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第 25 章 概率初步
25.2 用列举法求概率
学习要求
1、会通过列举法分析随机事件可能出现的结果，求出“结果发生的可能性相等”的随机事件的概率．
2、能运用列表法和树状图法计算一些事件发生的概率．
知识点一：直接列举法求概率
例1．把1枚质地均匀的普通硬币重复掷两次，落地后出现一次正面一次反面的概率是（ ）
A．1 B． C． D．
变式1．从长度分别为2、3、4、5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式2．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个
路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A． B． C． D．
变式3．学校组织初三数学备课组全体教师去外校听课，安排了两辆车，按1～2编号，程、李两位教师可
任意选坐一辆车．
（1）用画树状图的方法或列表法列出所有可能的结果；
（2）求程、李两位教师同坐2号车的概率．
变式4．在2017年“KFC”乒乓球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间
进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛．
（1）列表或画树状图表示乙队所有比赛结果的可能性；
（2）求乙队获胜的概率．
知识点二：列表法求概率
例2．如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．
如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的
数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．
如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始
顺时针连续跳2个边长，落到圈B；…
设游戏者从圈A起跳．
（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P；
1
（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性
2
一样吗？
变式1．将A，B两男选手和C、D两女选手随机分成甲、乙两组参加乒乓球比赛，每组2人．
（1）求男女混合选手在甲组的概率；
（2）求两个女选手在同一组的概率．变式2．现有三张反面朝上的扑克牌：红桃2、红桃3、黑桃4．把牌洗匀后第一次抽取一张，记好花色和
数字后将牌放回，重新洗匀第二次再抽取一张．
（1）求两次抽得相同花色的概率；
（2）求两次抽得的数字和是奇数的概率．
（提示：三张扑克牌可以分别简记为红2、红3、黑4）
变式3．班主任老师让同学们为班会活动设计一个抽奖方案，拟使中奖概率为60%．
（1）小明的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入10个球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意
摸出1个球，摸到黄球则表示中奖，否则不中奖．如果小明的设计符合老师要求，则盒子中黄球应有
个，白球应有 个；
（2）小兵的设计方案：在一个不透明的盒子中，放入4个黄球和1个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀
后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球则表示中奖，否则不中奖．该设计方案是否符合老师的要
求？试说明理由．
变式4．一个不透明的布袋里装有3个完全相同的小球，每个球上面分别标有数字﹣1、0、1，小明先从布
袋中随机抽取一个小球，然后放回搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，求第一次得到的数与第二次得到
的数绝对值相等的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）．变式5．有2个信封A、B，信封A装有四张卡片上分别写有1、2、3、4，信封B装有三张卡片分别写有
5、6、7，每张卡片除了数字没有任何区别．从这两个信封中随机抽取两张卡片．
（1）请你用列表法或画树状图的方法描述所有可能的结果；
（2）把卡片上的两个数相加，求“得到的和是3的倍数”的概率．
变式6．五•一期间，某商场开展购物抽奖活动，在不透明的抽奖箱中有4个分别标有数字1、2、3、4的
小球，每个小球除数字外其余都相同．顾客随机抽取一个小球，不放回，再随机摸取一个小球，若两次摸
出球的数字之和为“7”，则抽中一等奖，请用画树状图（或列表）的方法，求顾客抽中一等奖的概率．
变式7．在不透明的布袋中装有1个白球，2个红球，它们除颜色外其余完全相同．
（1）从袋中任意摸出两个球，试用树状图或表格列出所有等可能的结果，并求摸出的球恰好是两个红球
的概率；
（2）若在布袋中再添加x个白球，充分搅匀，从中摸出一个球，使摸到白球的概率为 ，求添加的白球个
数x．
知识点三：画树状图求概率
例3．不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，这些球除了颜色外都相同．从中任意摸一个，放回摇匀，
再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．变式1．如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式2．一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同，甲
先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回；乙再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图
（或列表）的方法，求摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率．
变式3．我校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督
查．
（1）请补全如下的树状图；
（2）求恰好选中两名男学生的概率．变式4．甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分
别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙
口袋中摸出一个小球记下数字．
（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；
（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．
变式5．如图，转盘A的三个扇形面积相等，分别标有数字1，2，3，转盘B的四个扇形面积相等，分别
有数字1，2，3，4．转动A、B转盘各一次，当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当
指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘）．
（1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果；
（2）求两个数字的积为奇数的概率．变式6．在四张背面完全相同的纸牌A、B、C、D，其中正面分别画有四个不同的几何图形（如图），小
华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌可用A、B、C、D表示）；
（2）求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
变式7．某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装
饮料，它们分别是：绿茶（500ml）、红茶（500ml）和可乐（600ml），抽奖规则如下：①如图，是一个
材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、
“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止
后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转
盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客
完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的
顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．
根据以上规则，回答下列问题：
（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；
（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经
过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．变式8．已知不等式组
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概
率．
变式9．某单位A，B，C，D四人随机分成两组赴北京，上海学习，每组两人．
（1）求A去北京的概率；
（2）用列表法（或树状图法）求A，B都去北京的概率；
