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必考点 13 因式分解常见题型
●题型一 因式分解---提公因式法
【例题1】因式分解：
（1）9abc﹣6a2b2+12abc2． （2）﹣24x3+12x2﹣28x
【例题2】（2022秋•东城区校级月考）分解因式：y（2a﹣b）+x（b﹣2a）．
【例题3】（2022春•乐安县期中）分解因式：
（1）a（x﹣2y）﹣b（2y﹣x）； （2）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）2．
【例题4】（2022秋•杨浦区期中）分解因式：a2（a+2b）﹣ab（﹣4b﹣2a）．
【例题5】（2022春•济阳区校级期末）因式分解：（2a+1）2﹣（2a+1）（﹣1+2a）．
【解题技巧提炼】
因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因
式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，
而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
3、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：
●题型二 因式分解---运用公式法
★★★1、 用平方差公式因式分解
【例题6】用平方差公式因式分解：
（1）36﹣x2； （2）﹣a2+b2；
（3）25（a+b）2﹣4（a﹣b）2； （4）a4﹣16；
（5）m4﹣16n4； （6）（x2﹣2y）2﹣（1﹣2y）2；
【例题7】（2022春•城阳区期中）分解因式：a4﹣81b4＝ ．
【例题8】（2022春•柯桥区期末）计算：20232﹣20222＝ ．
★★★2、 用完全平方公式因式分解
【例题9】（2022•咸丰县模拟）因式分解：
（1） ； （2）﹣a2﹣4b2+4ab ； （3）（m+n）2﹣6（m+n）+9
【例题10】（2022春•覃塘区期末）因式分解：
（1）9x2﹣6xy+y2． （2）（x+1）（x﹣3）+4．
【例题11】（2022•绥化）因式分解：（m+n）2﹣6（m+n）+9＝ ．
【解题技巧提炼】
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形
式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
●题型三 因式分解---提公因式法与公式法的综合运用
【例题12】（2021秋•泌阳县期末）把下列多项式进行因式分解（要写出必要的过程）：
（1）﹣x2y+6xy﹣9y； （2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【例题13】（2021秋•汉滨区期末）因式分解：
（1）a2b﹣10ab+25b； （2）4a2（a﹣b）+（b﹣a）．
【例题14】（2022春•涟源市校级期末）因式分解：（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．
【解题技巧提炼】
要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
●题型四 因式分解---分组分解法
【例题15】（2021秋•永吉县期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用
提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式
分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．（1）利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
（2）因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝ （直接写出结果）．
【例题16】（2021秋•奉贤区期末）分解因式：a2﹣b2+2a2b﹣2ab2．
【例题17】（2021秋•金山区期末）分解因式：25﹣4x2+4xy﹣y2．
【解题技巧提炼】
因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因
式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
●题型五 因式分解---十字相乘法
【例题18】（2022春•兰州期末）阅读材料：
由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进
行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．
示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
请用上述方法分解因式：
（1）x2﹣3x﹣4；
（2）x2﹣7x+12．
【例题19】分解因式：（x﹣y）2+5（x﹣y）﹣50．【例题20】（x2﹣3x）2﹣8（x2﹣3x）+16．
【解题技巧提炼】
因式分解-十字相乘法：
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；可以直接将某些二次项的系数是 1
的二次三项式因式分解：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a ，a 的积a •a ，把常数项c分解成两个因数c ，c 的
1 2 1 2 1 2
积c •c ，并使a c +a c 正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a x+c ）（a x+c ）．
1 2 1 2 2 1 1 1 2 2
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●题型六 实数范围内分解因式
【例题21】在实数范围内因式分解下列多项式：
（1）4x2﹣5； （2）4x2+8x﹣5； （3）﹣x2﹣xy+y2．
【解题技巧提炼】
实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（√2）2＝（x+√2）（x−√2）
●题型七 因式分解的应用
★★★1、 利用因式分解简化计算问题．
【例题22】利用因式分解计算下列各式：（1）872+87×26+132； （2）20192﹣4036×2019+20182．
9
【例题23】先分解因式，再求值：已知a+b＝2，ab= ，求a3b+2a2b2+ab3的值．
2
★★★2、 用利用因式分解解决证明问题．
【例题24】（2022秋•永春县期中）已知a、b、c是△ABC的三边长，且a、b、c满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣
2bc＝0，请判断△ABC的形状．
★★★3、 利用因式分解解决求值问题．
【例题25】（2022春•平阴县期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c
的值；
（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．
【解题技巧提炼】因式分解的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具
体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
◆◆◆题型一 因式分解---提公因式法
1．（2022春•云岩区期中）把下列各式分解因式：
（1）5xy﹣10x； （2）m（a2+b2）﹣n（a2+b2）．
