，四边形 与 面积的比值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据三角形中位线定理以及中线的性质可得 ， ，
，从而得到 ，进而得到 ，继而得
到 ， ，可得 ，再由 ，即
可．
【详解】解：如图，连接 ，
∵点G是 的重心，
∴点D，E分别为 的中点，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即四边形 与 面积的比值是 ．
故选：B
【点睛】本题主要考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握三角形
的重心，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解题的关键．
4．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，已知点D、E分别在 的边 、 上， ，
，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得 ， 与 是同高，故底之比等于 ，从而得出面积之比．
【详解】解： ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴
和 的高相同，
∵
，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．
二、填空题
5．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知在 中，点D是边AC上一点，且 ．设 ，
，那么向量 ______．（用 的形式表示，其中x、y为实数）
【答案】
【分析】先求解 ， ，再根据 可得答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是平面向量的线性运算，熟练的掌握运算法则是解本题的关键．6．（2023·上海松江·统考二模）如图，已知在矩形 中，点 在边 上，且 ，设
，那么 ＝________（用 、 的式子表示）．
【答案】
【分析】根据矩形的性质得出 ，根据已知条件得出 ，根据三角形法则即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平面向量的线性计算，熟练掌握三角形法则是解题的关键．
7．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在 中，点D是 边上一点，且 ．设 ，
，那么 ____ ．(用 、 表示)
【答案】【分析】根据 ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知
故答案为： ．
【点睛】本题考查了向量的线性运算．解题的关键在于明确各向量之间的关系．
8．（2023·上海崇明·统考二模）已知梯形 中， ， ，设 ， ，那么
可用 、 表示为________．
【答案】 /
【分析】连接 ，利用三角形法则，进行求解即可．
【详解】解：连接 ，
则： ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．
9．（2023·上海浦东新·统考二模）我们规定：两个正多边形的中心之间的距离叫做中心距，在同一个平面
内有边长都为6的正三角形和正方形，当它们的一边重合时，中心距为_____．
【答案】 或
【分析】分两种情况，结合正方形和正三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，在正方形 和正三角形 中，连接 交于点O，正三角形 的中线
交于点F，则点O，P分别正方形 和正三角形 的中心，
在正方形 和正三角形 中， ， ， ，
∴点O，E均在 的垂直平分线上，
∴点E，O，P，G四三点共线，
∵正方形 和正三角形 的边长都为6，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ；
即中心距为 ；
如图，在正方形 和正三角形 中，连接 交于点O，正三角形 的中线 交于点F，则点O，P分别正方形 和正三角形 的中心，
在正方形 和正三角形 中， ， ， ，
∴点O，E均在 的垂直平分线上，
∴点E，O，P，G四三点共线，
∵正方形 和正三角形 的边长都为6，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
∴ ；
即中心距为 ；
综上所述，中心距为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了正方形和正三角形的性质，解直角三角形，利用分类思想解答是解题的关键．
10．（2023·上海静安·统考二模）如图，已知四边形 中，点 、 、 分别是对角线 、 和边
的中点．如果设 ， ，那么向量 ______（用向量 、 表示）．【答案】
【分析】先证明 分别是 的中位线，从而得到 ， ，则
．
【详解】解：∵点 、 、 分别是对角线 、 和边 的中点，
∴ 分别是 的中位线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，向量的运算，证明 分别是 的中位线
是解题的关键．
11．（2023·上海崇明·统考二模）在六张卡片上分别写有6， ，3.1415， ，0， 六个数，从中
随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是________．
【答案】
【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解： ，∴6， ，3.1415， ，0， 六个数中 ， 是无理数，共2个；
随机抽取一张卡片，共有6种等可能的结果，其中卡片上的数为无理数，有2种等可能的结果，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查概率．熟记特殊角的三角函数值，掌握无理数的定义，概率公式，是解题的关键．
12．（2023·上海金山·统考二模）如图，已知 、 分别是 的边 、 上的点，且 ，联
结 ，如果 ， ，当 时，那么 ________．（用含 、 的式子表示）
【答案】
【分析】利用平行线分线段成比例定理，向量的计算解答即可．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，向量的计算，熟练掌握定理，向量的计算是解题的关键．
13．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在菱形 中， ， ，如果将菱形 绕着点
D逆时针旋转后，点A恰好落在菱形 的初始边 上的点E处，那么点E到直线 的距离为
___________．
【答案】3
【分析】如图，旋转、菱形的性质可知， ，则 ，
