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专题25.2 用列举法求概率
（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）
【原卷版】
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：枚举法...............................................................1
知识点梳理02：列表法...............................................................1
知识点梳理03：画树状图.............................................................1
优选题型 考点讲练......................................................................2
考点1 列举法求概率.................................................................2
考点2 列表法或树状图法求概率.......................................................4
考点3 游戏的公平性.................................................................5
中考真题 实战演练......................................................................8
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................10
基础夯实..........................................................................10
培优拔高..........................................................................13
知识点梳理01：枚举法
适用范围：当事件涉及的对象比较单一且出现的等可能结果数目较少时
步骤：①列举出所有等可能的结果;②运用公式 计算概率
知识点梳理02：列表法
适用范围：当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时
步骤：①选一次操作(或一个条件)为横行，另一次操作(或另一个条件)为竖列，列出表格；②运用公
式 计算概率知识点梳理03：画树状图
适用范围：当一次试验涉及两个或更多个因素时.
步骤：①画树状图，方法步骤如下：
②运用公式 计算概率
注意
(1)用列举法求概率时,各种情况出现的可能性大小必须相同，所有可能出现的结果是有限的;
(2)列举出所有可能的结果,各种情况不能重复，也不能遗漏;
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示
(4)列表法不适用涉及三个或三个以上因素的试验
考点1 列举法求概率
【典例精讲】（25-26九年级上·山西朔州·月考）小悦参加山西省剪纸艺术作品展，如图，展区A中剩
余1个展位A ，展区B中剩余两个展位B 和B ，小悦有甲、乙两幅作品参展，这两幅作品将随机放入其中
1 1 2
两个展位展览，且一个展位只能展出一幅作品．
(1)甲作品放在展位B 展览的概率为 ．
1
(2)求小悦的两幅作品同在展区B展览的概率．
【变式训练1】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）现有四张完全相同的卡片，卡片上分别写有−1，0，
2，3，从这四张卡片中随机抽取两张，得到的数字分别记为a，b，则使得一次函数y=ax+b的图像只经过第一、三象限的概率是 ．
【变式训练2】（2025·江苏南京·一模）做投球实验的装置如图所示．实验时，将小球从M处投入，通
过管道落入甲、乙、丙、丁4个盒子．已知小球从每个岔口落入左右两个管道的可能性是相等的．
(1)若投入一个小球，求它通过管道B的概率．
(2)若投入足够数量的小球直到某个盒子被填满为止，下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①最先填满的是甲盒；
③ 4个盒子中的小球的数量一样多；
③甲盒中小球数量小于乙盒中小球数量；
④乙盒中小球数量和丙盒中小球数量大致相等．
【变式训练3】（24-25九年级下·陕西西安·期中）爸爸、妈妈、小明三人玩“石头、剪刀、布”的猜拳
游戏，游戏时的各方每次用一只手做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜
“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”．
(1)小明出“剪刀”手势的概率为_____；
(2)爸爸、妈妈、小明三人玩此游戏，爸爸决定出“石头”，若三人中，有且只有两人手势相同时，小明
获胜，请用画树状图或列表的方法：求小明获胜的概率．（其中石头、剪刀、布分别用序号A、B、C表
示）．考点2 列表法或树状图法求概率
【典例精讲】（25-26九年级上·广东深圳·期中）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主
题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲
和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同．
(1)甲选择“食品安全”主题的概率为_______；
(2)若我们学校现有九年级900人，请你估算出选择交通安全的同学有_______人；
(3)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率（主题可用A、B、C、D表示）．
【变式训练1】（25-26九年级上·山东东营·期中）DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身
世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开
展了“逐梦科技强国”为主题的模具设计活动．随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，
用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：60≤x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：
90≤x≤100．
下面给出了部分信息：其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，
87，87，88，88，89，89，89．
根据以上信息解决下列问题：(1)本次共抽取了________名，学生的模具设计成绩，成绩的中位数是________分，并补全频数分布直方
图；
(2)请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；
(3)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图
或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
