文档内容
第 04 讲 三角函数的伸缩平移变换
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
三角函数图象的综合应用
2023年全国甲卷理数，第10题,5分 无
求图象变化前 (后)的解析式
由正弦(型)函数的奇偶性求参数
2022年全国甲卷文数，第5题,5分 无
求图象变化前(后)的解析式
2022年浙江卷，第6题,5分 描述正(余)弦型函数图象的变换过程 无
2021年全国乙卷理数，第7题,5分 求图象变化前(后)的解析式 无
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
2020年江苏卷，第10题,5分 无
求图象变化前 (后)的解析式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分
【备考策略】1理解并掌握三角函数的图象与性质
2会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换
【命题预测】本节内容是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸
缩平移变换，需加强复习备考
知识讲解1. 三角函数的伸缩平移变换
（1）伸缩变换（ ， 是伸缩量）
振幅，决定函数的值域，值域为 ；
若 ↗，纵坐标伸长；若 ↘，纵坐标缩短； 与纵坐标的伸缩变换成正比
决定函数的周期，
若 ↗， ↘，横坐标缩短；若 ↘， ↗，横坐标伸长； 与横坐标的伸缩变换成反比
（2）平移变换（ ， 是平移量）
平移法则：左 右 ，上 下
（3）三角函数图象的变换
2. 常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与
对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．考点一、 三角函数直接伸缩平移变换
1．（2024·广东揭阳·二模）把函数 的图象向左平移 个最小正周期后，所得图象对应的函数
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先根据正弦型函数的周期计算公式得最小正周期 ；利用函数平移的规律及诱导公式即
得.
【详解】由题意得 的最小正周期为 ，
则所求函数为 .
故选：C
2．（2024·河北保定·三模）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图
象，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦型函数的图象变换直接求得答案.
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得到函数 .
故选：C.
3．（2024·天津·二模）将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图
象，下列结论正确的是（ ）．
A． 是最小正周期为 的偶函数 B．点 是 的对称中心C． 在区间 上的最大值为 D． 在区间 上单调递减
【答案】D
【分析】先由二倍角余弦公式和辅助角公式化简再平移得到 ，由正弦函数的奇偶性得到
A错误；代入 得到B错误；由正弦函数的单调性得到C错误，D正确.
【详解】 ，
向左平移 个单位长度得到函数 ，则 ，
对于A：由以上解析可得 为奇函数，故A错误；
对于B：当 时， ，故B错误；
对于C：因为函数 的递增区间为 ，即 ，
同理得函数 的递减区间为
所以 是 的一个递减区间，
又当 时， ，
所以 ，故C错误；
D：由C的解析可知，所以减区间为 ，
所以当 时可得， 在区间 上单调递减，故D正确；
故选：D.
1．（2024·广西·二模）把函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由图象平移变换写出解析式后判断.
【详解】由题意新函数解析式为 .
故选：A．
2．（2024·福建厦门·三模）将函数 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将 化为正弦型，然后由平移规律可得答案.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：A
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，把 的图象向左平移 个单位长度得到
函数 的图象，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 中心对称
【答案】B
【分析】A选项，由函数的平移变换得到的解析式，可判断出奇偶性；B选项，由A选项求出的解析式求
解对称轴可判断，同时可判断C选项； D选项，代入法可判断对称中心.
【详解】A选项， ，由于 的定义域为R，且 ，
故 为奇函数，故A错误；
B选项，由选项A可知错误 ，
故 的图象的对称轴为 ，即 ，
令 可得 ，即 的图象关于直线 对称，故B正确；
C选项，由由选项B可知不存在 ，使得对称轴为 ，故C错误；
D选项，由选项A可知 ，
故点 不是 图象的中心对称，故D错误.
故选：B
考点 二 、 同名三角函数伸缩平移变换
1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 ，所以把函数 图象上的所有点向右平移
个单位长度即可得到函数 的图象．
故选：D.
2．（2021·全国·高考真题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把
所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 ，
即得 ，再利用换元思想求得 的解析表达式；
解法二：从函数 出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 的解析表达
式.
【详解】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的
图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，
即为 的图象，所以 .
故选：B.
1．（2024·江苏南京·二模）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
（ ）A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】A
【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.
【详解】 ，
则把函数 图象上所有的点向左平移 个单位即可，
故选：A.
