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2022-2023学年九年级上学期期末数学测试卷
一、单选题
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的概念判断即可。
2．下列说法正确的是（ ）
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，则“投中”是随机事件
B．明天的降水概率为 40% ，则“明天下雨”是确定事件
C．任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“有5次正面朝上”是必然事件
D．a 是实数，则“ |a|≥0 ”是不可能事件
【答案】A
【解析】【解答】解：A、篮球队员在罚球线上投篮一次，则“投中”是随机事件，故此选项正确；
B、明天的降水概率为40%，则“明天下雨”是随机事件，故此选项错误；
C、任意抛掷一枚质地均匀的硬币10次，则“有5次正面朝上”是随机事件，故选项错误；
D、a是实数，则“|a|≥0”是必然事件，故选项错误.
故答案为：A.【分析】在一定条件下，一定会发生的事件就是随机事件，一定不会发生的事件就是不可能事件，可
能会发生，也可能不会发生的事件就是随机事件，从而根据定义即可判断A、C、D；概率的大小代表
的是事件发生的可能性的大小，从而即可判断B.
3．若x=1是关于x的方程x2−2x+c=0的一个根，则c的值为（ ）
A．−1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：把x=1代入方程x2−2x+c=0得：1−2+c=0，
∴c=1；
故答案为：B．
【分析】把x=1代入方程x2−2x+c=0中即可求出c值.
4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位.则平移
后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
m−1 2 (m−1) 2
【解析】【解答】解： ∵y=x2−(m−1)x+m=(x− ) +m− ，
2 4
m−1 (m−1) 2
∴ 该抛物线顶点坐标是 ( ， m− ) ，
2 4
m−1 (m−1) 2
∴ 将其沿 y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是 ( ， m− −3) ，
2 4
∵m>1 ，
∴m−1>0 ，
m−1
∴ >0 ，
2
(m−1) 2 4m−(m2−2m+1)−12 −(m−3) 2−4 (m−3) 2
∵m− −3= = =− −1<0 ，
4 4 4 4
m−1 (m−1) 2
∴ 点 ( ， m− −3) 在第四象限；
2 4
故答案为： D .
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合 m 的取值范围判断新抛物线的顶点
所在的象限即可.
5．以下说法合理的是（ ）2
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
3
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
1
C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
2
D．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正
1
面朝上的概率还是
2
【答案】D
【解析】【解答】解：小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
2
是错误的，3次试验不能总结出概率，A不符合题意，
3
某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，但不一定有5张中奖，B不符合题意，
1
某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 不正确，中
2
靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，C不符合题意，
小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上
1
的可能性是 ，D不符合题意，
2
故答案为：D.
【分析】概率是等可能事件大量重复试验后，所要关注的事件与试验次数的比值，概率越大表示事件
发生的可能性越大，概率越小表示该事件发生的可能性越小，从而即可一一判断得出答案.
6．如图，以点O为圆心的两个圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的长度
的取值范围是( )
A．8≤AB≤10 B．AB≥8 C．8<AB≤10 D．8<AB<10
【答案】C
【解析】【解答】要求弦AB的长度的取值范围，只需求得弦AB与小圆有公共点时其长度的最小值
和最大值.当AB与小圆相切时，易求得AB=8；当AB过圆心时最长，为大圆的直径10.则弦AB的长度的取值范围是8<AB≤10.故答案为：C
【分析】根据直线与圆的位置关系，要求大圆的弦AB与小圆相交时，弦AB的长度的取值范围，就
是求弦AB与小圆有公共点时其长度的最小值和最大值，即是求AB与小圆相切时，及AB过圆心的
时候的长度，即可得出答案。
7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干
又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 43 ，则这种植物每个支干长出的小分支个
数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】【解答】设这种植物每个支干长出 x 个小分支，
依题意，得： 1+x+x2=43 ，
解得： x =−7 （舍去）， x =6 ．
1 2
故答案为：C．
【分析】根据题意，可列出一元二次方程，解出结果即可。
8．设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边长为c，已知 b=3 ， c=5 ，则 a= （ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：根据勾股定理，得
a=√c2−b2=√52−32=4.
故答案为 : B.
