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专题 15 用列举法求概率（综合题）
知识互联网
易错点拨
知识点：用列举法求概率
常用的列举法有两种：列表法和树形图法.
1. 列表法：
当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的
结果，通常采用列表法.
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能
的次数和方式，并求出概率的方法.
细节剖析：
（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.
2. 树形图：当一次试验要涉及 3 个或更多个因素 时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图.
树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可
能的次数和方式，并求出概率的方法.
细节剖析：
(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；
（2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.
易错题专训
一．选择题
1．（2022•新城区模拟）在如图所示的电路图中，若闭合S、S、S、S中任意一个开关，则小灯泡发光
1 2 3 4
的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】根据题意，只有闭合S时能够让灯泡发光，然后利用概率公式求解即可求得答案．
1
【完整解答】解：根据题意，只有闭合S时能够让灯泡发光，
1
∴能够让灯泡发光的概率为： ，
故选：C．
2．（2019秋•慈溪市期中）一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择
一条路径，则它获取食物的概率是（ ）A． B． C． D．
【思路引导】根据树形图即可求概率．
【完整解答】解：根据树形图，可知
蚂蚁可选择食物的路径有6条，即有6种等可能的结果，
有食物的有两条．
所以概率是 ．
所以它获取食物的概率 ．
故选：B．
3．（2019春•西湖区校级月考）小花从3种不同款式的帽子和2种不同款式的围巾中分别选一顶帽子和一
条围巾搭配，可能出现的组合有（ ）
A．7种 B．6种 C．5种 D．4种
【思路引导】设3种不同款式的帽子为A、B、C，2种不同款式的围巾为D、E，画树状图即可得出结论．
【完整解答】解：设3种不同款式的帽子为A、B、C，2种不同款式的围巾为D、E，画树状图为：
∴可能出现的组合有6种，
故选：B．
4．（2020•浙江自主招生）用三种不同的颜色，将如图所示的四个区域涂色，每种颜色至少用 1次，则相
邻的区域不涂同一种颜色的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】根据题意，可以设第一格为 1，可列举所有可能：1123，1132，1312，1321，1322，1323，1332，1213，1223，1231，1232，1233．此时所有可能的结果又12种，符合条件的有6种，其
余同理，最后所有可能的结果共有36种，符合条件的结果共有18种，进而求出概率．
【完整解答】解：根据题意，可以设第一格为1，
可列举所有可能：
1123，1132，1312，1321，1322，1323，1332，1213，1223，1231，1232，1233．
此时所有可能的结果又12种，符合条件的有6种，
其余同理，
所以四个格的所有可能的结果共有36种，
符合条件的结果共有18种，
所以相邻的区域不涂同一种颜色的概率为：
P＝ ＝ ．
故选：B．
5．（2019•翠屏区模拟）点P的坐标是（m，n），从﹣5，﹣3，0，4，7这五个数中任取一个数作为m的
值，再从余下的四个数中任取一个数作为n的值，则点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概
率是（ ）
A． B． C． D．
【思路引导】先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再根据第二象限点的坐标特征找出点P（m，
n）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数，然后根据概率公式求解．
【完整解答】解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为4，
所以点P（m，n）在平面直角坐标系中第二象限内的概率＝ ＝ ．
故选：B．
6．（2018•岳麓区校级自主招生）箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依
次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是（ ）A． B． C． D．
【思路引导】先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第二个人摸出红球且第三个人
摸出白球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【完整解答】解：画树状图得：
∵共有24种等可能的结果，第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的有8种情况，
∴第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率＝ ＝ ．
故选：B．
二．填空题
7．（2022秋•沙坪坝区校级月考）有三张外观一样的正面分别是红色、黄色、蓝色的卡片，将其背面朝上
并洗匀．从中随机抽取一张，记下卡片的颜色后放回，再从中随机抽取一张记下其颜色．则抽取的两张
卡片的颜色就能配成紫色的概率是 .（红色和蓝色可以配成紫色）
【思路引导】画树状图表示出所有等可能的结果数和抽取的两张卡片是红色和蓝色的结果数，再根据概
率公式即可得出答案．
【完整解答】解：根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片的颜色就能配成紫色的结果有2种，
