文档内容
专题01 平行四边形的判定与性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 判断能否构成平行四边形
题型二 添一个条件成为平行四边形
题型三 数图形中平行四边形的个数
题型四 求与已知三点组成平行四边形的点个数
题型五 证明四边形是平行四边形
题型六 利用平行四边形的性质求解
题型七 利用平行四边形的性质证明
题型八 平行四边形性质的其他应用
题型九 利用平行四边形的判定与性质求解
题型十 利用平行四边形的性质与判定证明
题型十一 平行四边形的性质与判定的应用
题型十二 反证法
题型十三 利用三角形中位线求线段长
题型十四 利用三角形中位线求角度
题型十五 三角形中位线与三角形面积问题
题型十六 与三角形中位线有关的证明问题
题型十七 三角形中位线的实际应用
题型十八 平行四边形相关的综合问题
【知识梳理】
知识点1：平行四边形的性质（一）
1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
知识点2：平行四边形的性质（二）
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
知识点3：平行四边形的判定
1. 与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点4：平行四边形的判定与性质
1.平行四边形的性质
3.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
4.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
2.平行四边形的判定
（1）与边有关的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点5：三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4个小三角形.因而每个小三角形的周长
1 1
为原三角形周长的2 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的4 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点6：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【经典例题一 判断能否构成平行四边形】
【例1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则
下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D
【答案】C
【详解】A．∵∠D＝∠5，∴AD∥BC．
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B．∵∠3＝∠4，∴AD∥BC．
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D．∵AB∥CD，∴∠B＝∠5．
∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠5，
∴AD∥BC．
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意．
【变式训练】
1．（2023上·安徽合肥·八年级期末）如图，四边形 中， ， ，E、F是对角线
上的两点，如果再添加一个条件，使 ，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．根据所给条件，结合平行四边形的各种判定方法逐一判断即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
；
又 ，
，
，
；
；
∴四边形 是平行四边形，故B正确；
∵四边形 是平行四边形，
；
又 ，
，
，
，
；
；
；
∴四边形 是平行四边形，故C正确；
∵四边形 是平行四边形，
；
又∵ ，
，
；
；
；
∴四边形 是平行四边形，故D正确；
添加 后，不能得出 ，进而得不出四边形 平行四边形，
故选：A．
2．（2023下·四川巴中·八年级统考期末）在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，在下列条件中，① ， ，② ， ；③ ， ；④ ， ；
⑤ ， ，能够判定四边形 是平行四边形有 （填序号）．
【答案】①②④⑤
【分析】根据平行四边形的判定分别进行求证即可．
【详解】解：①添加 ， 条件，
则根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
即可判定四边形 是平行四边形；故①可以；
②添加 ， ；条件，
则根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
即可判定四边形 是平行四边形；故②可以；
③添加 ， 条件，
即一组对边平行，另一组对边相等，该情况不能判定平行四边形；故③不可以；
④添加 ， 条件，
则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，
即可判定四边形 是平行四边形；故④可以；
⑤添加 ， 条件，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
则根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
即可判定四边形 是平行四边形；故⑤可以；
故答案为：①②④⑤．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，熟练掌握平行四边
形的判定是解题的关键．
3．（2024·山东淄博·一模）学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四
边形的判定问题进行了再次探究．以下是小明探究过程，请补充完整：
(1)在四边形 中，对角线 与 相交于点 ．若 ，补充下列条件中的一个，能判断四边
形 是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
（A） （B）
(2)将（1）中的命题用文字语言表述为：
①命题1_____________________________________________；
②画出图形，并写出命题1的已知和求证；
(3)小明进一步探究发现：
若一个四边形 的三个顶点 的位置如图所示，且这个四边形满足 ， ，但四
边形 不是平行四边形，请画出符合题意的四边形 （不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一
组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．
【答案】(1)B
(2)①见解析；②见解析；
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及命题与定理的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形的
判定方法，解题时注意：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
（1）根据四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ，补充条件即可判定四边形 是
平行四边形；
（2）先将符号语言转化为文字语言，再写出已知、求证和证明过程即可；
（3）根据等腰三角形以及轴对称变换即可得到反例．
【详解】（1）解：在四边形 中，对角线 与 相交于点 ，
若 ，则当 时，四边形 是平行四边形；
故答案为：B；
（2）解：①文字语言表述为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
故答案为：一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；②已知：如图，在四边形 中， ，对角线 与 相交于点 ， ．
求证：四边形 是平行四边形．
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（3）解：如图所示，四边形 满足 ，但四边形 不是平行四边形．
．
【经典例题二 添一个条件成为平行四边形】
【例2】（2023下·广西南宁·八年级统考期中）如图，四边形 中，对角线 ， 相交于点O，且
，添加下列条件后仍无法判定四边形 是平行四边形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对角线互相平分是四边形是平行四边形，即可判断A；通过 ，得出
，进而证明 ，得出 ，即可判断B；根据 不
能证明 ，即可判断C；通过证明 ，得出 ，即可判断D．
【详解】解：A、∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，故A不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，故B不符合题意；
C、已知 ， ， ，则 不能证明 ，进而得不到四边形
为平行四边形，故C符合题意；
D、∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的
判定方法，全等三角形对应边相等，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【变式训练】
1．（2023下·广西南宁·八年级统考期中）如图，四边形 中，对角线 ， 相交于点O，且
，添加下列条件后仍无法判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据对角线互相平分是四边形是平行四边形，即可判断A；通过 ，得出
，进而证明 ，得出 ，即可判断B；根据 不
能证明 ，即可判断C；通过证明 ，得出 ，即可判断D．
【详解】解：A、∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，故A不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，故B不符合题意；
C、已知 ， ， ，则 不能证明 ，进而得不到四边形
为平行四边形，故C符合题意；
D、∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的
判定方法，全等三角形对应边相等，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．（2023下·江苏·八年级校联考期中）在四边形 中， ，给出下列4组条件：① ，
② ，③ ，④ ．其中，不能得到“四边形 是平行四边形”的条件是
．（只填序号）
【答案】②
【分析】根据平行四边形的判定直接判断即可．
【详解】① ，则一组对边平行且相等，可得到四边形 是平行四边形，不符合题意；
② ，无法得到四边形 是平行四边形，符合题意；
③ ，两组对边分别平行，可得到四边形 是平行四边形，不符合题意；
④ ，则此两角都是 的补角，而 与 为同旁内角互补，可推出 ，
两组对边分别平行，可得到四边形 是平行四边形，不符合题意；
故答案为：②【点睛】此题考查平行四边形的判定定理，解题关键是熟练掌握所有平行四边形的判定定理．
3．（2023下·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，在平行四边形 中，点 ， 是对
角线 上两个不同点．连接 ， ， ， ，添加一个条件使得四边形 是平行四边形．
(1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上．
① ， ， 、 为垂足；② ；③ ；④ ．符合条件的选项有：
_____________．
(2)选择其中一个条件，写出证明过程：
我选择________，
证明过程如下：
【答案】(1)①②④
(2)①（答案不唯一），见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和判定解答即可．
【详解】（1）解：填①②④的任意一个都正确；
故答案为：①②④；
（2）解：选择① ， ， 、 为垂足；
证明：∵ ， ，
∴ ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
在 与 中，
，
，，
四边形 是平行四边形．
选择② ，
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形．
选择④ ，
证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
，
，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键．
【经典例题三 数图形中平行四边形的个数】
【例3】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行
四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．
【详解】解：设EF与NH交于点O，
∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8
个．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四
边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
【变式训练】
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边
形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．
【详解】解：设EF与NH交于点O，
∵在▱ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8
个．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定．解题时可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四
边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
2．（2019下·重庆江津·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
以这些点为顶点的平行四边形有 个．
【答案】3
【分析】由于D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，易知DE、DF、EF都是 ABC的中位线，那么
DE∥AC，DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的定义，两两结合易证四边形EDFC△是平行四边形；四边形
EBDF是平行四边形；四边形ADEF是平行四边形．
【详解】∵D、E、F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DE、DF、EF都是 ABC的中位线，
∴DE∥AC，DF∥BC，△EF∥AB，
∴四边形EDFC是平行四边形，四边形EBDF是平行四边形，四边形ADEF是平行四边形．
故答案为3．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理的
内容．
3．（2022下·八年级课时练习）已知 （如图），将它沿 方向平移，平移的距离为 ．
(1)作出经平移后所得的图形 ．
(2)写出 与 构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）．
【答案】(1)图见解析；
(2) ， ， ， ， ， ．
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的 即可；
（2）根据图形平移的性质以及平行四边形的判定定理即可得出结论．
【详解】（1）解： 如图所示；
（2）解：由图可知， 与 构成的图形中所有的平行四边形有： ， ，
， ， ， ．
【点睛】本题考查的是作图－平移变换，平行四边形的判定定理，熟知图形平移不变性的性质以及平行四
边形的判定定理是解答此题的关键．
【经典例题四 求与已知三点组成平行四边形的点个数】
【例4】（2023下·贵州黔东南·八年级校联考期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直
角坐标系 中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是 ，点A的坐标是 ，则点B的坐标是
（ ）A． 或 B． 或
C． 或 或 D． 或 或
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，然后分 为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的
性质即可解答．
【详解】解：如图：当 为对角线时，点 的坐标为 ，即 ；
当 为边时，点 的坐标为 ，即 ；点 的坐标为 ，即 ．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·贵州黔东南·八年级校联考期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标
系 中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是 ，点A的坐标是 ，则点B的坐标是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 或 D． 或 或
【答案】D
【分析】先根据题意画出图形，然后分 为边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的判定和平移的
性质即可解答．
【详解】解：如图：当 为对角线时，点 的坐标为 ，即 ；当 为边时，点 的坐标为 ，即 ；点 的坐标为 ，即 ．
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定、平移的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
2．（2023下·广东湛江·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、
B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为 、 、
，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出
所有符合条件的点D的坐标： ．
【答案】 或 或
【分析】此题主要考查平行四边形的判定，分三种情形，可以以 、 或 为一条对角线，画出平行
四边形即可.
