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25.2 用列举法求概率
考点一 用列举法求概率
一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性
都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）= 。
考点二：用列表发求概率
当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结
果，通常用列表法。
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能
的次数和方式，并求出概率的方法。
考点三：用树形图求概率
当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的
结果，通常采用树形图。树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。
（1） 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。
（2） 在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。
题型一：列举法求概率
1．（2022·河北·保定市第十七中学九年级期中）孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗
传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传
粉，获得的子二代豌豆由 、 、 三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D的概率是（
）
A． B． C． D．2．（2022·全国·九年级）张华的哥哥在香港工作，今年“五·一”期间，她想让哥哥买几本科技书带回家，于是发
短信给哥哥，可一时记不清哥哥手机号码后三位数的顺序，只记得是0，2，8三个数字，则张华一次发短信成功
的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·九年级专题练习）9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背
面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型二：游戏的公平性
4．（2022·全国·九年级单元测试）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在
玩抢凳子游戏，要求他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是
在 （ ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
5．（2021·江苏·九年级专题练习）甲、乙两人分别投掷一枚质地均匀的正方体骰子，规定掷出“和为7”算甲赢，
掷出“和为8”算乙赢，这个游戏对甲乙双方（ ）
A．对甲有利 B．公平 C．对乙有利 D．无法确定
6．（2021·江苏·九年级专题练习）一个不透明的箱子中放有红色、黄色、黑色三种小球，三个人先后去摸球，一
人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出红色、黄色小球得0分，摸出黑色小球得1分，得分高者获胜，
则这个游戏（ ）
A．公平 B．不公平 C．先摸者赢的可能性大 D．后摸者赢的可能性大
题型三：列表法或者树形图求概率
7．（2022·陕西师大附中九年级期中）为了激发广大学生的爱国主义情怀，某校9月开展了“喜迎二十大、永远跟
党走、奋进新征程”主题教育活动，活动方式有：A．书法，B．手抄报，C．唱响经典红歌，D．爱国主题演讲．
各班班长代表班级通过抽签的方式确定本班的活动方式，抽签规则如下：将正面分别写有字母 ， ， ， 的
四张卡片（除了正面字母不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀，先由一位班长随机抽取一张卡片，这张卡片的
字母表示的是本班的活动方式，然后将卡片放回，洗匀，再由下一位班长抽取．已知小明和小颖分别是两个班的
班长．
(1)小明抽到的活动方式是“C．唱响经典红歌”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，求小明与小颖抽到同一种活动方式的概率．
8．（2022·重庆第二外国语学校九年级期中）某中学毕业班学生1120人，现抽取240名学生对四个项目中A长跑、B跳绳、C足球、D实心球的售好进行抽样调查调查结果如图．
(1)补全条形图；
(2)依据本次调查的结果，估计全体1120名学生中最喜欢A长跑的人数；
(3)现从喜欢长跑的学生中选取两人作为领跑员，符合条件的有甲乙两名男生和丙丁两名女生，从这四人中任选两
人，请用画树状图或列表的方法求出刚好选中甲和丁的的概率．
一、单选题
9．（2023·广东·东莞市东华初级中学九年级期中）将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，出现向上点数之和为4
的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·云南楚雄·九年级期中）有五张卡片的正面分别写有“喜”“迎”“二”“十”“大”，五张卡片洗匀
后将其反面朝上放在桌面上，小明从中任意抽取两张卡片，恰好是“二十”的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校九年级阶段练习）某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为
黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则
乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．2
12．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）疫情期间，某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和
“居民安全出行”的情况进行抽查．若这两个检查组在辖区内的某三个小区中各自随机抽取一个小区进行检查，
则他们恰好抽到同一个小区的概率是（ ）A． B． C． D．
13．（2022·广东·丰顺县东海中学九年级阶段练习）宋代陆游所作的哲理诗《冬夜读书示子聿》有如下四句：
①纸上得来终觉浅；②少壮工夫老始成；③绝知此事要躬行；④古人学问无遗力．