∴抽取的两张卡片的颜色就能配成紫色的概率为 ．故答案为： ．
8．（2019•岳池县模拟）10月14日，韵动中国•2018广安国际红色马拉松赛激情开跑．上万名跑友将在小
平故里展开激烈的角逐．某校决定从两名男生和三名女生中选出两名同学作为红色马拉松赛的志愿者，
则选出一男一女的概率是 ．
【思路引导】先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出一男一女的情况，再
利用概率公式求解即可求得答案．
【完整解答】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出一男一女的有12种情况，
∴选出一男一女的概率是： ＝ ．
故答案为： ．
9．（2018•武汉模拟）一个不透明的口袋中有2个红球、1个绿球，这些球除颜色外无其它差别．现从袋
子中随机一次摸出两个球，则是两个红球的概率是 ．
【思路引导】此题可以用直接列举法，求得有3种可能结果，又由摸到两个红球的情况有1种，根据概
率公式求解即可求得答案．
【完整解答】解：用直接列举法可知共有3种可能结果：
红 红 ，红 绿，红 绿，
1 2 1 2
∴P（两个红球）＝ ．
故答案为： ．
10．（2018•晋城三模）车辆经过长风收费站时，4个收费通道A，B，C，D中，可随机选择其中一个通过，
两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率是 ．【思路引导】利用树状图，列举出所有可能的结果，根据概率公式计算即可．
【完整解答】解：设两辆车分别记为甲，乙，
如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，
∴选择不同通道通过的概率＝ ＝ ，
故答案为： ．
11．（2022•宁夏）喜迎党的二十大召开，学校推荐了四部影片：《1921》、《香山叶正红》、《建党伟
业》、《建军大业》．甲、乙同学用抽卡片的方式决定本班观看哪部，四张卡片正面分别是上述影片剧
照，除此之外完全相同．将这四张卡片背面朝上，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，
则两人恰好抽到同一部的概率是 ．
【思路引导】画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，再
由概率公式求解即可．
【完整解答】解：把影片剧照《1921》、《香山叶正红》、《建党伟业》、《建军大业》的四张卡片分
别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到同一部的结果有4种，∴甲、乙两人恰好抽到同一部的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
12．（2022春•罗湖区期末）从3、5、6、9四个数中随机取一个数，不放回，再随机取一个数，把第一个
数作为十位数字，第二个数作为个位数字，组成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率是 ．
【思路引导】画树状图，共有12种等可能的结果，其中组成的两位数是奇数的结果有9种，再由概率
公式求解即可．
【完整解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中组成的两位数是奇数的结果有9种，
∴这个两位数是奇数的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
三．解答题
13．（2022•禄劝县二模）小明从商店里购买3张正面分别印有2022年北京冬奥会吉祥物卡片（卡片的形
状、大小、质地都相同），其中印有“冰墩墩”图片的卡片2张、印有“雪容融”图片的卡片1张，将
这三张正面卡片背面朝上、洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的概率是 ；
（2）若先从中任意抽取1张，记录后放回、洗匀，再从中任意抽取1张，请用树状图或列表的方法求
两次抽取的卡片刚好是1张是“冰墩墩”另1张是“雪容融”的概率．【思路引导】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可
得出答案．
【完整解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“冰墩墩”的概率是 ；
故答案为： ；
（2）把“冰墩墩”“雪容融”图案的卡片分别记为A、B表示，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片刚好是1张是“冰墩墩”另1张是“雪容融”的有4种，
则两次抽取的卡片刚好是1张是“冰墩墩”另1张是“雪容融”的概率是 ．
14．（2022•鄄城县三模）在“双减”和“双增”的政策下，某校七年级开设了五门手工课，按照类别分
别为：A．剪纸；B．沙画；C．雕刻；D．泥塑；E．插花．每个学生仅限选择一项，为了了解学生对每
种手工课的喜爱程度，随机抽取了七年级部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统
计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 12 0 名学生；扇形统计图中m＝ 2 5 ，类别A所对应的扇形圆心角的度数是
5 4 度；
（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；
（3）在学期结束时，从开设的五门手工课中各选出一名学生谈感悟，由于这五名同学采用随机抽签的
方式确定顺序，请用树状图或列表的方式说明剪纸（A）和雕刻（C）两人排在前两位谈感受的概率．
【思路引导】（1）从两个统计图可知D组的有36人，占调查人数的30%，可求出调查人数，根据C组
的人数占总人数的百分比求出m，根据圆心角度数＝该项的百分比×360°算出A的圆心角；
（2）根据B组所占的百分比求出B组的人数，在此基础上求出E组的人数，据此补全条形统计图；
（3）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可
得出答案．
【完整解答】解：（1）36÷30%＝120（名），
m%＝ ×100%＝25%，
即m＝25；
A所对应的扇形圆心角的度数为： ×360°＝54°，
