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第二课时——求事件的概率
知识点一：用直接列举法求概率 ：
在一次实验中，如果可能出现的结果只有 个，且各种结果出现的可能性大小
，则可通过列举实验结果的方法分析随机事件发生的概率。
【类型一：利用直接列举法求事件概率】
1．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚硬币全部正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小莹恰好站在中间的概率是 ．
3．2018年5月18日，益阳新建西流湾大桥竣工通车，如图，从沅江 A地到资阳B地有两条路线可走，从
资阳B地到益阳火车站可经会龙山大桥或西流湾大桥或龙洲大桥到达，现让你随机选择一条从沅江A地
出发经过资阳B地到达益阳火车站的行走路线，那么恰好选到经过西流湾大桥的路线的概率是 ．
知识点一：用列表法和树状图法求概率：
1. 用列表法求概率：
当一次实验要涉及的因素有两个（或是需要两部操作来完成实验）且核能出现的结果
较多时，常通过用 的方法列举所有可能的结果，找出事件A可能发生的所有的结果，
再利用 求概率。
例题说明：
三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图
片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中
各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
分析：将上部三张图片分别记作A、B、C，下部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等
可能结果，用列表法表示如下：
a b cA （A，a） （A，b） （A，c） 分析：
将 上 部 三
B （B，a） （B，b） （B，c）
张 图 片 分
C （C，a） （C，b） （C，c） 别记作A、
B、C，下
部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等可能结果，用列表法表示如下：
可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A，有三种情况，所以概率为：
P（A）=
2. 用树状图法求概率：
当事件要通过多个步骤（三个或以上）完成时，常通过用 的方法列举所有
可能的结果，在找出事件A可能发生的结果，再利用 求概率。
例题说明：
三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图
片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中
各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是多少？
分析：将上部三张图片分别记作A、B、C，下部三张图片记作a、b、c，列表得出所有等
可能结果，用树状图表示如下：
可知，一共出现9中情况，记能合成完成的图片为事件A，有三种情况，所以概率为：
P（A）=
【类型一：用列表法或树状图法求概率】
4．现有A、B两个不透明的盒子，A盒里有两张卡片，分别标有数字1、2，B盒里有三张卡片，分别标有数字3、4、5，这些卡片除数字外其余都相同，将卡片充分摇匀．从 A盒、B盒里各随机抽取一张卡片，
则抽到的两张卡片上标有的数字之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和
小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．为了更好防控疫情，某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士指
导某社区预防疫情工作．用树状图（或列表法）求恰好选中医生甲和护士A的概率．
7．某社区组织A，B，C，D四个小区的居民进行核酸检测，有很多志愿者参与此项检测工作，志愿者王
明和李丽分别被随机安排到这四个小区中的一个小区组织居民排队等候．
（1）王明被安排到A小区进行服务的概率是 ．
（2）请用列表法或画树状图法求出王明和李丽被安排到同一个小区工作的概率．
8．2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过
评比后，七年级的两名学生（用A，B表示）和八年级的两名学生（用C，D表示）获得优秀奖．
（1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是 ．
（2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰
好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．9．某学校开设了四门校本课程供学生选择：A．趣味数学；B．快乐阅读；C．魔法英语；D．硬笔书法．
（1）该校学生小乔随机选取了一门课程，则小乔选中课程D的概率是 ；
（2）该校规定每名学生需选两门不同的课程，小张和小王在选课程的过程中，若第一次都选了课程
C，那么他俩第二次同时选择课程A或课程B的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明．
【类型二：概率中的放回与不放回问题】
10．有四张正面分别标有数字﹣3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背
面朝上，洗匀后从中任取一张，记下后放回，再任取一张，则两次取出的卡片上的数字和为正数的概率
为（ ）
A． B． C． D．
11．有6张无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机
抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共
四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．
（1）小亮随机摸球10次，其中7次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；
（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是红球、一个是
黄球的概率．
13．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球．把它们分别标记为1，2，3，4．
（1）随机摸取一个小球的标号是偶数，该事件的概率为 ；
（2）小雨和小佳玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜．小雨先从口袋中摸出一个小