， ， ，根据E
到直线 的距离为 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，菱形 绕着点D逆时针旋转后为菱形 ，
由旋转、菱形的性质可知， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴E到直线 的距离为 ，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，菱形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，正弦等知识．解题
的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
14．（2023·上海闵行·统考二模）阅读理解：如果一个三角形中有两个内角 、 满足 ，那么
我们称这个三角形为特征三角形．
问题解决：如图，在 中， 为钝角， ， ，如果 是特征三角形，那么线
段 的长为___________．
【答案】
【分析】由题意可分：①设 ，则在 上截取一点D，使得 ，此种情况不符合题意；
②设 ，过点B作 于点E，过点C作 于点F，然后根据三角函数及勾股定
理可进行求解．
【详解】解：由题意可分：①设 ，则在 上截取一点D，使得 ，如图所示：
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 为钝角，故不存在 ；
②设 ，过点B作 于点E，过点C作 于点F，如图所示：
∵ 是特征三角形，即 ，且 ，
∴ ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
解得： ，
∴ ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，熟练掌握三角函数及勾股定理是解题的关键．
15．（2023·上海浦东新·统考二模）如图，将矩形 纸片沿对角线 折叠，点B落在点E处， 与边 相交于点F．如果 ，那么 的正弦值等于_____．
【答案】
【分析】通过证明 得到 ， ，在 中，根据勾股定理列出等
量关系式，得出边之间的关系，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴设 ，
∵ 由 沿 折叠得到，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
即 ，整理得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，
勾股定理，以及解直角三角形的方法和步骤．
16．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在 中， ， ， ，以点C为圆心，
R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是____．
【答案】 /
【分析】求出线段 、 ，再根据点与圆得位置关系判断即可．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是根据题意求出
， ．
17．（2023·上海金山·统考二模）已知 中， ， ， ，点 是线段 上的动
点，点 在线段 上，如果点 关于直线 对称的点 恰好落在线段 上，那么 的最大值为
________．
【答案】【分析】过A点作 于点G，先解直角三角形求出 ， ，然后利用面积求出 ，
当 与G重合时 最小，即 最大，求出最大值即可．
【详解】解：如图，过A点作 于点G，
∵ ， ， ，
∴ ，
则 ，
又∵ ，
∴
∵点 、点 关于直线 对称，
∴ ，
又点 恰好落在线段 上，
∴当 与G重合时 最小，即 最大，
∴ 最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查解直角三角形，轴对称的性质，掌握垂线段最短是解题的关键．
18．（2023·上海宝山·统考二模）如果一个三角形的两个内角 与 满足 ，那么我们称这样的
三角形为“倍角互余三角形”．已知在 中， ， ， ，点D在边 上，
且 是“倍角互余三角形”，那么 的长等于__________．
【答案】 或【分析】分两种情况讨论，当 时，利用 ，列式计算即可求解；当
时，即 是 的角平分线，利用角平分线的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：当 时， ，即 ， 是“倍角互
余三角形”，
则
∴
∴
∴ ；
当 时， ，即 ， 是“倍角互余三角
形”，此时 是 的角平分线，
作 于E，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵， ， ， ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，解得．
综上， 的长等于 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了正切函数的定义，角平分线的性质以及勾股定理，分情况讨论是解题的关键．
19．（2023·上海黄浦·统考二模）已知点G是 的重心，设 ， ，那么 用 、 可表示
为________．
【答案】
【分析】如图，先根据向量的减法法则求出 ，根据D点是 边的中点求出 ，再由向量的加
法法则求出 ，然后根据G是 的重心即可求出 ．
【详解】如图，D点是 边的中点，G是 的重心，
∵ ， ，
∴
∵D点是 边的中点，
∴ ，
∴ ，
∵G是 的重心，
∴ ．
故答案为： ．【点睛】本题考查三角形的重心，向量的计算等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
20．（2023·上海崇明·统考二模）如图，已知在两个直角顶点重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，
， ， ， ，将 绕着点C顺时针旋转，当点D
恰好落在 边上时，联结 ，那么 ________．
【答案】
【分析】利用含30度角的直角三角形的性质，分别求出 的长，证明 ，得到
，推出 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，设 ，则： ，
∴ ，
在 中， ，即： ，
解得： 或 （不合题意，舍去）；
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查含30度的直角三角形，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二
次方程．熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，是解题的关键．
