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2022-2023学年九年级上学期期末数学测试卷
一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的概念判断即可。
2．下列说法正确的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，则“投中”是随机事件
B．明天的降水概率为 40% ，则“明天下雨”是确定事件
C．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“有5次正面朝上”是必然事件
D．a 是实数，则“ |a|≥0 ”是不可能事件
【答案】A
【解析】【解答】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，则“投中”是随机事件，故此选项正确；
B、明天的降水概率为40%，则“明天下雨”是随机事件，故此选项错误；
C、任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“有5次正面朝上”是随机事件，故选项错误；
D、a是实数，则“|a|≥0”是必然事件，故选项错误.
故答案为：A.【分析】在一定条件下，一定会发生的事件就是随机事件，一定不会发生的事件就是不可能事件，可
能会发生，也可能不会发生的事件就是随机事件，从而根据定义即可判断A、C、D；概率的大小代表
的是事件发生的可能性的大小，从而即可判断B.
3．若x=1是关于x的方程x2−2x+c=0的一个根，则c的值为（ ）
A．−1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：把x=1代入方程x2−2x+c=0得：1−2+c=0，
∴c=1；
故答案为：B．
【分析】把x=1代入方程x2−2x+c=0中即可求出c值.
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位.则平移
后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
m−1 2 (m−1) 2
【解析】【解答】解： ∵y=x2−(m−1)x+m=(x− ) +m− ，
2 4
m−1 (m−1) 2
∴ 该抛物线顶点坐标是 ( ， m− ) ，
2 4
m−1 (m−1) 2
∴ 将其沿 y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是 ( ， m− −3) ，
2 4
∵m>1 ，
∴m−1>0 ，
m−1
∴ >0 ，
2
(m−1) 2 4m−(m2−2m+1)−12 −(m−3) 2−4 (m−3) 2
∵m− −3= = =− −1<0 ，
4 4 4 4
m−1 (m−1) 2
∴ 点 ( ， m− −3) 在第四象限；
2 4
故答案为： D .
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合 m 的取值范围判断新抛物线的顶点
所在的象限即可.
5．以下说法合理的是（ ）2
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
3
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
1
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
2
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正
1
面朝上的概率还是
2
【答案】D
【解析】【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
2
是错误的，3次试验不能总结出概率，A不符合题意，
3
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，B不符合题意，
1
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 不正确，中
2
靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，C不符合题意，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上
1
的可能性是 ，D不符合题意，
2
故答案为：D.
【分析】概率是等可能事件大量重复试验后，所要关注的事件与试验次数的比值，概率越大表示事件
发生的可能性越大，概率越小表示该事件发生的可能性越小，从而即可一一判断得出答案.
6．如图，以点O为圆心的两个圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的长度
的取值范围是( )
A．8≤AB≤10 B．AB≥8 C．80
−b±√Δ −5±√33
∴x= =
2a 4
−5+√33 −5−√33
x= ，x= ．
1 4 2 4
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法接一元二次方程即得；
（2）根据因式分解法接一元二次方程即得；
（3）根据公式法接一元二次方程即得.
19．如图，已知等边 ΔABC，D，E 分别在 BC、AC 上，且 BD=CE ，连接 BE、AD 交 F
点．求证： ∠AFE=60°
【答案】∵△ABC 是等边三角形∴∠ABC=∠C=60° ， AB=BC
在△ABD和△BCE中
{
AB=BC
∠ABC=∠C
BD=CE
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE
∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60° ．
【解析】【分析】根据△ABC 是等边三角形得出∠ABC=∠C=60° ， AB=BC，利用SAS证明
△ABD≌△BCE，得出∠BAD=∠CBE，即可得出结论。
20．二次函数y=ax2+bx+4的部分对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y=ax2+bx+4 … 4 6 6 4 0 …
（1）求二次函数的解析式，并求其图象的对称轴；
3
（2）点（m，y）、（2-m，y）是其图像上的两点，若m＞ ，则y y(填“＞”、
1 2 2 1 2
“＜”或“=”)
{ a+b+4=6 {a=−1
【答案】（1）解：由题意知： 解得： ，
4a+2b+4=6 b=3
∴y=-x+3x+4；
b 3 3
对称轴x=− =− = ；
2a −2 2
（2）＞
3 3 3
【解析】【解答】解：(2)若m＞ ，则m﹣ ＞2﹣m﹣ ，
2 2 2
3
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝ ，
2
∴y＞y．
1 2
故答案为：＞．
{ a+b+4=6
【分析】（1）根据题意先求出 ，再求出 y=-x+3x+4 ，最后求解即可；
4a+2b+4=6
3 3 3
（2）先求出m﹣ ＞2﹣m﹣ ，再根据抛物线开口向上，对称轴为直线x＝ ，比较大小即可。
2 2 221． “无体育不南开”，我校为了了解初中学生在暑假期间每周的运动时间（单位为小时，简记为
h），随机抽取了部分初中学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下不完整的统计图表．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 ，扇形统计图中的m＝ ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若从被调查的学生中随机抽取一人，这名学生每周运动时间不足8小时的概率是多少？
【答案】（1）40；25
（2）解：每周的运动时间为7小时的人数为40﹣4﹣8﹣10﹣3＝15，
补全条形图如下：
4+8+15 27
（3）解： ＝ ，
40 40
27
答：从被调查的学生中随机抽取一人，这名学生每周运动时间不足8小时的概率是 ．
40
【解析】【解答】解：（1）本次调查的总人数为4÷10%＝40，
∵10÷40×100%＝25%，
∴m＝25.
