文档内容
专题 32 锐角三角函数
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：锐角三角函数的定义........................................................................................................................2
考点二：解直角三角形....................................................................................................................................2
考点三：解直角三角形实际应用....................................................................................................................3
模块二：题型分类....................................................................................................................................................6
考点一：锐角三角函数....................................................................................................................................6
题型一：正弦余弦正切概念理解......................................................6
题型二：角的正弦值求解............................................................7
题型三：角的余弦值求解............................................................8
题型四：角的正切值求解............................................................9
题型五：利用正弦值求边长.........................................................10
题型六：利用余弦值求边长.........................................................12
题型七：利用正切值求边长.........................................................13
题型八：特殊角三角函数值混合运算.................................................14
题型九：求特殊角三角函数值.......................................................15
题型十：特殊角三角函数值判断三角形形状...........................................15
题型十一：用计算器求锐角三角函数值...............................................16
题型十二：已知角度比较三角函数值大小.............................................18
题型十三：三角函数值判断锐角的取值范围...........................................18
题型十四：同角三角函数关系求解...................................................19
题型十五：求证同角三角函数关系式.................................................20
题型十六：互余两角三角函数关系...................................................21
考点二：解直角三角形..................................................................................................................................23
题型一：构造直角三角形解直角三角形...............................................23
题型二：网格中解直角三角形.......................................................25
题型三：坐标系中解直角三角形.....................................................26
题型四：解直角三角形的相关计算...................................................28
题型五：构造直角三角形求不规则图形...............................................29
考点三：解直角三角形的应用......................................................................................................................33
题型一：仰角、俯角问题...........................................................33
题型二：方位角问题...............................................................40
题型三：坡度坡比问题.............................................................44
题型四：坡度坡比与仰角俯角问题综合...............................................46
题型五：实际生活模型应用.........................................................48专题 32 锐角三角函数
模块一：基础知识
考点一： 锐角三角函数的定义
1.锐角三角函数的概念：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．（其中：0＜∠A＜
90°）
2.正弦、余弦、正切的概念
定义 表达式 图形
∠A的对边 a A
正弦 sinA= sinA=
斜边 c
∠A的邻边 b c
余弦 cosA= cosA= b
斜边 c
a
∠A的对边 a
正切 tanA= tanA= C B
∠A的邻边 b
3.锐角三角函数的关系：
在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：
sin A
（1）同角三角函数的关系：tan A= ，sin2A+cos2A=1
cosA
（2）互余两角的三角函数关系：sin A = cos B, sin B = cos A, tan A•tanB=1
4.特殊角的三角函数值
三角函数 30° 45° 60°
√2 √3
2 2
√3 √2 1
cosα
2 2 2
√3
tanα 1 √3
3
【补充】表中是特殊角的三角函数值.反过来，若已知一个特殊角的三角函数值，则可求出相应的锐角.
5. 锐角三角函数的性质
sin A随∠A的增大而增大
性质 前提：0°＜∠A＜90° cos A随∠A的增大而减小
tan A随∠A的增大而增大
考点二：解直角三角形
1.解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直
角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2.在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B
（2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）
A
（3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°
c
b
a
C B（4）边角之间的关系：
∠A所对的边 a ∠B所对的边 b
sin A= = ，sin B= =
斜边 c 斜边 c
∠A所邻的边 b ∠B所邻的边 a
cos A= = ，cosB= =
斜边 c 斜边 c
∠A所对的边 a ∠B所对的边 b
tan A= = ，tanB= =
邻边 b 邻边 a
3.解直角三角形常见类型及方法：
已知类型 已知条件 解法步骤
斜边和一直角边
(如c,a) ① ② ③∠B=90°－∠A
两边 15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509
两直角边
(如a,b) ① ② ③∠B=90°－∠A
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509
斜边和一锐角
（如c，∠A） ①∠B=90°－∠A ②
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509
③
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509
一边和一锐角 一直角边和一锐角
（如a，∠A） ①∠B=90°－∠A ②
③
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509
另一直角边和一锐角
（如b，∠A） ①∠B=90°－∠A ②
③
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509
考点三：解直角三角形实际应用
1.解直角三角形的相关的名词、术语：
（1）视角：视线与水平线的夹角叫做视角．
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
（2）方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．
h
（3）坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=
.
l
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
2.解直角三角形实际应用的一般步骤：（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
3.测量物体的高度的常见模型：
（1）利用水平距离测量物体高度（双直角三角形）
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次
求边，或通过公共边相等，列方程求解.