这四句诗歌的顺序被打乱了，兰兰想把这几句诗歌调整为正确的顺序，则她第一次就调整正确的可能性大小是（
）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·九年级专题练习）下列事件中可作为机会均等的结果的事件来计算概率的是（ ）
①某篮球运动员投篮一次命中目标；②抛一枚图钉，钉尖朝上；③一副扑克牌（去掉大小王）中任抽一张是红桃；
④号码由1，2，3三个数字组成的内线电话，任意拨其中的三个数字电话接通
A．②③④ B．②③ C．③④ D．①②③④
15．（2022·广东·九年级单元测试）小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，随机选择自主阅读、体育
活动、科普活动三项中的某一项，那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·广东顺德德胜学校九年级阶段练习）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏:分别转动两个转
盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色，即可配成紫色(若指针指在分界线上，则重转)，则配成紫色的概率为
（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·广东·深圳市龙岗区布吉街道可园学校九年级阶段练习）有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其
中两张的正面印有“冰墩墩”的图案，另外两张的正面印有“雪容融”的图案，现将它们背面朝上，洗匀后排列
在桌面，任意翻开两张，那么两张图案相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）颖颖从家去体育馆需要经过两个红绿灯，如果每个红绿灯可直接
通过和需等待的概率相同，那么颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的概率是（ ）A． B． C． D．
19．（2022·全国·九年级单元测试）把分别画有“冰墩墩”、“雪融融”的两张形状、大小相同的图片，全部从中
间剪成相同的两段，再把这四张形状相同的小图片混合在一起，从这四张图片中随机抽出两张，则这两张小图片
恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片的概率为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·全国·九年级单元测试）如图，湖边建有 ， ， ， 共4座凉亭，某同学计划将这4座凉亭全部参
观一遍，从入口处进，先经过凉亭 ，接下来参观凉亭 或凉亭 （已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留），
则最后一次参观的凉亭为凉亭 的概率为（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·浙江温州·九年级阶段练习） 张背面相同的卡片，正面分别写有不同 ， ， ， ， 中的一个正整
数．现将卡片背面朝上．
(1)求从中任意抽出一张，正面的数是偶数的概率．
(2)连续摸出 张卡片（不放回），已知前 张正面的数分别为 ， ．求摸出的 张卡片的数的总和为奇数的概率
（要求画树状图或列表）．
22．（2022·湖南·长沙競才修业培训学校九年级期中）2022年虎年新春，中国女足 逆转韩国，时隔16年再夺
亚洲杯总冠军；2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，一扫男足、男篮颓势，展现了中国
体育的风采！为了培养青少年人才储备，雅礼某初中开展了“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、
羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______名；补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和
乙同学同时被选中的概率．
一：选择题
23．（2022·湖北·巴东县神农中小学九年级阶段练习）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常．随机闭合开
关 ， ， 中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是（ ）
A．0 B． C． D．
24．（2022·全国·九年级专题练习）小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希
望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A． B． C． D．
25．（2022·全国·九年级专题练习）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“油”、“城”的四
个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一
球，取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率（ ）
A． B． C． D．26．（2022·山西吕梁·九年级期末）第十四届全国运动会会徽吉祥物发布，吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金的设计
方案是以陕西秦岭独有的四种国宝级动物“朱鹮、大熊猫、羚牛、金丝猴”为创意原型．小明和小彬各从四个吉
祥物中选择一个制作成绘画作品，参与学校举办的绘画展，则他们选中“朱朱”和“金金”的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
27．（2022·山东青岛·九年级期中）不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，从中一次性
摸出两个球，两个球都是白球的概率是 _____．
28．（2022·山西省运城市实验中学九年级阶段练习）一个布袋中装有两个黑球和两个红球，除了颜色以外没有任
何其他区别．则从布袋中任取两个球，取出的两个球都是红球的概率是______．
29．（2022·宁夏·中卫市第三中学九年级期中）从 ，0，2，这三个数中，任取两个数分别作为系数a，b代入
中． 在所有可能的结果中，任取一个方程为有实数解的一元二次方程的概率是___________．
30．（2022·重庆·忠县花桥镇初级中学校九年级阶段练习）一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，球上分别