【详解】解：根据题意得，建立如图直角坐标系．当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
故答案为： 或 或 ．
3．（2023下·安徽淮北·八年级校联考期末）点A，B，C在坐标网格中的位置如图所示，已知点A的坐标
为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ．
(1)求 的面积；
(2)若点D也在坐标网格中，且以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点D
的坐标．
【答案】(1)7(2)
【分析】（1）运用割补法解答即可；
（2）先在坐标网格中，画出所有以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，然后读出点D的坐标
即可．
【详解】（1）解： 的面积为： ．
（2）解：根据平行四边形的判定：在坐标网格中画出所有以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边
形，如图所示：
则符合条件的点D的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、平行四边形的判定等知识点，理解平行四边形的判定定理是解答本
题的关键．
【经典例题五 证明四边形是平行四边形】
【例5】（2022下·陕西西安·八年级校考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形【答案】B
【分析】根据平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理求解，再结合平行四边
形的判定定理逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若 ， ，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
即一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
B、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题，符合题意，选项正确；
C、若 ，对角线 平分对角线 ，
， ， ，
，
，即对角线 、 互相平分，
四边形 是平行四边形，
即一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
D、若 ， 平分 ， 平分 ，且 ，
， ， ， ， ，
，
，
， ，
，即对角相等，
由选项A可知，一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
即一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
故选：B．【点睛】本题考查了真假命题，平行四边形的判定定理，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
【变式训练】
1．（2022下·陕西西安·八年级校考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形
【答案】B
【分析】根据平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理求解，再结合平行四边
形的判定定理逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若 ， ，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
即一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
B、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题，符合题意，选项正确；
C、若 ，对角线 平分对角线 ，
， ， ，
，
，即对角线 、 互相平分，四边形 是平行四边形，
即一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
D、若 ， 平分 ， 平分 ，且 ，
， ， ， ， ，
，
，
， ，
，即对角相等，
由选项A可知，一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
即一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形是真命题，不符合题意，选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了真假命题，平行四边形的判定定理，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．
2．（2023下·山东济宁·八年级统考期末）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1， 及 边的中点 ，求作：平行四边形 ．
小静的作法如下：
在数学课上，老师提出如下问题：
①连接 并延长，在延长线上截取 ；
②连接 ．所以四边形 就是所求作的平行四边形．
老师说：“小静的作法正确”．
请回答：小静的作法正确的理由是 ．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形
【分析】由题意可得 ， ，然后由对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得到答案．
【详解】解： 是 边的中点，
，
，
四边形 是平行四边形，
依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形，
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形，是解此题的关
键．
3．（2024上·吉林·八年级校考期末）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长，
使 ，连接 并延长，使 ，连接 ， 为 的中点，连接 ， ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)求证：四边形 为平行四边形；
(3)连接 ，交 于点O，若 ， ，直接写出 的长度．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行
四边形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得 ， ， ，再证 是 的中位线，得， ，证出 ， ，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（3）连接 ， ， ，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解： 四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
；
（2）证明： 四边形 为平行四边形，
， ， ，
， ，
是 的中位线，
， ，
为 的中点，
，
， ，
， ，
四边形 为平行四边形；
（3）如图，连接 ， ， ，
， ，
， ，
，
，
四边形 为平行四边形，
， ，，
，
，
．
【经典例题六 利用平行四边形的性质求解】
【例6】（2023上·江苏南通·九年级校联考期中）如图，在平行四边形 中， ，将平行四边
形 绕顶点B顺时针旋转到平行四边形 ，当 首次经过顶点C时，旋转角为( )度．
A．30 B．40 C．45 D．50
【答案】B
【分析】由旋转的性质可知：平行四边形 全等于平行四边形 ，得出 ，由等腰三角
形的性质得出 ，根据三角形内角和计算旋转角 即可．
【详解】∵平行四边形 绕顶点B顺时针旋转到平行四边形 ，
∴ ，
∴ ，
∵在平行四边形 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，
解题的关键是证明三角形 是等腰三角形．
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·九年级统考期中）如图所示，在 中， 垂直平分 于E，其中
，则 的对角线 的长为（ ）．
A．8 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】如图，作 的延长线于 ，则 ， ， ，由
垂直平分线的性质可知， ，由勾股定理得， ，则 ，同理，
， ， ，根据 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，作 的延长线于 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∵ 垂直平分 于E，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∴ ，
同理， ， ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，含 的直角三角形，勾股定理等知识．熟
练掌握含 的直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2023上·山东威海·九年级统考期末）如图，平行四边形 中， 、 相交于点 ，
交边 于 ，连接 ，若 ， ，则 °．
【答案】40
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识
点，灵活运用相关性质和判定是解题的关键．
由平行四边形的性质可得 、 ，再由平行线的性质可得 ，再说明 是
的垂直平分线，即 ，则 ，进而得到 ；再说明
，最后根据 即可解答．
【详解】解：∵平行四边形 中， 、 相交于点 ，
∴ ,∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ,
∴ ．
故答案为40．
3．（2023下·广东深圳·八年级统考期末）如图，在平行四边形纸片 中， ，将纸片沿对角
线 对折，点B的对应点 恰好落在 的延长线上， 与 边交于点E，此时 恰为等边三角
形．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)求对折后重叠部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的
对边平行且相等，直角三角形 角所对的边等于斜边的一半．
（1）首先根据等边三角形的性质可得 ， ，故可得出 ，由此得出 ，根据翻折变换的性质得出 ，据此可得出结论；
（2）根据折叠的性质， ，再利用平行四边形的性质证明 ， ，利用
直角三角形 角所对的边等于斜边的一半可得 长，进而可得 的长，利用三角函数值计算出 ，
然后根据三角形的中线平分三角形的面积可得 ，进而可得答案．
【详解】（1）证明： 为等边三角形，
， ，
，
，
由 翻折而成，
，
是等边三角形；
（2）解：根据折叠的性质， ，
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
， ， ，
，
．
【经典例题七 利用平行四边形的性质证明】【例7】（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图， 的对角线 、 交于点O， 平
分 交 于点E，且 ， ，连接 ，下列结论：① ；②
；③ ；成立的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】由平行四边形的性质得 ，则 ，而 ，所以 ，
则 ，而 ，则 是等边三角形，所以 ，则
，所以 ，即可求得 ，所以 ，可判断①正确；
由 ， ，得 ，所以 ，可判断②正确；由“垂
线段最短”可知， ，可判断③错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故②正确；
，
∴ ，
∴ ，
故③错误，
故选：C．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和、垂线段最短等知识，证明 是等边三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，在 中， 的平分线交 于点E，交 的
延长线于点G， 的平分线交 于点F，交 的延长线于点H， 与 相交于点O，连接 ，
则下列结论： ； ； ； ； ．正确的个数是
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质对各个结论进行判断即可．【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，故②正确，
平分 ，
， ，故⑤正确，
，故①正确，
同理可证 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可证 ，
，
，故③正确，
，
，
，
，
