文档内容
专题强化：频率和概率的综合训练
一、单选题
1．（2021·黑龙江·兰西县第三中学九年级期中）下列判断正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上 B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示
明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
2．（2021·黑龙江齐齐哈尔·九年级期末）袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相
同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ）
A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B．摸出的三个球中至少有一个球是白球 C．摸出的三个球中至少有
两个球是黑球 D．摸出的三个球中至少有两个球是白球
3．（2022·山东·济南六十八中九年级期中）在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外
没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10
次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ）
A．12个 B．16个 C．20个 D．30个
4．（2022·贵州·贵阳市乌当区新天学校九年级阶段练习）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知
识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽
到2名女学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江·舟山市第一初级中学九年级阶段练习）如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向
右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·九年级）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，那么这个点取
在阴影部分的概率是（ ）A． B． C． D．
7．（2022·山西·九年级专题练习）在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机
从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·九年级课时练习）正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴
影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·山东·薛城区北临城中学一模）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如
图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方体,第(2)
个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一
个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·全国·九年级专题练习）从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为 、 ，则关于 的
一元二次方程 有实数解的概率为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022·辽宁抚顺·九年级阶段练习）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相
同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，
估计袋中红球的个数是__________．
12．（2022·山西吕梁·九年级期末）袋中装有6个黑球和n个白球，经过若干次试验，发现“若从袋中任摸出一个
球，恰是黑球的概率为 ”，则这个袋中白球大约有_____个．
13．（2022·甘肃酒泉·二模）在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色与红球不同的
白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为
_____．
14．（2022·浙江·衢江锦绣中学九年级阶段练习）大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是
小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的
总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估
计黑色部分的总面积约为________ ．
15．（2022·全国·九年级课时练习）有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭
成一个三角形的概率是__________．
16．（2022·全国·九年级课时练习）现有四张正面分别标有数字﹣1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余
完全相同，将它们背而面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下
数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P（m，n）在第二象限的概率为__________．
17．（2022·江苏·九年级专题练习）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块
地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是___________．
三、解答题
18．（2023·江西·九年级专题练习）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个
字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张
卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是__________；
（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．
19．（2022·新疆·乌鲁木齐市第七十四中学九年级期末）我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科
书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读.某校对 《三国演义》、
《红楼梦》、 《西游记》、 《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干
名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图：
（1）本次一共调查了_________名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中
《三国演义》和《红楼梦》的概率.
20．（2022·山东德州·一模）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴
趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下
两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了_______人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为_______；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“_______”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
21．（2022·辽宁·沈阳市虹桥中学溪湖分校九年级阶段练习）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴
趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡
片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求
抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表
示）
22．（2022·全国·九年级专题练习）甲、乙两名同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为1，2，
3，4的四个小球(除标号外无其它差异).从口袋中随机摸出一个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从
口袋中随机摸出一个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用x、y表示.若x＋y为奇数，则甲获胜；若x
＋y为偶数，则乙获胜.
(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，求(x，y)所有可能出现的结果总数；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由.23．（2022·河北承德·一模）为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名
老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：
6 7 7 8 8 8 9
甲社区 68 75 78 80 83 85 90 95
7 3 6 2 4 5 2
6 7 7 8 8 8 9
乙社区 69 74 78 80 85 88 91 98
6 2 5 1 5 9 6
根据以上信息解答下列问题：
（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；
（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同
一个社区的概率．
24．（2021·全国·九年级单元测试）（1）某校招聘教师一名，现有甲、乙、丙三人通过专业知识、讲课、答辩三
项测试，他们各自的成绩如下表所示：
应聘者 专业知识 讲课 答辩
甲 70 85 80
乙 90 85 75
丙 80 90 85
按照招聘简章要求，对专业知识、讲课、答辩三项赋权5：4：1．请计算三名应聘者的平均成绩，从成绩看，应该
录取谁？
（2）我市举行了某学科实验操作考试，有A、B、C、D四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并
由学生自己抽签决定具体的考试实验．小王，小张，小厉都参加了本次考试．①小厉参加实验D考试的概率是 ；
②用列表或画树状图的方法求小王、小张抽到同一个实验的概率．
25．（2022·全国·九年级单元测试）某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折
扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠、指针指
向其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物
品享受8折优惠，其它情况无优惠．在每个转盘中，指针指向每个区域的可能性相同（若指针指向分界线，则重
新转动转盘）
（1）若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为多少；
（2）若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率．
26．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学九年级阶段练习）动画片《小猪佩奇》分靡全球，受到孩子们的喜爱.现有4
张《小猪佩奇》角色卡片，分别是A佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸（四张卡片除字母和内容外，其余完
全相同）.姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好.
（1）姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为 ；
（2）若两人分别随机抽取一张卡片（不放回），请用列表或画树状图的分方法求出恰好姐姐抽到A佩奇弟弟抽到
B乔治的概率.
