文档内容
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模块三 统计与概率基础
第 09 讲 统计与概率
（思维导图+2考点+16种题型+命题预测）
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 统计图表
►题型01 频数分布表+条形图
►题型02 频数分布表+扇形图
►题型03 条形图+扇形图
►题型04 条形图+折线图
►题型05 直方图+扇形图
考点二 统计与概率
►题型01 概率选填题-摸球情景
►题型02 概率选填题-选人情景
►题型03 概率选填题-选项目情景
►题型04 概率选填题-数字情景
►题型05 概率选填题-跨学科情景
►题型06 概率选填题-匹配情景
►题型07 概率选填题-其它情景
►题型08 列举法求概率-放回类
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►题型09 列举法求概率-不放回类
►题型10 列举法求概率-游戏与方案问题
►题型11 统计与概率
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01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
【统计热考内容】
1. 数据信息的获取与运用：借助统计图表，考生需要能够读取、分析和综合运用数据
信息。这类题目通常结合条形图、扇形图、折线图等多种图表形式，要求考生根据图表
信息解决具体问题，如推测数据趋势、计算百分比等。
2. 决策推断能力的考查：统计部分越来越注重考查考生的决策推断能力。题目往往要
求考生根据统计结果作出合理判断和推测，例如根据销售数据提出进货建议，或根据调
查结果评估某种政策的实施效果。
【概率热考内容】
1. 概率与实验的结合：考生需要通过大量重复试验理解频率与概率的关系，并能利用
频率来估计概率。这类题目通常涉及实际情境，如掷硬币、抽奖等，要求考生计算事件
发生的概率。
统计与概率
2. 概率计算方法的运用：中考还会考查考生运用树状图、列表法等工具来计算复杂事
件的概率。此外，游戏的公平性问题也是常见的考查点，要求考生判断游戏规则是否公
平，并说明理由。
【趋势与备考建议】
1. 贴近生活实际：中考统计与概率的题目越来越贴近生活实际，考生应注重培养在实
际情境中应用统计与概率知识的能力。
2. 综合能力的考查：除了基础知识和技能，中考越来越注重考查考生的数据分析能
力、决策推断能力和综合运用能力。因此，考生在备考过程中应多做综合性题目，提高
自己的分析问题和解决问题的能力。
3. 重视实践操作：概率部分的学习应注重实践操作，通过亲身实验来理解概率的概念
和计算方法，加深对知识的掌握。
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02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 统计图表
►题型01 频数分布表+条形图
1．（2024·安徽·中考真题）综合与实践
【项目背景】
无核柑橘是我省西南山区特产，该地区某村有甲、乙两块成龄无核柑橘园．在柑橘收获季节，班级同学前
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往该村开展综合实践活动，其中一个项目是：在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对
两块柑橘园的优质柑橘情况进行调查统计，为柑橘园的发展规划提供一些参考．
【数据收集与整理】
从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．
柑橘直径用x（单位：cm）表示．
将所收集的样本数据进行如下分组：
组别 A B C D E
x 3.5≤x<4.5 4.5≤x<5.5 5.5≤x<6.5 6.5≤x<7.5 7.5≤x≤8.5
整理样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数直方图，部分信息如下：
任务1 求图1中a的值．
【数据分析与运用】
任务2 A，B，C，D，E五组数据的平均数分别取为4，5，6，7，8，计算乙园样本数据的平均数．
任务3 下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）．
①两园样本数据的中位数均在C组；
②两园样本数据的众数均在C组；
③两园样本数据的最大数与最小数的差相等．
任务4 结合市场情况，将C，D两组的柑橘认定为一级，B组的柑橘认定为二级，其它组的柑橘认定为三
级，其中一级柑橘的品质最优，二级次之，三级最次．试估计哪个园的柑橘品质更优，并说明理由．
根据所给信息，请完成以上所有任务．
2．（2023·江西·中考真题）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生
进行调查，并对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
整理描述
初中学生视力情况统计表 高
中学生视力情况统计图
视力 人 百分比
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数
0.6及以下 8 4%
0.7 16 8%
0.8 28 14%
0.9 34 17%
1.0 m 34%
1.1及以上 46 n
合计 200 100%
(1)m=_______，n=_______；
(2)被调查的高中学生视力情况的样本容量为_______；
(3)分析处理：①小胡说：“初中学生的视力水平比高中学生的好．”请你对小胡的说法进行判断，并选择
一个能反映总体的统计量说明理由：
②约定：视力未达到1.0为视力不良．若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对
视力保护提出一条合理化建议．
►题型02 频数分布表+扇形图
3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小
时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，
调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：
组别 分组（cm） 频数
A 50P D．无法判断
1 2 1 2 1 2
20．（2024·北京·模拟预测）一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他
区别．有如下两个活动：活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸
出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为P ；活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把
1
这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为P ．请你猜想P ，
2 1
P 的大小关系是：P P ，（填“＞”“＝”或“＜”）
2 1 2
21．（2020·山东济宁·中考真题）小明用大小和形状都完全一样的正方体按照一定规律排放了一组图案(如
图所示),每个图案中他只在最下面的正方体上写“心”字,寓意“不忘初心”.其中第(1)个图案中有1个正方
体,第(2)个图案中有3个正方体,第(3)个图案中有6个正方体，……按照此规律，从第(100)个图案所需正方
体中随机抽取一个正方体，抽到带“心”字正方体的概率是（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
100 20 101 101
►题型08 列举法求概率-放回类
22．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年
级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字
分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随
机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明
胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
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(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
23．（2024·陕西·中考真题）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，
这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
24．（2024·河北·中考真题）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b,2a+b,a−b，除正面的代数式不同
外，其余均相同．
a+b 2a+b a−b
a+b 2a+2b 2a
2a+b
a−b 2a
(1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a=1,b=−2时，求取出的卡片上代数式的值为负
数的概率；
(2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张．请在表格中补全
两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率．