【变式训练2】（25-26九年级上·湖南株洲·月考）如图所示，小明和小刚将《将进酒》这首诗中的四句
分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝
上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏．
(1)小明从中抽取一张卡片，恰好抽到“天生我材必有用”的概率为______；
(2)小明先抽一张卡片，接着小刚从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的
诗句恰好成联的概率．（注：A与B为一联，C与D为一联）
【变式训练3】小明家客厅里装有一种开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏灯，按下
任意一个开关均可打开对应的一盏灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
(1)若小明任意按下一个开关，小明打开走廊灯的概率是______；
(2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，刚好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请
用树状图或列表法加以说明．考点3 游戏的公平性
【典例精讲】（25-26九年级上·安徽宿州·期中）小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只
有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分
成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那
么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（ ）
A．公平 B．对小颖有利 C．对小亮有利 D．公平性不可预测
【变式训练1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学兴趣活动课上，小轩和小辉玩抽卡片游戏，如图，
他们制作了5张卡片，除正面不同外，其形状、大小、质地和背面图案都完全相同．小轩将它们背面朝上，
洗匀后摆放在桌面上．
(1)若小轩从中随机抽取一张卡片，抽到的是“高陵果子”的概率是______．
(2)若规定：小轩从中随机抽取一张卡片（不放回），小辉再从中随机抽取一张卡片，若这两张卡片中没
有水果，则小轩赢，否则小辉赢．请你用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平?（注：水果是卡
片D，E）
【变式训练2】（25-26九年级上·浙江·期中）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A，B平
均分成2份和3份，并在每一份内标有数字如图．游戏规则：甲转动转盘A一次，乙转动转盘B一次，当
转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则无效．要重新转动转盘．
(1)用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由；若不公平，请改动转盘A上的一个数字使得游戏公平（不
需要写出理由）．
【变式训练3】（25-26九年级上·湖南长沙·期中）为了加强学生的垃圾分类意识，某校对学生进行了一
次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，
测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所
示的不完整的统计表．
垃圾分类知识测试成绩统计表
测试等级 百分比 人数
A．优秀 5% 10
B．良好 30
C．及格 45% m
D．不及格 n
请结合统计表，回答下列问题：
(1)求本次参与调查的学生人数及m，n的值；
(2)如果测试结果为“良好”及以上即为对垃圾分类知识比较了解，已知该校学生总数为3600人，请根据
本次抽样调查的数据估计全校比较了解垃圾分类知识的学生人数；
(3)为了进一步在学生中普及垃圾分类知识，学校准备再开展一次关于垃圾分类的知识竞赛，要求每班派
一人参加．某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加．班长设计了如下游戏来确定人选，
具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树
状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【演练1】（2025·山东德州·中考真题）把英文单词“PEOPLE”中的字母依次写在完全相同的6张卡
片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡
的概率是 ．
【演练2】（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支
队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组
决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所
标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个
小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
【演练3】（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体
育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个
小组：
A：0≤x<15；B：15≤x<30；C：30≤x<45；D：45≤x<60 ；E：60≤x<75
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生
有多少人？
(3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到
1名男生和1名女生的概率．
【演练4】（2025·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、
7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3
的两个球的概率．
【演练5】（2024·青海西宁·中考真题）2024年4月23日是第29个世界读书日，我市某社区开展了以
“最美人间四月天，不负韶华读书时”为主题的系列读书活动．
(1)为了解西宁市初中生每周的累计读书时长，应采用的调查方式是 （填“全面调查”或“抽样调查”）．
(2)该社区某校准备从A，B，C，D四名同学中选择两人作为“好书推荐官”，参加社区的好书推荐活动．
请用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出A，B两名同学恰好同时被选中的概率．基础夯实
1．（25-26九年级上·北京·月考）2025年，人工智能领域持续升温，成为全球科技和经济的核心驱动力．
小全和小华准备在比较热门的DeepSeek，豆包，Kimi三个软件中分别随机选择一个下载，他们恰好都选
到豆包的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 2 3 9