标有数字﹣2，0，1，4．随机摸出一个小球记作m，然后放回，再随机摸出一个小球记作n，则方程
是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为 _____．
31．（2022·全国·九年级单元测试）在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里
摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 __．
32．（2022·四川攀枝花·中考真题）盒子里装有除颜色外，没有其他区别的2个红球和2个黑球，搅匀后从中取出
1个球，放回搅匀再取出第2个球，则两次取出的球是1红1黑的概率为__________．
33．（2022·全国·九年级单元测试）有两组相同的纸牌，每组两张，它们的牌面数字分别是3和2，从每组牌中各
摸出一张称为一次实验，估计两张牌的牌面数字和是偶数的概率是____，两张牌的牌面数字和是5的概率是
______．
三、解答题
34．（2023·浙江·衢州市衢江区横路初级中学九年级阶段练习）小明和小亮玩一个游戏： 三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字 1，2，3， 现将标有数字的一面朝下， 小明从中任意抽取一张后， 小亮再从剩下的卡片
中抽取一张． 计算小明和小亮抽得的两个数字之和， 如果和为奇数则小明胜， 和为偶数则小亮胜．
(1)请用列表法或树状图等方法求小明获胜的概率．
(2)你认为该游戏对双方是否公平？ 请说明理由．
35．（2022·浙江温州·九年级期中）2022年冬奥会和残奥会的吉祥物 “冰墩墩” 和 “雪容融” 广受大众喜爱，
某校九年(1)班的迎新年班队课上， 老师在抽奖环节准备了四张奖券， 它们的形状外观大小完全一样， 已知四
张奖券中有两张代表冬奥会吉祥物 “冰墩墩” 玩偶 (记作 )， 有一张代表残奥会吉样物“雪容融”玩偶
(记作 )，还有一张代表虎年特制的小老虎玩偶(记作 )．
(1)随机抽取一张奖券， 恰好代表 “冰墩墩” 玩偶的概率是____________．
(2)小丽同学在课堂上表现出色， 获得了两张奖券， 并且获得了优先抽奖资格．请利用树状图或列表法， 求小丽
抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的概率．
36．（2022·江苏·无锡市河埒中学九年级阶段练习）一只不透明的袋子中，装有2个白球和1个红球，这些球除颜
色外都相同．
(1)搅匀后从中随机摸出两个球，请通过列表或树状图求“所摸到的两球都是白球”的概率；
(2)若再加入1个黑球（除颜色外与白球、红球都相同），将这4个球搅匀后从中随机摸出2个球，请直接写出
“所摸到的两个球都是白球”的概率为 ．
37．（2022·广东·深圳市南山外国语学校九年级期中）某学校创办“耕耘文学社”以来，关注度逐年上升．学校为
了了解学生对“耕耘文学社”的关注度，采用了随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如
图所示的两幅尚不完整的统计图．（其中A表示“关注”；B表示“不关注”；C表示“非常关注”；D表示“关
注很少”）．
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：(1) ______；B所在扇形的圆心角的度数为______；
(2)请补全条形统计图；
(3)该校现有学生420名，请估计这420名学生中“非常关注”的学生人数；
(4)在一次交流活动中，老师决定从本次调查回答“不关注”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本
次调查回答“不关注”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这
位男同学的概率．1．D
【分析】根据杂交的基本规律，列式计算即可．
【详解】解：纯种高茎豌豆（ ）和纯种矮茎豌豆（ ）杂交，子一代都是高茎豌豆（ ），子一代种子种下
去，自花传粉，获得的子二代豌豆由 、 、 三种遗传因子控制，比例为1：2：1．由此可知，子二代豌豆
中含遗传因子D的个体有 、 ，概率是 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了杂交中的概率计算，熟练掌握杂交的规律是解题的关键．
2．A
【分析】列举出所有情况，看摸一次发短信成功的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：所有的可能性为：028，082，208，280，802，820，一共有6种情况，而正确的只有一种，
∴张华一次发短信成功的概率是 ，
故选A．
【点睛】此题可以采用列举法，解题的关键是找到所有存在的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况
数之比．
3．C
【分析】利用列举法列出全部可能情况，从中找出是偶数的情况，根据概率公式P(A)=事件包含的结果/总体可能
的结果计算即可．
【详解】解：从9张卡片中任意抽出一张，正面的数有1~9共9种可能，其中为偶数的情况有2、4、6、8共4种，
所以正面的数是偶数的概率P= ，
故选 ：C．
【点睛】本题考查了概率，需熟练运用列举法进行分析，会使用列表法、树状图法求概率．
4．B
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
可知，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在 ABC的三边中垂线的交点最适当．
故选：B． △
【点睛】本题主要考查了游戏的公平性与线段垂直平分线的性质的应用；将实际问题抽象成几何模型，加以解决
是解题的关键．5．A
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两个骰子上的数字之和为7或8时的
概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【详解】两骰子上的数字之和是7的有3+4=7；4+3=7，2+5=7；5+2=7，1+6=7；6+1=7共6种情况，和为8的有
2+6=8；6+2=8，3+5=8；5+3=8；4+4=8共5种情况，甲赢的概率大，
故选A．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就
不公平．
6．A
【分析】三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平．
【详解】∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后
放回，
∴三个人摸到每种球的概率均相等，故这个游戏是公平的.
