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专题 24.2.2 直线与圆的位置关系（专项训练）
1．（2022•东明县一模）已知平面内有 O和点A，B，若 O的半径为2cm，线段OA＝
3cm，OB＝2cm，则直线AB与 O的⊙位置关系为（ ）⊙
A．相交 B．相切⊙ C．相交或相切 D．相离
2．（2021秋•招远市期末）已知 O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为3 cm，则
⊙
直线l与 O的位置关系为（ ）
A．相交⊙ B．相切 C．相离 D．无法确定
3．（2021秋•平罗县期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆
一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
4．（2021秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长
度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
5．（2021秋•金安区校级期末）如图所示，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两
点， O 的半径为 1，将 O 以每秒 1 个单位的速度向右作平移运动，当移动
s时，⊙直线MN恰好与圆O相⊙切．6．（2022•莆田模拟）如图，AB是 O的直径，BC是 O的切线，若∠ACB＝55°，则
∠BAC的大小为（ ） ⊙ ⊙
A．25° B．35° C．45° D．55°
7．（2021秋•邗江区期末）如图，AB是 O的直径，点D在AB的延长线上，DC切 O
于点C，若∠A＝20°，则∠D等于（ ⊙ ） ⊙
A．20° B．30° C．50° D．40°
8．（2021秋•莆田期末）如图，AB、AC、BD分别切 O于点P、C、D．若AB＝5，AC＝
3，则BD的长是（ ） ⊙
A．4 B．3 C．2 D．1
9．（2021秋•忠县期末）如图，BC与 O相切于点C，AB经过 O的圆心与 O交于
D，若∠B＝40°，则∠A＝（ ） ⊙ ⊙ ⊙
A．20° B．25° C．30° D．35°
10.（2022•萧山区模拟）如图，PA、PB是 O的切线，A、B为切点，连接OB、AB，若
⊙∠ABO＝25°，则∠APB的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
11.（2021秋•福州期末）如图，从 O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，
B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦⊙AB的长是（ ）
A． B． C．5 D．5
12．（2021秋•河东区期末）如图，PA、PB分别与 O相切于A、B，∠P＝50°，C为 O
上一点，则∠ACB的度数为（ ） ⊙ ⊙
A．120° B．115° C．110° D．125°
13．（2021秋•庄河市期末）如图，已知AB为 O的直径，点C在 O上，∠A＝35°，过
点C的切线PC与AB的延长线相交于点P，⊙则∠P的度数为（ ⊙）
A．15° B．20° C．35° D．55°
14．（2021秋•韶关期末）如图所示，直线l与半径为5cm的 O相交于A、B两点，且与
半径OC垂直，垂足为H，AB＝8cm，若要使直线l与 O相切⊙，则l应沿OC方向向下平
⊙移（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
15．（2021秋•西岗区期末）如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，CD
切 O于点E，分别交PA、PB于点C、⊙D，若PA＝8，则△PCD的周⊙长为（ ）
⊙
A．8 B．12 C．16 D．20
16．（2021 秋•武夷山市期末）如图，点 P 是 O 的直径 AB 延长线上的一点（PB＜
OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方⊙的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是 O的切线．
⊙
17．（2021秋•长乐区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点
D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D．求证：直线BC是
O的切线．
⊙18．（2021秋•合肥期末）已知，如图：AB是 O的直径，AB＝AC，BC交 O于D，
DE⊥AC于点E，求证：DE是 O的切线． ⊙ ⊙
⊙
19．（2021秋•白云区期末）如图，AB为 O的直径，AC平分∠BAD交 O于点C，
CD⊥AD，垂足为点D． ⊙ ⊙
求证：CD是 O的切线．
⊙
20．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的 O与BC
⊙相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，
（1）求证：DE是 O的切线．
（2）当BC＝10，A⊙D＝4时，求 O的半径．
⊙
21．（2021秋•昌邑区校级期末）如图，△ABC的边AB为 O的直径，BC与 O交于点
D，D为BC的中点，连结AD，过D作DE⊥AC于E． ⊙ ⊙
（1）求证：DE为 O的切线；
（2）若AB＝13，C⊙D＝5，求DE的长．
22．（2021秋•天津期末）如图，已知AB是 O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交