2．（2024·陕西汉中·二模）函数 的图象如图所示， 为图象上两点，
对于向量 ，为了得到 的图象，需要将 图象上所有点的坐标（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位
C．横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位
D．横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位
【答案】D
【分析】根据图象及题设条件，求出 ，从而得到 ，再利用图象的平移变换，即可求
出结果.
【详解】设 的最小正周期为 ，如图，易知 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，得到 ，所以 ，即 ，又由图象知， 过点 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，得到 ，
为了得到 的图象，需要将 图象上所有点的坐标横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），
再向右平移 个单位，
故选：D.
考点 三 、 异名三角函数伸缩平移变换
1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图
象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】B
【分析】根据诱导公式把函数化为同名函数，结合函数图象变化规则即可求解.
【详解】因为
，
则向左平移 个单位后得 ，
故选：B.
2．（23-24高三下·上海黄浦·阶段练习）要得到函数 的图象，只需将函数 的图
象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
C．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度D．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
【答案】C
【分析】利用三角函数伸缩平移的性质即可得解.
【详解】要得到函数 的图象，
需先将函数 的图象上所有的点横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
从而得到 ，从而排除BD；
对于A，再向右平行移动 个单位长度，
得 ，显然不满足题意，故A错误；
对于C，再向左平行移动 个单位长度，
得 ，故C正确.
故选：C.
3．（2023·全国·模拟预测）若函数 的图象向左平移 个单位长度后，其图象与
函数 的图象重合，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数图象的平移变换，代入计算即可.
【详解】由题可得 的图象与函数 的图象重合，
则 ，即 ， ，
解得 ， ，故 的值可以为 .
故选：D．1．（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）为了得到 的图象，只要把 的图
象向左平移（ ）个单位长度
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象变换结合诱导公式逐项分析判断.
【详解】对于选项A：若把 的图象向左平移 个单位长度，
可得 ，
不合题意，故A错误；
对于选项B：若把 的图象向左平移 个单位长度，
可得 ，
符合题意，故B正确；
对于选项C：若把 的图象向左平移 个单位长度，
可得 ，
不合题意，故C错误；
对于选项D：若把 的图象向左平移 个单位长度，
可得 ，
不合题意，故D错误；
故选：B.
2．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点
（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数 的图象变换规律，得出结论．【详解】 ，
由诱导公式可知：
又
则 ，即只需把图象向右平移 个单位.
故选：A
3．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设函数 ，将函数 的图象先向右
平移 个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与 图象重合，则
（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【分析】利用逆向变换，将函数 的图象先横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移
个单位长度，得到 ，即可求解.
【详解】可以先将函数 的图象先横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，函数解析式变为
，
再向左平移 个单位长度，得到 的图象，
又 ，所以 ， ，
故选： ．
考点 四 、 三角函数伸缩平移变换求参数值
1．（2024·广东梅州·二模）若把函数 的图象向左平移 个单位后得到的是一个偶函数，
则 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数平移可得平移后的解析式 ，根据 ，即可由和差角
公式化简求解．
【详解】把函数 的图象向左平移 个单位后得到 ，
，
则 ，
即 ，
即 ，该方程对任意 恒成立，
则 ，解得 ．
故选：C．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 （ ）向左正移 个单位后在区间 上
单调递增，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案.
【详解】函数 向左平移 个单位后为 ，
当 时， ，
∵ 单调递增，
所以 ，即 ，
可得 ，
又 ，∴ .
故选：B.3．（2024·陕西榆林·三模）将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数
图象关于 对称，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据平移变换的原则求出变化后的函数解析式，再根据余弦函数的对称性即可得解.
【详解】由函数 ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数 ，
又由 图象关于 对称，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 .
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将函数 的解析式变形为同名三角函数，然后根据三角函数图象的平移变换法则求解．
【详解】依题意，函数 ，把 的图象向右平移 个单位长度，
得 的图象，而 ，
于是 ，而 ，则 ， ，
所以 的最小值为 .
故选：B5．（2024·四川南充·二模）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的
图象，则曲线 与直线 的所有交点中，相邻交点距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象变换得 ，再解方程求解可得答案．
【详解】函数 的图象向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象， ，
令 ， ，
则 ， ，或 ， ，
即 ， ，或 ， ，
可得 ， ， ， ，
， ， ， ，
相邻交点距离的最小值为 ．
故选：A．
6．（2024·山西晋城·二模）将函数 的图象向右平移 （ ）个单位长度，得到函数
的图象，若函数 在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得 ，由 在 上有2个零点得
，解之即可求解.