（2）测量底部可以到达的物体高度
模型 需测量数据 数量关系 原理
测量仪高m， ℎ−m
tanα=
n
h 水平距离n，
α
h= m+n•tanα 矩形的性质与直角三
m
倾斜角α
n 角形的边角关系
水平距离n， h h
tana= 1，tanβ= 2
h 1 仰角α， n n
α
β 俯角β
h=h
1
+h
2
=n（
h tana+tanaβ）
2
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509
n
（3）测量底部不可到达的物体的高度模块二：题型分类
考点一：锐角三角函数题型一：正弦余弦正切概念理解
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变
2.如下1图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（ ）
A．sinα的值越大，梯子越陡 B．cosα的值越大，梯子越陡
C．tanα的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠α的函数值无关
3.如上2图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（ ）．
AD BD BD DC
A． B． C． D．
AB AD BC BC
BC 3
4.如上3图，在△ABC中，∠C＝90°， = ，则（ ）
AB 5
3 3 4 4
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝
5 5 3 3
3
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosA的值是（ ）
5
3 3 4 5√34
A． B． C． D．
5 4 5 34
6.在 ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（ ）
A．△b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB
7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB题型二：角的正弦值求解
1.如下1图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,3)，那么sinα的值是（ ）
3 4 4 3
A． B． C． D．
4 3 5 5
2．如上2图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，
则sinA= ．
3.如上3图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、
D，则sin∠ADC的值为（ ）
2√13 3√13 2 3
A． B． C． D．
13 13 3 2
4.如下1图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，连接PO并延长与⊙O交于点C、D，若CD=12，
PA=8，则sin∠ADB的值为（ ）
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
5.如上2图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的
顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）．
3√5 √17 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
6.如下1图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB上一点，连接CE，CD．
(1)若∠DCA=∠ECB，求证：CE⊥DB；
(2)在(1)的条件下，若AB=6，DE=5，求sin∠DBC．题型三：角的余弦值求解
1.在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，垂足为点D，如果AB=5，BD=2，那么cosC= ．
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径．若CD=10，弦AC=6，则cos∠ABC的值为
（ ）
4 3 4 3
A． B． C． D．
5 5 3 4
3.在△ABC中，∠A＝90°，若tanB＝0.75，则cosC的值为（ ）
√3
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．
2
4.如下1图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，
则cos∠BAC的值是（ ）
√5 √10 2√5 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
5.如上2图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA=（ ）
√5−1 √5+1 √5−1 3−√5
A． B． C． D．
4 4 2 2
6.如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格上，则cos∠BAC的值为 ．7.如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），OC＝3，点D在⊙O上且满足
AC＝AD，连接DC并延长到E点，使BE＝BD．
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BE＝6，试求cos∠CDA的值．
题型四：角的正切值求解
1.如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反
射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为 ．
2.如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点
D，则tan∠ADC＝（ ）
4 √3 3
A． B． C．1 D．
3 2 2
3.北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正
六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝ ．
4.如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD=∠BAC，连接OD交
BC于点E．
(1)求证：CD是⊙O的切线．
4
(2)若CE=OA,sin∠BAC= ，求tan∠CEO的值．
55.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC:BC=1:2，
连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P(1,1)，则tan∠OAP的值是（ ）
√3 √2 1
A． B． C． D．3
3 2 3
6.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中
点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
7.如图，在正方形ABCD中，BC=5，点G，H分别在BC，CD上，且BG=CH=2，AG与BH交于
点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN的值为 ．
题型五：利用正弦值求边长
3
1.在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sin A= ，则AB的长是（ ）
5
500 503
A． B． C．60 D．80
3 52.如图，以直角坐标系的原点O为圆心，以1为半径作圆．若点P是该圆上第一象限内的一点，且OP与x
轴正方向组成的角为α，则点P的坐标为（ ）
A．(cosα,1) B．(1,sinα) C．(sinα,cosα) D．(cosα,sinα)
3.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，
AB=60，则点A到BC的距离为（ ）
60
A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50°
sin50°
4
4.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，sin∠COA= ．若反比例函
5
k
数y= (k>0,x>0)经过点C，则k的值等于（ ）
x
A．10 B．24 C．48 D．50
5.如上2图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F，若
3
BC=4，sin∠CEF= ，则△AEF的面积为（ ）
5
A．3 B．4 C．5 D．6
3
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=8，点D是AB边上一点，BD=5，sin∠DCB= ，则AC=
5
．7.如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E，交
AC的延长线于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
3
(2)若EB=1，且sin∠CFD= ，求DF的长．