O于点D，DE⊥AC ⊙
⊙于E．
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若AB＝10，A⊙C＝6，求ED的长．23．（2021秋•莆田期末）如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为
A、B，CO平分∠BCD．
（1）求证：CD是半圆O的切线．
（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．
24．（2021秋•金湖县期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径
的圆交CE于D，延长CO交 O于B，连接AD、AB，AB是 O的切线．
（1）求证：AD是 O的切线⊙． ⊙
（2）若 O的半径⊙为4，AB＝8，求平行四边形OAEC的面积．
⊙25．（2021秋•柳州期末）如图，AC是 O直径，弦AD与AC成30°角，BD交AC的延长
线于点B，且DA＝DB． ⊙
（1）求证：BD为 O的切线；
⊙
（2）若BC＝ ，求AD的长．
26．（2021秋•临淄区期末）如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，过点A作 O的
切线，交BC的延长线于点D，取AD的⊙中点E，延长CE交⊙BA的延长线交于点P．⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
（2）AB＝2AP，A⊙B＝8，求AD的长．27．（2022•开州区模拟）如图，△ABC与△BCD是 O的内接三角形，AB是 O的直
径，且∠ABC＝50°，则∠D的度数是（ ） ⊙ ⊙
A．40° B．50° C．20° D．25°
28．（2021秋•南岗区校级期末）如图，△ABC内接于 O，∠BAC＝30°，BC＝6，则 O
的直径等于（ ） ⊙ ⊙
A．10 B．6 C．6 D．12
29.（2021秋•平舆县期末）如图，△ABC是 O的内接三角形，∠AOB＝60°，AB＝AC＝
2，则弦BC的长为（ ） ⊙
A．4 B． C．2 D．
30．（2022•长宁区二模）如图， O的半径为 10cm，△ABC内接于 O，圆心 O在
△ABC内部．如果AB＝AC，BC＝⊙12cm，那么△ABC的面积为 ⊙cm2．专题 24.2.2 直线与圆的位置关系（专项训练）1．（2022•东明县一模）已知平面内有 O和点A，B，若 O的半径为2cm，线段OA＝
3cm，OB＝2cm，则直线AB与 O的⊙位置关系为（ ）⊙
A．相交 B．相切⊙ C．相交或相切 D．相离
【答案】C
【解答】解： O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心⊙O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在 O外，点B在 O上，
∴直线AB⊙与 O的位置关⊙系为相交或相切，
故选：C． ⊙
2．（2021秋•招远市期末）已知 O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为3 cm，则
⊙
直线l与 O的位置关系为（ ）
A．相交⊙ B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵ O的半径为4cm，圆心O到直线l的距离为3 cm，
⊙
4 ，
∴直线和圆相离．
故选：C．
3．（2021秋•平罗县期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆
一定（ ）
A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交
C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交
【答案】B
【解答】解：∵点（﹣2，3）到x轴的距离是3，等于半径，
到y轴的距离是2，小于半径，
∴圆与y轴相交，与x轴相切．
故选：B．4．（2021秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长
度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，
∴BC＝10，
∴斜边上的高为： ＝4.8，
∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，
∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1，
故选：B．
5．（2021秋•金安区校级期末）如图所示，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于M，N两
点， O 的半径为 1，将 O 以每秒 1 个单位的速度向右作平移运动，当移动
s时，⊙直线MN恰好与圆O相⊙切．
【答案】 2 ﹣ 或 2+
【解答】解：作EF平行于MN，且与 O切，交x轴于点E，交y轴于点F，如图所
示． ⊙
设直线EF的解析式为y＝x+b，即x﹣y+b＝0，
∵EF与 O相切，且 O的半径为1，
⊙ ⊙
∴ b2＝ ×1× |b|，
解得：b＝ 或b＝﹣ ，
∴直线EF的解析式为y＝x+ 或y＝x﹣ ，
∴点E的坐标为（ ，0）或（﹣ ，0）．令y＝x﹣2中y＝0，则x＝2，
∴点M（2，0）．
∵根据运动的相对性，且 O以每秒1个单位的速度向右作平移运动，
⊙
∴移动的时间为2﹣ 秒或2+ 秒．
故答案为：2﹣ 或2+ ．
6．（2022•莆田模拟）如图，AB是 O的直径，BC是 O的切线，若∠ACB＝55°，则
∠BAC的大小为（ ） ⊙ ⊙
A．25° B．35° C．45° D．55°
【答案】B
【解答】解：∵BC是 O的切线，AB是 O的直径，
∴AB⊥BC， ⊙ ⊙