故 错误，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证
明 是解题的关键．
2．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在 中， ， ， 、 分别是边 、 上
一点，且 ，将 沿 折叠，使点 与点 重合，则 的长为 ．【答案】
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明
是等边三角形是解题的关键．
设点 的对应点为点 ，由平行四边形的性质得， ， ，则
，由折叠得 ， ， ，所以
，而 ，则 ，所以 是等边三角形，则 ，所以 ，即
可推导出 ，则 ，于是得到问题的答案．
【详解】解：设点 的对应点为点 ，
四边形 是平行四边形， ， ，
， ， ， ，
，
由折叠得 ， ， ，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，故答案为： ．
3．（2023下·浙江·八年级专题练习）如图， 中，把 沿 翻折得到 ， 相交
于点 ．
(1)求证： ；
(2)连接 交 于点 ，连接 ，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2) ，
【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练
运用这些性质解决问题是本题的关键．
（1）由平行四边形的性质和折叠的性质可得 ，由“ ”可证 ，
可得 ，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求 ，可得 ；
（2）由全等三角形的性质可得 ，则 是等腰三角形，由“ ”可证
，可得 ，可证 是等腰三角形．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
，
∵把 沿 翻折得到 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
又 ，，
；
（2）解： ，
是等腰三角形，
∵四边形 是平行四边形，
，
，
∵把 沿 翻折得到 ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
是等腰三角形．
【经典例题八 平行四边形性质的其他应用】
【例8】（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平行四边形 中，将 沿着 所在的直线翻
折得到 ， 交 于点 ，连接 ，若 ， ， ，则 的长是
（ ）A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，
进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出 ；
【详解】解：∵四边形 是平行四边形
∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD
由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，
∴△AEC为等腰直角三角形
∴AE=CE
∴Rt△AE B′≌Rt△CDE
∴EB′=DE
∵在等腰Rt△AEC中，
∴
∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°
∴∠DCE=30°
∴DE=1
在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1
∴ =
故选：B
【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟
练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2022下·湖北武汉·八年级校联考期中）如图， 中，点O是对角线 、 的交点，过点O
的直线分别交 、 于点M、N，若 的面积为3， 的面积为5，则 的面积是
（ ）A．16 B．24 C．32 D．40
【答案】C
【分析】根据 ，计算出 的面积，再根据 的面积是 的面积的4 倍计算
出最后的答案．
【详解】
过点O做EF垂直于BC，交BC于点F，交AD于点E
∵在 中，AO=OC，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关知识．
2．（2021·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点O是 的对称中心，点E为 边的中点，点F为 边上的点，且 ．若 分别表示 和 的面积，则 与 之间的等
量关系是 ．
【答案】
【分析】根据三角形性质可得S= ， S= ，根据平行四边形性质可得 ，然后可
1 2
以得到解答．
【详解】解：如图，连结OC，则A、O、C三点在同一直线上，
∵O是AC中点，E是BC中点，
∴S= ，
1
∵DF= ，
∴S= ，
2
∴S：S= ，
1 2
即 ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查三角形与平行四边形的综合应用，熟练掌握三角形中线的性质及平行四边形的对称性是
解题关键．3．（2023下·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图： 的对角线交于点O．
(1)基础训练：
经过点O且与 、 分别相交于E、F．求证：
(2)拓展变式
若将条件改为 经过点O且与 、 的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题
意画出图形，标注字母，并给予证明．
(3)观察归纳
的对角线交于点O，直线 是经过点O的任意一条直线，将 的面积分为两部分，设四边
形 的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 ______ ．
(4)实践操作
你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅
助线）；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，图和证明见解析
(3)(4)见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质证明 ，可得 ；
（2）画出图形，同（1）的方法证明即可；
（3）根据全等三角形的性质得到 ， ，等量代换可得 ，即可证明；
（4）分别找出两个平行四边形对角线的交点，再连接即可．
【详解】（1）解：在 中， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）成立，理由是：
在 中， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；（3）同（1）可证： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ；
故答案为： ；
（4）能，如图，直线 即为所求．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用平行四边形的性质
得到线段，面积之间的关系．
【经典例题九 利用平行四边形的判定与性质求解】
【例9】（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ，点P在上，点Q在 上，且 ，连结 ，则 的最小值为（ ）
A．22 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【分析】连接 ，可证四边形 是平行四边形，故 ；在 的延长线上截取
，连接 ，则 ；由 即可求解．
【详解】解：如图，连接
在矩形 中，
∵
∴
∴四边形 是平行四边形
∴
则
在 的延长线上截取 ，连接
则
∵
∴
连接 ，则
∵
∴ 的最小值为
故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理的应用．正确作出辅助
线是解题关键．【变式训练】
1．（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在 中， ， ， ， ，
， 都是等边三角形，下列结论中：（1） ；（2）四边形 是平行四边形；
（3） ；（4） ．错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】由 ，得出 ，故①正确；再由SAS证得 ，得
，同理证得 ，得 ，则四边形 是平行四边形，故②
正确；然后由平行四边形的性质得 ，则③正确；最后求出 ，故④错误；即
可得出答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ，故①正确；
∵ 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，∴ ，
∴ ，
同理可证： ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，故②正确；
∴ ，故③正确；
过A作 于G，则 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
∴ 故④错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角
形的性质、含 角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明
是解题的关键．
2．（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在 中，点E，F分别是 ， 边的中点，延长
至点 ，使 ，以 ， 为边向 外构造 ，连接 交 于点 ，连接
．若 ， ，则 的长为 ．【答案】
【分析】连接 、 ，先证明四边形 ， 是平行四边形，进而得到 ，
再证明 是等边三角形，进一步证明 ，得到 ，则 ， ，
即可由勾股定理得到 ．
【详解】解：如图所示，连接 、 ，
四边形 是平行四边形，
， ，
点 ， 分别是 ， 边的中点，
，
四边形 ， 是平行四边形，
， ，四边形 是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
， ，
、 、 三点共线，
，
，
在 和 中
，
，，
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定、等边三角形的性质于判定、全等三角形的判定与性质
以及勾股定理等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．
3．（2022上·江苏·八年级专题练习）如图1，等边三角形 的边长为 ，动点D和动点E同时出发，
分别以 的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间
为 （ ）， 与 相交于点F．
(1)在运动过程中， 与 始终相等吗？请说明理由
(2)连接 ，求t为何值时， ；
(3)如图2，若 于点M，点P为 上的点，且使 最短．当 时， 的最小值为
多少？【答案】(1)相等，理由见解析
(2)5
(3)7
【分析】（1）由已知可得 ， ，然后根据全等三角形的判定与性质可得结论；
（2）根据平行线的性质得到 ，证明 是等边三角形，可得 ，继而列出关
于t的方程，解之即可；
（3）作 点关于 对称点 交 于点 ，连接 ，交 于点 ，根据平行四边形的判定与性质可
得答案．
【详解】（1）解： 与 相等，理由如下：由已知可得 ， ，
，
是等边三角形，
， ，
，
，
与 相等；
（2） 是等边三角形，
，
，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，即 ，
解得： ；
（3） ，平分 ，
如图，作 点关于 对称点 交 于点 ，连接 ，交 于点 ，
，
，
，
， ，
， ，
，
， ，
，
四边形 是平行四边形，
，
的最小值为7．
【点睛】此题考查的是线段的最短线路问题、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，正确
作出辅助线是解决此题的关键．
【经典例题十 利用平行四边形的性质与判定证明】
【例10】（2023·江苏·八年级假期作业）阅读下面的材料：
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在 中， ， 分别是边 ， 的中点．求证： ，且 ．
证明：延长 到点 ，使 ，连接 ，…
甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图1，先证明 ，再推理得出四边形 是平行四边形．
乙：如图2，连接 ， ．先后证明四边形 ， 分别是平行四边形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲思路正确，乙思路错误 B．甲思路错误，乙思路正确
C．甲、乙两人思路都正确 D．甲、乙两人思路都错误
【答案】C
【分析】分别按照甲、乙两人的思路写出证明过程即可做出判断．