【分析】根据勾股定理，直接计算即可得解.
9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点
E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
π
A．4﹣2π B．8﹣ C．8﹣2π D．8﹣4π
2【答案】C
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD=CB=2，
1
∴S =S ﹣S =2×4﹣ π×22=8﹣2π，
阴影 矩形 半圆 2
故选C．
【分析】用矩形的面积减去半圆的面积即可求得阴影部分的面积．
10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性
质解答．
【解答】由图象开口向上可知a＞0，
b
对称轴x=- ＜0，得b＞0．
2a
所以一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选D．
【点评】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
二、填空题
11．点 P(−2，3) 关于原点对称的点 Q 的坐标为 ．
【答案】(2，−3)【解析】【解答】根据两个点关于原点对称，∴点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣
3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【分析】两个点关于原点对称那么它们的横纵坐标分别互为相反数.
12．如图，在半径为3的⊙O中，随意向圆内投掷一个小球，经过大量重复投掷后发现，小球落在阴
1
影部分的概率稳定在 ，则 A´B 的长约为 ．(结果保留 π )
6
【答案】π
1
【解析】【解答】解：∵ 小球落在阴影部分的概率稳定在 ，
6
∠AOB 1
∴ =
360° 6
∴∠AOB=60°，
60π×3
∴弧AB= =π.
180
故答案为：π.
【分析】利用概率公式可求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式可求出弧AB的长。
13．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球.若每次将球充分搅匀
后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%
左右，则a的值约为 .
【答案】30
6
【解析】【解答】解：由题意可得， ×100%＝20%，
a
解得，a＝30.故答案为：30.
【分析】根据用袋中白色小球的数量除以袋中小球的总数量等于从袋中随机的摸出一个小球是白色小
球的频率列出方程，求解并检验即可.
14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为 ．
【答案】2√6
【解析】【解答】连接OC、OD、OE、OG，作OI⊥EG，
∵正方形ABCD，∴∠COD=90°，
∴OC2+OD2=CD2，
∴2OC2=42，OC= 2√2，
又等边△EFG，∴∠EOG=120°，
∵OI⊥EG，∴∠OIG=90°，∠IOG=60°，
1
∴OGI=30°，OI= OG= √2，
2
∴IG= √OG2−OI2= √6，
∴EG=2IG= 2√6。故答案为： 2√6。
【分析】由正方形的中心角是90°结合勾股定理可求出⊙O的半径，再根据正三角形的中心角，利用
垂径定理结合勾股定理即可求出EG长，即正三角形的边长。
15．如图， △ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知 AB=15 ， AC=9 ， BC=12 ，
阴影部分为 △ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的
概率为 .
π
【答案】
6
【解析】【解答】解： ∵AB=15 ， AC=9 ， BC=12 ，
∴AC2+BC2=AB2 ，
∴△ABC 是直角三角形，如图，设内切圆的半径为r，
1 1 1 1
则 S =S +S +S ，即 AC⋅BC= AC⋅r+ BC⋅r+ AB⋅r ，
△ABC △AOC △BOC △AOB 2 2 2 2
1 1 1 1
∴ ×9×12= ×9⋅r+ ×12⋅r+ ×15⋅r ，
2 2 2 2
解得： r=3 ，
1 1
则 △ABC 的面积为 AC⋅BC= ×9×12=54 ，内切圆的面积为 πr2=9π ，
2 2
9π π
因此，小鸟落在花圃上的概率为 P= =
54 6
π
故答案为： .
6
【分析】 利用勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，如图，连接OA，OB，OC，设内切圆的
半径为r，由S =S +S +S ，求出r值，即可求出内切圆的面积，内切圆的面积比
△ABC △AOC △BOC △AOB
△ABC的面积即得小鸟落在花圃上的概率.