∵∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝90°﹣55°＝35°，
故选：B．
7．（2021秋•邗江区期末）如图，AB是 O的直径，点D在AB的延长线上，DC切 O
于点C，若∠A＝20°，则∠D等于（ ⊙ ） ⊙A．20° B．30° C．50° D．40°
【答案】C
【解答】解：如图，连接OC，
∵DC切 O于点C，
∴CD⊥O⊙C，
∴∠OCD＝90°，
∵AB是 O的直径，
∴点O在⊙AB上，
∴OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A，
∵∠A＝20°，
∴∠COD＝∠OCA+∠A＝2∠A＝2×20°＝40°，
∴∠D＝90°﹣∠COD＝90°﹣40°＝50°，
故选：C．
8．（2021秋•莆田期末）如图，AB、AC、BD分别切 O于点P、C、D．若AB＝5，AC＝
3，则BD的长是（ ） ⊙
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：∵AC、AP为 O的切线，
⊙∴AC＝AP＝3，
∵BP、BD为 O的切线，
∴BP＝BD，⊙
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．
故选：C．
9．（2021秋•忠县期末）如图，BC与 O相切于点C，AB经过 O的圆心与 O交于
D，若∠B＝40°，则∠A＝（ ） ⊙ ⊙ ⊙
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【解答】解：如图，连接OC，
∵BC与 O相切于点C，
∴BC⊥O⊙C，
∴∠BCO＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠COD＝90°﹣∠B＝90°﹣40°＝50°，
∴∠A＝ ∠COD＝ ×50°＝25°，
故选：B．
10.（2022•萧山区模拟）如图，PA、PB是 O的切线，A、B为切点，连接OB、AB，若
∠ABO＝25°，则∠APB的度数为（ ）⊙A．50° B．55° C．65° D．70°
【答案】A
【解答】解：如图，连接OP交AB于点C，
∵PA、PB是 O的切线，A、B为切点，
⊙
∴PA＝PB，∠OPB＝∠OPA＝ ∠APB，
∴OP⊥AB，
∴∠PCB＝90°，
∴PB⊥OB，
∴∠PBO＝90°，
∴∠OPB＝90°﹣∠PBC＝∠ABO＝25°，
∴∠APB＝2∠OPB＝2×25°＝50°，
故选：A．
11.（2021秋•福州期末）如图，从 O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，
B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦⊙AB的长是（ ）
A． B． C．5 D．5
【答案】C
【解答】解：∵PA，PB为 O的两条切线，
∴PA＝PB， ⊙
∵∠APB＝60°，∴△PAB为等边三角形，
∴AB＝PA＝5，
故选：C．
12．（2021秋•河东区期末）如图，PA、PB分别与 O相切于A、B，∠P＝50°，C为 O
上一点，则∠ACB的度数为（ ） ⊙ ⊙
A．120° B．115° C．110° D．125°
【答案】B
【解答】解：连接OA、OB，作 所对的圆周角∠ADB，如图，
∵PA、PB分别与 O相切于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥⊙PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ADB＝ ∠AOB＝65°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．
13．（2021秋•庄河市期末）如图，已知AB为 O的直径，点C在 O上，∠A＝35°，过
点C的切线PC与AB的延长线相交于点P，⊙则∠P的度数为（ ⊙）A．15° B．20° C．35° D．55°
【答案】B
【解答】解：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝35°，
∴∠COP＝∠A+∠ACO＝70°，
∵PC是 O的切线，
∴∠PCO⊙＝90°，
∴∠P＝90°﹣∠COP＝20°，
故选：B．
14．（2021秋•韶关期末）如图所示，直线l与半径为5cm的 O相交于A、B两点，且与
半径OC垂直，垂足为H，AB＝8cm，若要使直线l与 O⊙相切，则l应沿OC方向向下
平移（ ） ⊙
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【解答】解：连接OB，
∴OB＝5cm，
∵直线l O相交于A、B两点，且与AB⊥OC，AB＝8cm，
∴HB＝4⊙cm，
∴OH＝3cm，∴HC＝2cm．
故选：B．
15．（2021秋•西岗区期末）如图，P为 O外一点，PA、PB分别切 O于点A、B，CD
切 O于点E，分别交PA、PB于点C、⊙D，若PA＝8，则△PCD的周⊙长为（ ）
⊙
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解答】解：∵PA、PB分别切 O于点A、B，CD切 O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝⊙ED， ⊙
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16，
即△PCD的周长为16．
故选：C
16．（2021 秋•武夷山市期末）如图，点 P 是 O 的直径 AB 延长线上的一点（PB＜
OB），点E是线段OP的中点．在直径AB上方⊙的圆上作一点C，使得EC＝EP．
求证：PC是 O的切线．
⊙
【答案】略
【解答】证明：连接OC，
