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专题15 相似三角形之动点问题
1．如图，在 中， ，点E是直角边 上动点，点F是斜边
上的动点（点F与 两点均不重合）．且 平分 的周长，设 长为 ．
(1)试用含x的代数式表示 ；
(2)若 的面积为 ，求x的值；
(3)当 是等腰三角形时，求出此时 的长．
2．如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发，沿线段AB以每秒5个
单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连
结PQ，以PQ、PB为边作 ．设 与 重叠部分图形的面积为S，点P的运动
时间为t秒．
(1)直接用含t的代数式表示线段PQ的长并写出t的取值范围；
(2)当点M落在边AC上时，求t的值及此时 的面积；
(3)求S与t之间的函数关系式；
(4)当 的对角线的交点到 的两个顶点的距离相等时，直接写出t的值．3．如图，在矩形 中， ， 分别是一元二次方程 的两个根，
连结 ，动点 从 出发，以1个单位每秒速度，沿 方向运动，同时，动点 从点 出发，
以同样的速度沿射线 运动，当点 到达点 时，点 即停止运动，设运动时间为 秒.以 为
斜边作Rt ，使点 落在线段 上.
(1)求线段 的长度；
(2)求 面积的最大值；
(3)当 与 相似时，求 的值.
4．如图，在 中， ， ，点 从点 开始沿 边向 点以
的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 分别从
同时出发，问经过几秒钟， ．
5．如图，在 中， ， ， ， 是 边的中点， 为 边上的一个动
点，作 ， 交射线 于点 ．设 ， 的面积为 ．(1)求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2)如果以 、 、 为顶点的三角形与 相似，求 的面积．
6．如图，矩形 中， ， 为 边上的动点，当 与 相似时，
求 长．
7．如图，在 中， cm，动点P从点C出发沿着 的方向以 的
速度向终点A运动，另一动点Q同时从点A出发沿着 方向以 的速度向终点C运动，P、Q
两点同时到达各自的终点，设运动时间为t（s）． 的面积为 ．
(1)求 的长；
(2)求S与t的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和 相似？
8．如图，在 中， ，点P从A出发，以 的速度向B运动，同时
点Q从C出发，以 的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止
运动，设运动的时间为 ,
(1)则 ； ____ (用含t的代数式表示)(2)求运动时间t的值为多少时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似？
9．如图1，在 中， ，动点P从点B出发，在BA边上以
每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B
匀速运动，运动时间为t秒 ，连接PQ．
(1)若 与 相似，求t的值；
(2)直接写出 是等腰三角形时t的值；
(3)如图2，连接AQ、CP，若 ，求t的值．
10．如图1，在 中， ，点P为斜边 上一点，过点P作射线
，分别交 、 于点D，E．
(1)问题产生∶若P为 中点，当 时， ；(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE绕着点P旋转到图2的位置， 的值是否会发生改
变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；
(3)问题解决：如图3，连接 ，若 与 相似，求 的值．
11．如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段
AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单
位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
(2)当t为何值时，△APQ的面积为 ？
12．如图，在矩形ABCD中， cm， cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以
1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t
（s）．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．
(2)填空：
①当t为______s时，四边形EGFH是菱形；
②当t为______s时，四边形EGFH是矩形．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝8cm，点D，E分别为边AB，AC的中点，
连结DE，点P从点B出发，沿折线BD－DE－EA运动，到点A后立即停止．点P在BD上以
cm/s的速度运动，在折线DE－EA上以1cm/s的速度运动．在点P的运动过程中，过点P作
PQ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，点M在线段BQ上．设点P的运动时间为t（s）．(1)当点P在线段DE上时，求正方形PQMN的边长．
(2)当点N落在边AB上时，求t的值．
(3)在点P的整个运动过程中，记正方形PQMN与△ABC重叠部分图形面积为S（cm²），求S与t
的函数关系式，写出相应t的取值范围．
14．如图，矩形 中， ， ，动点 从点 出发，沿 边以 的速
度向点 匀速移动，动点 从点 出发，沿 边以 的速度向点 匀速移动，一个动点到达
端点时，另一个动点也停止运动，点 ， 同时出发，设运动时间为 ．
(1)当 为何值时， 的面积为 ？
(2) 为何值时，以A， ， 为顶点的三角形与 相似．
15．阅读与思考
如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．
解决问题：(1)写出正确的比例式及后续解答．
(2)指出另一个错误，并给出正确解答．
拓展延伸：
(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向
以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速
运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；
若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA向点A
以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点运动到终
点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当 POQ与
AOB相似时t的值．
17．如图， ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度
向点B运动△，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止
运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q
与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP．
(1)当t为何值时，线段DP与⊙Q相切；
(2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围；
(3)当 APC是等腰三角形时，直接写出t的值．
18．如△图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，点P，Q同时从点B出发，点P以每秒5个
单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BC﹣CA运动，当点P，Q相遇时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．
(1)当P，Q两点相遇时，t＝ 秒；
(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
19．如图，在 Rt ABC 中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点 P 从点 B 出发，沿线段 BA 以
每秒 2 个单位长△度的速度向终点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发，沿折线 AC—CB 以每秒
2 个单位长度的速度向点 B 运动．当点 P 到达终点时，点 Q 也停止运动．设运动的时间为 t
秒．
(1)AB= ；
(2)用含 t 的代数式表示线段 CQ 的长；
(3)当 Q 在 AC 上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，求 t 的值；
(4)设点 O 是 PA 的中点，当 OQ 与△ABC 的一边垂直时，请直接写出 t 的值．
20．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，与 轴交于点 连接 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图 ，点 为抛物线在第三象限的一个动点， 轴于点 ，交 于点 ， 于点 ，当 的面积为 时，求点 的坐标；
(3)如图 ，若 为抛物线上一点，直线 与线段 交于点 ，是否存在这样的点 ，使得以 ，
， 为顶点的三角形与 相似．若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