16．已知抛物线y＝ax2的开口向上，且|a|＝4，则a＝ ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2开口向上，
∴a＞0，
∵|a|＝4，
∴a＝4，
故答案为：4．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可得答案。
17．如图,将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A'B',那么点A(-2,5)的对应点A'的坐标是
.【答案】(5,2)
【解析】【解答】解：如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A'作A'F⊥轴于点F，
∴∠AEO=∠A'FO=90°
∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A'B',
∴OA=OA',∠A'OE+∠AOE=90°，
∵∠A'OF+∠A'OE=90°，
∴∠A'OF=∠A'OE
∴△AOE≌△A'OF
∴OF=OE,AE=A'F
∵A(-2,5)，∴OF=OE=5，AE=A'F=2
故点A'的坐标为(5,2)。
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，过点A'作A'F⊥轴于点F，根据旋转的性质得出OA=OA'、
∠A'OE+∠AOE=90°，再根据同角的余角相等证得∠A'OF=∠A'OE，然后根据全等三角形的判定证出
△AOE≌△A'OF，再根据全等三角形的性质及点A的坐标即可求出A'的坐标。
三、解答题
18．用适当的方法解一元二次方程（1）(x−1)2＝4；
（2）(x−3)2＝2x(3−x)；
（3）2x2+5x−1＝0
【答案】（1）解：(x−1)2＝4
x−1=±2
x=±2+1
∴x=－1，x=3；
1 2
（2）解：(x−3)2＝2x(3−x)
(x−3) 2+2x(x−3)=0
(x−3)(x−3+2x)=0
x−3=0 或 3x−3=0
∴x=1，x=3；
1 2
（3）解：2x2+5x−1＝0
a=2，b=5，c=−1
Δ=b2−4ac=25+8=33>0
−b±√Δ −5±√33
∴x= =
2a 4
−5+√33 −5−√33
x= ，x= ．
1 4 2 4
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法接一元二次方程即得；
（2）根据因式分解法接一元二次方程即得；
（3）根据公式法接一元二次方程即得.
19．如图，已知等边 ΔABC，D，E 分别在 BC、AC 上，且 BD=CE ，连接 BE、AD 交 F
点．求证： ∠AFE=60°
【答案】∵△ABC 是等边三角形∴∠ABC=∠C=60° ， AB=BC
在△ABD和△BCE中
{
AB=BC
∠ABC=∠C
BD=CE
∴△ABD≌△BCE
∴∠BAD=∠CBE
∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60° ．
【解析】【分析】根据△ABC 是等边三角形得出∠ABC=∠C=60° ， AB=BC，利用SAS证明
△ABD≌△BCE，得出∠BAD=∠CBE，即可得出结论。
20．二次函数y=ax2+bx+4的部分对应值如表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y=ax2+bx+4 … 4 6 6 4 0 …
（1）求二次函数的解析式，并求其图象的对称轴；
3
（2）点（m，y）、（2-m，y）是其图像上的两点，若m＞ ，则y y(填“＞”、
1 2 2 1 2
“＜”或“=”)
{ a+b+4=6 {a=−1
【答案】（1）解：由题意知： 解得： ，
4a+2b+4=6 b=3
∴y=-x+3x+4；
b 3 3
对称轴x=− =− = ；
2a −2 2
（2）＞
3 3 3
【解析】【解答】解：(2)若m＞ ，则m﹣ ＞2﹣m﹣ ，
2 2 2
3
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝ ，
2
∴y＞y．
1 2
故答案为：＞．
{ a+b+4=6
【分析】（1）根据题意先求出 ，再求出 y=-x+3x+4 ，最后求解即可；
4a+2b+4=6
3 3 3
（2）先求出m﹣ ＞2﹣m﹣ ，再根据抛物线开口向上，对称轴为直线x＝ ，比较大小即可。
2 2 221． “无体育不南开”，我校为了了解初中学生在暑假期间每周的运动时间（单位为小时，简记为
h），随机抽取了部分初中学生进行调查，根据调查结果，绘制成如下不完整的统计图表．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次调查的总人数为 ，扇形统计图中的m＝ ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若从被调查的学生中随机抽取一人，这名学生每周运动时间不足8小时的概率是多少？
【答案】（1）40；25
（2）解：每周的运动时间为7小时的人数为40﹣4﹣8﹣10﹣3＝15，
补全条形图如下：
4+8+15 27
（3）解： ＝ ，
40 40
27
答：从被调查的学生中随机抽取一人，这名学生每周运动时间不足8小时的概率是 ．
40
【解析】【解答】解：（1）本次调查的总人数为4÷10%＝40，
∵10÷40×100%＝25%，
∴m＝25.