∵点E是线段OP的中点，∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是 O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
17．（2021⊙秋•长乐区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点
D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D．求证：直线BC是
O的切线．
⊙
【答案】略
【解答】证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∴∠ODB＝∠C，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过圆心O，
∴直线BC是 O的切线．
18．（2021秋•⊙合肥期末）已知，如图：AB是 O的直径，AB＝AC，BC交 O于D，
DE⊥AC于点E，求证：DE是 O的切线． ⊙ ⊙
⊙
【答案】略
【解答】证明：连接OD，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
又∵OD＝OB
∴∠ODB＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE为 O的切线．
19．（2021⊙秋•白云区期末）如图，AB为 O的直径，AC平分∠BAD交 O于点C，
CD⊥AD，垂足为点D． ⊙ ⊙
求证：CD是 O的切线．
⊙【答案】略
【解答】证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OC＝OA，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥DC，
∵OC过圆心O，
∴CD是 O的切线．
⊙
20．（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的 O与BC
相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD， ⊙
（1）求证：DE是 O的切线．
（2）当BC＝10，A⊙D＝4时，求 O的半径．
⊙【答案】（1）略 （2）3
【解答】（1）证明：连接OE、OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SSS），
∴∠OED＝∠BAC＝90°，
∴DE是 O的切线；
（2）解：⊙∵△AOD≌△EOD，
∴∠AOD＝∠EOD，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∵∠AOE＝∠B+∠OEB，
∴∠BEO＝∠EOD，
∴OD∥BC，又AO＝BO，
∴OD＝ BC＝5，
由勾股定理得，AO＝ ＝3，
则 O的半径为3．
⊙
21．（2021秋•昌邑区校级期末）如图，△ABC的边AB为 O的直径，BC与 O交于点
D，D为BC的中点，连结AD，过D作DE⊥AC于E． ⊙ ⊙
（1）求证：DE为 O的切线；
（2）若AB＝13，C⊙D＝5，求DE的长．【答案】（1）略 （2）
【解答】（1）证明：连接OD，
∵BO＝OA，BD＝DC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为 O的切线；
（2）解：⊙∵AB为 O的直径，
∴AD⊥BD， ⊙
∵BD＝CD＝5，
∴AC＝AB＝13，
∴AD＝ ＝ ＝12，
∵S△ADC ＝ AC•DE＝ AD•CD，
∴ ×13•DE＝ ×12×5，
解得：DE＝ ，
答：DE的长为 ．22．（2021秋•天津期末）如图，已知AB是 O的直径，AC是弦，∠BAC的角平分线交
O于点D，DE⊥AC ⊙
⊙于E．
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）若AB＝10，A⊙C＝6，求ED的长．
【答案】（1） 略（2）4
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE⊥AE，
∴∠AED＝90°，
∵AD平分∠BAE，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥DO，
∴∠EDO＝180°﹣∠E＝90°，
∵OD是 O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：⊙连接BC，∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠ECB＝180°﹣∠ACB＝90°，
∵∠E＝∠EDO＝90°，
∴四边形ECFD是矩形，
∴DE＝CF，∠CFD＝90°，
∵AB＝10，AC＝6，
∴BC＝ ＝ ＝8，
∵OD⊥BC，
∴CF＝ BC＝4，
∴DE＝CF＝4，
∴ED的长为4．
23．（2021秋•莆田期末）如图，半圆O的直径是AB，AD、BC是两条切线，切点分别为
A、B，CO平分∠BCD．
（1）求证：CD是半圆O的切线．
（2）若AD＝20，CD＝50，求BC和AB的长．
【答案】（1） 略 （2）BC的长为30，AB的长为20
【解答】（1）证明：过点O作OE⊥CD，垂足为点E，∵BC是半圆O的切线，B为切点，
∴OB⊥BC，
∵CO平分∠BCD，
∴OE＝OB，
∵OB是半圆O的半径，
∴CD是半圆O的切线；
（2）解：过点D作DF⊥BC，垂足为点F，
∴∠DFB＝90°，
∵AD是半圆O的切线，切点为A，
∴∠DAO＝90°，
∵OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴四边形ADFB是矩形，
∴AD＝BF＝20，DF＝AB，
∵AD，CD，BC是半圆O的切线，切点分别为A、E、B，
∴DE＝AD＝20，EC＝BC，
∵CD＝50，