27．（2021·福建·宁德市博雅培文学校九年级阶段练习）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，
减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式
分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查．
（1）甲组抽到A小区的概率是多少；
（2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率．28．（2021·四川·成都市蜀西实验学校九年级期中）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全
面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字
母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后
将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是 ．
（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录
下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．
29．（2021·福建·泉州市第六中学九年级期中）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大
意是：齐王有上、中、下三匹马 ，田忌也有上、中、下三匹马 ，且这六匹马在比赛中的胜负可用
不等式表示如下： （注： 表示A马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌
赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐
王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、
中马、下马比赛，即借助对阵（ ）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．
假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：
（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜
的概率；
（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出
田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．参考答案：
1．C
【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误，不符合题意；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误，不符
合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确，符合题意；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
2．A
【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即
可．
【详解】A、是必然事件，故本选项符合题意；
B、是随机事件，故本选项不符合题意；
C、是随机事件，故本选项不符合题意；
D、是随机事件，故本选项不符合题意．
故选A．
3．A
【详解】解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球，
∴有30次摸到白球．
∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3．
∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3．
∴4×3=12（个）．
故选A．
4．B
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2名学
生中恰好有2名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生中恰好有2名女生的有6种情况；
∴P = ．
（2女生）
故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不
遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以
上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．C
【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、
D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的
意义列式即可得解．
【详解】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以小球从E出口落出的概率是： ；
故选：C．
【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
6．C
【详解】分析：先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是7x，再根据几何概率的
求法即可得出答案．
详解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是7x，
则这个点取在阴影部分的概率是 ，
故选C．
点睛：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影
区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事
件（A）发生的概率．7．A
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的
情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为 ，
故选A．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不
重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或
两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
8．A
【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【详解】解：如图，连接PA、PB、OP，
则S = ，S = ×2×1=1，
半圆O ABP
△
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S ﹣S ）
半圆O ABP
△
=4（ ﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为 ，
故选A．【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积．
9．D
【分析】根据图形规律可得第n个图形共有1+2+3+4+...+n= 个正方体，最下面有n
个带“心”字正方体，从而得出第100个图形的情况，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：由图可知：
第1个图形共有1个正方体，最下面有1个带“心”字正方体；
第2个图形共有1+2=3个正方体，最下面有2个带“心”字正方体；
第3个图形共有1+2+3=6个正方体，最下面有3个带“心”字正方体；
第4个图形共有1+2+3+4=10个正方体，最下面有4个带“心”字正方体；
...
第n个图形共有1+2+3+4+...+n= 个正方体，最下面有n个带“心”字正方体；
则：第100个图形共有1+2+3+4+...+100= =5050个正方体，最下面有100个带
“心”字正方体；
∴从第(100)个图案所需正方体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是
，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形变化规律，概率的求法，解题的关键是总结规律，得到第100个
图形中总正方体的个数以及带“心”字正方体个数．
10．C
【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【详解】由题意，△=42-4ac≥0，
∴ac≤4，
画树状图如下：a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为 ，
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解
题的关键.
11．6
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方
程求解即可．
【详解】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握大量重复试验时，事件发
生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，
可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概
率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
12．2
【详解】解：∵袋中装有6个黑球和n个白球，
∴袋中一共有球（6+n）个，
∵从中任摸一个球，恰好是黑球的概率为 ，∴ ，
解得：n=2．
故答案为2．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数
之比．注意方程思想的应用．
13．20
【分析】利用频率估计概率，设原来红球个数为x个，根据摸取30次，有10次摸到白色
小球结合概率公式可得关于x的方程，解方程即可得.
【详解】解：设原来红球个数为x个，
则有 = ，
解得，x=20，
经检验x=20是原方程的根.
故答案为20．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及
分式方程的求解方法是解题的关键．
14．2.4
【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计
算即可；
【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm，
∴正方形二维码的面积为 ，
∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%，
∴黑色部分的面积约为： ，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键．
15．
【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭
成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、
5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P= .
故其概率为： ．
【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．
用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P
（m，n）在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中点P（m，n）在第二象限的结果数为3，
所以点P（m，n）在第二象限的概率＝ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概
率．也考查了点的坐标．
17．
【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，
∴黑色方砖在整个区域中所占的比值= ，
∴小球停在黑色区域的概率是 ；故答案为：
【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比．
18．（1） ；（2）
【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可
得．
【详解】解：（1）因为有 ， ， 种等可能结果，
所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是 ；
故答案为 ．
（2）树状图如图所示：
共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 ，
19．（1）50；（2）见解析；（3）
【分析】(1) 本次一共调查：15÷30%;(2)先求出B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7，再画图；
（3）先列表，再计算概率.
【详解】（1）本次一共调查：15÷30%=50（人）；
故答案为50；
（2）B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7=12，
如图所示：（3）列表：
A B C D
A AB AC AD
B BA BC BD
C CA CB CD
D DA DB DC
∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，
∴P（选中A、B）= = ．
【点睛】本题考核知识点：统计初步，概率. 解题关键点：用列表法求概率.
20．（1）200、81°；（2）补图见解析；（3）
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用
360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定
义求解可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一
种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°× =81°，
故答案为200、81°；
（2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，补全图形如下：
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，
故答案为微信；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图如下：
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为 = ．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为
2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率= ．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可
能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要
注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22．(1)见解析；(2)这个游戏对双方公平，理由见解析.