5
题型六：利用余弦值求边长
√3
1.如图，在△ABC中，∠C=90°,cosA= ,AC=4√3，则AB长为（ ）
2
A．4 B．8 C．8√3 D．12
2.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交
4
AC于点E，且cosα＝ ，则线段CE的最大值为 ．
5
3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上且不与点A，B重合，CD是⊙O的切线，过点B作BD⊥CD
于点D，交⊙O于点E．
(1)证明：点C是A´E的中点；
1
(2)若BD=4，cos∠ABD= ，求⊙O的半径．
35
4.如图所示，ABCD为平行四边形，AD=13，AB=25，∠DAB=α，且cosα= ，点E为直线CD上
13
一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）当点C，B，F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；
（3）求线段CF的长度的最小值．
题型七：利用正切值求边长
3
1.如图，直角△ABC中，∠C=90°，根据作图痕迹，若CA=3cm，tanB= ，则DE= cm．
4
1
2.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝ ，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
2
3 3
A．2√5+ B．2√5+1 C．2√5+ D．2√5＋2
4 2
3.如图，已知，在△ABC中，O为AB上一点，CO平分∠ACB，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O与
BC相切于点B，交CO于点D，延长CO交⊙O于点E，连接BD，BE．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）若tan∠BDE=2，BC=6，求⊙O的半径．1
4.如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝ ，则AD的长是
3
．
5.如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC
的延长线于点D．
(1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
1
(2)若PC＝4，tanA＝ ，求△OCD的面积．
2
1 k
6.如图，点A在第一象限，AC⊥x轴，垂足为C，OA=2√5，tanA= ，反比例函数y= 的图像经过
2 x
OA的中点B，与AC交于点D．
(1)求k值；
(2)求△OBD的面积．
题型八：特殊角三角函数值混合运算
1.计算：(−1) 2019+ ( − 1) −2 −|2−√12|+4sin60°．
2
(1) −1
2.计算： +√12−4sin60°．
2
3.计算：√12+(3.14−π) 0−3tan60°+|1−√3|+(−2) −2．
4.计算√8+|−2|×cos45°的结果，正确的是（ ）
A．√2 B．3√2 C．2√2+√3 D．2√2+2x ( 1 )
5.先化简，再求值： ÷ 1− ，其中x=√2sin45°+2tan45°
x2−1 x+1sin30°⋅cos30°
6.计算： −√2sin45°．
tan30°⋅tan45°
(a2−2a ) 2a−1
7.先化简，再求值： −1 ÷ ，其中a=2cos30°+1．
a2−1 a+1
8.先化简，再求值： ( a+1− 3 ) ÷ a2+4a+4 ，其中a=tan45°+( 1 ) −1 −π0
a−1 a−1 2
题型九：求特殊角三角函数值
1.2sin45°的值等于（ ）
√2 √3
A． B． C．1 D．√2
2 3
2.如图，这是一块三角尺ABC，其中∠B=30°，∠C=90°，则2cosA的结果为（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．2
3.在实数√2，x0（x≠0），cos30°，√38中，有理数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.(tan60°) 2+(cos45°) −1= ．
k
5.若反比例函数y= 的图象过点(−2，sin30°)，则k的值为 ．
x
√3 α
6.若锐角α满足sinα= ，则cos = ．
2 2
7.计算|1−tan60°|的值为（ ）
√3
A．1−√3 B．0 C．√3−1 D．1−
3
题型十：特殊角三角函数值判断三角形形状
1.若(√3tan A−3) 2+|2cosB−√3|=0，则△ABC的形状是（ ）
A．含有60°直角三角形 B．等边三角形C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形1 2 √3
2.在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且(sinA− ) +|cosB− |=0，则△ABC的形状是( )
2 2
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
3.在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且|tanB−√3|+(2cosA−√3) 2=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
√3
4.在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且sin A= ，tanB=√3，则△ABC是（ ）
2
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
√2
5.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝ ，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
2
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
| √3| (1 ) 2
6.在△ABC中，若 sin A− + −cosB =0，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是 三角形．
2 2
√2
7.在△ABC中，sin A=cos(90°−C)= ，则△ABC的形状是（ ）
2
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
( 1) 2
8.已知△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且 cosA− +|tanB−1|=0，
2
(1)分别求出三个内角度数；
(2)若AC=2，求AB长度．
题型十一：用计算器求锐角三角函数值
1.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18＇，按键顺序正确的是（ ）
15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509；15202662509
A．
B．
C．
D．1
2.利用科学计算器计算 cos35°，下列按键顺序正确的是（ ）
2
A．
B．
C．
D．
3.运用我们课本上采用的计算器进行计算时，下列说法不正确的是（ ）
√5
A．计算 的按键顺序依次为
B．要打开计算器并启动其统计计算功能应按的键是
C．启动计算器的统计计算功能后，要清除原有统计数据应按键
D．用计算器计算时，依次按如下各键 ，最后显示
结果是0.5
4.运用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下，则计算器显示的结果是 ．
5.如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五级均匀分布的台阶，高 AB＝
0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离 ED＝
2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1）
（参考数据表）
计算器按键顺序 计算结果（已精确到0.001）
11.3100.003
14.744
0.005
题型十二：已知角度比较三角函数值大小
1.比较大小：sin54° cos35°（填“<”“>”）．
2.比较大小：sin81∘ tan47°(填“<”“=”或“＞”)
3.如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（ ）
1 √3
A．0cos70°>tan70° B．tan70°>cos70°>sin70°
C．tan70°>sin70°>cos70° D．cos70°>tan70°>sin70°
题型十三：三角函数值判断锐角的取值范围
1.若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间2.在Rt△ABC中，我们规定：一个锐角的对边与斜边的比值称为这个锐角的正弦值．
BC
例如：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边BC与斜边AB的比值，即 就是∠A的正弦值．利用量角器
AB
可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下：