【详解】解：按照甲的思路证明如下：
延长 到点 ，使 ，连接 ，如图1，
∵ ， 分别是边 ， 的中点．
∴ ， ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又 ，
， ．
按照乙的思路证明如下：
如图2，延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ．
∵ ， 分别是边 ， 的中点．
∴ ， ，
， ，
四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， ，．
四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又 ，
， ．综上可知，甲、乙两人思路都正确，
故选：C
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的
判定和性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·八年级单元测试）如图， 是 的边 上的点， 是 中点，连接 并延长交
于点 ，连接 与 相交于点 ，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
【答案】B
【分析】连接 ，如图，先根据平行四边形的性质得到 ， ，再证明 得
到 ，则可判定四边形 为平行四边形，根据平行四边形的性质得到 ，
接着证明四边形 为平行四边形，所以 ，然后计算 得到阴影部分的面
积．
【详解】解：连接 ，如图，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
是 中点，
，
在 和 中，，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
即 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
阴影部分的面积 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形
的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分．
2．（2023下·江苏常州·七年级统考期末）如图，四边形纸片 ， ， ．将纸片折叠，
点A、B分别落在G、H处， 为折痕， 交 于点K．若 ，则 °．【答案】140
【分析】首先判定四边形 是平行四边形，得到 ， ，再根据折叠变换的性质和平
行线的性质将角度转化求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
根据翻转折叠的性质可知， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：140．
【点睛】本题主要考查了翻转变化、平行四边形的判定和性质、三角形内角和等知识点，解题关键是将角
度灵活转化求解．
3．（2023·江苏泰州·统考二模）证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图 ， 、 分别是 的边 、 中点，求证： ， ．
下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法 ：延长 至点 ，使 ，连接 ；
方法 ：过点 作 交 的延长线于 ；
方法 ：过 作 交 于 ，过A作 交 的延长线于点 ．应用：如图 ， 、 分别是 的边 、 中点，请用无刻度的直尺和圆规作 的角平分线
（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图、平行线的判定与性质、角平分线的性质和三角形中位线定理，
证明：方法1：延长 至点 ，使 ，连接 ，先证明 得到 ， ，
则 ，加上 ，则可判断四边形 为平行四边形，根据平行四边形的性质得到 ，
，从而得到 ， ；
方法2：过点 作 交 的延长线于 ，先证明 ，得到相应的边长相等，可得到四
边形 为平行四边形，即可得到答案；
方法3：需要证明两次三角形全等，以及证明两次平行四边形可得到结果；
应用：根据等腰三角形的性质以及平行线的性质可得到答案；
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，
逐步操作
【详解】证明：方法1：延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示：
，
、 分别是 的边 、 中点，
， ，
在 和 中，
，∴ （SAS），
， ，
，
，
四边形 为平行四边形，
， ，
， ；
方法2：过点 作 交 的延长线于 ，如图所示：
，
∵ ，
∴ ，
、 分别是 的边 、 中点，
， ，
在 和 中，
，
∴ （ASA），
∴ ， ，
即 ，
四边形 为平行四边形，
， ，
， ；
方法3：过 作 交 于 ，过A作 交 的延长线于点 ，如图所示：，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
、 分别是 的边 、 中点，
， ，
在 和 中，
，
∴ （AAS），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （ASA），
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ， ；
应用：如图 ， 为所作的角平分线，，
先在 上截取 ，连接 并延长交 于 点，由 得到 ，再根据 为
的中位线得到 ，所以 ，则 ，从而得到 平分 ．
【经典例题十一 平行四边形的性质与判定的应用】
【例11】（2024上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）如图，已知 与 关于点
O成中心对称，过点O任作直线 分别交 ， 于点M，N，下列结论：
（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点；
（2）直线 必经过点O；
（3）四边形 是中心对称图形；
（4）四边形 和四边形 的面积相等；
（5） 和 关于点O成中心对称．
其中，正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查中心对称和中心对称图形的概念及性质，以及平行四边形的性质和判定，根据 与
关于点O成中心对称，得到 ， ， ，即有四边形 是平行四边形，根
据平行四边形的性质特点，对上述结论进行判断，即可解题．
【详解】解： 与 关于点O成中心对称，
， ， ，
即四边形 是平行四边形，平行四边形是中心对称图形，对角线交点是其对称中心，点O是 的对称中心，则有：
（1）由中心对称概念可知，点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点，所以（1）正确．
（2） 为是 对角线，所以直线 必经过点O，即（2）正确．
（3）四边形 是中心对称图形，（3）正确．
（4）经过 对角线交点的直线，平分 的面积，所以四边形 和四边形 的面积
相等，即（4）正确．
（5）由题知 绕点O旋转 能得到 ，所以 和 关于点O成中心对称，即（5）
正确．
综上所述，正确的有5个，
故选：D．
【变式训练】
1．（2014下·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，在平行四边形 中，过对角线 上一点 ，作EF
BC，HG AB，若四边形 和四边形 的面积分别为 和 ，则 与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】先证明△ABD≌△CDB，△BEP≌△PGB，△HPD≌△FDP，再利用全等三角形的面积相等，得出
，即 ．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF BC，HG AB，
∴AD=BC，AB=CD，AB GH CD，AD EF BC，
∴四边形GBEP、HPFD是平行四边形，
∵在△ABD和△CDB中，AB=CD，BD=BD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDB，
∴ ；同理可得： ，， ，
∴
即 ，也即 ．
故选A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用全等三角形的面积相等结合
面积做差得出结论是解题的关键．
2．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，对于点 ，给出如下
定义：当点 满足 时，称点Q是点P的等积点．已知点 ．
（1）在 ， ， 中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C
的坐标为 ．
【答案】
【分析】（1）根据定义通过计算可知，即可知道点P的等积点；
（2）设 ，则 ，即 ，可知点Q在直线 上，且 ，当点Q在x轴上方时，则 ；当点Q在x轴上方时，则 ，分别求出x的值再求出点C的坐标即可．
【详解】（1）解：根据题意得，
因为 ，所以 不是点P的等积点，
因为 ，所以 是点P的等积点，
因为 ，所以 不是点P的等积点，
故答案为： ；
（2）解：如图1所示：
设 ，则 ，即 ，
可知点Q在直线 上，且 ，
作 轴于点D， 轴于点F，则 ， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
若点Q在x轴上方，则 ，即 ，所以 ；
当点Q在x轴上方时，则 ，即 ，
所以 ；
因为点C在x正半轴上，
所以点C的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了图形与坐标、一次函数的图象与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、
新定义问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法．
3．（2023下·福建漳州·八年级统考期末）如图，在 中， ， 为 边上一点（ ），
过点 ， 分别作射线 的垂线，垂足分别为点 ， ．点 在 的延长线上，且 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ， 的周长为24，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行线的判定可得 ， ，根据平行四边形的判定即可求证；
（2）根据全等三角形的判定和性质可得 ，根据平行四边形的性质可得 ，推得 ，
设 ，则 ，根据 的周长列式求得 ，根据勾股定理求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形．
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ，
∴ ， ．
∵ 的周长为 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
解得： ， （不合题意，舍去）
∴ ．
【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟
练掌握以上判定和性质是解题的关键．
【经典例题十二 反证法】
【例12】（2024上·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在 中， ， 平分 交
于点D， 平分 交 于点E， ， 交于点F．则下列说法正确的有（ ）① ；② ；③若 ，则 ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得 ，然后根据 平分 ， 平分
B，可得 ，再根据三角形内角和定理即可进行判断；
②用反证法即可判断；
③延长 至G，使 ，连接 ，根据 ，证明 ，得 ，然后根
据等腰三角形的性质进而可以进行判断；
④作 的平分线交 于点G，证明 ，可得 ，进而可
以判断；
【详解】解：①在 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
而由已知条件无法证明 ，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长 至G，使 ，连接 ，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ 为角平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故③正确，符合题意；
④如图，作 的平分线交 于点G，
由①得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
故④正确，符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，三线合一，反证法，作辅助线构建三角
形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·江西赣州·九年级校联考期中）如图，将 绕点C逆时针旋转 度后得到 ，点A，