故答案为：40，25；
【分析】（1）利用时间为5h的人数除以所占的比例可得总人数，利用8h的人数除以总人数，然后乘以100%可得m的值；
（2）根据总人数求出7h的人数，据此可补全条形统计图；
（3）利用5、6、7h的人数之和除以总人数即可求出对应的概率.
22．如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要
预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙)．现有砌60米长的墙的材料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
1 1
【答案】（1）解：设矩形花园的长BC为x米，则其宽为 (60－x＋2)米，依题意列方程，得
2 2
(60－x＋2)x＝300.
整理，得x2－62x＋600＝0.
解得x＝12，x＝50.
1 2
∵28＜50，
∴x＝50不合题意，舍去．
2
∴x＝12.
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米．
1
（2）解：由题意得 (60－x＋2)x＝480，整理，得x2－62x＋960＝0.解得x＝32，x＝30.
2 1 2
∵28＜30＜32，
∴x＝32，x＝30均不合题意，舍去．
1 2
答：不能围成480平方米的矩形花园．
【解析】【分析】（1）利用设矩形花园的长BC为x米,用长表示宽，再列出面积的方程，解方程.
（2）由（1）的方程，令其等于480，解方程，求解与已知墙壁比较.
23．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B
（0，－6），动点P的坐标为（a，－a＋1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接BP，若直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，求此时P点的坐标．
（3）若连接AP、BP，将△ABP沿着直线AP翻折，使得点P翻折后的对应点落在第四象限，求a
的取值范围．
【答案】（1）解：设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、B（0，－6）代入
得
{8k+b=0
，
b=−6
{ 3
k=
解得 4 ，
b=−6
3
∴直线AB的函数表达式为y＝ x－6；
4
（2）解：∵直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，设直线AP交x轴于点M，
∴①若S ∶S =1∶4，则直线BM经过(2，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，
△OBM △AOB
(2，0)代入，得
{ n=−6
，
2m+n=0
{m=3
解得 ，
n=−6
∴直线BM的解析式为y=3x-6，
把P(a，－a＋1)代入，得
3a-6=-a+1，
7
解得a= ，
4
3
∴-a+1= − ，
4
7 3
∴点P的坐标为（ ，－ ）；
4 4
②
若S ∶S =1∶4，则直线BM经过(6，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(6，0)
△ABM △AOB
代入，得
{ n=−6
，
6m+n=0
{m=1
解得 ，
n=−6
∴直线BM的解析式为y=x-6，
把P(a，－a＋1)代入，得a-6=-a+1，
7
解得a= ，
2
5
∴-a+1= − ，
2
7 5
∴点P的坐标为（ ，－ ），
2 2
7 3 7 5
综上所述，点P的坐标为( ，－ ）)，( ，－ )；
4 4 2 2
（3）解：如图，
令x=a，y=-a+1，则y=-x+1，
{ 3
y= x−6
∴点P在定直线y=-x+1上运动，联立 4 ，
y=−x+1
{ x=4
解得 ，
y=−3
∵将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限，
∴a>4，
∵点A（8，0）、B（0，－6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= √62+82=10 ，
当AP为∠BAO外角的角平分线时，点B关于AP的对称点坐标为C(18，0)，
0+18 −6+0
此时AP过线段BC的中点，设线段BC的中点为点D，则点D的坐标为 ( ， ) ，即点
2 2
D(9，-3)，设AP的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、(9，-3)代入得
{ 8k+b=0
，
9k+b=−3
{k=−3
解得 ，
b=24
∴AP的解析式为y=-3x+24，
{y=−3x+24
联立 ，
y=−x+1
23
{ x=
2
解得 ，
21
y=−
2
23
∴a< ，
2
23
综上所述，a的取值范围4＜a＜ ．
2
