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25.3 用频率估计概率
考点一：在随机事件中，一 个随机事件发生与否事先无法预测，表面上
看似无规律可循，但当我们做大 量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出
稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 稳定于某一个常数P，那么事件A发生的
频率P（A）=p 。
题型一：频率与概率的关系
1．（2022·河南平顶山·二模）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落地后，会出现如图1的两种情况．
图2是计算机模拟抛掷一枚硬币试验的折线图．下面判断正确的是（ ）
A．当抛掷的次数为300次时，正面朝上的次数大于200次
B．当抛掷的次数为500次时，记录数据为0.48，所以随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.48
C．当抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在0.5附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随
机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为0.5
D．当抛掷次数大于3000次时，随机掷一枚硬币“正面朝上”的频率一定为0.5
2．（2022·浙江·九年级单元测试）投掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，下列表达正确的是（ ）
A． 的值一定是 B． 的值一定不是
C．m越大， 的值越接近 D．随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性
3．（2022·江西吉安·九年级期末）下列说法正确的是（ ）A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
题型二：求某事件的频率
4．（2021·浙江·舟山市定海区第六中学九年级阶段练习）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个
蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现
的频率，如图，则n的值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
5．（2022·全国·九年级课时练习）在一次心理健康教育活动中，张老师随机抽取了40名学生进行了心理健康测试，
并将测试结果按“健康、亚健康、不健康”绘制成下列表格，其中测试结果为“健康”的频率是（ ）．
亚健
类型 健康 不健康
康
数据（人） 32 7 1
A．32 B．7 C． D．
6．（2022·全国·九年级专题练习）为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国
科技的发展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄报的制作： 、
“北斗卫星”： 、“ 时代”； 、“智轨快运系统”； 、“东风快递”； 、“高铁”．统计同学们所选
内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“ 时代”的频率是（ ）A．0.25 B．0.3 C．25 D．30
题型三：频率和概率的综合
7．（2022·全国·九年级专题练习）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某小
组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一
组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 …
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 …
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 …
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 ；
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
8．（2022·全国·九年级专题练习）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外都相同．小
颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表
是试验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 2000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 498
0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 0.249
摸到白球的频率
(1)摸到白球的概率的估计值是多少？请说明理由．（精确到0.01）
(2)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填序号）．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲．
③掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”．
9．（2022·全国·九年级单元测试）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外都相同．小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图根据统计图提供的信息解
决下列问题：
(1)摸到黑球的频率会接近 （精确到0.1）；
(2)若袋子中白球有4个，
①估算一下袋中两种颜色球共有 个；
②若小明又将a个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，摸出黑
球的概率估计值是多少？（用含a的式子表示）．
一、单选题
10．（2022·浙江温州·九年级期中）欢欢将自己的核酸检测二维码打印在面积为 的正方形纸上， 如图所示，
为了估计图中黑色部分的面积， 他在纸内随机掷点， 经过大量重复试验， 发现点落入黑色部分的频率稳定在
左右，据此可以估计黑色部分的面积约为（ ）A． B． C． D．
11．（2022·陕西师大附中九年级期中）一个不透明的箱子里装有 个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余
都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附
近，则可以估算出 的值为（ ）
A．3 B．5 C．10 D．12
12．（2022·全国·九年级专题练习）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了
如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球
D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
13．（2022·吉林·长春市第一〇八学校九年级期中）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察
某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，如表是这种
幼树移植过程中的一组统计数据：
1000
幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 15000 20000
0
幼树移植成活数
87 893 4485 7224 8983 13443 18044
（棵）
幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是（ ）（结果精确到0.1）A．0.902 B．0.90
C．0.89 D．0.9
14．（2022·辽宁·沈阳市第一二六中学九年级阶段练习）在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球
的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，
记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球的个数约为
（ ）
A．8 B．14 C．17 D．20
15．（2022·广东·九年级单元测试）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其
余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左
右，则袋中白球约有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
16．（2022·全国·九年级专题练习）某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘
制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块
C．布袋中有1个红球和2个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是4
17．（2022·浙江金华·九年级期中）对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，获得如下频数表．
抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000
合格频数 141 176 445 720 900
合格频率 0.88 0.94 0.88 0.89 0.90
(1)求 的值；
(2)估计这批衬衣的合格概率；
(3)若出售1200件衬衣，其中次品大约有多少件？一：选择题
18．（2022·全国·九年级专题练习）某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共
个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出 个球，发现 个是红球，估计袋中红球的个数是（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·浙江·瑞安市安阳实验中学九年级期中）在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的红、白两种颜色的
球共5个.某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色.再把它放回袋中.不断重复，下表是活
动中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 300 500 800 1000
摸到白球的次数m 54 98 174 295 484 602
摸到白球的频率
(1)请估计，当n很大时，摸到白球的概率接近 （结果精确到 ）.