B的对应点分别为点D，E，连接 与 交于点F，点A，B，E，F在同直一线上，则下列结
论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质和反证法进行证明即可得到答案．熟练掌握反证法是解题的关键．
【详解】解：解：A．∵将 绕点C逆时针旋转度后得到 ，
∴ ，
但无法确定 ，故选项错误，不符合题意；
B．∵将 绕点C逆时针旋转度后得到 ，
∴ ，
∴ ， ，
若 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ 大小未知，
故选项错误，不符合题意；
C．∵将 绕点C逆时针旋转度后得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选项正确，符合题意；
D．∵将 绕点C逆时针旋转度后得到 ，
∴ ，
若 ，
∵ ，
∴ ，
即 是等边三角形，
当且仅当 时成立，
故选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在 中， ， 是 的平分线， 是
边上的中线．用反证法说明点 与点 不重合 ．
【答案】假设点M与点D重合，延长 到N，使 ，连接 ，可证得 ，则有
和 ，根据角平分线的性质得 ，可得到 得出矛盾，假设不
成立．
【分析】本题主要考查反证法，涉及全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质．假设点M与点D重合，延长 到N，使 ，连接 ，可证得 ，有
和 ，根据角平分线的性质得 ，可得到 得出矛盾，假设不
成立．
【详解】证明：假设点M与点D重合．延长 到N，使 ，连接 ．
在 和 中，
∵ 是 边上的中线．
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
∴ ， ；
∵ （ ）是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
则 ，
即 ，与 相矛盾．
因而M与点D重合是错误的．
所以点M与点D不重合．
3．（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，已知直线 ， ，E、F在线
段 上，且满足 ， 平分 ，
．(1) 与 是否平行？说明理由；
(2)求 的度数；
(3)若平行移动线段 ，是否存在 ？若存在，求出 的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)平行，理由见解析
(2)
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）由平行线的性质，通过等量代换证明 ，即可证明 ；
（2）先证明 ，再由 求 的度数，进而求得 的度数；
（3）用反证法证明不存在 ，即假设存在 ，则可推出点 与点 重合，与
已知条件相矛盾．
【详解】（1）解： ，理由如下：
，
，
，
，
；
（2） 平分 ，
，
，
；
，
，
．
（3）不存在 ，理由如下：
假设存在 ，
，
，；
由（1）得 ，
，
，
由（2）得 ，
，
，
整理得 ，即点 与点 重合，这与已知条件相矛盾，
假设不成立，
不存在 ．
【点睛】此题重点考查平行线的性质、角平分线的概念、反证法等知识和方法，应注意的是，在解第
（3）题时，先假设存在 ，然后根据平行线的性质且应用（1）和（2）中的结论，逐步推
出与已知条件相矛盾．
【经典例题十三 利用三角形中位线求线段长】
【例13】（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图， 中， ，
分别为 的中点， 平分 ，交 于点F，则 的长是（）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半是解题的关键．
根据勾股定理求出 ，根据三角形中位线定理结合平行线的性质、等腰三角形的判定定理推出
，再代入 计算即可．【详解】解：在Rt 中， ，
由勾股定理得：
平分 ，
分别为 的中点，
故选A．
【变式训练】
1．（2023上·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）如图，在 中，
，平面上有一点 ，连接 ， ，且 ，取 的中点 ．连接 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令 中点为点N，连接 ，则 ，根据勾股定理求出 ，由中位线定理得出 ，根据三角形三边之间的关系得出 ，当点B、M、N在同一直线上时，
取最小值，即可求解．
【详解】解：令 中点为点N，连接 ，
∵点N为 中点，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
∵点M为 中点，点N为 中点， ，
∴ ，
∴在 中， ，即 ，
当点B、M、N在同一直线上时， ，
此时 取最小值 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，中位线定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握直角三角形
两直角边的平方和等于斜边平方；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；三角形两边之和大
于第三边，两边之差小于第三边．
2．（2023上·江苏南通·九年级校考期末）如图，矩形 中， ，E是 边上的一定点，
P是 边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是 的中点，记 的长度为a，在点P
运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是 ．
【答案】 /【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，，连接 ，先由矩形的性质
和勾股定理求出 ，再证明 是 的中位线，得到 ，由 得到
，则 ，即 ．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵M，N分别是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
故答案为： ．
3．（2024上·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在 中， 是高， 是中线，且 ，
是 的中点．
(1)求证 ；
(2)若 ， ，则 的长为 ．
【答案】(1)见解析(2)8
【分析】此题考查直角三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形中位线定理．
（1）连接 ，根据三角形中线的性质和直角三角形的性质解答即可；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形中位线定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
是 的中线，
是 的中线．
是高，
，
是 的中线．
，
，
，
是 的中点，
；
（2）解： ， 是高，
是中线，
是 的中点，
是 的中位线，
，
是中线，
，
故答案为：8．【经典例题十四 利用三角形中位线求角度】
【例14】（2023下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，将 沿它的中位线 折叠后，点A落在点
处，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据折叠的性质，三角形中位线定理，三角形内角和定理，平行线的性质，平角的定义计算即可．
【详解】∵ 沿它的中位线 折叠后，点A落在点 处， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，平角的意义，
熟练掌握中位线定理，折叠性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·江苏盐城·统考一模）如图， 分别是 三边的中点，若 ， ，则
的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据三角形内角和定理求出 的度数，再由 分别是 三边的中点得出
，从而可得四边形 是平行四边形，，进而可得出结论．
【详解】解：∵在 中， ， ，
∴ ．
∵ 分别是 三边的中点，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是 是解答此题的关键．
2．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 中， ，E，F，G分别是AB，DC，AC
的中点．若 ， ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】根据三角形中位线定理得到 ， ， ， ，根据等腰三角形的性
质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∴ ，∵ 、 分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第
三边的一半，熟练运用相关定理是解题的关键．
3．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图所示，在 中， ，D，E分别在 ， 上，
， ， 的中点分别是M，N，直线 分别交 ， 于P，Q，求 的度数．
【答案】
【分析】取 的中点H，连接 ， ，根据中位线可得线平行及等量关系，从而得到
， ， ，结合三角形内角和定理整体代换即可得到答案；
【详解】解：取 的中点H，连接 ， ，
∵M，H为 ， 的中点，∴ ， ，
∵N，H为 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理， ，
∴ ；
【点睛】本题考查三角形中位线定理及三角形内角和定理，解题的关键根据中位线得到线相等及平行．
【经典例题十五 三角形中位线与三角形面积问题】
【例15】（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在 中， 平分 ， 于点
D，且 ，则 的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【分析】延长 交 于E，利用“ ”证明 得到 ， ，再根据三
角形的中线平分三角形的面积得到 ，进而可求解．
【详解】解：延长 交 于E，∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
,
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，又 ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，添加辅助线构造全等三角形求图形的
面积是解答的关键．
【变式训练】
1．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，已知D、E分别是 的边 、 的中点， 是
的中线，连接 、 、 ，若 的面积为40，则阴影部分 的面积为（ ）A．10 B．5 C．8 D．4
【答案】B
【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间的距离和三角形面
积公式得到S ADG=S EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，再根据三角形的面
△ △
积公式进行求解即可．
【详解】解：连接DE，如图，
∵D为BC的中点，G为BE的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴DG∥AC，
∴S ADG=S EDG，
△ △
∵E点为AC的中点，
∴S BCE= S ABC= ×40=20，
△ △
∵D点为BC的中点，
∴S BDE= S EBC= ×20=10，
△ △
∵G点为BE的中点，
∴S EDG= S BDE= ×10=5．
△ △
故选：B．【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S= ×底×高；三角形
的中线将三角形分成面积相等的两部分．也考查了三角形中位线性质．
2．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图， 的面积是16，点D，E，F，G分别是 ， ，
， 的中点，则四边形 的面积是 ．
【答案】8
【分析】根据中线的性质，可得 ，同理可得 ，
， ，即可得到四边形 的面积．
【详解】解：∵点D，E，F，G分别是 ， ， ， 的中点，
∴ 是 的中线， 是 的中线， 是 的中线， 是 的中线， 是 的
中线， 是 的中线， 是 的中线，
∴ ，
同理可得： ， ， ，
∴ ．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了三角形中线有关的面积计算，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分