如图，设OA＝1，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，再以OA
为直径作⊙M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如：60°的正弦值约在
0.85～0.88之间取值，45°的正弦值约在0.70～0.72之间取值．下列角度中正弦值最接近0.94的是
（ ）
A．30° B．50° C．40° D．70°
1
2.若∠A是锐角，且sinA＝ ，则（ ）
3
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
3.若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间
1
4.已知 ，则∠A应满足 ．
2
√2
7.若锐角α满足cosα＜ 且tanα＜√3，则α的范围是( )
2
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
题型十四：同角三角函数关系求解
1.α为锐角，则sin2α+cos2α= ．若sinα=cos40°，则锐角α= ．5
2.已知∠α为锐角，且sinα= ，则cosα= ．
13
4
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanA＝ ．
5
3
4.如下1图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知CF=4，sin∠EFC= ，则
5
BF= ．
5.如上2图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于点D，若BD:CD=3:2，则tan∠DAC的值
为（ ）
2 √6 √6 √15
A． B． C． D．
3 3 2 3
6.如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐
标是 ．
7.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线与BC相交于点D，与⊙O过点B的切线
相交于点E．
(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；
(2)若AB=4，BD=2，求AD的长．
题型十五：求证同角三角函数关系式
1.嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
2 2
sin245°+sin245=
(√2)
+
(√2)
=1．
2 2
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．
(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2α+sin2β=1是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B
所对的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例；
(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，cosα之间的关系．
2.如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，且AO=BO．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
3
（2）∠BDC的平分线DM交BC于点M，当AB=3，tan∠DBC= 时，求CM的长．
4
3.求证：若α为锐角，则sin2α+cos2α=1．要求：
(1)如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，∠ACB为90°的Rt△ABC
（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)根据（1）中所画图形证明该命题．
题型十六：互余两角三角函数关系
6
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则cosB= ．
72
2.已知sin42°≈ ，则cos48°的值约为（ ）
3
√5 1 3 2
A． B． C． D．
3 3 2 3
3
3.在Rt△ABC，∠C=90∘，sinB= ，则sin A的值是（ ）
5
3 4 5 5
A． B． C． D．
5 5 3 44.如图，在Rt ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③
sinB=cosC；④△sinα=cosβ.其中正确的结论有 .
5.已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：
如图1：sin2 ∠A +sin2 ∠B =
1 1
如图2：sin2 ∠A +sin2 ∠B =
2 2
如图3：sin2 ∠A +sin2 ∠B =
3 3
①观察上述等式，猜想：如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2 ∠A+sin2 ∠B= ；
②如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定
义和勾股定理，证明你的猜想；
③已知：∠A+∠B=90°，且sin∠A=0.7，求sin∠B．
6．同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ，
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；cos(a−β)=cosαcosβ+sinαsinβ，
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ．
√6−√2
例：sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°= ．
4
(1)试仿照例题，求出cos75°的值；
1
(2)若已知锐角α满足条件sinα= ，求sin2α的值．
3考点二 ：解直角三角形
题型一：构造直角三角形解直角三角形
1.如下1图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tan∠C=2，则边AB的长为（ ）
A．3√2 B．3√5 C．3√7 D．6√2
3
2.如上2图，在△ABC中，∠A=45°，tanB= ，BC=10，则AB的长为 ．
4
1
3.如下1图，在 ABC中，sinB= ， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ）
3
△
√5
A．√2 B． C．√5 D．2
2
4.如上2图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=√6，CE平分∠ACB交AB于点E，则线
段CE的长为( )
A．√3 +1 B．2 C．√2 D．√6-√2
5.在△ABC中，AC=4√2，BC=6，∠C为锐角且tanC=1．
(1)求△ABC的面积；
(2)求AB的值；
(3)求cos∠ABC的值．6.公交总站(点A)与B、C两个站点的位置如图所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站点
离公交总站的距离即AB的长(结果保留根号)．
2√2
7.在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB= ，则∠ABC的大小为 度．
3
8.根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固
定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此
时∠ABO是45°，AB长为20cm．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，√2≈1.4
，结果精确到1cm）
（1）求固定点A到窗框OB的距离；
（2）若测得∠AOB=37°，求OA的长度．
9.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角
形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形有两角对应
相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”．
（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线
段BD的长．10.如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，连接AD，BE，
√3
tan∠BAD= ，点F、G分别在AD、BE上，连接AG，CF，若∠AGB=2∠CFD，AG=5，
5
CF=2√5，则线段AB的长为 ．
题型二：网格中解直角三角形
1.如下1图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC= ．
2.如上2图所示，∠MON是放置在正方形网格中的一个角，则tan∠MON的值是 ．
3.如上3图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 ．
4.如下1图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交