2．（25-26九年级上·山西晋中·期中）为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学
在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三
本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
3．（25-26九年级上·山西晋中·期中）用图中两个可自由转动的转盘做“配橙色”游戏（其中一个转出
红色，另一个转出黄色即可配成橙色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇
形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 64．（25-26九年级上·山西运城·期中）如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字：1，2，3，4，
5，6的正方体骰子，甲、乙两名同学按照以下游戏规则：每人先掷骰子，骰子朝上的数是几，就将棋子前
进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到乙掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格
子．他知道无论怎样，掷一次骰子都得不到汽车，申请连续掷两次，他连续掷两次骰子能获得汽车的概率
是（）
1 1 7
A． B． C．1 D．
6 2 36
5．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界
誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大
寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐
从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”
的概率是 ．
6．（25-26九年级上·山西朔州·月考）第十五届全运会于2025年11月9日至21日在粤港澳大湾区举办，
某体育比赛馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两名运动员各随机选一个通道进入，则他们从不同通
道进入体育比赛馆的概率是 ．
7．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）现有4个分别标有汉字“诚”“实”“友”“善”的小球，它们
除表面所标汉字不同外其他都相同，将4个小球放在箱子中摇匀，然后随机摸出一个小球，不放回．再随
机摸出一个，则这两次摸出的小球上的汉字能组成词语“友善”（不分先后顺序）的概率为 ．
8．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”
“苏”“州”四个字卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀．
(1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“苏”的概率是________．
(2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率．
9．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）珠海博物馆于2024年3月5日至4月6日展出四件国宝级文物
（清代圆明园海晏堂部分十二生肖兽首文物原件）．小明、小华分别从离博物馆3km和5km的两地同时出
发前往博物馆，小明、小华的平均速度比是3:4，结果小明比小华提前10分钟到达博物馆．
(1)求小明、小华的平均速度；
(2)进入博物馆后，由于即将闭馆．两人决定在四件兽首A，B，C，D中随机选择其中一件兽首参观，请用
列表或画树状图法求出他们选中同一件兽首参观的概率．
10．（25-26九年级上·四川泸州·期中）为了倡导“节约用水，从我做起”，贵阳市直属机关200户家
庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），调查
中发现，每户家庭月平均用水量在3∼7吨范围内，并将调查结果制成了如下尚不完整的统计表：
月平均用水量(吨) 3 4 5 6 7
频数（户数） 4 a 9 10 7
频率 0.08 0.40 b c 0.14
请根据统计表中提供的信息解答下列问题：
(1)填空：a=______，b=______，c=______；
(2)这些家庭中月平均用水量数据的平均数是______，众数是______，中位数是______；
(3)根据样本数据，估计该市直属机关200户家庭中月平均用水量不超过5吨的有多少户？
(4)市政府决定从月平均用水量最省的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请
用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、丙两户的概率．培优拔高
11．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）为组建学校秋季田径运动会开幕式彩旗队，九（1）班决定从符
合身高条件的3名男生和2名女生中随机抽调两名学生进入彩旗队．则恰好抽到一名男生和一名女生的概
率是（ ）
1 3 2 5
A． B． C． D．
5 5 3 6
12．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白
球，现从袋子中先后摸出两个球（不放回），则两个球颜色不同的概率为（ ）
13 2 3 12
A． B． C． D．
25 5 5 25
13．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一枚棋子依次沿正方形ABCD的四个顶点A，B，
C，D，A，B，C，…移动．开始时，棋子位于点A处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得
1点就移动1步到点B处，掷得3点就移动3步到点D处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起
点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点A处的概率是（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
14．（25-26九年级上·河南安阳·期中）每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月5日，某校采用
随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，测评成绩前四名的学生恰好是1个女生和
3个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加市级消防安全知识竞赛，则抽到的2个学生恰好是一男生与
一女生的概率是 ．
15．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）一个布袋里装有2个红球，2个白球，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，记下颜色不放回．再摸出一个球，则两次摸出的球都是红球的概率是 .