【分析】(1)通过列表法即可得(x,y)所有可能出现的结果数；
(2)根据(1)的结果，分别找出x+y为奇数、x+y为偶数的结果数，利用概率公式分别求解后
进行比较即可.
【详解】(1)列表如下：
1 2 3 4
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
由表格可知(x，y)所有可能出现的结果共有16种；
(2)这个游戏对双方公平，理由如下：由列表法可知，在16种可能出现的结果中，它们出现的可能性相等，
∵x＋y为奇数的有8种情况，∴P(甲获胜)＝ ，
∵x＋y为偶数的有8种情况，∴P(乙获胜)＝ ，
∴P(甲获胜)＝P(乙获胜)，
∴这个游戏对双方公平.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概
率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）中位数是82，众数是85；（2） .
【分析】（1）根据中位数及众数的定义解答；
（2）列树状图解答即可.
【详解】（1）甲社区老人的15个年龄居中的数为：82，故中位数为82，
出现次数最多的年龄是85，故众数是85；
（2）这4名老人的年龄分别为67,68,66,69岁，分别表示为A、B、C、D，
列树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中2名老人恰好来自同一个社区的有4种，分别为AB，BA，
CD，DC，
∴P（这2名老人恰好来自同一个社区）= .
【点睛】此题考查统计知识，会求一组数据的中位数、众数，能列树状图求事件的概率，
熟练掌握解题的方法是解题的关键.
24．（1）见解析；（2）① ；②小王、小张抽到同一个实验的概率为 ．
【分析】(1)由加权平均数公式求解即可；（2）直接运用简单概率求法可得结果 ；用列
表法列出所有可能情况，再计算概率.
【详解】解： 分分
分
因为乙的平均成绩最高，
所以应该录取乙；
（2）①小厉参加实验D考试的概率是 ，
故答案为 ；
②解：列表如下：
A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
所有等可能的情况有16种，其中两位同学抽到同一实验的情况有AA，BB，CC，DD，4
种情况，
所以小王、小张抽到同一个实验的概率为 = ．
【点睛】本题考核知识点：加权平均数，概率. 解题关键点：熟记加权平均数公式，用列
举法求概率.
25．（1）享受9折优惠的概率为 ；（2）顾客享受8折优惠的概率为 ．
【分析】（1）由转动转盘甲共有四种等可能结果，其中指针指向A区域只有1种情况，利
用概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中确定指针指向每个区域的字母相同的结果数，利
用概率公式计算可得．
【详解】（1）若选择方式一，转动转盘甲一次共有四种等可能结果，其中指针指向A区
域只有1种情况，∴享受9折优惠的概率为 ；
（2）画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有2种结果，
所以指针指向每个区域的字母相同的概率，即顾客享受8折优惠的概率为 = ．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重
复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两
步以上完成的事件．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比．
26．（1） ；（2）
【分析】（1）直接利用求概率公式计算即可；（2）画树状图（或列表格）列出所有等可
能结果，根据概率公式即可解答．
【详解】（1） ；
（2）方法1：根据题意可画树状图如下： 方法2：根据题意可列表格如下：
弟
弟 A B C D
姐姐A （A,B） (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C)
由列表（树状图）可知，总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中姐姐抽到A
佩奇，弟弟抽到B乔治的结果有1种：（A，B）.
∴P（姐姐抽到A佩奇，弟弟抽到B乔治）
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解决问
题用到概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比．
27．（1）甲组抽到A小区的概率是 ；（2）甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概
率为 ．
【分析】（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）甲组抽到A小区的概率是 ，
故答案为 ．
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1，
∴甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率为 ．
【点睛】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图.
28．（1） ；（2）见解析， .【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科
技社团D的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率＝ ；
（2）列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表可知共有12种等可能结果，小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数为6
种，
所以小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率为 .
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求
出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概
率
29．（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜， ；（2）不是，田忌获胜的
所有对阵是 ， ， ， ，
， ，
【分析】（1）通过理解题意分析得出结论，通过列举法求出获胜的概率；
（2）通过列举齐王的出马顺序和田忌获胜的对阵，求出概率．
【详解】（1）田忌首局应出“下马”才可能在整场比赛中获胜．
此时，比赛的所有可能对阵为：， ，
， ，共四种．
其中田忌获胜的对阵有
， ，共两种，
故此时田忌获胜的概率为 ．
（2）不是．
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ；
齐王的出马顺序为 时，田忌获胜的对阵是 ．
综上所述，田忌获胜的所有对阵是
， ， ，
， ， ．
齐王的出马顺序为 时，比赛的所有可能对阵是
， ， ，
， ， ，
共6种，同理，齐王的其他各种出马顺序，也都分别有相应的6种可能对阵，
所以，此时田忌获胜的概率 ．【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查推理能力、应用意识，考查统
计与概率思想；通过列举所有对阵情况，求得概率是解题的关键．