【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得 的图象， 由 ，得 ，又 在 上有2个零点，所以 ，
解得 ，即实数 的取值范围为 .
故选：C
1．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数 的图象向右平移φ个单位长度得到函数
的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式，结合三角函数平移的性质即可求解.
【详解】因为 ，其中 ，
因为 的图象向右平移φ个单位长度得到函数 ，
所以 ，所以 .
故选：A.
2．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）将函数 的图象向左平移 个单位长度后
得到的函数为奇函数，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得 ，再由 为奇函数，求得
，进而得到 取得最小值.
【详解】由函数 ，将函数 的图象向左平移 个单位长度后，
得到函数 ，
又由 为奇函数，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值，最小值为 .故选： .
3．（2024·四川成都·三模）将函数 的图象向左平移 个单位后，与函数
的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据图象变换可得 ，根据题意结合诱导公式可得 ，运算
求解即可得结果.
【详解】将 的图象向左平移 个单位，得到
，
则 ，所以 ， ，又 ，
所以 的最小值为3.
故选：C.
4．（2024·贵州黔东南·二模）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数
的图象，若 在区间 上的最大值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过平移变换求出 的解析式，由 求出 的范围，找出 时，
最大，进而求解.
【详解】由题意得 .
因为 ，所以 .因为 ，即 所以 .
故选： .
5．（2024·浙江丽水·二模）将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图
象，若对满足 的 ，有 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象的平移可得 ，利用三角函数的最值，求出自变量 ， 的值，
然后判断选项即可，
【详解】因函数 的最小正周期为 ，
将 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，
若对满足 的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有 ，
不妨 ，则 ，即 在 取得最小值，
当 时， ，
此时 ， ， ，不合题意 ，
当 时， ，
此时 ， ， ，当 ， 满足题意，
故选：A，
考点 五 、 三角函数伸缩平移变换的综合应用
1．（2024·天津河西·三模）已知函数 （其中 ， ），当
时， 的最小值为 ， ，将 的图象上所有的点向右平移 个
单位长度，所得图象对应的函数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由条件可得 的最小正周期为 ，即可求得 ，再由条件可得直线 是函数 的一条对称轴，从而可得 ，再结合三角函数的平移代入计算，即可得到结果.
【详解】由 可得 ，
因为 时， 的最小值为 ，
所以 的最小正周期为 ，且 ，所以 ，解得 ，
即 ，
又 ，可得直线 是函数 的一条对称轴，
所以 ，解得 ，
又 ，当 时， ，即 ，
将 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数为 ，
则 .
故选：B
2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数
的图象，若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数平移变换原则可得 ，采用整体代换的方式，结合正弦函数单调性可构造不等式
组求得 的范围，结合 和 进行讨论即可求得结果．
【详解】由题意知： ，
当 ， 时， ，
在 ， 上单调递增， ， ；若 ，则 ， ，此时 ，
又 ，
，
；
若 ，则 ， ，此时 ，
与 矛盾，不合题意；
综上所述：实数 的取值范围为 ．
故选： ．
3．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知 是 图象的两条相邻对称
轴，将 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象.若 在 上有唯一的零点，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意先求出 ，令 ，解得 ，再利用条件即可求出
结果.
【详解】由题意可知， 的最小正周期为 所以 ，
则 ， 所以 ，则 ，
由平移可知， ，
令 ，解得 ，
令 ，得到 ；令 ，得到 ；
又 在 上有唯一的零点，则 ，解得 ，故选：A.
1．（2023高三·全国·专题练习）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的
横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到 的图象，则（ ）
A． B． 是 图象的一条对称轴，
C． 是 图象的一个对称中心 D． 在 上的最大值为
【答案】C
【分析】先由三角函数图象变换规律求出 的解析式，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可
【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 ，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得 ，
对于选项A： ，所以A不正确，
对于选项BC：因为 ，
所以 是 图象的一个对称中心，所以B不正确，C正确；
对于选项D：由 ，得 ，
所以当 时， 取得最大值 ，所以D不正确；
故选：C.
2．（23-24高三上·安徽·阶段练习）设 ，将 的图像向右平移 个单位，得到 的图像，
设 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平移得到 的解析式，根据 得到 的解析式，根据三角变换公式以及的增减性最后得到 的最大值.
【详解】 将 的图像向右平移 个单位，得到 的图像，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
∴ ，
令 ， ,
，
易知 在 单调递增，即 在 单调递增，
∴ 在 单调递减，
∴当 时， 最大值为 ，
故答案为：B.