∠ADC
点，则sin 的值是 ．
2 640111198802093123
5.如上2图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为 ．
6.已知在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如上3图所示，则tan(α+β)= ．7.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）A，B，D，点C为弧
BD上一点．若∠CAD=30°，则阴影部分的面积为（ ）
5 5 5 13 13 5 13 13
A． π+ √3 B． π+ √3 C． π+ √3 D． π+ √3
6 4 6 4 6 4 6 4
题型三：坐标系中解直角三角形
1.平面直角坐标系内有一点P(1,2)，那么OP与x轴正半轴的夹角为α，tanα= ．
2．如下1图，含30°角的直角三角尺的斜边OA在y轴上，点O是坐标原点，点A的坐标为(0,8)，
∠OAB=30°，直角顶点B在第一象限，把直角三角尺OAB绕点O顺时针旋转75°得到△OA'B'，则点B
的对应点B'的坐标为 ．
3.如上2图，⊙A经过平面直角坐标系的原点O，交x轴于点B(-4，0)，交y轴于点C(0，3)，点D为第二象
限内圆上一点．则∠CDO的正弦值是（ ）
3 2 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 5
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB=√5，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2=BC⋅AC，
1
tanα= ，则点C的坐标为（ ）
2( 4 2) ( 2 4)
A．(−2,4) B． − , C． − , D．(−1,2)
3 3 3 35.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴
的正半轴上，矩形的边AB=a,BC=b,∠DAO=x．则点C到x轴的距离等于（ ）
A．acosx+bsinx B．acosx+bcosx C．asinx+bcosx D．asinx+bsinx
6.先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴上
（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图2），若AB=4，BC=3，则
图1和图2中点B点的坐标为 ，点C的坐标 ．
7.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(0,3)，点B在x轴上．
(1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，
不写作法；
k 4
(2)若函数y= 的图象经过点M，且sin∠OAB= ，求k的值．
x 5题型四：解直角三角形的相关计算
1
1.如下1图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝ ，则tan∠BOC＝
3
．
2.如上2图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点
D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
3.如上3图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE．若∠ADB=30°，则如
tan∠DEC的值为 ．
4.图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O
是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm， CE=DF， CE:AE=2:3.按图示
方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
(1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是 cm．
(2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为 cm．
5.如下1图，正方形ABCD边长为3，点E在边AB上，以E为旋转中心，将EC逆时针旋转90°得到EF，AD
1
与FE交于P点．若tan∠BCE= ，则PF的值为 ．
3
6.如上2图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均
为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是 ．1
7.如下1图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB= ，则
2
tan∠DEC的值是 ．
8.如上2图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为
mm．
题型五：构造直角三角形求不规则图形
1
1.如下1图，在▱ABCD中，AB=BC=2,∠ABC=60°，过点D作DE//AC，DE= AC，连接
2
AE，则△ADE的周长为 ．
2.如上2图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是
√3 √3
A． B． C．√3 D．2√3
4 2
3.如图，某社区公园内有A，B，C，D四个休息座椅，并建有一条从A−B−C−D−A的四边形循环健身
步道．经测量知，∠ABC=75°，∠A=60°，∠D=60°，步道AB长40米，步道CD长20米．（A，
B，C，D在同一平面内，步道宽度忽略不计．结果保留整数，参考数据：√3≈1.7，√6≈2.4）(1)求步道BC的长；
(2)公园管理处准备将四边形ABCD的内部区域全部改建成儿童活动区，经调研，改建儿童活动区成本为每
平方米200元．社区公园目前可用资金为18万元，计算此次改建费用是否足够？
4.图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点．现
测得AB=BE=ED=CD=14cm，经多次调试发现当点B，E所在直线垂直径过CD的中点F时（如图3
所示）放置较平稳．
（1）求平稳放置时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；
（2）为保护视力，写字时眼睛离桌面的距离应保持在30cm，为防止台灯刺眼，点A离桌面的距离应不
超过30cm，求台灯平稳放置时∠ABE的最大值．（结果精确到0.01°，参考数据：√3≈1.732，
sin16.07°≈0.2768，cos73.93°≈0.2768，tan15.47°≈0.2768）
5.小明家的门框上装有一把防盗门锁(如图1)其平面结构图如图2所示，锁身可以看成由两条等弧
AD，BC和矩形ABCD组成，BC的圆心是倒锁按钮点M．其中A´D的弓高GH=2cm,
AD=8cm,EP=11cm．当锁柄PN绕着点N旋转至NQ位置时，门锁打开，此时直线PQ与B´C所在圆相
切，且PQ//DN,tan∠NQP=2,则AB的长度约为 cm．(结果精确到0.1cm，参考数据:
√3≈1.732,√5≈2.236)．6.我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．
已知AB=4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD=0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即
DH=1.2m．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH=37°，海面下方的鱼线CO
与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD=22°．求点O到岸边DH的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO=5.46m，点
3 4
O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°=cos53°≈ ，cos37°=sin53°≈ ，
5 5
3 3 15 2
tan37°≈ ，sin22°≈ ，cos22°≈ ，tan22°≈ ）
4 8 16 5
7.翠湖公园中有一四边形空地，如图1，已知空地边缘AB∥CD，且AB、CD之间的距离为30米，经测
量∠A=30°，∠C=45°，CD长度为42米．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
(1)求空地边缘AB的长度；（结果精确到1米）
(2)为了打造更具观赏性、娱乐性、参与性的城市名片，如图2，公园管理处准备在四边形空地内修建宽度
为2米的园林卵石步道EFGH，其余地面铺成颗粒塑胶，经调研每平米卵石步道成本为80元，每平米颗
粒塑胶成本为45元，公园目前可用资金有75000元，请用（1）的结果计算此次修建费用是否足够？8.一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，ΔBCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图
2，∠DBE=∠BEF=108°，BD=6cm，BE=4cm．当按压柄ΔBCD按压到底时，BD转动到BD'，