成面积相等的两部分．
3．（2022下·江西南昌·八年级校考期中）如图1所示：在 中，点D、E分别是AB，AC的中点，(1)直接写出DE与BC之间的关系：________________．理由：____________________________．
(2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有______个平行四边形，求证： ；
(3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形ABCD的中点，问题1，图中是否有平行四边形，有请指出并证明
你所指出的四边形是平行四边形．问题2、猜想四边形ABCD和四边形PQRS之间的面积关系．并证明你
的猜想．
【答案】(1) ， ；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
(2)3；证明见解析
(3) ，证明见解析
【分析】（1）由点 、 分别是 ， 的中点，根据三角形的中位线定理得 ， ，
即可得出问题的答案；
（2）由点 、 、 分别是三边中点得 ， ， ，由 ， 得四边
形 是平行四边形，同理得四边形 是平行四边形，四边形 是平行四边形，所以图中有3
个平行四边形；根据平行四边形的性质可以证明 ， ， ，
则 ，即可推导出 ；
（3）①连接 ，由点 、 分别是 、 的中点得 ， ，由点 、 分别是 、
的中点得 ， ，则 ， ，即可证明四边形 是平行四边形；
②连接 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，作 于点 ，
由 得四边形 是平行四边形，由 ， 得四边形 是平行四边形，同理得四边形 是平行四边形，再推导出 ，由 ， ，
证明 ，则 ，所以 ，则 ，同理
，即可证明 ．
【详解】（1）解：如图1， 点 、 分别是 ， 的中点，
， （三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
故答案为： ， ，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
（2） 点 、 、 分别是三边中点，
， ， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
四边形 是平行四边形；
四边形 是平行四边形，
图中有3个平行四边形．
证明： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
同理， ， ，
，
．
故答案为：3．
（3）①有，四边形 是平行四边形，
证明：如图3，连接 ，点 、 分别是 、 的中点，
， ；
点 、 分别是 、 的中点，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形．
② ，
证明：如图4，连接 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，作
于点 ，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
四边形 是平行四边形，
同理，四边形 是平行四边形，
，
，，
， ， ，
，
，
，
，
同理， ，
，
．
【点睛】此题考查三角形的中位线定理、全等三角形的性质与判定、平行四边形的判定与性质、根据转化
思想解决面积问题等知识与方法，灵活运用平行四边形的性质与判定是解题的关键．
【经典例题十六 与三角形中位线有关的证明问题】
【例16】（2023上·山东·九年级专题练习）如图，四边形 中， ， ， ，
， ． 是 的中点，则 的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等知识；正确作出辅助线是解题关键．
延长 到点E，使 ，过点E作 于点F，利用平行线的性质求得四边形 是矩形，于是可得 和 ，由 的长进而可得 ，在 中利用勾股定理求得 后，根据三角形中位线
平行于三角形的第三边且等于第三边的一半即可
【详解】如下图，延长 到点E，使 ，过点E作 于点F，
∵ ， ，
，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
，
中由勾股定理可得 ，
∵M是 的中点，C是 的中点，
∴ 是 的中位线，
，
故选∶C．
【变式训练】
1．（2021上·广东佛山·九年级统考阶段练习）如图，点O为正方形 的中心， 平分 交
于点E，延长 到点F，使 ，连结 交 的延长线于点H，连结 交 于点G，连结 ．
则以下四个结论中：① ，② ，③ ，④ ．正确结论的个数为（
）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】证明 可得， ，再根据对顶角相等和等量代换可得
，从而证明 可得， ，再根据三角形中位线的性质即可
求证①；根据三角形中位线的性质即可判断②；根据四边形的性质和角平分线的定义可得 ，
再根据 可得，可得 ， ，根据三角形中位线
的性质和直角三角形的性质可得 ，从而可得 ，再根据三角形外角的性质
即可判断④；根据三角形中位线的性质可得 ， ，从而可得 ，
，再根据三角形内角和定理求得 ，可得 ，即
即可判断③．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的中位线
∴ ；故①正确；
∴ ， ，
∵ 是 的中位线，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②错误．
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
由①可得， ，
∴ ， ，
∵ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
∵ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；故③错误．
故答案为：C．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定、
三角形内角和定理、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角的的性质与判定及三角形
中位线的性质是解题的关键．
2．（2023上·上海普陀·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为6，点 在边 上，将 沿直线 翻折，使得点 落在同一平面内的点 处，联结 并延长交正方形 一边于点 ．当
时， 的长为 ．
【答案】3或
【分析】分点N在 边上和 边上两种情况，当点N在 边上时，根据正方形的性质及 可
得四边形 是平行四边形，根据折叠的性质及平行四边形的性质得出 ，即可得答案；当点
N在 边上时，过得 作 于E，连接 ，利用 可证明 ，得出
，根据折叠的性质及直角三角形两锐角互余得出 是 的中位线，设 ，
利用中位线的性质及勾股定理列方程求出x即可得答案．
【详解】如图，当点N在 边上时，连接 ，
∵ 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿直线 翻折，使得点 落在同一平面内的点 处，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，当点N在 边上时，过 作 于E，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵将 沿直线 翻折，使得点 落在同一平面内的点 处，
∴ 垂直平分 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
设 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
∴ ，
解得： ，即 ．故答案为：3或
【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、三
角形中位线的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并分类讨论是解题关键．
3．（2024上·吉林·八年级校考期末）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长，
使 ，连接 并延长，使 ，连接 ， 为 的中点，连接 ， ．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)求证：四边形 为平行四边形；
(3)连接 ，交 于点O，若 ， ，直接写出 的长度．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行
四边形的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；
（2）由平行四边形的性质得 ， ， ，再证 是 的中位线，得
， ，证出 ， ，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（3）连接 ， ， ，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解： 四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
；
（2）证明： 四边形 为平行四边形，
， ， ，
， ，是 的中位线，
， ，
为 的中点，
，
， ，
， ，
四边形 为平行四边形；
（3）如图，连接 ， ， ，
， ，
， ，
，
，
四边形 为平行四边形，
， ，
，
，
，
．
【经典例题十七 三角形中位线的实际应用】【例17】（2023下·河北衡水·九年级校考期中）数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱
形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（ ）
甲：先将矩形 分别沿 进行对折再展开， 乙：先将矩形 沿 进行折叠，使点A与
得到两组对边中点，再连接 ， ，则四 点C重合，再展开，连接 ， ，则四边形
边形 是菱形． 是菱形．
A．甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是
【答案】A
【分析】甲中，如图，连接 ，由矩形 ，可得 ，则 、 、 、 、分别是
、 、 、 的中位线， ， ，即
，四边形 是菱形；乙中，由折叠可知， ， ，
由矩形 ，可得 ， ，则 ， ，
，四边形 是菱形．
【详解】解：甲中，如图，连接 ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ 、 、 、 、分别是 、 、 、 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，符合要求；
乙中，由折叠可知， ， ，
∵矩形 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，中位线，菱形的判定，折叠的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟
练掌握与灵活运用．
【变式训练】
1．（2023下·山西大同·八年级大同一中校考期中）如图，为了测量池塘边 两地之间的距离，在 的
同侧取一点 ，连接 并延长至点 ，连接 并延长至点 ，使得 ， ，若测得
，则 间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解： ， ，
分别是 的中点，
是 的中位线，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一
半是解题的关键．
2．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）如图1是雨伞的结构示意图． 是伞柄， ， ， 是伞骨．已知点A，C分别是 ， 的中点． ．点B，D在 上滑动时，可将雨伞打开或收
拢．当 与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全
打开时， ；再将雨伞收拢到如图3，此时 ，且点 到 的距离恰好等于图2中
的长．则伞骨 的长为 ，设图2中能罩住的水平面面积是 ，图3中能罩住的水平面
面积是 ，则 ．
【答案】 6
【分析】利用勾股定理求得 ，再利用三角形中位线定理求得 和 的长；再先后求得 ，
， ，然后利用圆的面积公式即可求解.
【详解】解：作 于点N，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点A是线段 的中点，
∴ ，
∵ ，∴点B是 的中点，
∴ 是 的中位线，
在 中， ，
∵点C是线段 的中点，
∴ ，
∴ ，
过点A和 作 的垂线，垂足分别为 和 ，
由题意得 ，同理 是 的中位线，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
故答案为： ，6.