(2)试估算口袋中白球的个数.
(3)在一次摸球游戏中，小明发现先后摸两次球（第一次放回），第一次摸到白球的概率为 ，第二次摸到白球的
概率也为 ，那么两次都摸到白球的概率为 ，根据以上信息，求事件 （第一次摸到红球，第二次摸到
白球）的概率.
20．（2022·全国·九年级专题练习）以下说法正确的是（ ）
A．小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上
C．某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖
D．在一次课堂进行的抛硬币试验中，同学们估计硬币落地后正面朝上的概率为0.51
21．（2022·全国·九年级专题练习）小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了
如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）A．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
B．从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率
C．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
22．（2022·浙江·舟山市第一初级中学九年级阶段练习）小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如
下表，若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（ ）
抛掷次数 100 200 300 400 500
正面朝上的频数 53 98 156 202 244
A．200 B．300 C．500 D．800
23．（2022·浙江·九年级单元测试）小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为
10cm2的长方形将不规则图案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不
规则图案上的次数（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图
②所示的折线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．4cm2 B．3.5 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2
24．（2022·全国·九年级专题练习）某人在做掷硬币试验时，抛掷m次，正面朝上有n次，则即正面朝上的频率是
P＝ ，下列说法中正确的是（ ）A．P一定等于
B．抛掷次数逐渐增加，P稳定在 附近
C．多抛掷一次，P更接近
D．硬币正面朝上的概率是
25．（2022·全国·九年级课时练习）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表所示，根据频率的稳定性，
估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( )
射击次数 20 80 100 200 400 1000
“射中九环以上”的次数 18 68 82 168 327 823
“射中九环以上”的频率
0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82
（结果保留两位小数）
A．0.90 B．0.82 C．0.85 D．0.84
二、填空题
26．（2022·云南楚雄·九年级期中）一副扑克牌去掉大小王后，只剩下52张牌，从中任取一张，记下花色，随着
试验次数的增加，出现红桃花色的频率将稳定在___________左右．
27．（2022·广东·深圳市南山外国语学校九年级期中）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干
个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小天为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，
再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中．不断重复上述过程．小天共摸了200次，其中有40
次摸到白球．因此小天估计口袋中的红球大约有______．
28．（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校九年级阶段练习）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同
的球，其中有a个白球和2个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复
试验后，发现摸到红球的频率稳定在 左右，则a的值约为__________．
29．（2022·全国·九年级单元测试）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单
位：g）：根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在 之间的概率约
为________．
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 49930．（2022·广东·九年级单元测试）某船队要对下月是否出海作出决策，若出海后是好天气，可得收益5000元；
若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要承担1000元的损失费，船队队长通过上网查
询下月的天气情况后，预测下月好天气的机会是 ，坏天气的机会是 ，则作出决策为________（填“出
海”、“不出海”）．
31．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）在一个不透明的盒子中，装有除颜色不同外其余均相同的6个
小球，进行摸球实验，实验数据如下表，则可估计盒子中红球有_________个．
摸球的次数 50 100 150
摸到红球的次
20 33 47
数
32．（2022·湖南·株洲景炎学校九年级期中）圆周率 是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等
数学家都对 有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出 的小数部分超过 万亿位．有学者发现，随着 小
数部分位数的增加， 这 个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从 的小数部分随机取出一个数字，估计数
字是 的概率为______．
33．（2022·陕西·无九年级阶段练习）一个不透明的袋中装有若干个红球和10个白球， 摇匀后每次随机从袋中摸
出一个球， 记下颜色后放回袋中， 通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中红球约为
_________个．
三、解答题
34．（2022·浙江·余姚市兰江中学九年级阶段练习）在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共20个，每
个球除颜色外完全相同．某学习兴趣小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出1个球，记下颜色后再放回袋中，
不断重复．下表是活动进行中的部分统计数据．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到红球的次数m 59 96 118 290 480 6000.59 0.58 0.60 0.60
摸到红球的频率
(1)完成上表；
(2)“摸到红球”的概率的估计值．（精确到0.1）
(3)试估算袋子中红球的个数．
35．（2022·湖南·长沙市华益中学三模）食品安全问题已经严重影响到我们的健康．某执法部门最近就食品安全抽
样调查某一家超市，从中随机抽样选取20种包装食品，并列出下表：
食品质量 优 良 合格 不合格 有害或有毒食品
数量 0 2 3 n 4
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查中，“食品质量为合格以上（含合格）”的频率为多少？
(2)若这家超市经销的包装食品共有1300种，请你估计大约有多少种包装食品是“有害或有毒”的？
36．（2022·广东·九年级单元测试）牛牛元旦那天和爸爸、妈妈一起回老家看望爷爷、奶奶．因为期末考试将至，