故选A.
【点睛】此题考查游戏公平性，解题关键在于利用概率进行分析.
7．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率计算公式进行求解即可；
（2）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，在找到两人抽到同一活动方式的结果数，最后依据概率计算公
式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有A、B、C、D四张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，
∴抽到卡片C的概率为 ，
∴小明抽到的活动方式是“C．唱响经典红歌”的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中小明与小颖抽到同一种活动方式的结果数有4种，
∴小明与小颖抽到同一种活动方式的概率为 ．
【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)280人
(3)
【分析】（1）总人数乘以 项目对应百分比求出其人数，再根据四个项目人数之和等于240求出 项目人数，从
而补全图形；
（2）总人数乘以样本中 项目人数所占比例即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出刚好选中甲和丁的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解： 项目人数为 （人 ，
项目人数为 （人 ，
补全图形如下：
（2）解：估计全体1120名学生中最喜欢 中长跑的人数为 （人 ；
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好选中甲和丁的有2种结果，
刚好选中甲和丁的概率为 ．
【点睛】此题考查的是条形统计图，扇形统计图，用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
9．A
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次向上的一面的点数之和为4的情
况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
1
6 7 8 9 11 12
0
∵共有36种等可能的结果，两次向上的一面的点数之和为4的有3种情况，
∴两次向上的一面的点数之和为4的概率为： ；
故选：A．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．掌握列表格或画树状图用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
10．A
【分析】根据题意列出表格表示出所有等可能的结果，再找出符合题意的结果，最后由概率公式计算即可．
【详解】根据题意可列表格如下，
喜 迎 二 十 大
喜 喜，迎 喜，二 喜，十 喜，大
迎 迎，喜 迎，二 迎，十 迎，大
二 二，喜 二，迎 二，十 二，大
十 十，喜 十，迎 十，二 十，大
大 大，喜 大，迎 大，二 大，十
根据表格可知共有20种等可能的结果，其中恰好抽到“二”和“十”的结果有2种，∴从中任意抽取两张卡片，恰好是“二十”的概率是 ．
故选：A．
【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图是解题关键．
11．D
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在
总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可．
【详解】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，
若为黑球则获胜可知，
绿球与黑球的个数应相等，也为2x个，
列方程可得x+2x+2x=10，
解得x=2，
故选：D．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就
不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．A
【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概
率公式即可得出答案．
【详解】解：将三个小区分别记为A、B、C，根据题意列表如下：
A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况，
所以他们恰好抽到同一个小区的概率为 ．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事
件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．利用表格或树状图列出所有等可能性的情况是解题的关键．
13．C
【分析】首先根据题意得出可能的结果有：①②③④，①②④③，①③②④，①③④②，①④②③，①④③②，
然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】如果把①作为这四句诗歌的第一句，则有①②③④，①②④③，①③②④，①③④②，①④②③，
①④③②，共 种排列情况，
所以四句诗歌总的排列情况共有 种，只有 种是正确的，
所以兰兰第一次就调整正确的可能性大小为
故选：C
【点睛】此题考查了列举法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14．C
【解析】略
15．C
【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公
式求解即可．
【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，
小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为 ，
故选： ．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以
上完成的事件，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，画出树状图表示所有等可能的情况是解题的关键．
16．C
【分析】由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图
求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，
画树状图得：共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，
∴可配成紫色的概率是 ．
故选C．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意所选每种情况必须均等，注意概率=所求情况数与
总情况数之比．
17．A