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线上的性质，等腰三角形的性质
等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
3．（2022下·云南保山·八年级统考期中）[教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：
如图， ， 分别是 的边 ， 的中点，求证： ，且 ．[定理证明]乐乐给出如下部分证明：
证明：如图1，延长 至点 ，使得 ，连接 ……
(1)请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
(2)[定理应用]如图2，在四边形 中， ， ， ， ，点 ， ，
分别是 ， ， 的中点，求 的长：
(3)如图3，在四边形 中，点 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，连接 ， ，
， ．求证：四边形 是平行四边形．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）如图1，延长 至点 ，使得 ，连接 ，先利用 证明 ，再证
明四边形 是平行四边形，可证明结论；
（2）如图2，根据点 ， ， 分别是 ， ， 的中点，可得出 ， ，
， ，再根据 ， ，由平行的性质可求出 ，再
利用勾股定理即可求出 的长；
（3）如图3，连接 ，根据点 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，可得 ，； ， ，由平行线的性质和等量代换可推出 ， ，最后利
用平行四边形的判定即可证明结论．
【详解】（1）证明：如图1，延长 至点 ，使得 ，连接 ，
∴ ，
∵点 是 的边 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵点 是 的边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
即 ， ．
（2）解：∵如图2，点 ， ， 分别是 ， ， 的中点， ， ， ，
，
∴ ， ，
， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ．∴ 的长为 ．
（3）证明：如图3，连接 ，
∵点 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，
∴ ， ，
， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查四边形综合题，考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定
理，勾股定理，平行线的性质，邻补角的定义等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中
位线解决问题．
【经典例题十八 平行四边形相关的综合问题】
【例18】（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）[阅读理解]
“倍长中线”是初中数学一种重要的思想方法．如图1，在 中， 是 边上的中线，若延长
至E，使 ，连接 ，可根据 证明 ，则
．[问题提出]
(1)如图2，平行四边形 中，点E为 边的中点，在 边上找一点F，使得 （要求
∶用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)按照你（1）中的作图过程证明 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作 ，交 于点F，点F即为所求；
（2）结合（1）证明 ，然后证明 ，可得 ，利用线段的和差即可解决
问题．
【详解】（1）解：以A为圆心，任意长度为半径画弧，与 分别交于点M、N，
以M为圆心， 的长度为半径画弧，以A为圆心， 的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接 交
于点F，点F即为所求，
；
（2）证明：延长 交于点G，如图，
在平行四边形 中，∵ ，
∴ ，
由（1）得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 点E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ；
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了是全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角的作法
等，合理添加辅助线、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在 中，过点 作 ， 是 的中点，
连接 并延长，交 于点 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）可证得 ，则 ，结合 ，即可证得结论．
（2）过点 作 ，交 于点，可求得 ，证明 ，进而可求得答案．
【详解】（1）∵ 是 的中点，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
在 和 中
∴ ．
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
（2）如图所示，过点 作 ，交 于点 ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定及性
质，能根据题意构建辅助线是解题的关键．
2．（2023下·江苏泰州·八年级统考期中）如图1，在菱形 中， ， ，点E是 边
上一动点，点F是 边上一动点．
(1)① ② ③
从上述三个选项中选一个作为条件，另一个作为结论，得到一个真命题，并证明你选择的条件是
_________，结论是_________．（填序号）
(2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边 上找一点G，在边 上找一点H，使得四边形 是平
行四边形．（保留痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）选择条件①，结论②；连接 ，由四边形 是菱形， ，可得 和
都是等边三角形，证明 ，有 ，即可得 ；
（2）根据平行四边形对角线互相平分可作出四边形 ．
【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是②；证明如下：
连接 ，如图：
四边形 是菱形， ，和 都是等边三角形，
， ， ，
在 和 中，
，
，
，
，
，
即 ；
（2）连接 ， 交于 ，作射线 交 于 ，作射线 交 于 ，连接 ， ， ， ，
如图：
四边形 即为所求；
理由：由 ， 可知 （平行线等分线段），
同理 ，
四边形 是平行四边形．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，涉及菱形的性质及应用，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是
掌握全等三角形判定定理，并能熟练应用．
3．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点 ，
交y轴于点 ，直线 经过点B且交x轴正半轴于点C，已知 ．(1)点C的坐标是______，直线 的表达式是_____．
(2)若点G为线段 上一点，且满足 ，点M为直线 上一动点，在x轴上是否存在点N，使
以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
(3)点E为线段 中点，点D为y轴上一动点，以 为直角边作等腰直角△EDF，当点F落在直线 上
时，求点D的坐标．
【答案】(1) ，
(2)存在， 点坐标为 或
(3) 或
【分析】（1）由 ， ，可得 ，待定系数法求表达式即可；
（2）由 ，点G为线段 上一点，可得 ，待定系数法求 的表达式为 ；
则 的表达式为 ，联立 ，求 ，待定系数法求直线 的表达式为 ，
设 ， ，由题意知，
分①当 分别为对角线时，②当 分别为对角线时，③当 分别为对角线时，三种
情况，根据中点坐标相同进行求解即可；（3）由题意知， ，设 ，如图，分当 在点 上方，当 在点 下方两种情况求解；①当
在点 上方，如图 ，过 作 于 ， 于 ，证明 ，
则 ，代入 ，求 的值，可得点 坐标，②当 在点 下方，如图 ，同
理①，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
将 ， 代入 得， ，
解得，
∴ ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ，点G为线段 上一点，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入得， ，
解得， ，
∴ ；
∴ 的表达式为 ，联立 ，
解得 ，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，
将 代入得， ，
解得 ，
∴ ，
设 ， ，
∵点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
∴分①当 分别为对角线时，②当 分别为对角线时，③当 分别为对角线时，三
种情况求解：
①当 分别为对角线时， 的中点坐标为 ，
的中点坐标为 ，
∴ ，
解得， ，即 ；②当 分别为对角线时， 的中点坐标为 ，
的中点坐标为 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ；
③当 分别为对角线时， 的中点坐标为 ， 的中点坐标为 ，
∴ ，同①，
综上，存在， 点坐标为 或 ；
（3）解：由题意知， ，设 ，
如图，分当 在点 上方，当 在点 下方两种情况求解；
①当 在点 上方，如图 ，过 作 于 ， 于 ，
∵ ，
∴ ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
将 代入 得， ，
解得， ，
∴ ；
②当 在点 下方，如图 ，
同理①可得，∴ ，
∴ ，
将 代入 得， ，
解得， ，
∴ ；
综上所述， 点坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了一次函数解析式，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，两
直线的交点坐标，等腰三角形的性质．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，分类
讨论是解题的关键．
【拓展培优】
1．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平行四边形 中， ， ． 平
分 ，交边 于点 ，连接 ，若 ，则 的长为（ ）A．10 B．6 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、
勾股定理等知识．由平行四边形的性质可得 ， ， ，由平行线的性
质可得 ，由角平分线的定义可得 ，从而得到 ，推出
， ，过点 作 于点 ，由直角三角形的性质和勾股定理可得 ，
， ，即可得到答案．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
如图，过点 作 于点 ，
，
则 ，
，
，， ，
，
故选：C．
2．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在 中， 的角平分线
交于边 上一点 ，且 ，线段 的长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的的定义，勾股定理．由平行四边形的性质可得
， ， ， ，由角平分线的性质和平行线的性质可得 ，
，由勾股定理可求解．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
，
、 的角平分线交于边 上一点 ，
， ，
，
，
∵ ，
， ，
， ，
，
，故选：D．
3．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在 中， 平分 交于点 ，点 为边 的中
点，已知 ，那么 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相关性质定理，准确添加辅助线是
解题关键．
延长 交 于点F，利用全等三角形的判定和性质求得 的长，根据三角形中位线定理求得 的长，
进而求得 的长，从而可求三角形周长．
【详解】解：延长 交 于点F，
∵ 平分 交于点 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为边 的中点，
∴
∴ ，
∴ 的周长为故选：A．
4．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）如图，在 中， ， ，点E是 边上的中点，
将 沿 翻折得 ，连接 ，A、G、E在同一直线上，则点G到 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明 是解题的关键．
根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明 ，可得 ，然后利用勾股定理可得求
出 的长，进而可得 的值．
【详解】解：如图，作 于点F，
∵点E是 边上的中点，
∴ ，
由折叠可知： ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 于点F，
∴ ，
在 和 中，
根据勾股定理，得 ，即 ，
解得 ，
∴ = ，
∴ ，
故选D．
5．（2024上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图， 是 的边 上的点， 是
中点，连接 并延长交 点 ，连接 与 相交于点 ，若 ， ，则阴
影部分的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定和全等三角形的性质与判定，连接 ，先根据平行四边形的性质得到 ， ，再证明 ，得到 ，则可判定四边形
为平行四边形，则 ，再证明四边形 为平行四边形，得出 ，
最后阴影部分的面积 即可求解，熟练运用平行四边形的性质与判定和全等三角形的性质与判
定进行证明与计算是解题的关键．
【详解】解：连接 ，如图，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积 ，
故选： ．
6．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在平行四边形 中， ， ，以点C为圆心，
以任意长为半径作弧，分别交 于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于 的长为半径作弧，
两弧在 内交于点P，连接 并延长交 于点Q，连接 ．若 时，则 与 的周
长之差为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的尺规作图，角平分线的定义等等，
先由平行四边形的性质得到 ，则 由作图方法可知 平分 ，
则 ，可得 ，再根据三角形周长公式进行求解即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
由作图方法可知 平分 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 的周长之差为 ，
故答案为：5．
7．（2024下·八年级课时练习）如图，在等边 中， ，射线 ，点 从点 出发沿射
线 以 的速度运动，点 从点 出发沿射线 以 的速度运动，如果点 同时出发，设
运动时间为 ，当 时，以 为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】 或
【分析】此题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，分别从点 在 的左侧与点 在 的右侧
两种情况去分析，根据当 时，以 为顶点四边形是平行四边形，得出方程，解方程即
可求求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键．
【详解】解： 当点 在 的左侧时，根据题意得： ， ，
则 ，
∵ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形，
即 ，
解得 ；
当点 在 的右侧时，根据题意得： ， ，
则 ，
∵ ，
∴当 时，四边形 是平行四边形，即 ，
解得 ；
综上可得，当 或 时，以 为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为： 或 ．
8．（2024上·山东青岛·九年级统考期末）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，垂足
为点 ，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．若 ， ，则
四边形 的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查垂直平分线的定义，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据
垂直平分 可得 ， ，根据勾股定理求出 ，再证 ，推
出 ，最后利用三角形面积公式即可求解．
【详解】解： 中， ，
，
由题意知 垂直平分 ，
， ，
又 ，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
四边形 的面积 ，
故答案为： ．
9．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在等腰梯形 中，AB平行CD，对角线 于点O，
，则 ．
【答案】
【分析】作 于点E， 交DC延长线于点F，，从而构建了平行四边形 ，则把
转化到 边上，利用等腰直角三角形的判定与性质求出 ，由勾股定理求出
的长，从而 ，然后求出 ， 的值即可求解．
【详解】解：如图，作 于点E， 交 延长线于点F，∵ ，
∴ ，
∵四边形 是等腰梯形，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ 、 是等腰直角三角形，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得：
，
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ 与 等高，
∴ ．
【点睛】本题考查的是等腰题型的性质、等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股
定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．
10．（2024上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）如图，在 中， ，
，点 ， 分别是边 ， 上的动点，连接 ， ，点 为 的中点，点 为的中点，连接 ，则 的最大值与最小值的差为 .