他把书包也带了去，准备抽空看看书．书包内有语文、数学、英语、物理四本课本．他想通过实验的方法了解从
书包中任意取出一本书，刚好是数学课本的机会有多大．于是他把四本课本的顺序打乱后，闭上眼睛从书包中任
取一本书，记录结果后将书放回书包后，再重复上面的做法，得到了下表中的数据
8
取书次数 40 120 160 200 240 280 320 360 400
0
取中数学课本的频 2
8 29 42 51 59 70 81 89 102
数 2
取中数学课本的频
率
(1)请根据表中提供的数据，求出取中数学课本的频率（精确到 ；
(2)根据统计表在图中画出折线统计图；
(3)从统计图中你发现了什么？
(4)你还能用别的替代物进行模拟实验吗？请说出一种方法．
37．（2022·全国·九年级专题练习）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共60个．小亮做摸
球实验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表
是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率
0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
(1)请估计：当n的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）
(2)假如你摸球一次，摸到白球的概率P（摸到白球）＝______，摸到黑球的概率P（摸到黑球）＝______；
(3)请估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少个？
38．（2022·全国·九年级课时练习）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除了颜色之外没有其他
任何区别，将袋中的球充分摇匀，闭眼从口袋中摸出一个球，经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在 ．
(1)估计摸到黑球的概率是_______；
(2)如果袋中原有黑球15个，估计原口袋中共有几个球？
(3)在（2）的条件下，又放入 个黑球，再经很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在 ，估计 的值．
39．（2022·全国·九年级期中）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下：
每批粒数n 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数m 65 111 136 345 560 700
0.65 0.74 0.68 0.69 a b
发芽的频率
(1)上表中a＝ ，b＝ ；
(2)请估计，当n很大时，频率将会接近 ；
(3)这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少？请简要说明理由；
(4)如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽估计可得到油菜秧苗多少棵？
40．（2022·全国·九年级单元测试）在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八
（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从
中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班
数据统计表：
摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500
摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606
0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b
摸到白球的频率(1)按表格数据，表中的 ________； ________；
(2)请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到0.1）；
(3)试估算：这一个不透明的口袋中红球有多少个？1．C
【分析】根据由频率估计概率的意义逐项判断即可．
【详解】根据图象可知当抛掷的次数为300次时，正面朝上的频率为0.5，
A.∴此次试验正面朝上的次数为300×0.5=150（次）<200次，故A错误；
B.随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率与抛掷的次数无关，故B错误；
C.根据在同样条件下，大量重复试验时，一个随机事件发生的频率逐渐稳定到一个稳定值时，这个稳定的频率的
值可以作为这个事件发生的概率，故C正确；
D.随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率与抛掷的次数无关，故D错误；
故选C．
【点睛】本题考查由频率估计概率．掌握在同样条件下，大量重复试验时，一个随机事件发生的频率逐渐稳定到
一个稳定值时，这个稳定的频率的值可以作为这个事件发生的概率是解题关键．
2．D
【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可
【详解】投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是 ，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件， 是
它的频率，随着m的增加， 的值会在 附近摆动，呈现出一定的稳定性；
故选：D
【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生
的时间．
3．B
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而
不是一种必然的结果，根据选项一一判断即可．
【详解】某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，A错；
某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是 ，
B正确；
当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，C错；
试验得到的频率与概率有可能相等，D错．
故选：B
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．
4．B
【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近，
∴
解得 n=3
故选：B．
【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．
5．D
【分析】结合题意，根据频率的定义计算，即可得到答案．
【详解】根据题意，得测试结果为“健康”的频率是
故选：D．
【点睛】本题考查了抽样调查的知识；解题的关键是熟练掌握频率的性质，从而完成求解．
6．B
【分析】先计算出八年级（3）班的全体人数，然后用选择“5G时代”的人数除以八年级（3）班的全体人数即可．
【详解】由图知，八年级（3）班的全体人数为： （人）
选择“5G时代”的人数为：30人
∴选择“ 时代”的频率是：
故选：B．
【点睛】本题考查了频数分布直方图的读取，及相应频率的计算，熟知以上知识是解题的关键．
7．(1)0.6
(2)0.6，0.4
(3)12个
【分析】（1）本题需先根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．
（2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率．
（3）根据口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球有多少只．
【详解】（1）解：根据题意可得当 很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
故答案为：0.60；
（2）解：因为当 很大时，摸到白球的频率将会接近0.60；
所以摸到白球的概率是0.6；
摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.6，0.4；
（3）解：因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4，
所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球是 个，
