文档内容
第 04 讲 平面向量系数和（等和线、等值线）问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（5 类核心考点精讲精练）
平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。
平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，
往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共
线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数
形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用
知识讲解
如图， 为 所在平面上一点，过 作直线 ，由平面向量基本定理知：
存在 ，使得下面根据点 的位置分几种情况来考虑系数和 的值
①若 时，则射线 与 无交点，由 知，存在实数 ，使得
而 ，所以 ，于是
②若 时，
（i）如图1，当 在 右侧时，过 作 ，交射线 于 两点，则
，不妨设 与 的相似比为
由 三点共线可知：存在 使得：
所以
（ii）当 在 左侧时，射线 的反向延长线与 有交点，如图1作 关于 的对称点 ，由
（i）的分析知：存在存在 使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中 用 线性表示时，其系数和 只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。
因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过 作 边的垂线 ，
设点 在 上的射影为 ，直线 交直线 于点 ，则 ( 的符号由点 的位置确定)，因
此只需求出 的范围便知 的范围
考点一、 “ x + y ”或“ λ + μ ”型综合
1．（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 =+ ，则 + 的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
【答案】A
【法一：系数和】，分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 与圆相切时， 最大，此时
故选 .
【法二：坐标法】详见解析版
2，（衡水中学二模）边长为2的正六边形 中，动圆 的半径为1，圆心在线段 (含短点)上
运动， 是圆 上及其内部的动点，设向量 ，则 的取值范围是（
）
分析:如图，设 ，由等和线结论， .此为 的最小值；
同理，设 ，由等和线结论， .此为 的最大值.
综上可知 .1. 在矩形 中， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上，
若 ，则 的最大值为( )
2. 如图，正六边形 ， 是 内（包括边界）的动
点，设 ，则 的取值范围是 ____________
3. 如图在直角梯形 中， ， ， ，动点 在以 为圆
心，且与直线 相切的圆内运动，设
则 的取值范围是____________
3．在 中， ， ， ，M是 外接圆上一动点，若 ，则
的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．24．（22-23高三上·江苏苏州·阶段练习）在 中， ， ， ，点 在该三角形的内切
圆上运动，若 （ ， 为实数），则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高一下·广东珠海·期末）在 中， ， ， ， 是 的外接圆上的
一点，若 ，则 的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
考点二、 “ + ”或“ + ”型综合
1. 已知 是 内一点,且 ,点 在 内(不含边界),若 ,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
2. 已知 为边长为 2的等边三角形，动点 在以 为直径的半圆上.若 ，则
的取值范围是__________
3. 若点 在以 为圆心,6为半径的弧 上,且 ,则 的取值范围为______
4. 设长方形 的边长分别是 ,点 是 内(含边界)的动点,设 ,
则 的取值范围是_________1．在矩形ABCD中， ， ，P为矩形内一点，且 若 ，则
的最大值为
A． B． C． D．
2．（2023·安徽淮南·一模）已知 是 的重心，过点 作直线 与 ， 交于点 ，且
， ， ，则 的最小值是
A． B． C． D．
3．已知 是 内一点，且 ，点 在 内（不含边界），若 ，
则 的取值范围是
A． B． C． D．
4．（22-23高三上·江苏南通·开学考试）在 中， ， ，过 的外心O的直线
(不经过点 )分别交线段 于 ，且 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点三、 “ - ”或“ - ”型综合
1. 如图,已知 为锐角三角形 的外心, ,且 ,求 的取值范围？1．（2023·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中， ， ，动点P在以点C为圆心且与BD相切
的圆上.若 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C．-1 D．
考点 四 、 “ - ”或“ - ”型综合
1．（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形 中， ， ∥ ， ，
，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为 ，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若
，其中 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·安徽六安·高三阶段练习）在直角梯形 中， ， ∥ ， ，
、 分别为 、 的中点，点 在以 为圆心， 为半径的圆弧 上变动，（如图所示），若
，其中 ，则 的取值范围是 ．
1．（2023·四川·校联考三模）在直角梯形 中， ， ， ， ，
分别为 ， 的中点，以 为圆心， 为半径的半圆分别交 及其延长线于点 ， ，点 在上运动（如图）.若 ，其中 ， ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
考点 五 、 系数和（等和线）的综合应用
1．如图所示， ABC中，AC＝3，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于
点P，且PN＝2PM，则 ABC面积的最大值为 ．
△
△
5．5．2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦
图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知 为线段
的中点，设 为中间小正方形 内一点（不含边界）.若 ，则 的取值范围为
.