2．（2021秋•梅里斯区期末）因式分解
（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy5； （2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．
3．（2022春•萍乡期中）因式分解：
（1）a（m﹣n）+b（n﹣m）； （2）（a﹣3）2+2a﹣6．
4．（2022秋•嘉定区期中）因式分解：6（x+y）2﹣2（x+y）（x﹣y）◆◆◆题型二 因式分解---运用公式法
5．用平方差公式因式分解：
（1）x2﹣16y2； （2）x2y2﹣z2；
（3）（x+2）2﹣9； （4）（x+a）2﹣（y+b）2；
（5）5（x2+1）﹣20x2； （6）（a2+b2）2﹣4a2b2．
6．把下列各式分解因式
（1）3x﹣12x3 （2）﹣a2﹣49b2+14ab
（3）x2（x﹣y）+y2（y﹣x） （4）9（a﹣b）2﹣30（a2﹣b2）+25（a+b）2．
7．（2022•苏州）已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝ ．
8．（2022秋•西城区校级期中）已知a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是 ．
◆◆◆题型三 因式分解---提公因式法与公式法的综合运用
9．（2021秋•隆昌市校级月考）因式分解
（1）3xy3﹣6x2y2+3x3y； （2）m2（7﹣m）+9（m﹣7）．
◆◆◆题型四 因式分解---分组分解法
10．（2022秋•青浦区校级期中）因式分解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd．
11．（2021秋•浦东新区期末）分解因式：xy2﹣x﹣y2+1．
12．（2021秋•宝山区期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．13．（2021秋•普陀区期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．
◆◆◆题型五 因式分解---十字相乘法
14．（2022春•来宾期末）在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的
积，而它的一次项系数是这两个因数的和，则我们可以把它分解成：x2+（m+n）x+mn＝（x+m）
（x+n）．
例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
（1）运用上述方法分解因式：
①x2+7x+12；
②x2﹣3x﹣10；
③x2﹣5xy+6y2．
（2）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行因式分解．
15．（2021秋•杨浦区期中）分解因式：（a2﹣a）2+2（a2﹣a）﹣8．
16．（2022春•乾县期末）阅读理解：
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，巧
妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：x2+4x﹣5＝x2+4x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．
观察上述因式分解的过程，回答下列问题：
（1）因式分解x2+2x﹣3；
（2）试说明多项式x2﹣6x+12的值总是一个正数．◆◆◆题型六 实数范围内分解因式
17．实数范围内分解因式：
（1）5x2﹣3； （2）a4﹣9．
18．在实数范围内因式分解
（1）x2﹣7； （2）4a4﹣9．
◆◆◆题型七 因式分解的应用
19．利用分解因式方法计算：
（1）39×37﹣13×34； （2）29×19.99+72×19.99+13×19.99﹣19.99×14．
20．阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn因式分解，可以先把它进行分组再因式分解．
解：原式＝（am+an）+（bm+bn）
＝a（m+n）+b（m+n）
＝（m+n）（a+b）
这种因式分解的方法叫做分组分解法．请利用此方法解答：
已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足a2+c2﹣2b（a﹣b+c）＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
21．根据条件，求下列代数式的值：
x2+ y2
（1）若x（y﹣1）﹣y（x﹣1）＝4，求 −xy的值；
2
（2）若a+b＝5，ab＝3，求代数式a3b﹣2a2b2+ab3的值．22．先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值．
解；m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0
∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4．
【解答问题】
（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是 ；
（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a2+b2＝10a+8b﹣41，求第三边c的取值范围；
（3）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值．
1．（2022秋•泰山区校级月考）利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一
个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式 ．
2．（2022秋•永春县校级期中）已知x2+x＝4，那么代数式x3+5x2的值为 ．
3．（2022春•雅安期末）已知x＝y+3，则代数式x2﹣2xy+y2﹣20的值为 ．
4．（2022春•海曙区校级期中）已知a+b＝3，则a2﹣a+b2﹣b+2ab+2022的值为 ．
5．（2022春•娄底期中）因式分解：
（1）9abc﹣6a2b2+12abc2． （2）3x2（x﹣y）+6x（y﹣x）．6．（2022秋•丰泽区校级期中）因式分解
（1）2x3y﹣4x2y+2xy；
（2）4（x﹣y）3+y2（y﹣x）3；
（3）（x2+9）2﹣36x2；
（4）（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8．
7．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y．
8．（2021秋•昭阳区校级期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（5x﹣7y）+（5x﹣7y）2．
（2）因式分解：（x+y）（x+y﹣4）+4．
9．已知a+b＝2，a•b＝﹣8，求a2（a+b）﹣ab（a+b）+b2（a+b）的值．
a
10．如图，在一块边长为acm的正方形纸板四角，各剪去一个边长为bcm（b＜ ）的正方形，利用因式
2分解计算当a＝13.2，b＝3.4时，剩余部分的面积．
11．（1）已知x2+4x+y2﹣2y+5＝0，求x，y．
（2）a，b满足a（a+1）﹣（a2+2b）＝1，求a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b的值．
（3）已知a2+b2＝5，a+b＝3，求（a﹣b）2．
（4）已知x2﹣y2＝20，求[（x﹣y）2+4xy][（x+y）2﹣4xy]的值．