21．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在平面直角坐标系 中，点A在直线 上，点A的横坐标
为1，点P是x轴正半轴上一点，点B在反比例函数 图象上，联结 和 ．如果四边形
是矩形，那么k的值是__________．
【答案】
【分析】当 ， ，即 ，如图，连接 交 于 ，过 作 于 ，则 ，
， 是 中点，在 中，由勾股定理求 的值，证明 ，则 ，求
的值，进而可得 的点坐标，将 点坐标代入反比例函数解析式求解 值即可．
【详解】解：当 ， ，即 ，
如图，连接 交 于 ，过 作 于 ，∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ 是 中点，
在 中，由勾股定理得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
将 代入 得， ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质等知识．
解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22．（2023·上海崇明·统考二模）如图， 和 都是等边三角形，点D是 的重心，那么
________．【答案】
【分析】如图，延长 交 于 ，由题意得 ， ，则 ，
由 ，可得 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，
∵点D是 的重心，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了重心，等边三角形的性质，正弦，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识
的熟练掌握与灵活运用．
23．（2023·上海金山·统考二模）如图，已知 、 是 的中线， 和 交于点 ，当
时，那么 的值等于________．【答案】 /
【分析】过点D作 交 于点F，利用三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理计算
即可．
【详解】过点D作 交 于点F，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去），故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形相似的性质，
平行线分线段成比例定理是解题的关键．
24．（2023·上海浦东新·统考二模）如图， 过 的重心G，设向量 ，那么向量
_____（结果用 、 表示）
【答案】
【分析】由 ， ，根据三角形法则，即可求得 ，再由点G是 的重心，根据
重心的性质，即可求出结果．
【详解】解：∵ 过 的重心G，
∴ 是 的中线，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点G是 的重心，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平面向量与三角形重心的知识，掌握三角形法则与三角形重心的性质是解题的关键．三、解答题
25．（2023·上海浦东新·统考二模）计算： ．
【答案】
【分析】先根据负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，零指数幂，二次根式的性质化简，再计算，即可
求解．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，零指数幂，二次根式的性质，熟练掌握
相关运算法则是解题的关键．
26．（2023·上海松江·统考二模）如图，四边形 中， ．
(1)如果 ，求 的值；
(2)如果 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）过点A作 于点E，可得四边形 是矩形，从而得到 ，
继而得到 ，再由锐角三角函数，即可求解；
（2）过点A作 于点E，可得四边形 是矩形，从而得到 ，设，则 ， 在 中，利用勾股定理求出x的值，再根据四边形 的面积
，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点A作 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，过点A作 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，即 ，
四边形 的面积 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关
键．
27．（2023·上海嘉定·统考二模）计算：
【答案】
【分析】根据二次根式的混合运算法则，特殊角的三角函数值以及零指数幂进行计算即可．
【详解】
．
【点睛】考查了实数的综合运算能力，负整数指数幂、零指数幂、分母有理化、特殊角度的三角函数值等
考点的运算．
28．（2023·上海宝山·统考二模）计算： ．
【答案】
【分析】根据负分数指数幂、特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，即可求解．
【详解】解：．
【点睛】本题考查了负分数指数幂、特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，掌握相关的运算法则是
解题的关键．
29．（2023·上海静安·统考二模）如图，已知 、 分别是平行四边形 的边 、 上的高，对
角线 、 相交于点 ，且 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)当 ， 时，求 的余切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等面积法证明即可；
（2）可设 ，则 ，在 中，由勾股定理得， ，解方程求
出 ，则 ．
【详解】（1）证明：∵ 、 分别是平行四边形 的边 、 上的高，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴平行四边形 是菱形；
（2）解：∵ ，
∴设 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，求余切值，熟知菱形的性质
与判定是解题的关键．
30．（2023·上海浦东新·统考二模）已知：如图， 是 的外接圆， 平分 的外角 ，
， ，垂足分别是点M，N，且 ．
(1)求 的度数；
(2)如果 ， ，求 的半径长．
【答案】(1) ；
(2) ；
【分析】（1）先证明 平分 ，然后由角平分线的定义，即可求出 的度数；
（2）由弦心距和弦的关系，得到 ，延长 交 于点 ，连接 ，由等腰三角形的性质，垂径定理，以及勾股定理，即可求出 的半径．
【详解】（1）解：∵ 平分 的外角 ，
∴ ，