故答案为：120，25，54；
（2）B组的人数为：120×5%＝6（人），
E组的人数为：120﹣18﹣6﹣30﹣36＝30（人），
补全条形统计图如图所示：（3）根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况数，其中剪纸（A）和雕刻（C）两人排在前两位谈感受的有2种，
则剪纸（A）和雕刻（C）两人排在前两位谈感受的概率是 ＝ ．
15．（2022•织金县三模）北京冬奥会已落下帷幕，但它就象一团火焰，点燃了中国人参与冰雪运动的热
情．某校为了了解学生对冰雪运动相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，所有问卷全部收回，
从中随机抽取若干份答卷，并统计成绩将结果绘制成如下所示的统计图（均不完整）．
请解答下列问题：
（1）本次随机抽取了 5 0 份答卷；
（2）若该校有1200名学生参加了此次问卷测评，请估计成绩为100分的人数是 24 0 人；
（3）甲同学认为被抽取的答卷中有一半同学的测评成绩不低于90分，你同意甲同学的说法吗？并说明
你的理由；
（4）某班计划在“短道速滑”、“花样滑冰”、“单板滑雪”、“冰壶”四项冰雪运动中任选两项作
为板报素材，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“短道速滑”、“冰壶”这两项运动的概率．【思路引导】（1）由70分的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）先依次求出90分、100分的人数，再用总人数乘以得100分人数所占比例即可；
（3）计算出成绩不低于90分的人数所占百分比即可得出答案；
（4）将四项冰雪运动分别记作甲、乙、丙、丁，画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的
结果数，再根据概率公式求解即可．
【完整解答】解：（1）本次随机调查的答卷数量为10÷20%＝50（份），
故答案为：50；
（2）90分的人数为50×24%＝12（人），
100分的人数为50﹣（4+10+14+12）＝10（人），
所以估计成绩为100分的人数是1200× ＝240（人），
故答案为：240；
（3）不同意，
因为成绩不低于90分的人数所占百分比为 ×100%＝44%＜50%，
所以被抽取的答卷中不到一半的同学的测评成绩不低于90分．
（4）将四项冰雪运动分别记作甲、乙、丙、丁，
画树状图得：
∴一共有12种等可能的结果，其中恰好选中“短道速滑”、“冰壶”这两项运动的有2种结果，
∴恰好选中“短道速滑”、“冰壶”这两项运动的概率为 ＝ ．
16．（2022•凤山县模拟）今年5月份，某校九年级学生参加了中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表和扇
形统计图，根据图表中的信息解答下列问题：
分组 分数段（分） 频数
A 36≤x＜41 2
B 41≤x＜46 5
C 46≤x＜51 15
D 51≤x＜56 m
E 56≤x＜61 10
（1）求全班学生人数和m的值；
（2）直接写出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段；
（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生1人，女生2人．现需从这3人中随机选取2人到八年
级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．
【思路引导】（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；
（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；
（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．
【完整解答】解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%＝50（人）；
m＝50﹣2﹣5﹣15﹣10＝18（人）；
（2）∵全班学生人数：50人，
∴第25和第26个数据的平均数是中位数，
∴中位数落在51≤x＜56分数段；
（3）如图所示：将女生分别标记为A，A，男生标记为B
1 2 1
A A B
1 2 1
A （A，A） （A，B）
1 1 2 1 1
A （A，A） （A，B）
2 2 1 2 1
B （B，A） （B，A）
1 1 1 1 2P（一男一女）＝ ＝ ．
17．（2022•无锡二模）在一次数学考试中，小明有一道选择题（只能在四个选项A、B、C、D中选一个）
不会做，便随机选了一个答案；小亮有两道选择题都不会做，他也随机选了两个答案．
（1）小明随机选的这个答案，答对的概率是 ；
（2）通过画树状图或列表法求小亮两题都答对概率是多少？
（3）这个班数学老师参加集体阅卷，在阅卷的过程中，发现学生的错误率较高．他想：若这10道选择
题都是靠随机选择答案，则这10道选择题全对的概率是 ．
【思路引导】（1）根据一道题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，再根据概率公式即可得出答
案；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和两题都答对的情况数，然后根据概率公式即可得出
答案；
（3）由（2）得2道题都答对的概率是（ ）2，从而得出这10道选择题全对的概率．
【完整解答】解：（1）∵只有四个选项A、B、C、D，对的只有一项，
∴答对的概率是 ；
故答案为： ；
（2）根据题意画图如下：
共有16种等情况数，两题都答对的情况有1种，
则小亮两题都答对概率是 ；（3）由（2）得2道题都答对的概率是（ ）2，则这10道选择题全对的概率是（ ）10＝ ．
故答案为： ．
18．（2022•广汉市模拟）济南某中学在参加“创文明城，点赞泉城”书画比赛中，杨老师从全校 30个班
中随机抽取了4个班（用A，B，C，D表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不
完整的统计图．