►题型09 列举法求概率-不放回类
25．（2024·江苏常州·中考真题）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3
张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；
(2)甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲
先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
26．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，
4，5，5，6．
(1)将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？
(2)将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张．请用列表或
画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率．
27．（2024·江苏苏州·中考真题）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，
“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．
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(1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______；
(2)若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书
签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
►题型10 列举法求概率-游戏与方案问题
28．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标
有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数
字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜．
(1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率．
(2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由．
29．（2023·福建·中考真题）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举
办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：
从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，
则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再
往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记
下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现
已知某顾客获得抽奖机会．
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率；
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的
理由
30．（2024·江西南昌·模拟预测）“庆元旦，迎新年”，某班组织庆祝元旦活动，活动中有个抽签决定奖
项的环节．抽签箱中有1号，2号，3号3个号签，抽到1号签获得一等奖，抽到2号签获得二等奖，抽到
3号签获得三等奖．（抽到的签不放回）甲、乙、丙三位同学在活动中表现活跃，主持人宣布他们获得抽
签机会．
(1)事件“甲获得一等奖”是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”）
(2)甲同学认为先抽的获得一等奖的机会更大，乙同学认为后抽的获得一等奖的机会更大，丙同学认为先抽
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和后抽获得一等奖的机会一样大．你同意谁的观点，请说明理由．
►题型11 统计与概率
31．（2024·山东日照·中考真题）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年5月学校举行健美
操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下
表：
单项比赛计分 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平
规则 均数即为该项得分
团体决赛计分 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低
规则 排序
现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下：
a．甲、乙两班五个单项得分折线图：
b
．丙班五个单项得分表：
项目 一 二 三 四 五
得分 78 m 94 90 92
根据以上信息，回答下列问题：
(1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为80，84，86，83，82，求丙班第二个单项的得分
m；
(2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；
（填“甲”“乙”或“丙”）
(3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有A，B，C三种图书可供选择，请用列表或画树
状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率
32．（2024·山东东营·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营
市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查
了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间x分成五档：A档：
0≤x<1；B档：1≤x<2；C档：2≤x<3；D档：3≤x<4；E档：4≤x）．调查的八年级男生、女生劳
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动时间的不完整统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图；
(2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的
中位数为_______小时．
(3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法
求所选两名学生恰好都是女生的概率．
33．（2024·贵州·中考真题）根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超
过7.7秒、8.3秒为优秀等次．某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名
学生的平均成绩（单位：秒）记录如下：
男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根据以上信息，解答下列问题：
(1)男生成绩的众数为______，女生成绩的中位数为______；
(2)判断下列两位同学的说法是否正确．
(3)教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状
图或列表的方法求甲被抽中的概率．
1.公式法
概率的计算方法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件
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A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 ，即 .
用 求概率时，试验需满足的条件：1）在一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
2）在一次试验中，各种结果出现的可能性相等.
2.列举法
定义：在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可
通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法.
用列举法求概率的前提：1）所有可能出现的结果是有限个；2）每个结果出现的可能性相等.
3.列表法
定义：当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，
这种方法叫列表法.
4.画树状图法
定义：当事件要经过多个步骤完成时，用树状图的形式不重不漏地列出所有可能的结果的方法叫画树
状图法.
5.用频率估计概率
一般地，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，
摆动的幅度会减小.因此，当试验次数很大时，可以用一个事件发生的频率作为其概率的估计值.