【分析】用B表示“冰墩墩”的图案，X表示“雪容融”的图案，列出树状图，根据概率公式即可求解．
【详解】解：画树状图为：（用B表示“冰墩墩”的图案，X表示“雪容融”的图案）
共有12种等可能的结果，其中两张图案相同的结果数为4，
所以任意翻开两张，那么两张图案相同的概率 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A
或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
18．C
【分析】通过画树状图法列出所有等可能的结果，再从中找出符合条件的结果数，利用概率公式计算即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有4种等可能的结果，其中颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的有1种结果，
∴颖颖从家去体育馆在这两个红绿灯路口都需等待的概率为 ，故选C．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，理解并掌握概率计算公式是解题的关键．
19．A
【分析】用A、a表示“冰墩墩”图片被剪成的两半，用B、b表示“雪融融”图片被剪成的两半，然后利用树状
图展示所有可能的结果数；找出2张图片恰好组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片的结果数，然后根据
概率公式求解．
【详解】解：用A、a表示“冰墩墩”图片被剪成的两半，用B、b表示“雪融融”图片被剪成的两半，列树状图
为：
故有12种等可能结果，符合恰好能组成一张完整的“冰墩墩”或“雪融融”图片有4种，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事
件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
20．C
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答
案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
由树状图得：共有4种等可能的情况数，其中最后一次参观的凉亭为凉亭 的有2种，
则最后一次参观的凉亭为凉亭 的概率为 ，
故选：C．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两
步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
21．(1)(2)
【分析】（1）任意抽出一张可能出现的结果有 种，正面是偶数的结果有 种，即可求解；
（2）连续摸出 张卡片（不放回），画树状图求出摸卡片可能出现的结果，找出总和为奇数的结果，即可求解．
【详解】（1）解：任意抽出一张可能出现的结果有 种，正面是偶数的结果有 种，
∴ ，
故答案是： ．
（2）解：可能出现的结果如下图，
共有 中，总和为奇数的有 ， ， ， ， ， ， ，
， 种，
∴ ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查列举法求随机事件的概率问题，解题的关键是找出各种结果可能出现的次数．
22．(1)100；图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）喜爱篮球的学生人数与所占百分比的比值即为被调查的学生人数，然后根据喜爱足球所占百分比计
算出喜爱足球学生人数，然后补全条形统计图；
（2）先计算出喜爱排球的学生百分比，再与 相乘即可；
（3）画出树状图，计算甲和乙同学同时被选中的结果数与所有情况数的比值即可．
【详解】（1）解：本次被调查的学生人数为 （名）．
故答案为：100．选择“足球”的人数为 （名）．
补全条形统计图如下：
（2）解：扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为 ．
故答案为：18°．
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为 ．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图关联、求扇形统计图圆心角、树状图或列表法求概率，熟练结合条
形统计图和扇形统计图综合分析是解题关键．
23．C
【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把开关 ， ， 分别记为A、 、 ，
画树状图如图：
共有6种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有2种，
能让两个小灯泡同时发光的概率为 ．
故选：C．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两
步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
24．B
【分析】先画出树状图，从而可得小红上学时经过每个路口的所有可能的结果，再找出小红上学时经过每个路口
都是绿灯的结果，然后利用概率公式计算即可得．
【详解】解：由题意，画树状图如下：
由图可知，共有8种等可能的情况，其中，经过每个路口都是绿灯的有1种，
则实际这样的机会是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
25．C
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“美城”的结果数，然后
根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“美城”的结果数为2，
所以取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率 ，
故选：C．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两
步完成的事件；树状图适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
26．C
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，小明和小彬选中“朱朱”和“金金”的结果有2种，再由概率公式
求解即可．【详解】解：把吉祥物朱朱、熊熊、羚羚、金金分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，小明和小彬选中“朱朱”和“金金”的结果有2种，
∴小明和小彬选中“朱朱”和“金金”的概率为 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上
完成的事件．
27．
【分析】根据题意可列出树状图进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
∵有6种等可能的情况，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的有2种，