黑球是 个．【点睛】本题主要考查了如何利用频率估计概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系．
8．(1)0.25，理由见解析
(2)②
【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.25，由此得出答案；
（2）根据概率公式求出各自的概率，然后与（1）比较，即可得出答案．
（1）
解：摸到白球的概率的估计值是0.25；
理由：大量重复实验下，摸到白球的频率稳定在0.25附近，0.25即概率的估计值；
（2）
解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率是 ；
②甲、乙、丙、丁四人用抽签的方式产生一名幸运观众，正好抽到甲的概率是 ＝0.25；
③掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“小于3”的概率是 ＝ ；
综上所述，符合（1）中结果的试验最有可能的是②，
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，理解频率和概率之间的关系是解决问题的关键．
9．(1)0.5
(2)①8；②
【分析】（1）根据统计图找到摸到黑球的频率稳定到的常数即可求解；
（2）①摸到黑球的频率接近0.5知摸到白球的频率约为0.5，用白球个数除以其对应频率可得球的总个数的估计值．
（1）
摸到黑球的频率会接近0.5，
故答案为：0.5．
（2）
①∵摸到黑球的频率接近0.5，
∴白球的频率约为0.5，
则估算袋中两种颜色球共有4÷0.5=8（个）；
故答案为：8．
②小明又将a个相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，则袋中球的总个数约为（a+8）个，其中黑球的个数为
（a+4）个，当重复大量试验后，摸出黑球的概率估计值是 ．
【点睛】本题主要考查概率公式和频率估计概率，熟练掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解
题的关键．
10．D
【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的面积为
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆
动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个
事件的概率．
11．C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根
据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．
【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.3，
∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.3，
∴ ，
∴ ，
经检验 是原方程的解．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解分式方程，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．
12．B
【分析】根据统计图可知，试验结果在 附近波动，即其概率 ，计算四个选项的概率，约为 者即为
正确答案．
【详解】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为 ，故本选项不符合题意；
B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为 ，故本选项符合题意；
C、暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为 ，故本选项不符合题
意；
D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 ；故本选项不符合题意．故选：B．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数
与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
13．D
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率
稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：∵幼树移植数20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902，
∴估计幼树移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9．
故选：D．
【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
14．C
【分析】用黑球的个数除以摸到黑球频率得出球的总个数，继而得出答案．
【详解】解：由题意知，袋中球的总个数约为 （个），
所以袋中红球的个数约为 （个），
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆
动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个
事件的概率．
15．B
【分析】根据题意可得摸到红球的频率稳定在0.6左右，可得袋中球的总数，即可求解．
【详解】解： 经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，
摸到红球的频率稳定在0.6左右，
袋中装有若干个白球和15个红球，
袋中球的总数为： ，
袋中白球约有： （个 ，
故选：B．
【点睛】此题考查了用频率估计概率，以及概率公式，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相
同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率 是解题的关键．
16．D
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.17左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“剪刀”的概率是 ，不符合题意；
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是 ，不符合题意；C．布袋中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率是 ，不符合题意；
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率是 ，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动
的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事
件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通
过统计频率来估计概率．
17．(1)
(2)0.9
(3)120
【分析】（1）根据频数÷总数=频率分别求解即可；
（2）根据（1）中所求即可得出任取1件衬衣是合格品的概率；
（3）利用总数× （1-合格率）可得结果．
【详解】（1）解：100×0.88=88，900÷1000=0.9．
故答案为：0.88，0.90．
（2）解：根据频率可靠性可知总数越大时频率越稳定，则任意抽一件衬衣是合格品的概率的估计值为0.9．
答：计这批衬衣的合格概率为0.9．
（3）解：估计次品的数量为1200×(1－0.9)＝120（件）．
答：次品大约有120件．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆
动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个
事件的概率．
18．A
【分析】先求摸到红球的频率，再用20乘以摸到红球的频率即可．
【详解】摸到红球的频率为 ，
估计袋中红球的个数是 个 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，关键是求出摸到红球的频率．
19．(1)
(2)白球3个
(3)【分析】（1）根据统计表中第三行的数据即可得；
（2）用频率估计概率可得摸到白球的概率，再利用概率公式即可求得；
（3）根据题意，利用列表列出随机摸出两个球的所有可能的结果，再找出第一次摸到红球，第二次摸到白球的结
果，最后利用概率公式计算即可得.