【解析】【分析】（1） 设直线AB的函数表达式为y=kx+b，把点A（8，0）、B（0，－6）代入求
出k、b的值，进而可得直线AB的表达式；
（2）设直线BP交x轴于点M，①若S ：S =1：4，则直线BM经过(2，0)，由待定系数法求
△OBM △AOB
出直线BM的解析式，将P（a，-a+1）代入求出a的值，进而得点P的坐标；②若S ：S =1：
△ABM △AOB
4，则直线BM经过(6，0)，同理可得点P的坐标；
（3）令x=a，y=-a+1，则y=-x+1，联立直线AB的解析式求出x、y，根据点B翻折后的对应点落在
第四象限可知a>4，由勾股定理求出AB，当AP为∠BAO外角的角平分线时，AP过线段BC的中点
D，求出直线AP的解析式，联立y=-x+1求出x、y，据此不难得到a的取值范围.
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC
的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AC=4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OD、CD，
∵OC=OD，
∴ ∠OCD=∠ODC，
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴△ACD是直角三角形，
又∵点E是斜边AC的中点，
∴EC=ED，
∴ ∠ECD=∠EDC ，
又∵∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠EDC+∠ODC=∠ODE=90°，
∴直线DE是⊙O的切线
（2）解；由（1）得∠ODF=90°，
∵ ∠B=30°，
∴∠DOF=60°，∴∠F=30°，
∵在Rt△ABC中，AC=4，
1
∴AB=8， BC=√AB2−AC2=√82−42=4√3 ， OD= BC=2√3 ， OF=2OD=4√3 ，
2
∴在Rt△ODF中， DF=√OF2−OD2=√48−12=6 ，
1 60
阴影部分的面积 =S −S = ×6×2√3− π×(2√3) 2 =6√3−2π ．
△ODF 扇 形OC2D 360
【解析】【分析】（1）连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠ODC，根据圆周角定理
得到∠BDC=90°，推出△ACD是直角三角形，根据直角三角形的性质得到EC=ED，求得
∠ECD=∠EDC于是得到结论；
（2）由（1）已知∠ODF=90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF=90°，根据直角三角形内角和得到
∠DOF=60°，求得∠F=30°，解直角三角形得到DF的长度，最后利用扇形面积公式计算即可。
25．如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图1，等腰△ABC与等腰△ADE中，
∠BAC=∠DAE=α，AB=AC，AD=AE.我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”.
（1）【探究模型】如图1，线段BD与线段CE存在怎样的数量关系？请证明你的结论；
（2）【应用模型】如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BC=4 √3 ，点P是BC边的中
点，直线MN经过点P，且与直线BC的夹角为30°，点D是直线MN上的动点，将线段AD绕点A逆
时针旋转90°，得到线段AE，连结DE.
①如图3，当点E落在BC边上时，求C，E两点之间的距离.
②直接写出在点D运动过程中，点C和点E之间的最短距离.
【答案】（1）解：①BD=CE
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC，AD=AE
∴△DAB≌△EAC∴BD=CE
（2）解：①连结BD
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC=90°-∠DAC
∵等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°
∵旋转得：AD=AE
∴△ADB≌△AEC
∴BD=CE,∠DBA=∠ACE=45°
∴∠DBC=90°
∵∠BPD=30°，BP= 2√3
∴BD=CE=2
②当BD⊥MN时，BD最小= √3
即点C和点E的最小距离为 √3
【解析】【分析】（1）首先由角的和差关系可推出∠BAD=∠CAE，进而证明△DAB≌△EAC，据此
可得BD与CE的数量关系；
（2）①首先证明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，推出∠DBC=90°，然后根据∠BPD=30°，BP=4√3求
出BP、BD的值即可；
②当BD⊥MN时，BD最短，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半可得答案.