故答案为：40，25；
【分析】（1）利用时间为5h的人数除以所占的比例可得总人数，利用8h的人数除以总人数，然后乘以100%可得m的值；
（2）根据总人数求出7h的人数，据此可补全条形统计图；
（3）利用5、6、7h的人数之和除以总人数即可求出对应的概率.
22．如图，利用一面墙(墙EF最长可利用28米)，围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要
预留2米宽的入口(如图中MN所示，不用砌墙)．现有砌60米长的墙的材料．
（1）当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）能否围成480平方米的矩形花园，为什么？
1 1
【答案】（1）解：设矩形花园的长BC为x米，则其宽为 (60－x＋2)米，依题意列方程，得
2 2
(60－x＋2)x＝300.
整理，得x2－62x＋600＝0.
解得x＝12，x＝50.
1 2
∵28＜50，
∴x＝50不合题意，舍去．
2
∴x＝12.
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米．
1
（2）解：由题意得 (60－x＋2)x＝480，整理，得x2－62x＋960＝0.解得x＝32，x＝30.
2 1 2
∵28＜30＜32，
∴x＝32，x＝30均不合题意，舍去．
1 2
答：不能围成480平方米的矩形花园．
【解析】【分析】（1）利用设矩形花园的长BC为x米,用长表示宽，再列出面积的方程，解方程.
（2）由（1）的方程，令其等于480，解方程，求解与已知墙壁比较.
23．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB分别与x轴、y轴交于点A（8，0）、B
（0，－6），动点P的坐标为（a，－a＋1）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连接BP，若直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，求此时P点的坐标．
（3）若连接AP、BP，将△ABP沿着直线AP翻折，使得点P翻折后的对应点落在第四象限，求a
的取值范围．
【答案】（1）解：设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、B（0，－6）代入
得
{8k+b=0
，
b=−6
{ 3
k=
解得 4 ，
b=−6
3
∴直线AB的函数表达式为y＝ x－6；
4
（2）解：∵直线BP将△AOB的面积分成1∶3的两部分，设直线AP交x轴于点M，
∴①若S ∶S =1∶4，则直线BM经过(2，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，
△OBM △AOB
(2，0)代入，得
{ n=−6
，
2m+n=0
{m=3
解得 ，
n=−6
∴直线BM的解析式为y=3x-6，
把P(a，－a＋1)代入，得
3a-6=-a+1，
7
解得a= ，
4
3
∴-a+1= − ，
4
7 3
∴点P的坐标为（ ，－ ）；
4 4
②
若S ∶S =1∶4，则直线BM经过(6，0)，设直线BM的解析式为y=mx+n，把点B(0，－6)，(6，0)
△ABM △AOB
代入，得
{ n=−6
，
6m+n=0
{m=1
解得 ，
n=−6
∴直线BM的解析式为y=x-6，
把P(a，－a＋1)代入，得a-6=-a+1，
7
解得a= ，
2
5
∴-a+1= − ，
2
7 5
∴点P的坐标为（ ，－ ），
2 2
7 3 7 5
综上所述，点P的坐标为( ，－ ）)，( ，－ )；
4 4 2 2
（3）解：如图，
令x=a，y=-a+1，则y=-x+1，
{ 3
y= x−6
∴点P在定直线y=-x+1上运动，联立 4 ，
y=−x+1
{ x=4
解得 ，
y=−3
∵将△ABP沿着直线AP翻折，使得点B翻折后的对应点落在第四象限，
∴a>4，
∵点A（8，0）、B（0，－6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= √62+82=10 ，
当AP为∠BAO外角的角平分线时，点B关于AP的对称点坐标为C(18，0)，
0+18 −6+0
此时AP过线段BC的中点，设线段BC的中点为点D，则点D的坐标为 ( ， ) ，即点
2 2
D(9，-3)，设AP的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（8，0）、(9，-3)代入得
{ 8k+b=0
，
9k+b=−3
{k=−3
解得 ，
b=24
∴AP的解析式为y=-3x+24，
{y=−3x+24
联立 ，
y=−x+1
23
{ x=
2
解得 ，
21
y=−
2
23
∴a< ，
2
23
综上所述，a的取值范围4＜a＜ ．
2
【解析】【分析】（1） 设直线AB的函数表达式为y=kx+b，把点A（8，0）、B（0，－6）代入求
出k、b的值，进而可得直线AB的表达式；
（2）设直线BP交x轴于点M，①若S ：S =1：4，则直线BM经过(2，0)，由待定系数法求
△OBM △AOB
出直线BM的解析式，将P（a，-a+1）代入求出a的值，进而得点P的坐标；②若S ：S =1：
△ABM △AOB
4，则直线BM经过(6，0)，同理可得点P的坐标；
（3）令x=a，y=-a+1，则y=-x+1，联立直线AB的解析式求出x、y，根据点B翻折后的对应点落在
第四象限可知a>4，由勾股定理求出AB，当AP为∠BAO外角的角平分线时，AP过线段BC的中点
D，求出直线AP的解析式，联立y=-x+1求出x、y，据此不难得到a的取值范围.