【点睛】关键点点睛：关键在于利用通分以及 对 化简，以及观察 的单调性.
3．（2021·全国·模拟预测）已知把函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横
坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 的图象，若 ，若 ， ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先化简函数 ，然后根据图像的变换得函数 的解析式，通过判断得 ， 同时令 取
得最大值或最小值时， ，再结合函数 的图像，即可求得 的最大值.
【详解】
．将图象向右平移至 个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 ，可得 ，
所以 ， ，
∴ ， 同时令 取得最大值或最小值时， ．当 ， 时，
，
根据函数的图象可知 的最大值为 个周期的长度，即
故选：C.【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利
用降幂公式对函数进行降次处理，最后利用辅助角公式代入化简，最终将解析式化为 的形
式.
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，
则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出平移后的解析式，再代值求解即可.
【详解】由题意可得 ，则 ．
故选：B
2．（2024·山东·二模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数 的最大值是
B．函数 在 上单调递增
C．该函数的最小正周期是
D．该函数向左平移 个单位后图象关于原点对称
【答案】B【分析】根据题意，化简函数 ，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数 ，
可得最大值是2，最小正周期是 ，所以选项A，C错误；
当 ，可得 ，根据正弦函数的性质，
可得函数 在 上单调递增，所以B正确；
将函数 图象向左平移 得到函数 ，
此时函数 的图象不关于原点对称，所以D错误.
故选：B．
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数 的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左
平移 个单位长度，得到函数 的部分图象如图所示，则函数
的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由图象可得最小正周期，可求 ， ，点 的坐标代入函数 的解析式，可求解析
式，进而利用图象变换可求函数 的解析式.
【详解】由图像可得 ，函数 的最小正周期为 ，所以 ，将点 的坐标代入函数 的解析式，
且函数 在 附近递增，所以 .
则 ，
得 .因为 ，所以当 时， ，
因此 .
函数 的图象向右平移 个单位长度，然后横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，
得到函数 的解析式为 .
故选：B.
4．（2024·山东泰安·二模）已知函数 ，将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的
一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数 的图象，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 的图象关于点 中心对称 D． 在 上的值域为
【答案】C
【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得 ，结合正弦函数的图象与性质，依次判断选
项即可.
【详解】A：将 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，
得到函数 ，故A错误；
B：由选项A可知 ，
由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故B错误；
C：由选项A可知 ，则 ，所以函数 图象关于点 中心对称，故C正确；
D：由选项A可知 ，由 ，得 ，
所以 ，则 ，即 的值域为 ，故D错误.
故选：C
5．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到
函数 的图象，则（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 在 上的最小值为 D．直线 是 图象的一条对称轴
【答案】D
【分析】由平移变换内容得 可判断A；求出 的增区间可判断B；依据 的范
围即可求出 的值域即可判断C；根据对称轴方程求解 的对称轴方程即可判断D.
【详解】对于选项A，由题意，可得 ，
故A错误；
对于选项B，令 ， ，
所以 在 上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为 ，所以 ，故 ，
在 上的最小值为0，故C错误；
对于选项D，函数 的对称轴方程为 ，
化简可得 ，取 ，可得 ，
所以 是 图象的一条对称轴，故D正确.
故选：D.6．（2024·湖北·二模）将函数 的图象上每一点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向
右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间 上单调递减 B．在区间 上单调递增
C．在区间 上单测递减 D．在区间 上单调递增
【答案】B
【分析】根据三角函数图象的变换及性质判定选项即可.
【详解】函数 的图象上每一点的横坐标变为原来的 得 ，
再向右平移 个单位长度得 ，
即 ，
由 ， 得增区间为 ， ．
当 时，一个增区间为 ，而 ，所以B正确.