12．（2022春•市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
＝（1+x）[1+x+x（x+1）]
＝（1+x）2（1+x）
＝（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，则结果是 ．
（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
13．（2022春•昌图县期末）甲、乙两个同学因式分解x2+ax+b时，甲看错了a，分解结果为（x+4）（x﹣
8），乙看错了b，分解结果为（x﹣2）（x+6）．求多项式x2+ax+b分解因式的正确结果．
14．（2021春•清远期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘
数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数
吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？
15．（2021秋•交口县期末）阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，
比如多项式．x2﹣4y2﹣2x+4y．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项
式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，
而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式
分解．具体过程如下：
例1：x2﹣4y2﹣2x+4y
＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）……………………分成两组
＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）………………分别分解
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或
四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
（1）材料例1中，分组的目的是 ．
（2）若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？x2﹣y2+x+y＝ ；
2a+a2﹣2b﹣2ab+b2＝ ．
（3）利用分组分解法进行因式分解：x2﹣2xy+y2﹣4＝ ．
16．（2022春•郴州期末）材料1：由多项式乘法，（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式子从右到左
地使用，即可对形如x2+（a+b）x+ab的多项式进行因式分解：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．多项式x2+（a+b）x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为某两数之积，一次项系数为这两数之和．
材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1，将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝
（A+1）2，再将“A”还原得：原式＝（x+y+1）2．
上述用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．
请你根据以上阅读材料解答下列问题：
（1）根据材料1将x2+4x+3因式分解；
（2）根据材料2将（x﹣y）2﹣10（x﹣y）+25因式分解；
（3）结合材料1和材料2，将（m2﹣2m）（m2﹣2m﹣3）﹣4因式分解．
17．（2022春•东海县期中）阅读与理解：
（1）先阅读下面的解题过程：
分解因式：a2﹣6a+5
解：方法（1）原式＝a2﹣a﹣5a+5
＝（a2﹣a）+（﹣5a+5）
＝a（a﹣1）﹣5（a﹣1）
＝（a﹣1）（a﹣5）
方法（2）原式＝a2﹣6a+9﹣4
＝（a﹣3）2﹣22
＝（a﹣3+2）（a﹣3﹣2）
＝（a﹣1）（a﹣5）．
请你参考上面一种解法，对多项式x2+4x﹣12进行因式分解；
（2）阅读下面的解题过程：
已知m2+n2﹣4m+6n+13＝0，试求m与n的值．
解：由已知得m2﹣4m+4+n2+6n+9＝0
因此得到（m﹣2）2+（n+3）2＝0
所以只有当m﹣2＝0并且n+3＝0上式才能成立．因而得：m＝2并且n＝﹣3．
请你参考上面的解题方法解答下面的问题：
已知：x2+y2+8x﹣12y+52＝0．试求（x+y）x的值．
18．（2021秋•周至县期末）阅读并解决问题：
材料1：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一
次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．
例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．
材料2：分解因式：（a+b）2+2（a+b）+1．
解：设a+b＝x，则原式＝x2+2x+1＝（x+1）2＝（a+b+1）2．
这样的解题方法叫做“换元法”，即当复杂的多项式中，某一部分重复出现时，我们用字母将其替换，
从而简化这个多项式．换元法是一个重要的数学方法，不少问题能用换元法解决．
（1）运用上述方法分解因式：①x2+6x+8＝ ，②x2﹣x﹣6＝ ；
（2）请用“换元法”进行因式分解：（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4．
19．（2022秋•汝阳县期中）对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式，阅读下列材料：例如：
把x2+6x﹣16分解因式，我们可以这样进行：
x2+6x﹣16
＝x2+2•x•3+32﹣32﹣16（加上32，再减去32）
＝（x+3）2﹣52（运用完全平方公式）
＝（x+3+5）（x+3﹣5）（运用平方差公式）
＝（x+8）（x﹣2）（化简）
运用此方法解决下列问题：
（1）把x2﹣8x﹣9分解因式．
（2）已知：a2+b2﹣6a+10b+34＝0，求多项式4a2+12ab+9b2的值．20．（2022春•射阳县校级月考）数学教科书中这样写道：
“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常
做如下变形：先添加一个适当的项，使式⼦中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式⼦的值不变，
这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项
式分解因式，还能解决一些与⾮负数有关的问题或求代数式最⼤值，最小值等．
例如：分解因式 x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣
1）；
例如求代数式 2x2+4x﹣6的最小值 2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，
2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料⽤配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5 ．
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+30有最小值，并求出这个最小值．