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC
的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AC=4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连接OD、CD，
∵OC=OD，
∴ ∠OCD=∠ODC，
又∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴△ACD是直角三角形，
又∵点E是斜边AC的中点，
∴EC=ED，
∴ ∠ECD=∠EDC ，
又∵∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°，
∴∠EDC+∠ODC=∠ODE=90°，
∴直线DE是⊙O的切线
（2）解；由（1）得∠ODF=90°，
∵ ∠B=30°，
∴∠DOF=60°，∴∠F=30°，
∵在Rt△ABC中，AC=4，
1
∴AB=8， BC=√AB2−AC2=√82−42=4√3 ， OD= BC=2√3 ， OF=2OD=4√3 ，
2
∴在Rt△ODF中， DF=√OF2−OD2=√48−12=6 ，
1 60
阴影部分的面积 =S −S = ×6×2√3− π×(2√3) 2 =6√3−2π ．
△ODF 扇 形OC2D 360
【解析】【分析】（1）连接OD、CD，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠ODC，根据圆周角定理
得到∠BDC=90°，推出△ACD是直角三角形，根据直角三角形的性质得到EC=ED，求得
∠ECD=∠EDC于是得到结论；
（2）由（1）已知∠ODF=90°，根据直角三角形内角和得到∠DOF=90°，根据直角三角形内角和得到
∠DOF=60°，求得∠F=30°，解直角三角形得到DF的长度，最后利用扇形面积公式计算即可。
25．如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，如图1，等腰△ABC与等腰△ADE中，
∠BAC=∠DAE=α，AB=AC，AD=AE.我们把它们构成的这个图形叫做“手拉手模型”.
（1）【探究模型】如图1，线段BD与线段CE存在怎样的数量关系？请证明你的结论；
（2）【应用模型】如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BC=4 √3 ，点P是BC边的中
点，直线MN经过点P，且与直线BC的夹角为30°，点D是直线MN上的动点，将线段AD绕点A逆
时针旋转90°，得到线段AE，连结DE.
①如图3，当点E落在BC边上时，求C，E两点之间的距离.
②直接写出在点D运动过程中，点C和点E之间的最短距离.
【答案】（1）解：①BD=CE
证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC，AD=AE
∴△DAB≌△EAC∴BD=CE
（2）解：①连结BD
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC=90°-∠DAC
∵等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°
∵旋转得：AD=AE
∴△ADB≌△AEC
∴BD=CE,∠DBA=∠ACE=45°
∴∠DBC=90°
∵∠BPD=30°，BP= 2√3
∴BD=CE=2
②当BD⊥MN时，BD最小= √3
即点C和点E的最小距离为 √3
【解析】【分析】（1）首先由角的和差关系可推出∠BAD=∠CAE，进而证明△DAB≌△EAC，据此
可得BD与CE的数量关系；
（2）①首先证明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，推出∠DBC=90°，然后根据∠BPD=30°，BP=4√3求
出BP、BD的值即可；
②当BD⊥MN时，BD最短，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半可得答案.