故选：B
二、多选题
7．（2024·安徽合肥·三模）已知 是函数 的两个零点，且 的最小值是
，则（ ）
A． 在 上单调递增
B． 的图象关于直线 对称
C． 的图象可由 的图象向右平移 个单位长度得到
D． 在 上仅有1个零点
【答案】ABD
【分析】依题意可得 的最小正周期 ，即可求出 ，从而得到 解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】由题意可知，函数 的最小正周期 ， ， ．
对于 ，当 时， ，
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，故A正确；
对于B，因为 ，
所以 的图象关于直线 对称，故B正确；
对于C，将 的图象向右平移 个单位长度得到：
，故C错误；
对于D，当 时， ，仅当 ，即 时， ，
即 在 上仅有1个零点，故D正确．
故选：ABD．
8．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数 ，将函数 的图像横坐标缩短为原
来的 倍，再向左平移 单位，得到函数 .则下列结论中正确的是（ ）
A． 为偶函数
B．不等式 的解集为
C． 在 上单调递增
D．函数 在 的零点为 且 ，则
【答案】BD
【分析】由三角恒等变换化简 解析式，由解析式判断 的奇偶性得A选项结果；由函数图像
变换得函数 解析式，由解析式解决不等式单调区间和零点问题判断选项BCD.【详解】 ，
，为奇函数，A选项错误；
函数 的图像横坐标缩短为原来的 倍，得函数 的图像，
再向左平移 单位，得到函数 的图像，
若 ，即 ，
则有 ，解得 ，B选项正确；
时， ， 不是正弦函数的单调递增区间，C选项错误；
时，有 ，函数 在 的零点为 ，
则有 ， ， ，
所以 ，D选项正确.
故选：BD
三、填空题
9．（2024·青海西宁·模拟预测）将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不
变，得到函数 的图象，则 的最小正周期为 ， .
【答案】 /
【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得 ，结合 和求出 即可求解.
【详解】由题意知， ，
则 的最小正周期 ，
.
故答案为： ；10．（2024·江苏·模拟预测）将函数 图象上的每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标
不变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象关于 轴对称，写出一个符合条件的 的值
.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】由函数平移、伸缩变换法则得新函数表达式，结合三角函数奇偶性即可列式求得参数 的值.
【详解】将函数 图象上的每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象对应的解析式为
，
由题意 的图象关于 轴对称，
所以 ，解得 ， ，令 ，得 .
故答案为： （答案不唯一）.
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·三模）将函数 的图象向左平移 个单位长度，所得图象关于
原点对称，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的图象变换，整理变换之后的函数解析式，结合三角函数的奇偶性，可得答案.
【详解】由题意可知函数 的图象关于原点对称，
则 ，整理可得 ，
当 时， .
故选：D.
2．（2024·山东·二模）将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，若 为 图象的一条对称轴，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题先根据三角函数图像平移的规则求出 ，再根据正弦函数的对称轴求出 和整数k的关系
式，再对k取值即可求解.
【详解】由题意得： ，
又因为 是 的一条对称轴，
所以 ，
即 ，下面结合选项对整数k取值（显然k取负整数）：
时， ；
时， ；
时， ；
时， .
故选：B.
3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数 的图象向左平移 个单位后得到
的图象，若 是 的一个零点，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依题利用平移变换得到方程 ，从中求得 ，将其代
入另一条件，整理得 即可判断结果.
【详解】依题意， ，则 ，解得 ；又 即得 ， ，
则得 ，即 ， .
故选：B.
4．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 ，先将函数 的图象向右平移 个单位
长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数 的图象．若函数
的图象关于y轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的图象变换，得到 ，由 的图象关于y轴对称，求得
，得到 ，进而求得 的值，得到答案.
【详解】先将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到 的图象，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到 的图象，
因为函数 的图象关于y轴对称，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ．
故选：C．
5．（2024·江西景德镇·三模）函数 在 内恰有两个对称中心， ，将函数
的图象向右平移 个单位得到函数 的图象.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据y轴右边第二个对称中心在 内，第三个对称中心不在 内可求得 ，结合
可得 ，再利用平移变换求出 ，根据三角变换化简 可得 ，
然后由二倍角公式可解.
【详解】由 得 ，
因为函数 在 内恰有两个对称中心，所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 ，
即 ，
因为
，
所以 .
故选：A
6．（2024·广东广州·模拟预测）若将函数 的图象先向左平移 个单位长度，再将图象上所有
点的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，若关于 的方程 在 内
有两个不同的解 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由三角函数的伸缩和平移变化得到 ，再根据条件得到 ，即可求出
结果.
【详解】由函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的 ，
得到函数 的图象，
因为 ，所以 ，
由 ，可得 ，
所以 ，得到 ，
所以 ，
故选：D.
二、多选题
7．（2024·山东菏泽·模拟预测）将函数 的图象向下平移1个单位长度，再向右平移
个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图象关于 对称
C． 的图象关于 对称 D． 的单调递增区间为
【答案】AB
【分析】首先将 化简，再利用平移得到 的解析式，利用 可判断A；判断 是否对应函
数的最值可判断B；判断 是否为函数的零点可判断C；利用 得函数的
增区间可判断D.