∴两次都摸出白球的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
28．
【分析】根据列举法即得出结果．
【详解】解：已知布袋中有两个黑球，记为黑1、黑2，两个红球记为红1、红2，
取出两个球的可能为：黑1黑2，黑1红1，黑1红2，黑2黑1，黑2红1，黑2红2，红1红2，红1黑1，红1黑
2，红2红1，红2黑1，红2 黑2，共12种情况，
其中两个球都是红球的情况有2种，即取出两个球都是红球的概率为 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了概率问题，准确列出所有可能的情况是解题关键．
29．
【分析】如下图所示，先画树状图进行分析，再用概率公式即可求解．
【详解】解：画树状图得：
一共有6种等可能的结果，
一元二次方程 有实数解，
且 ，
所有可能的一元二次方程有实数解的一元二次方程有2种情况： 或 ；
在所有可能的结果中，任取一个方程为有实数解的一元二次方程的概率为： ；
故答案为： ．
【点睛】此题考查用画树状图法求概率以及一元二次方程的根的判别情况，熟练掌握画树状图、判别一元二次方
程根的情况是解答此题的关键．
30．
【分析】先由一元二次方程解根的判别式求出 ，再列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式
求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 无实数根，
，且 ，
即 ，且 ，
，且 ，
画树状图如下：由此知，共有16种等可能结果，其中 且 的有4种结果，
所以方程 是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程解根的判别式，列表法或树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图
将所有等可能的结果列举出来，难度不大．
31．
【分析】根据题意先画出树状图，求出总情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
∵共有6种情况，两次摸出的球都是红球的有2种情况，
∴两次摸出的球都是红球的概率是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．关键是正确地画出树状图．
32． ##0.5
【分析】先画树状图，再利用概率公式计算求解即可．
【详解】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中两次取出的球是1红1黑的结果有8种，
两次取出的球是1红1黑的概率为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了用树状图法求概率，熟练掌握树状图法以及概率公式是解答此题的关键．
33． ##0.5 ##0.5
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张牌的牌面数字和是偶数与两张牌
的牌面数字和是5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，两张牌的牌面数字和是偶数的有2种情况，两张牌的牌面数字和是5的有2种情况，
∴两张牌的牌面数字和是偶数的概率是： ；两张牌的牌面数字和是5的概率是： ．
故答案为： ， ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况
数之比．
34．(1)树状图见解析；
(2)不公平；理由见解析
【分析】（1）将所有可能的情况在图中表示出来即可；
（2）计算出和为奇数与和为偶数的概率，即可得到游戏是否公平．【详解】（1）解：画树状图图下：
由树状图可知，所有等可能的结果共有 中，其中结果是奇数的有 种，
∴小明获胜的概率为 ；
（2）∵ （和为奇数） ； （和为偶数） ；
∴该游戏对双方是不公平的．
【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就
不公平．
35．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能的结果数，以及小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶
的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1） 共有四张奖券，两张代表冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩偶，
随机抽取一张奖券，恰好代表“冰墩墩”玩偶的概率是 ．
故答案为： ．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的结果有4种，
小丽抽取的奖券恰好是一张“冰墩墩”玩偶和一张“雪容融”玩偶的概率为 ．【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
36．(1)见解析，
(2)
【分析】（1）列树状图求出所有等可能的情况数，再用概率公式计算即可；
（2）列树状图求出所有等可能的情况数，再用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：画树状图如下：
共由6种等可能的结果，其中两球都是白球的有2种，
∴“所摸到的两球都是白球”的概率为 ；
（2）画树状图如下：
共由12种等可能的结果，其中两球都是白球的有2种，
∴“所摸到的两球都是白球”的概率为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查列树状图求概率，解题的关键是掌握列树状图求出所有等可能的情况数和概率公式．
37．(1) ，
(2)统计图见解析
(3)210人
(4)树状图见解析，
【分析】（1）由两个统计图知，“非常关注”有30名，占50%，则可求得调查的总人数，用“关注”的人数除
以总人数即可求得m的值，用360度乘以“不关注”的人数占比即可求出B所在扇形的圆心角度数；
（2）根据（1）所求从而可求得“关注很少”所占的人数，可补充完整条形统计图
（3）用420乘以调查中“非常关注”所占的百分比即是所求的结果；（4）画出树状图，可得到所有的结果数及刚好有这位男同学的结果数，则可求得此时的概率．
【详解】（1）解：由题意知：“非常关注”有30人，占调查人数50%，则调查的总人数为： 人，
∴ ，
∴ ；
，
∴B所在扇形的圆心角的度数为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：“关注很少”的人数为 人，
补全的条形统计图如下：
（3）解： 人，
∴估计这420名学生中“非常关注”的学生有210人；
（4）解：“不关注”的这些同学中有一名男同学和3名女同学，分别用女1、女2、女3表示这3名女生，画出的
树状图如下：
则选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率为 ．