此时BD'//EF（如图3）．
（1）求点D转动到点D'的路径长；
（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，
tan72°≈3.08）
9.如图，是放在水平桌面上的台灯的几何图，已知台灯底座高度为2cm，固定支点O到水平桌面的距离为
7.5cm，当支架OA、AB拉直时所形成的线段与点M共线且与底座垂直，此时测得B到底座的距离为
31.64cm（线段AB，AO，OM的和），经调试发现，当∠OAB=115°，∠AOM=160°时，台灯所投射的光线
最适合写作业，测量得A到B的水平距离为10cm，求此时点B到桌面的距离．（参考数据：
sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，√2≈1.414）考点三：解直角三角形 的应用
题型一：仰角、俯角问题
题组一：水平距离测量物体高度
1.如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人
机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC为 米．
2.如上2图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得
树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树CD的高度是（ ）
A．8(3−√3)m B．8(3+√3)m C．6(3−√3)m D．6(3+√3)m
3.小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留
至今的重要标志．小港为测量小雁塔的高度、制定了如下测量方案：如图所示，当小港站在点A处仰望
塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°、小港的身高忽略不计，请根据
题目信息，求出小雁塔的高度CD．（参考数据：√3≈1.73，结果精确到0.1m）
4.如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF=15米，在点E处看点D
的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ ）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
5.某滑雪场用无人机测量雪道长度．如图，通过无人机的镜头C测一段水平雪道一端A处的俯角为50°，另一端B处的俯角为45°，若无人机镜头C处的高度CD为238米，点A，D，B在同一直线上，则通道AB
的长度为 米．(结果保留整数，参考数据sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)
6.胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔AB垂
直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间
的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：√2≈1.41,√3≈1.73）
7.某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为
45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，
AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）．
题组二：测量底部可以到达的物体高度
1.如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为10m，在B处放置1m高的测角仪BD，测得树顶A
的仰角为60°，则树高AC为 m（结果保留根号）．2.如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15√3米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的
仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是 米（结果保留根号）.
3.周末，王老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量一栋楼的高度．小希站在自家阳台上，
看对面一栋楼顶部的仰角为45°，看这栋楼底部的俯角为37°，已知两楼之间的水平距离为30m，求这栋
楼的高度．（参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75）
4.如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度AB，在观测点C处测得大桥主架顶端
A的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，
且AB垂直于桥面．（点A,B,C,M在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）
（2）求大桥主架在水面以上的高度AB．（结果精确到1米）
（参考数据sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25,√3≈1.73）5.山西“应县木塔”，又名山西“应县佛宫寺释迦塔”，它是当今世界上的第一奇塔．它不仅是中国，而
且是世界上现存最古老、最高峻的木构建筑物，所以它在世界建筑中占有突出的地位．已知“应县木
塔”的高度AB为67.3米，塔前“女神雕像”的高度CD为10.3米，木塔与雕像之间有障碍物，不能直接
测量，某测量小组为了测量“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离，采用了如下测量方案（如图
所示）：
①他们在“木塔”和“雕像”之间选择一观景平台E，测得“木塔”顶部A的仰角为30°，测得“雕像”
顶部C的仰角为45°；
②测得测角仪的高度EF为1.3米；
③测得点B,F,D在同一条直线上，AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD，垂足分别是B,F,D．
求“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离BD．（结果精确到0.1米，参考数据：√3≈1.7）
6.我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长．
(1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点
的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2
米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此
时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度题组三：测量底部不可到达的物体的高度
1.如图，山顶上有一个信号塔AC，已知信号塔高AC=15米，在山脚下点B处测得塔底C的仰角
∠CBD=36.9°，塔顶A的仰角∠ABD=42°．求山高CD(点A,C,D在同一条竖直线上)．
(参考数据：tan36.9°≈0.75,sin36.9°≈0.60,tan42.0°≈0.90 )
2.如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°，C点的俯角β为58°，
BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为 m．（
sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果保留整数）．
3.如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距15 m的D处观测广告牌顶部A的仰角为37°，观测广告
牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈1.41，√3≈1.73）．4.某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪
CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°
（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．
（结果精确到1m．参考数据：√3≈1.7）
5.如图，某座山AB的项部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰
角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．
参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
6.越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展
综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安
置测倾器，测得点M的仰角∠MBC=33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰
角∠MEC=45° （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；
参考数据：sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65）7.某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆
OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径
两端点A,B共线（如图②），此目标P的仰角∠POC=∠GON．请说明两个角相等的理由．
(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角
∠POQ=60∘，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米；求树高PH．（
√3≈1.73，结果精确到0.1米）
(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距离地面高度PH（如图④），同学们讨论，决定
先在水平地面上选取观测点E,F （E,F,H在同一直线上），分别测得点P的仰角α,β，再测得E,F间
的距离m，点O ,O 到地面的距离O E,O F均为1.5米；求PH（用α,β,m表示）．
1 2 1 28.开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石窟中最大的佛像．某数学活动
小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度．如图，他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线
上．已知佛像头部BC为4m，在A处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像
BD的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）
题型二：方位角问题
1.小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处
发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得
桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长度（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，
cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，√3≈1.73）．
2.一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏东30°方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的距离约为 海里．（参考数据：
3 4 3
sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ）
5 5 43.如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正
东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的
北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
(1)求步道DE的长度（精确到个位）；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．
请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）
4.如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点 C，测得A，B均在C
的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方
向上．求A，B两点间的距离．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．
5.3月份，长江重庆段开始进入枯水期，有些航道狭窄的水域通航压力开始慢慢增加．为及时掌握辖区通
航环境实时情况，严防船舶搁浅、触礁等险情事故发生，沿江海事执法人员持续开展巡航检查，确保近
七百公里的长江干线通航安全．如图，巡航船在一段自西向东的航道上的A处发现，航标B在A处的北偏
东45°方向200米处，以航标B为圆心，150米长为半径的圆形区域内有浅滩，会使过往船舶有危险．
(1)由于水位下降，巡航船还发现在A处北偏西15°方向300米的C处，露出一片礁石，求B、C两地的距
离；（精确到1米）
(2)为保证航道畅通，航道维护项目部会组织挖泥船对该条航道被浅滩影响的航段进行保航施工．请判断
该条航道是否被这片浅滩区域影响？如果有被影响，请求出被影响的航道长度为多少米？如果没有被影
响，请说明理由．（参考数据：√2≈1.414，√7≈2.646）6.如图所示，在一次海上救援演习中，游艇A按计划停泊在搜救艇B的南偏东30°方向上，同时，在搜救
艇B的正南方向，与搜救艇B相距40海里处还设置了另一支搜救艇C，此时游艇A在搜救艇C的东北方
向上，随着演习正式开始，游艇A按计划向搜救艇B与C同时发出求救信号，并在原地等待救援．（参考
数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）
(1)在演习正式开始前，搜救艇B与游艇A相距多少海里？（结果保留根号）
(2)若搜救艇B与C同时收到游艇A的求救信号，它们同时出发实施救援行动，搜救艇B沿BA行驶，搜
救艇C西东沿CA行驶，其中搜救艇B的速度为每小时25海里，搜救艇C的速度为每小时16海里，请通
过计算判断哪支搜救艇先到达游艇A的所在地？
7.巫云开高速起于巫溪县， 经云阳县， 止于开州区， 是渝东北地区与主城都市区联系的重要通道， 也
是重庆过境大通道的重要组成部分， 预计在 2025 年建成通车． 为及时学握巫云开高速通车后是否会
对沿途居民生活产生噪音影响， 施工单位派出了两名勘测师对已经修建好的高速路段 DE 进行勘测．
如图， 勘测师甲在一段自西向东的的高速路上的 A 处发现民宿 C 在 A 处北偏西 45∘ 方向上， 与
A 处距离为 80 米， 民宿 B在 A 处北偏东 60∘ 方向上； 勘测师乙在民宿 B 处测得民宿 C 在 B
处北偏西 75∘ 的方向上．
(1)求 BC 的距离（结果保留一位小数）；
(2)当居住场所与高速路的距离不大于 30 米的时候， 人们的生活会被高速路上的噪声影响， 相关部门
可通过加装隔音堜来减少噪声污染， 每米隔音墙的单价为 158 元． 请判断民宿 B 是否会被高速路上
的噪声影响? 如果有被影响， 则在对民宿有噪音影响的高速路段上全部安装隔音墙， 请计算出安装隔
音墙需要资金多少元? 如果没有被影响， 请说明理由．（参考数据： √2≈1.414,√3≈1.732 ）8.某沿海城市O，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范
围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距该城市正南方向的A处有一台风中心，中
100
心最大风力为12级，每远离台风中心 千米，风力就会减弱一级，该台风中心正以20千米/时的速度
3
沿北偏东45°方向向B处移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达到或超过6级，则称受台风影响．
(1)若该城市受此次台风影响共持续了10小时（即台风中心从C处移动到D处），那么受到台风影响的最
大风力为几级?
(2)求该城市O到A处的距离．（注：结果四舍五入保留整数，参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7）
9.如图为某体育公园部分示意图，C为公园大门，A、B、D分别为公园广场、健身器材区域、儿童乐园．
经测量：A、B、C在同一直线上，且A、B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75°方向，
在点A的东南方向．
(1)求B、D两地的距离；（结果精确到0.1m）
(2)大门C在儿童乐园D的南偏西60°方向，由于安全需要，现准备从儿童乐园D牵一条笔直的数据线到大
门C的控制室，请通过计算说明公园管理部门采购的380米数据线是否够用（接头忽略不计）．（参考数
据：√2≈1.414,√3≈1.732）10.如图，一条自西向东的道路上有两个公交站点，分别是B和C，在B的北偏东60°方向上有另一公交站
点A．经测量，A在C的北偏西30°方向上，一辆公交车从B出发，沿BC行驶(1500√3−1500)米到达D
处，此时D在A的西南方向．（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）
(1)求CD的距离；（结果保留根号）
(2)该公交车原计划由D→C行驶，其平均速度为400米/分，但当行驶到D点时，接到通知，DC段道路
正在维修，需要沿D→A→C绕道行驶，为了尽快到达C站点，绕道时其平均速度提升到500米/分．那
么原计划所用时间和实际所用时间相比，哪个更少？请说明理由．（结果保留1位小数）
题型三：坡度坡比问题
1.拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1:√3，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是 m.