【详解】 ，
将 的图象向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度，
得到 ，
对于A， 的最小正周期为 ，故A正确；
对于B， 为最大值，所以 的图象关于 对称，故B正确；
对于C， ，
所以 不是 的对称中心，故C错误；
对于D，因为 ，所以 ，
所以单调递增区间为 ，D错误.
故选：AB.
三、填空题
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 ， 的部分图象如图所示．若将
函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象．若函数 为奇函数，则 的最小值
是 ．
【答案】 /
【分析】根据给定条件，求出函数 的解析式，进而求出 的解析式，再利用正弦函数的性质列式计
算即得.
【详解】由函数的图象知， 的周期 ， ，
又 ，解得 ，而 ，则 ，
于是 ， ，
由函数 为奇函数，得 ，而 ，则 ，
所以当 时， .
故答案为：9．（2024·四川南充·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到
函数 的图象，若 是 的一个单调递增区间，则方程 在 上实数根的个数为
.
【答案】5
【分析】根据三角函数图象变换规律求出 ，再由 是 的一个单调递增区间，可求出 的值，
从而可求出 的解析式，再由 得 ，然后由 求解即可.
【详解】因为将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，
所以 ，
所以 的最小正周期为 ，
所以 是 的半个周期，
因为 是 的一个单调递增区间，所以 ，
所以 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，
由 ，得
，或 ，或 ，或 ，或 ，
所以方程 在 上实数根的个数为5，
故答案为：5
10．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 的图象向左平移 个单位长度得到
的图象，则 ．【答案】
【分析】把 都化为 形式，然后结合图象平移变换知识得出 的表示，再利用两角
和或差的余弦公式求解．
【详解】由已知 ，其中 ， 为锐角，
又 ，其中 ， ， 为锐角，
都为锐角，且 ，因此 ，
要把 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象，则 ，
，
故答案为： ．
1．（2023·全国·高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个单位长度得到，
则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 ，再作出 与 的部分大致图像，考
虑特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【详解】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
2．（2022·全国·高考真题）将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，
若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求出 的最小值.
【详解】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则
，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
3．（2022·天津·高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确；
令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正确；因为
， ，所以 ，③不正确；
由于 ，所以 的图象可由 的图象向右平移 个单
位长度得到，④不正确．
故选：A．
4．（2020·天津·高考真题）已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为 ，所以周期 ，故①正确；，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，
故③正确.
故选：B.
【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是
一道容易题.
5．（2020·江苏·高考真题）将函数y= 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y
轴最近的对称轴的方程是 .
【答案】 /
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.
【详解】
当 时
故答案为：
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．（2019·天津·高考真题）已知函数 是奇函数，将 的图像
上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期
为 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】只需根据函数性质逐步得出 值即可．
【详解】因为 为奇函数，∴ ；
又
， ，又∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 ．
7．（2018·天津·高考真题）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
【答案】A
【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
【详解】由函数图象平移变换的性质可知：
将 的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为：
.
则函数的单调递增区间满足： ，
即 ，
令 可得一个单调递增区间为： .
函数的单调递减区间满足： ，
即 ，
令 可得一个单调递减区间为： ，本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
8．（2017·全国·高考真题）已知曲线C ：y=cos x，C ：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是
1 2
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1
到曲线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得
1到曲线C
2
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1
到曲线C
2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
【答案】D
【详解】把C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把
1
得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）=sin（2x+ ）
的图象，即曲线C ，
2
故选D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以
也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 函数 是奇函
数 ；函数 是偶函数 ；函数
是奇函数 ；函数 是偶函数
.
9．（2016·四川·高考真题）为了得到函数y=sin 的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点
A．向左平行移动 个单位长度
B．向右平行移动 个单位长度
C．向上平行移动 个单位长度
D．向下平行移动 个单位长度
【答案】A
【详解】试题分析：为得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点向左平行移
动 个单位长度，故选A.
【考点】三角函数图象的平移【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，函数 的图象向右平移 个单位长度得 的
图象，而函数 的图象向上平移 个单位长度得 的图象．左、右平移涉及的是 的变化，
上、下平移涉及的是函数值 的变化．
10．（2016·全国·高考真题）若将函数 的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到
，由 ，得 ，即平移后的函数的对称轴方
程为 ，故选C．