球，不放回，小佳再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，分别求出小雨和小佳获胜
的概率．
14．文具店有三种品牌的笔记本，价格分别是4，5，7（单位：元），从中随机拿出一个本，已知P（一
次拿到5元本）＝ ．
（1）求这6个本价格的众数；
（2）若琪琪已拿走一个5元本，嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本．
①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回，之后又随机从剩余的本中拿一个本，用列表法求嘉嘉两次都拿到5元本的概率．
【类型三：利用概率判断游戏的公平性】
15．圆圆和芳芳玩抛硬币游戏，连续抛两次，圆圆说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正
一反，那么我赢，”该游戏 （填“公平”或“不公平”）．
16．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求
在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC
的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点
17．如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“我”“骄”“傲”“我”“是”“中”“国”
“人”这8个汉字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的汉字即为转出的汉字．
（1）转动转盘，当转盘停止时，指针指向“我”的概率是 ，指针指向汉字的笔画数是偶数的
概率是 ；
（2）小明和小华利用该转盘做游戏，当转出的汉字笔画不小于8画时小明获胜，否则小华获胜．请你
判断这个游戏是否公平？并说明理由．18．一个小球在如图所示的方格地板上自由地滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全
相同．
（1）该小球停留在黑色区域的概率是多少？
（2）甲，乙两人比赛，小球落到白色区域甲赢，落在黑色区域乙赢，你认为这个
游戏公平吗？
19．小亮和小芳都想参加学校杜团组织的暑假实践活动，但只有一个名额，小亮提议用如下的办法决定谁
去参加活动；将一个转盘9等分，分别标上1至9九个号码，随意转动转盘，若转到2的倍数，小亮去
参加活动；转到3的倍数，小芳去参加活动；转到其它号码则重新转动转盘．
（1）转盘转到2的倍数的概率是多少？
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
20．丽丽和小明两位同学一起玩飞镖游戏，飞镖的靶子设计如图所示，已知从里到外的三个圆的半径分别
为1，2，4，圆形靶子被分为A，B，C三个区域．如果飞镖投出后没有落在靶子上，或是停留在圆周上，
那么可以重新投镖．
（1）分别求出飞镖落在三个区域的概率；
（2）丽丽和小明约定，如果飞镖停落在A，B区域，则丽丽得三分，如果飞镖落在C区域，则小明得
一分，你认为这个游戏公平吗？说明理由．如果不公平，请你修改得分规则，使这个游戏公平．知识点一：利用频率估算概率：
1. 频率与概率的关系：
对于一般的随机事件，在做大量的重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现
的频率在一个固定数值附近摆动，显示出一定的 稳定性 ，因此可以通过大量的重复试
验，用一个随机事件发生的 频率 去估算它的概率。
频率是一个具体值，但概率是一个估算值。
2. 用频率估算概率：
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 趋近某一个常数，那么事件A
发生的概率为：P（A）＝ 。
试验次数越多，频率月接近概率。估算的概率月精确。
【类型一：用频率估算概率】
21．大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码（绿码）示意图，
用黑白打印机打印于边长为3cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随
机掷点，经过大量反复实验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总
面积约为（ ）
第 21 题 第22题A．0.6cm2 B．1.8cm2 C．5.4cm2 D．3.6cm2
22．在一个不透明的口袋中，放置3个黄球，1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外
兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最
可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
23．某射击运动员在同一条件下的射击，结果如下表：
射击总次 10 20 50 100 200 500 1000
数n
击中靶心 9 16 41 88 168 429 861
的次数m
击中靶心 0.90 0.8 0.82 0.88 0.84 0.858 0.861
的频率
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时击中靶心的概率约是（ ）
A．0.90 B．0.82 C．0.84 D．0.861
24．在大力发展现代化农业的形势下，现有一种新玉米种子，为了了解它的出芽情况，在推广前做了五次
出芽试验，每次随机抽取一定数量的种子，在相同的培育环境中分别试验，结果记录如表：
培育的种子数量/a 100 300 500 1000 3000 5000
出芽的种子数量/b 99 288 470 960 2850 4750
0.99 0.96 m n 0.95 0.95
出芽率
（1）填空：表中m＝ ，n＝ ．
（2）任取一粒这种新玉米种子，估计它能发芽的概率．（结果保留两位小数）
25．某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：顾客购物20元以上就能获得一次转动转盘
的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 1000
落在“书画”区域的次数m 60 122 180 298 a 604
0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604
落在“书画”区域的频率
（1）完成上述表格：a＝ ；b＝ ；（2）请估计当n很大时，频率将会接近 ，（精确到0.1）假如你去转动该转盘一次，你获得
“书画”奖品的概率约是 ；（精确到0.1）
（3）在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的圆心角大约是多少度？