16．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）已知有四张正面分别标有数字−2，0，−3，4的卡片，这四张
卡片除正面所标内容不同外，其余都相同，将这四张卡片背面朝上放置在桌面上，洗匀后从中随机抽取一
张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取一张．则两次抽取卡片上的数字之积为负数的概率是 ．
17．（23-24九年级上·贵州贵阳·月考）小明和小颖用如图所示的两个转盘（转盘B三等分）做配紫色
游戏，游戏规则是：分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可以配成紫
色（若指针指向两个扇形的交线，则重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．同时转动两个
转盘，能配成紫色的概率是 ．
18．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）2025年国庆黄金周期间，岳阳旅游景点热闹非凡．市文旅局为
了进一步提升旅游服务质量，对本次国庆期间到过岳阳游玩的部分游客通过在线APP调查的方式评选出
“您最推荐的景点”，对岳阳市各景点包括：岳阳楼、圣安寺、君山岛、洞庭南路（以下分别用A、B、
C、D表示，只能选择一类）的情况进行了抽样调查，并将调查结果绘制如图所示不完整的两幅统计图．
(1)补全这两幅统计图；
(2)若国庆期间岳阳市累计接待了游客约295万人，根据抽样调查的结果估计最推荐A岳阳楼的游客有多少
万人？
(3)某游客准备到岳阳旅游，随机选择A、B、C、D四个景点中的两个去游玩，请用画树状图或列表的方
法，求该游客恰好选择岳阳楼和洞庭南路这两个景点的概率．19．（25-26九年级上·四川成都·期中）成都市某旅游机构抽样调查了外地游客对A、B、C、D四个景点
作为最佳旅游景点的喜爱情况（每人只选一种），并将调查情况绘制成如图两幅不完整的统计图；
(1)本次参加抽样调查的游客有_________人，根据题中信息补全条形统计图；
(2)若某批次游客有6000人，请你估计选择C景点作为最佳旅游景点的有_________人；
(3)旅游景点举行游客有奖问答活动． 现有2男2女4名游客回答对了问题． 现从这四名游客中随机抽取
2名游客发放纪念品，请用列表或画树状图的方法求获得此次纪念品的是一男一女的概率．
20．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）某市教育局对某九年一贯制学校做课堂教学满意度情况督导调
研．从该校初中部和小学部各随机抽取20名学生对课堂教学满意度评分（满分10分），将收集到的评分
数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．初中部20名学生所评分数的频数分布直方图如图：
（数据分成4组：6≤x<7，7≤x<8，8≤x<9，9≤x≤10）8≤x<9
b．初中部20名学生所评分数在 这一组的是：
8.0 8.1 8.2 8.2 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8
c．初中部、小学部各20名学生所评分数的平均数、中位数如表：
平均 中位
数 数
小学
8.3 8.5
部
初中
8.3 m
部
根据以上信息，回答下列问题：
(1)调查的40名学生对课堂教学满意度评分的平均数是_________，表中的m值为_________；
(2)根据调查前制定的满意度等级划分标准，评分不低于8.5分为“非常满意”．
①若该校初中部共有400名学生，估计其中对课堂教学“非常满意”的学生人数；
②该学校从被调查的学生中随机抽取三人作为满意度调查访谈对象，所抽取学生的满意度评分情况如下：
小明评分9.5分，小强评分8.6分，小琪评分8.2分．实地督导过程中从这3人中随机抽取了2人进行访
谈，请求出调查结果一致为“非常满意”的概率．