1．（2025·河南周口·一模）现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其
他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有
“神舟十九号载人飞行任务”的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 4 6 8
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2．（2025·山西·模拟预测）经过一个“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假设这两种可能性相
同.某一定时间内随机有三人经过该路口，则恰好有两人左拐的概率为（ ）
1 3 3 7
A． B． C． D．
4 8 4 8
3．（2025·广东·模拟预测）某社区开展“垃圾分类、倡文明”志愿服务活动．小刚、小强计划利用寒假从
甲，乙，丙，丁四个志愿服务队中，随机选择一个参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一个服务队的概
率是（ ）
1 1 1 3
A． B． C． D．
2 3 4 16
4．（2025·河南郑州·一模）酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变
红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是NaOH溶液、Ca(OH) 溶液、稀盐酸、稀硫酸．小刚随
2
机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为 ．
5．（2025·江西·模拟预测）小贤同学要测量图中不规则图案（恐龙）的面积，采用的办法是：先用长为
4cm，宽为3cm的矩形将该图案围起来，再向矩形区域内掷点，通过大量的重复式验，发现点落在不规则
图案部分的频率稳定在0.2附近，请你根据小贤同学的试验数据，估算出该不规则图案（恐龙）的面积为
．
4 √5−1
6．（2025·广东深圳·一模）从0， ，√2，−7， 五个数中随机抽取一个数，则抽出的数是无理数
3 2
的概率为 ．
7．（2025·山西长治·模拟预测）山西的四大旗舰物种是黑鹳、原麝、华北豹，褐马鸡，某校的野生动植物
保护兴趣小组成员小赛和小梅计划从“黑鹳”“原麝”“华北豹”“褐马鸡”四种动物中任意选择一种调
查，他们制作了四张质地大小完全相同的卡片，背面朝上洗匀后，小颖和小梅各自从中随机抽取一张来确
定自己的课外调查研究内容（第一人抽完放回洗匀后另一人再抽取），则两人恰好抽取到同一旗舰物种卡
片的概率为 ．
8．（2025·江苏宿迁·一模）一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字√5，√3和
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1
．
2
(1)从口袋中随机摸出一个小球，摸出小球上的数字是无理数的概率是______；
(2)先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸
出一个小球，将小球上的数字记为y．请用列表法或画树状图法求出x与y的乘积是有理数的概率．
9．（2025·陕西西安·二模）西安是中国著名的历史文化名城，拥有众多的历史遗迹和文化景点，如兵马俑、
大雁塔、古城墙等．小明是位旅游纪念品收集爱好者，他收集了四张具有西安特色的纪念卡片（这四张卡
片依次分别用字母A，B，C，D表示，四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），其中A是兵马俑图案，
B是大雁塔图案，C是古城墙图案，D是钟楼图案．现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从中随机抽取一张卡片是兵马俑图案A的概率是_______；
(2)小明计划从中随机抽取两张卡片送给自己的好朋友，请用列表法或画树状图法计算小明抽取的两张卡片
恰好是大雁塔图案B和钟楼图案D的概率．
10．（2025·湖北·一模）某单位组织员工分批参观湖北省内的四个景点：A．武当山、B．三峡、C．神农
架旅游区、D．黄鹤楼．该单位对员工最感兴趣的景点人数进行了问卷调查，并根据收集到的数据，绘制
成如图所示两幅不完整的统计图．
(1)这次该单位组织旅游的人数是____；
(2)扇形统计图中“C”所对应的扇形圆心角度数是____；
(3)甲、乙两人分别从这四个景点中随机选择一个景点游览，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中
至少有一人选择A景点的概率．
11．（2025·辽宁抚顺·一模）某校利用“阳光体育大课间”对学校足球队全员进行定点射门训练，每人踢
五次，训练结束后，把结果制成了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
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(1)求此次定点射门训练中进球5次的人数；
(2)在此次定点射门训练中进球5次的队员中有1名女生，学校想从进球5次的队员中选2人参加比赛，请
通过列表或画树形图的方法求参加比赛的队员是一男一女的概率．
12．（2025·湖南娄底·模拟预测）某中心学校九（1）班为了了解学生对消防知识的掌握情况，为此九
（1）班全体同学进行了一次测试，测试满分为5分，将所得的分数（单位：分）进行分类，统计绘制了如
下不完整的统计图． 请根据图中信息，解答下列问题：
(1)a= ，并补全条形统计图；
(2)请计算九（1）班本次测试成绩的中位数和平均数；
(3)由于学校开展消防演练的需要，现从成绩前四名（1名男生和3名女生）中随机抽取2人进行对灭火器
的实践操作，请用画树状图或列表的方法求出恰好选中1男1女的概率．
31