2.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB,BC长为6米，坡角β为45°，AD的坡
角α为30°，则AD的长为 米 （结果保留根号）
3.小华和小源利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D处测
得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1:0.75，点A，B，C，D在同一
平面内，则此山的垂直高度AB为 米．（结果精确到0.1）
（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）4.一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1∶2.5，背水坡
CD的坡度为1∶3，则迎水坡AB的坡角 背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”）
5.如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道AB的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行．
某次拍摄中，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为45°的斜上方C处，当运动员到达地面B点
时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知AB的坡度为1:√3且长为300米，无人机飞行距离CD为
60米，求无人机离地面的高度BD的长．（参考数据：√3≈1.7）
6.国家跳台滑雪中心位于北京2022年冬奥会张家口赛区古杨树场馆群，是我国首座符合国际标准的冬奥
会跳台滑雪场地．外观结构与中国传统吉祥物“如意”的S形曲线完美融合，因此，被形象地称为“雪
如意”，在它的身上，体现了现代建筑与自然山水、历史文化的交相辉映，在这里举行的跳台滑雪分大
跳台和标准台，大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔1635米，大跳台与标准台水平相距
BC=32米，大跳台坡角∠AUM=27°，标准台坡角∠BUM=26°．求大跳台与标准台出发点落差AC
是多少？（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.89，tan26°≈0.49；sin27°≈0.45，cos27°≈0.88，
tan27°≈0.51，结果保留整数．）
7.自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定
对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1:√3；将斜坡AB
的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1:4．求斜坡CD的长．（结果保留根
号）题型四：坡度坡比与仰角俯角问题综合
1.2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道
分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．
若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
(1)求该滑雪场的高度h；
(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造
雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙
两种设备每小时的造雪量．
2.如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线
上的点A出发，沿斜面坡度为i=2:√3的斜坡AB前进20√7m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离
后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参
3 4 3
考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．
5 5 4
3.如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为
i=1:2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE=50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑
物顶 A 点的仰角为 50°，则建筑物 AB 的高度约为（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；
tan50°≈1.19）A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米4.如图1是一座拱桥，图2是其侧面示意图，斜道AC的坡度i=1:2，斜道BD的坡度i=1:1，测得湖宽
AB=85米，AC=15√5米，BD=20√2米，已知弧CD所在圆的圆心O在AB上．（备注：坡度即坡角的
正切值，如AC的坡度i=tanA．）
(1)分别求拱桥部分C、D到直线AB的距离；
(2)求弧CD的长（结果保留π）．
5.如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB，在居民楼前方有一斜
4
坡，坡长CD=15m，斜坡的倾斜角为α，cosα= ．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°，在D点处
5
测得楼顶端A的仰角为30°（点A，B，C，D在同一平面内）．
(1)求C，D两点的高度差；
(2)求居民楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：√3≈1.7）
6.如图，在小晴家所住的高楼AD的正西方有一座小山坡，坡面BC与水平面的夹角为30°，在B点处测得
楼顶D的仰角为45°，在山顶C处测得楼顶D的仰角为15°，B和C的水平距离为300米．（A，B，C，D
在同一平面内，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
(1)求坡面BC的长度？（结果保留根号）
(2)一天傍晚，小晴从A出发去山顶C散步，已知小晴从A到B的速度为每分钟50米，从B沿着BC上山的速度为每分钟25米，若她6:00出发，请通过计算说明她在6:20前能否到达山顶C处？（结果精确到
0.1）题型五：实际生活模型应用
1.图1是一种双层电脑支架实物图，图2是其示意图，B，F，H为固定点，支杠CF，HG可分别绕着点
F，H旋转，点C，G分别在AB，BD上移动．AB=BD=25 cm，CF=BF=10 cm，HG=16 cm，当
支点C与点A的距离为9 cm时，则点D到AB的距离为 cm，此时，再移动支点G，当点F
与点G重合时，D、E两点的水平距离是垂直距离的两倍，则DH= cm．
2.长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴壶更是历史悠久．图1是某款长嘴壶模
型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身AB=AD=BC=120cm，CD=40cm，壶嘴EF=150cm，
且CD∥AB，EF∥BC，DE=3AE，则sin∠FED= ，如图2，若长嘴壶中装有若干茶水，
绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，FD∥l，则此时出水口F到桌面的距离为 cm．
3.如图，某数学小组探究笔记本电脑打开角度对用眼舒适度的影响，当张角∠AOB=150°时，顶部边缘
A处离桌面的高度AC的长为11cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后发
现当张角∠A'OB=108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面
的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32）4.乐乐同学骑自行车去爸爸的工厂参观，如图（1）所示是这辆自行车的实物图，如图（2），车架档AC
与CD的长分别为42.0cm，42.0cm，且它们互相垂直，∠CAB=76°，AD∥BC，求车链横档AB的
长，（结果保留整数．参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）