3．（2023·黑龙江哈尔滨·一模）如图，椭圆 与双曲线 有公共
焦点 ， ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，点 为两曲线的一个公共点，且 ，则 ； 为 的内心， 三点共线，且 ， 轴上点
满足 ， ，则 的最小值为 ．
1．（2024高三·全国·专题练习）在 中，三个内角分别为A，B，C， ， ， ，H
为 的垂心．若 ，则 ．
2．（22-23高二下·广东汕尾·期末）如图，在 中，点D在线段 上，且 ，E是 的中
点，延长 交 于点H，点 为直线 上一动点（不含点A），且 （ ）．若
，且 ，则 的面积的最大值为 ．
3．（20-21高一·江苏·课后作业）已知△ABC中， ，若点P为四边形
AEDF内一点(不含边界)且 ，则实数x的取值范围为 .
1．（2023高三·全国·专题练习）在正方形 中， 与 交于点 ， 为边 上的动点（不含端点）， ，则 的最小值为 .
2．（2023高三·全国·专题练习）如图，四边形 是边长为1的正方形，点D在 的延长线上，且
，点P是 (含边界)的动点，设 ，则 的最大值为 ．
3．（22-23高一下·四川眉山·阶段练习）已知点G是 的重心，过点G作直线分别与 两边相交
于点M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设 ， ，则 的最小值为
．
4．（2023高三·全国·专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若
，则2x＋2y的最大值为
5．（2023高三·全国·专题练习）如图，在 中， 为边 上不同于 ， 的任意一点，点 满足
.若 ，则 的最小值为 .
6．（22-23高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，四边形 是边长为1的正方形，延长CD至
E，使得 ．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，
．则 的取值范围为 ．7．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形 的边长为2，中心为 ，四个半圆的圆心均为正方形
各边的中点（如图），若 在 上，且 ，则 的最大值为 ．
8．（23-24高一下·天津·期中）如图，在 中， 与BE交于点 ，
，则 的值为 ；过点 的直线 分别交 于点 设
，则 的最小值为 .
9．（21-22高三上·河南郑州·阶段练习）如图，在扇形 中， ， ，点 为
的中点，点 为曲边 区域内任一点（含边界），若 ，则 的最大值为 ．
10．（22-23高三下·上海宝山·开学考试）如图所示， ，圆M与AB，AC分别相切于点D，E，
AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且 ，则 的取值范围是
11．（2024高三下·全国·专题练习）如图，平面内有三个向量 ， ， ，其中 ，，且 ， ，若 ，则 .
12．（22-23高二上·上海宝山·阶段练习）设点 在以 为圆心，半径为1的圆弧 上运动（包含 、
两个端点）， ，且 ，则 的取值范围为 .
13．（19-20高一上·黑龙江牡丹江·期末）如图，扇形的半径为1，圆心角 ，点P在弧BC上运
动， ，则 的最大值为 .
14．（22-230高三上·浙江台州·期末）如图，已知正方形 ，点E，F分别为线段 ， 上的动点，
且 ，设 （x， ），则 的最大值为 .
15．（22-23高三·浙江·阶段练习）已知 ， 与 所成角为 ，点P满足 ，若
，则 的最大值为 .
16．（22-23高一下·重庆万州·期中）如图，在 中， ，点 在线段 上移动（不含端
点），若 ，则 的取值范围是 ．17．（21-22高三下·浙江杭州·阶段练习）已知正三角形 的边长为2，D是边 的中点，动点P满足
，且 ，其中 ，则 的最大值为 ．
18．（22-23高一下·湖北孝感·期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书
作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形
再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形
与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 ，若 ，则 的
值为 .
19．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都
能给人以美感，激发学生对数学的兴趣.如图，在菱形 中， ，以菱形 的
四条边为直径向外作四个半圆， 是这四个半圆弧上的一动点，若 ，则 的最大值为
.
20．（23-24高一下·安徽宿州·期中）由三角形内心的定义可得：若点 为 内心，则存在实数 ，使
得 .在 中， ，若点 为 内心，且满足 ，
则 的最大值为 .