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）杨老师采用的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”）；
（2）请补充完整条形统计图，并计算扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数 150° ．
（3）请估计全校共征集作品的件数．
（4）如果全班征集的作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生，现要在获得
一样等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，请你用列表或树状图的方法，求恰好选取的两名学生性别
相同的概率．
【思路引导】（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
（2）由题意得：所调查的4个班征集到的作品数为：6÷ ＝24（件），C班作品的件数为：24﹣4
﹣6﹣4＝10（件）；继而可补全条形统计图；
（3）先求出抽取的4个班每班平均征集的数量，再乘以班级总数可得；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两名学生性别相同的情况，再
利用概率公式即可求得答案．
【完整解答】解：（1）杨老师从全校30个班中随机抽取了4个班，属于抽样调查．
故答案为：抽样调查．（2）所调查的4个班征集到的作品数为：6÷ ＝24（件），
C班有24﹣（4+6+4）＝10（件），
补全条形图如图所示，
扇形统计图中C班作品数量所对应的圆心角度数360°× ＝150°；
故答案为：150°；
（3）∵平均每个班 ＝6（件），
∴估计全校共征集作品6×30＝180（件），
答：估计全校共征集作品180件．
（4）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，两名学生性别相同的有8种情况，
∴恰好选取的两名学生性别相同的概率为 ＝ ．
19．（2021•岱岳区三模）2015年2月27日，在中央全面深化改革领导小组第十次会议上，审议通过了
《中国足球改革总体方案》，体制改革、联赛改革、校园足球等成为改革的亮点．在联赛方面，作为国
内最高水平的联赛﹣﹣中国足球超级联赛今年已经进入第12个年头，中超联赛已经引起了世界的关注．
图9是某一年截止倒数第二轮比赛各队的积分统计图．（1）根据图，请计算该年有 1 6 支中超球队参赛；
（2）补全图一中的条形统计图；
（3）根据足球比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，最后得分最高者为冠军．倒
数第二轮比赛后积分位于前4名的分别是A队49分，B队49分，C队48分，D队45分．在最后一轮的
比赛中，他们分别和第4名以后的球队进行比赛，已知在已经结束的一场比赛中，A队和对手打平．请
用列表或者画树状图的方法，计算C队夺得冠军的概率是多少？
【思路引导】根据题意列表得出A、B、C、D四个队与第4名以后的球队进行比赛所有得分结果，由表
格中体现的所有情况，选出符合题意C队获胜的情况的情况总数，从而估算出C队获胜的概率．
【完整解答】解：（1）4÷25%＝16（支），
答：该年有16支中超球队参赛；
故答案为：16；
（2）积分为39.5﹣44.5的球队为16﹣1﹣3﹣6﹣4＝2（支），
补全条形统计图如图所示；
（3）依题意列表格：
由表格得到共有如下27种比赛积分结果：
（50，52，51，48）；（50，52，51，46）；（50，52，51，45）；
（50，52，49，48）；（50，52，49，46）；（50，52，49，45）；
（50，52，48，48）；（50，52，48，46）；（50，52，48，45）；
（50，50，51，48）；（50，50，51，46）；（50，50，51，45）；（50，50，49，48）；（50，50，49，46）；（50，50，49，45）；
（50，50，48，48）；（50，50，48，46）；（50，50，48，45）；
（50，49，51，48）；（50，49，51，46）；（50，49，51，45）；
（50，49，49，48）；（50，49，49，46）；（50，49，49，45）；
（50，49，48，48）；（50，49，48，46）；（50，49，48，45）；
其中已知A队打平，C队获胜的情况恰有6种，
故P ＝ ＝ ．
（C队获胜）
20．（2022•抚顺县模拟）“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识
的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统
计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 30
°；
（2）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了
解”和“基本了解”程度的总人数为 30 0 人；
（3）若从对校园安全知识达到“了解”程度的 3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人
参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率．
【思路引导】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A的情况，再利
用概率公式求解即可求得答案．
【完整解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；
∵了解部分的人数为60﹣（15+30+10）＝5，
∴扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为： ×360°＝30°；
故答案为：60，30；
（2）根据题意得：900× ＝300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人，
故答案为：300；
（3）画树状图如下：
所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A的情况有2种，
所以P（抽到女生A）＝ ＝