∴EC＝CD﹣DE＝50﹣20＝30，
∴BC＝30，
∴CF＝BC﹣BF＝10，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
DF＝ ＝ ＝20 ，∴AB＝DF＝20 ，
∴BC的长为30，AB的长为20
24．（2021秋•金湖县期末）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径
的圆交CE于D，延长CO交 O于B，连接AD、AB，AB是 O的切线．
（1）求证：AD是 O的切线⊙． ⊙
（2）若 O的半径⊙为4，AB＝8，求平行四边形OAEC的面积．
⊙
【答案】（1） 略（2）32
【解答】（1）证明：连接OD，
∵AB与 O相切于点B，
∴∠OBA⊙＝90°，
∵四边形OAEC是平行四边形，
∴AO∥EC，
∴∠AOD＝∠ODC，∠AOB＝∠OCD，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠AOB＝∠AOD，
又∵OA＝OA，OD＝OB，
∴△AOB≌△AOD（SAS），
∴∠OBA＝∠ODA，
∴∠ODA＝90°，
∵OD是 O的半径，
⊙∴AD为 O的切线；
（2）解：⊙∵OB＝4，AB＝8，
∴S△ABO ＝ AB•OB＝ ×4×8＝16，
∵△AOB≌△AOD，
∴S△AOD ＝16，
∴平行四边形OAEC的面积＝2S△AOD ＝32．
25．（2021秋•柳州期末）如图，AC是 O直径，弦AD与AC成30°角，BD交AC的延长
线于点B，且DA＝DB． ⊙
（1）求证：BD为 O的切线；
⊙
（2）若BC＝ ，求AD的长．
【答案】（1） 略（2）3
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵DA＝DB，∠A＝30°，
∴∠B＝∠A＝30°，
∵∠COD＝2∠A＝2×30°＝60°，
∴∠ODB＝90°，
∴BD⊥OD，
∵OD是 O的半径，
∴BD为⊙O的切线．
（2）解：⊙如图2，连接CD，
∵AC是 O直径，
∴∠ADC⊙＝90°，
∵∠B＝∠A＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠CDB＝∠ACD﹣∠B＝60°﹣30°＝30°，
∴∠B＝∠CDB，∴DC＝BC＝ ，
∴AC＝2DC＝2 ，
∴AD＝ ＝ ＝3，
∴AD的长为3．
26．（2021秋•临淄区期末）如图，AB是 O的直径，C是 O上一点，过点A作 O的
切线，交BC的延长线于点D，取AD的⊙中点E，延长CE交⊙BA的延长线交于点P．⊙
（1）求证：PC是 O的切线；
（2）AB＝2AP，A⊙B＝8，求AD的长．
【答案】（1）略 （2） ．
【解答】（1）证明：连接AC，OC，
∵AB是 O的直径，AD是 O的切线，
∴∠BAD⊙＝∠ACB＝90°， ⊙
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝CE，
∴∠ACE＝∠CAE，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠OCA+∠ACE＝∠OAC+∠CAE＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∵OC是 O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解⊙：∵AB＝2AP，AB＝2AO，
∴AP＝AO，∵∠OCP＝90°，
∴AC＝OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD＝2AD，
∵AD2+AB2＝BD2，
∴AD2+82＝4AD2，
∴AD＝ ．
故AD的长为 ．
27．（2022•开州区模拟）如图，△ABC与△BCD是 O的内接三角形，AB是 O的直
径，且∠ABC＝50°，则∠D的度数是（ ） ⊙ ⊙
A．40° B．50° C．20° D．25°
【答案】A
【解答】解：∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙∵∠ABC＝50°，
∴∠D＝∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°，
故选：A．
28．（2021秋•南岗区校级期末）如图，△ABC内接于 O，∠BAC＝30°，BC＝6，则 O
的直径等于（ ） ⊙ ⊙
A．10 B．6 C．6 D．12
【答案】D
【解答】解：连接OB、OC，如图，
∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
而OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴OB＝BC＝6，
∴ O的直径等于12．
故⊙选：D．
29.（2021秋•平舆县期末）如图，△ABC是 O的内接三角形，∠AOB＝60°，AB＝AC＝
2，则弦BC的长为（ ） ⊙A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【解答】解：如图，设AO与BC交于点D，
∵∠AOB＝60°，
∴∠C＝ ∠AOB＝30°，
∵AB＝AC，
∴ ＝ ，
∴AD⊥BC，
∴BD＝CD，
在Rt△ACD中，CD＝AC•cos30°＝2× ＝ ，
∴BC＝2CD＝2 ，
故选：D．
30．（2022•长宁区二模）如图， O的半径为 10cm，△ABC内接于 O，圆心 O在
△ABC内部．如果AB＝AC，BC＝⊙12cm，那么△ABC的面积为 ⊙cm2．
【答案】108
【解答】解：连接AO并延长交BC于D，连接OB，
∵AB＝AC，∴ ＝ ，
∴AD⊥BC，
∴BD＝DC＝ BC＝6cm，
在Rt△OBD中，OD＝ ＝8（cm），
∴AD＝18cm，
∴S△ABC ＝ ×12×18＝108（cm2），
故答案为：108．