∵ ， ， ．
∴ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
延长 交 于点 ，连接 ，如图：
∵ 平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键
是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
31．（2023·上海松江·统考二模）如图，已知正方形 ， 、 分别为边 、 的中点， 与
交于点 ， ，垂足为点 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ，求 正弦值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明 ，进而得出 ，则 ，根据平行线分线段成比例即可得
证；
（2）根据 得出 ，设 ，则 ， ，在 中，
，进而根据正弦的定义即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 、 分别为边 、 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，正切的定义，求角的正弦值，熟练掌握是
正方形的性质以及三角函数的定义解题的关键．
32．（2023·上海嘉定·统考二模）如图，在 中， ， ，圆O经过A、B两点，圆心O
在线段 上，点C在圆O内，且 ．
(1)求圆O的半径长；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）延长 交圆O于点D，连接 ，设圆O的半径长为r，则 ，利用正弦函数列式
计算即可求解；
（2）先求得 ，在 ，利用三角函数的定义求得 和 的长，再利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：设圆O的半径长为r，延长 交圆O于点D，连接 ，
则 ，
又 ，
∴ ，
设 ，
则有 ，因为 ，
所以 ，
解得 ，
经检验， 是方程的解；
∴圆的半径长为5；
（2）解：过点B作 的垂线垂足为E，
由（1）得 ，
则 ，解得 ，
，解得 ，
所以 ，
所以
【点睛】本题考查了圆内接三角形，经过圆的直径构造的三角形为直角三角形，添加辅助线再利用三角函
数求解．
33．（2023·上海金山·统考二模）如图，已知在 中， ， ，点 、 分别是 、
的中点，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ．
(1)求 的正弦值；(2)求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点A作 于点M，根据三线合一性质，勾股定理计算 ，根据正弦定义计算即
可．
（2）过点C作 于点N，根据正弦，余弦计算 ， ，求得 ， ，后证明四边形 是
平行四边形，计算即可．
【详解】（1）过点A作 于点M，
∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ．
（2）过点C作 于点N，连接
∵ ，
∴ ，
∵ ，点 是 的中点，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，平行四边形的判定和性质，平行线分线段
成比例定理，熟练掌握三角函数，勾股定理，平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题
的关键．
34．（2023·上海崇明·统考二模）如图，已知在 中， ， ， 经过 的顶点
A、C，交 边于点D， ，点C是 的中点．(1)求 的半径长；
(2)联结 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接 ，易得 ， 为等腰三角形，利用三线合一，以及垂径定
理，进行求解即可；
（2）过点 作 ，勾股定理求出 的长，进而得到 的长，等积法求出 的长，利用正弦的
定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接 ，则： ，
∵点C是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
设圆的半径为 ，则： ，
∴ ，
在 中， ，即： ，
解得： ，
∴ 的半径长为 ．
（2）解：由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 于点 ，
则 ，即： ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ．【点睛】本题考查弧，弦，圆心角的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．熟练掌
握等弧对等弦对等角，是解题的关键．
35．（2023·上海徐汇·统考二模）如图， 分别是 边 上的高和中线，已知 ，
， ．
(1)求 的长；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 是 边 上的高得到 ，由 ， ，得到
则 ，即可得到答案；
（2）过点E作 于点F，由 分别是 边 上的中线，得到 ，由
得到 ，勾股定理求出 ，再由勾股定理得到 ，即可得到 的
值．
【详解】（1）解：∵ 是 边 上的高，
∴ ，
∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ；
（2）解：过点E作 于点F，∵ 分别是 边 上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ ，
∴ .
【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
36．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在 中， ， ， ，点D为 的中点，
过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E．
(1)求线段 的长；(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 勾股定理可求得斜边，再由斜边中线可得 长度．
（2）通过相似三角形得到比例，求出 长度，再通过 勾股定理求出 长度，再计算比值即可．
【详解】（1）
中 ，代入 ， ，
得
D为 的中点，
（2）解法1：
D为 的中点，
又 ，
中解法2：
与 中
设 得
解得
【点睛】本题考查几何图形中长度的计算，相似三角形，主要利用勾股定理进行长度关系计算，可以设元
列勾股方程或结合相似计算，通常几何长度的求解可采用3中方法（勾股、相似、面积法），常考直角三
角形和含有特殊角度的图形．在计算中灵活利用勾股定理是解题的关键．