（3）求A，B分在同一组的概率．变式10．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二
道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主
持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．
变式11．交通信号灯（俗称红绿灯），至今已有一百多年的历史了．“红灯停，绿灯行”是我们日常生活
中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通的顺畅和行人的安全，下面这个问题你能解决吗？
小刚每天骑自行车上学都要经过三个安装有红灯和绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，
那么，小刚从家随时出发去学校，他至少遇到一次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？（请用树
形图分析）
变式12．一个不透明的袋子中，装有红黑两种颜色的小球（除颜色不同外其他都相同），其中一个红球，
两个分别标有A、B黑球．
（1）小李第一次从口袋中摸出一个球，并且不放回，第二次又从口袋中摸出一个球，则小李两次都摸出
黑球的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明；
（2）小张第一次从口袋中摸出一个球，摸到红球不放回，摸到黑球放回．第二次又从口袋中摸出一个球，
则小张第二次摸到黑球的概率是多少？试用树状图或列表法加以说明．拓展点一：游戏中的公平性问题
例4．足球比赛前，裁判通常要掷一枚硬币来决定比赛双方的场地与首先发球者，其主要原因是（ ）
A．让比赛更富有情趣B．让比赛更具有神秘色彩
C．体现比赛的公平性 D．让比赛更有挑战性
变式1．甲乙两人玩一个游戏，判定这个游戏公平不公平的标准是（ ）
A．游戏的规则由甲方确定
B．游戏的规则由乙方确定
C．游戏的规则由甲乙双方商定
D．游戏双方要各有50%赢的机会
变式2．（2014•玉林一模）小明和小亮玩一种游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，
3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一
张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜；若和为偶数则小亮胜．获胜概率大
的是（ ）
A．小明B．小亮 C．一样 D．无法确定
变式3．小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，
则小丽胜，下列说法正确的是（ ）A．此规则有利于小玲B．此规则有利于小丽
C．此规则对两人是公平的 D．无法判断
变式4．把一个可以自由转动的均匀转盘3等分，并在各个扇形内分别标上数字（如图），小明和小亮用
图中的转盘做游戏；分别转动转盘两次，若两次数字之积是偶数，小明获胜，否则小亮获胜．你认为游戏
是否公平？请说明理由．
变式5．把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别标上1、2、3，将这两组卡片分别放
入两个盒（记为A盒、B盒）中搅匀，再从两个盒子中各随机抽取一张．
（1）从A盒中抽取一张卡片，数字为奇数的概率是多少？
（2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则小明胜；若取出的两张卡片数字之和为偶数，则小亮胜；试
分析这个游戏是否公平？请说明理由．
变式6．四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
（1）随机抽取一张卡片，求恰好抽到数字2的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则如图所示．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．变式7．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相同的扇形）做游戏．同时转动两
个转盘，如果所得颜色能配成紫色，那么小明获胜；如果所得颜色相同，那么小亮获胜，这个游戏对双方
是否公平？请说明理由．
变式8．在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3．小李先随机地摸出一个小球，小
张再随机地摸出一个小球．记小李摸出球的标号为x，小张摸出的球标号为y．小李和小张在此基础上共同
协商一个游戏规则：当x＞y时小李获胜，否则小张获胜．
①若小李摸出的球不放回，求小李获胜的概率；
②若小李摸出的球放回后小张再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．变式9．如图在圆盘的圆周上均匀的分布着0﹣9的10个数，箭头固定并指向0，圆盘可以任意旋转，记P
k
（k=1，2…9）表示箭头落在0﹣k之间的概率．如P= ．
3
（1）求当k=8时的概率P．
8
（2）若规定，k取到奇数时，甲同学获胜，k取到偶数时，乙同学获胜，这样的规定是否公平？请说明理
由．
（3）请你设计一个规定，能公平的选出两位同学去参加某项活动．并说明你的规定是符合要求的．
变式10．小红和小慧玩纸牌游戏．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，
小红先从中抽出一张，小慧从剩余的3张牌中也抽出一张．小慧说：抽出的两张牌的数字若都是偶数，你
获胜；若一奇一偶，我获胜．
（1）请用树状图表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）若按小慧说的规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由．变式11．为从小明和小刚中选出一人去观看元旦文艺汇演，现设计了如下游戏，规则是：把四个完全相同
的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再
从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树
状图或列表法说明这个游戏是否公平．
变式12．如图，小英和小丽用两个转盘做“配紫色”游戏，配成紫色小英得1分，否则小丽得1分，这个
游戏对双方公平吗？（红色+蓝色=紫色）用树状图或表格求右面两个转盘配成紫色的概率．
变式13．假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定
额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列
问题：（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是 张，补全统计图．
（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分
洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？
（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被
分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：
同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上
重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．易错点：分析事件的可能结果时易重复或者遗漏
例5．一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、
一个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式1．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个．
（1）先从袋中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，填空：
若A为必然事件，则m的值为 ，若A为随机事件，则m的取值为 ；
（2）若从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个，求这个事件的概率．
变式2．在一个不透明的袋子中，放入了2个红球和m个白球，已知从中摸出一个球是红球的概率为0.4．
（1）求m的值；
（2）如果从中一次摸出2个球，求至少有一个是红球的概率，请用画树状图或列表的方法进行分析．
变式3．不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色不同外，其它都一样），其中红球2个，
蓝球1个，现在从中任意摸出一个红球的概率为 ．
（1）求袋中黄球的个数；
（2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球
的概率．变式4．袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和1个绿球．
（1）现从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．请用画树状图或列表的方法，求第一次摸到
绿球，第二次摸到红球的概率；
（2）先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多
少？请直接写出结果．