【答案】
【分析】连接 ，过A作 于M；由题意得 ，则可求得 的长，从而由勾
股定理求得 ；由三角形中位线定理得 ，当G与C重合时， 最长；当G与M重合时，
最短，从而可求得 的最大值与最小值的差．
【详解】解：如图，连接 ，过A作 于M；
则 ；
∵四边形 是平行四边形，且 ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
由勾股定理得 ；
∵点 为 的中点，点 为 的中点，
∴ ；
当G与C重合时， 最长且为 ，此时 ；
当G与M重合时， 最短且为 ，此时 ；∴ 的最大值与最小值的差为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接 利用三角
形中位线定理是关键．
11．（2023上·贵州贵阳·九年级校考期中）已知如图，在平行四边形 中， 于E，
， ，平行四边形 的周长为28，求平行四边形 的面积．
【答案】
【分析】本题考查平行四边的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，利用含30度角的
直角三角形的性质求得 的长，根据周长即可求得平行四边形的边长 ，进而求得平行四边形的面积．
掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：在平行四边形 中， ，
∴ ，
∵ ，
， ，
∴ ，
∵平行四边形ABCD的周长为28，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
12．（2024上·湖南长沙·八年级校考期末）如图，在平行四边形 中，点E在 边上，且 ，
F为线段 上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ， ， ，求 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用平行四边形的性质及等角的补角相等即可证明；
（2）由平行四边形的性质得 ，由（1）所证及 ，即可证明 ；
（3）由（2）及已知得 ， ，进而得 ；即可得
；证明 ，则 ；过E作 于G，分别在 中
由勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明： ∵四边形 是平行四边形，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴ ，
由（1）知： ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，∴ ；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图，过E作 于G，
则 ，
∴ ， ；
在 中， ，由勾股定理得 ，
在 中， ，由勾股定理得 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，
含30度直角三角形的性质等知识，题目不难，灵活运用这些知识是关键．
13．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期末）【问题初探】（1）小学时候，我们学习过“平行四边形”的概
念，如图1当 ， 时，四边形 是平行四边形，某数学兴趣小组同学发现，当四边
形 满足 ， 时，可以推出 也就证明了这个四边形是一个平行四边形了，
他们的做法如下：如图2，连接 ，证明 ，再利用全等三角形的性质得出证明的条件，请写出数学小组同学给出的 的证明过程；
【类比分析】（2）老师给出这样一个题目：如图3，已知 ，D是射线 延长线上的点．
，你能在此图基础上构造出一等腰直角三角形吗？
数学兴趣小组同学给出如下方案：
如图4，过点A作 ，并截取 ，连接 ，则 为等腰直角三角形，请你将
数学小组同学方案的证明过程写出来
【学以致用】（3）紧接着，老师在上面题目上做了修改；如图5，已知 ，D是射线 延长线
上的点， ，E是射线 延长线上的一点，且 ，线段 与 的延长线相交于点P，
的度数是一个固定的值吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 的度数是一个固定的值．理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，
正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
（1）由 ，推出 ，利用 证明 ，得到 ，即可证
明 ；
（2）过点A作 ，并截取 ，利用 证明 ，推出 ，
，得到 ，即可证明结论成立；
（3）过点A作 ，并截取 ，同理证明 为等腰直角三角形，推出 ；再证
明四边形 是平行四边形，即可推出 的度数是一个固定的值为 ．
【详解】解：（1）连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点A作 ，并截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 为等腰直角三角形；
（3） 的度数是一个固定的值．理由如下，
过点A作 ，并截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 为等腰直角三角形，则 ；
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ 的度数是一个固定的值．
14．（2024上·山东济南·八年级统考期末）综合与实践
问题背景：几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解
之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其
转化为平行四边形来求呢?
问题解决：下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形 的对角线 ， ，分别过四边形 的四个顶点作对角线的平行
线，所作四条线相交形成四边形 ，易证四边形 是平行四边形．
（1）请直接写出 和 之间的数量关系： ．
方法2：如图2， 取四边形 四边的中点E， F， G， H， 连接 ， ， ， ，
（2）请直接写出 与 之间数量的关系： ．
（3）求证：四边形 是平行四边形；
实践应用：如图3，某村有一个四边形池塘， 它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，
想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
（4）请问能否实现这一设想?若能，请你画出你设计的图形； 若不能，请说明理由．
（5）已知， 在四边形池塘 中， 对角线AC与BD交于点O． ， ，
，则求四边形池塘 的面积．
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析；（4）能，画图见解析；
（5） ；
【分析】（1）本题考查平行四边形的判定与性质，根据平行四边形的判定得到四边形 ，四边形
，四边形 ，四边形 都是平行四边形，结合平行四边形的对角线分得两个面积相等的三
角形求解即可得到答案；
（2）本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，根据中位线得到平行且等于底边一半，
得到平行四边形，结合平行四边形的对角线分得两个面积相等的三角形求解即可得到答案；
（3）本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定，根据中位线得到平行且等于底边一半，得到平
行四边形，结合平行四边形判定即可得到答案；
（4）本题考查作平行线，根据题目要求构造平行线即可得到答案；
（5）本题考查平行四边形的性质，勾股定理，过H作 于点M，结合勾股定理求出 ，结合面
积公式求解即可得到答案；
【详解】解：（1） ，理由如下，
∵ ， ，∴四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 都是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
故答案为： ，
（2）：如图，连接BD，
（2） ，
∵E，H分别为 ， 中点
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为 ，
（3）证明：∵E，H分别为 ， 中点
∴ ． ，
∵F，G分别为 ， 中点
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形EFGH为平行四边形，
应用：（4）能，如图所示，连接对角线 ， 交于点O，
过点D作 的平行线，过点B作 的平行线过点A作 的平行线，过点C作 的平行线
四边形 即为所求，
应用（5）过H作 于点M，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
15．（2024上·山东威海·八年级统考期末）已知，平行四边形 中，一动点 在 边上，以每秒
的速度从点 向点 运动．
(1)如图①，运动过程中，若 平分 ，且满足 ，求 的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接 并延长，与 的延长线交于点 ，连接 ，若 ，求
的面积；
(3)如图③，另一动点 在 边上，以每秒 的速度从点 出发，在 间往返运动，两个点同时出发，当点 到达点 时停止运动（同时 点也停止），若 ，则 为何值时，以 ， ， ， 四点
组成的四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2) 的面积为
(3) 或 或 或 时，以 ， ， ， 四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，
学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）如图①中，只要证明 是等边三角形即可；
（2）如图②中，由四边形 是平行四边形，推出 ， ，推出
，推出 ，推出 ，可得
由此即可解决问题；
（3）如图③中，分四种情形列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：如图①所示：
四边形 是平行四边形，
，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
是等边三角形，；
（2）解：如图②所示：
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
，
；
（3）解：如图③所示：
，
∴当 时，四边形 是平行四边形，
①当 时， ， ，
∴ ，
解得： ；
②当 时， ， ，
∴ ，
解得： ；
③当 时， ， ，
∴ ，解得： ；
④当 时， ， ，
∴ ，
解得： ；
∴ 或 或 或 时，以 ， ， ， 四点组成的四边形是平行四边形．