【详解】（1）统计表中第三行的数据分别为： ，
因此，当 很大时，摸到白球的频率将会接近 ，
故答案为： ；
（2）由（1）可得摸到白球的概率为0.6，设口袋中白球个数为x个
则 ，解得 ，
即口袋中白球个数为3个；
（3）由题意，若有5个球，则有3个白球，2个红球，将这5个球依次标记为 ，其中 表示白球，
表示红球.因此，两次摸球的所有可能的结果有25种，如下表所示：
第一次
第二次
它们每一种结果出现的可能性相等
从表中看出，事件 ：第一次摸到红球，第二次摸到白球，即
故所求的概率为 .
【点睛】本题考查了用频率估计概率、用列举法求概率，依据题意列出所有可能的结果是解题关键.
20．D【分析】根据概率的意义逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，
∴钉尖朝上的频率是：3÷10＝ ，试验次数太少，频率不能说明概率；故选项A错误；
∵随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后可能反面朝上，也可能正面朝上，故选项B不正确；
∵买100张彩票不一定会有2张中奖，可能少于2张，也可能多于2张，故选项C不正确；
∵抛硬币试验中，硬币落地后正面朝上的概率为：1÷2＝0.5，多次试验后可用出现频率0.51来表示概率0.5；故选
项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是概率的意义及频率估计概率，解题的关键是熟练的掌握概率的意义及频率估计概率．
21．C
【分析】根据统计图可知，实验结果频率在33%左右，因此事件的概率也为33%，符合此概率的即为正确答案．
【详解】A、掷一枚硬币，正面朝上的概率为 ，故A选项错误，不符合题意；
B、从一副去掉大小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃的概率为 ，故B选项错误，不符合题意；
C、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球，摸到红球的概率为 ，故C选项正确，
符合题意；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率在是50%，故D选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，分别求得每个选项的概率是解题的关键．
22．C
【分析】随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到 附近，
∴当抛掷硬币的次数为1000时，“正面朝上”的频数最接近 次．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率可以估计概率，难度
不大．
23．B
【分析】本题分两部分求解，首先设不规则图案的面积为x cm2，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面
积大小，继而根据折线图用频率估算概率，综合以上列方程求解即可．
【详解】解：假设不规则图案的面积为x cm2，
由已知得：长方形面积为10cm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落
在不规则图案的概率大约为0.35，
综上： =0.35，
解得：x=3.5，
∴不规则图案的面积大约为3.5cm2，
故选：B．
【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行题目创新，解题的关键在于理解题意，能从
复杂的题目背景中找到考点化繁为简．
24．B
【分析】根据频率估计概率分别进行判断．
【详解】解：某人在做掷硬币实验时，抛掷m次，正面朝上的有n次（即正面朝上的频率P＝ ，），则抛掷次
数逐渐增加时，p稳定在 左右．
故选B．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左
右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的
近似值就是这个事件的概率．
25．B
【分析】利用频率估计概率即可．
【详解】解：根据表格可知，经过多次实验后，“射中九环以上”的频率稳定在0.82附近，
故这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是0.82，
故选：B．
【点睛】此题考查了利用频率估计事件的概率，正确理解频率与概率的关系是解题的关键．
26． ##0.25
【分析】根据多次试验的频率与概率的关系解答即可．
【详解】解：∵一副扑克牌去掉大小王后，剩下52张牌中，四种花色都是13张，
∴从中任取一张，记下花色，随着试验次数的增加，出现红桃花色的频率将稳定在 左右．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了频率和概率的关系，即大量重复实验后频率稳定在概率附近．
27．20
【分析】求出口袋中的球的总数量，即可求解．【详解】解：根据题意得：口袋中的球大约共有 ，
所以口袋中的红球大约有 个．
故答案为：20
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据题意求出口袋中的球的总数量是解题的关键．
28．8
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳
定在 左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】解：根据题意得 ，
解得： ， 经检验： 是分式方程的解，
故答案为：8．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
29． ##0.25
【分析】找出袋装食盐质量在 之间的数据个数，再除以总的袋数即可求解．
【详解】解：从表中可以看出，有5个数据在 之间．即20个数据中，符合条件的有5个，即概率
为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．
30．出海
【分析】利用概率算出获得收益的平均值比较即可．
【详解】解： 预测下月好天气的机会是 ，坏天气的机会是 ， ，
下月是好天气的可能性 坏天气的可能性；
又 若出海后是好天气，可得收益5000元；若出海后天气变坏，将要损失2000元；若不出海，无论天气好坏都要
承担1000元的损失费，
出海的话，获得平均收益（获得收益的数学期望） （元 ，
不出海： （元 ，
，
船队队长作出决策为：出海．
故答案为：出海．
【点睛】本题主要考查概率的实际应用，能够通过概率算出平均收获是解题关键．31．2
【分析】用球的总个数乘以摸到红球的总次数占摸球的总次数即可．
【详解】解：估计盒子中的红球有：
（个），
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆
动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个
事件的概率．
32． ##0.1
【分析】从 的小数部分随机取出一个数字共有 种等可能的结果，其中出现数字 的只有 种结果，利用概率公
式求解即可．
【详解】解： 随着 小数部分位数的增加， 这 个数字出现的频率趋于稳定接近相同，
从 的小数部分随机取出一个数字共有 种等可能的结果，其中出现数字 的只有 种结果，
(数字是6) ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这
个事件的概率是解题的关键．
33．15
【分析】根据口袋中有10个白球，利用白球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可.
【详解】∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，口袋中有10个白球
假设有x个红球，
则
解得：x=15
∴口袋中有红球约为15个
故答案为：15
【点睛】本题主要考查利用频率估计随机事件的概率，根据已知白球的频率得出与试验比例应该相等是解题关键．
34．(1)0.64，0.58
(2)0.6
(3)12【分析】（1 ）用摸到红球的次数除以所有摸球次数即可求得摸到红球的概率；
（2 ）大量重复试验频率稳定到的常数即可得到概率的估计值；
（ 3）用求得的摸到红球的概率乘以球的总个数即可求得红球的个数．
【详解】（1） ， ，
填表如下：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到红球的次数m 59 96 118 290 480 601
0.59 0.64 0.58 0.58 0.60 0.601
摸到红球的频率
故答案为：0.64，0.58；
（2）观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数0.6附近，
故“摸到红球”的概率的估计值是0.6．
故答案为：0.6；
（3） （个）．
答：口袋中约有红球12个．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率
附近．
35．(1)0.25
(2)260种
【分析】（1）利用频率＝频数÷总数进行计算即可；
（2）先求出样本中“有害或有毒”的频率，再利用总数×频率进行计算即可．
（1）
解：由表格知：食品质量为合格以上（含合格）的数量为： 种，
∴频率 ；
（2）
解：由题意得： ，
（种）；
∴大约有260种包装食品是“有害或有毒”的．
【点睛】本题考查频率的计算，以及利用样本频率估计总体数量．熟练掌握频率的计算公式是解题的关键．
36．(1)0.250
(2)见解析(3)见解析
(4)能，用扑克牌，每一种只取一张，即能替代
【分析】（1）利用频数÷次数计算即可．
（2）利用（1）的数据画图即可．
（3）用频率估计概率即可．
（4）利用常见事物替代即可．
（1）
解： ；
；
；
；
；
；
；
；
；
；
（2）
统计图如图
（3）
解：取中数学课本的频率随着取书次数的增加，越来越接近0.25
（4）
能，用扑克牌，每一种只取一张，即能替代．
【点睛】本题主要考查利用频率估算概率的方法，按照步骤解题即可．
37．(1)0.6
(2)0.6,0.4(3)黑球有24只，白球有36只
【分析】（1）根据次数很大时，频率会趋于稳定可得答案；
（2）利用次数很大时，频率估计概率可得答案；
（3）黑球个数=球的总数×得到黑球的概率．
【详解】（1）解：当n的值越来越大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）根据频率估计概率可得，摸到白球的概率P（摸到白球）=0.6，
摸到黑球的概率P（摸到黑球）=1-0.6=0.4，
故答案为：0.6，0.4；
（3）60×0.4＝24， 60-24＝36．
∴黑球有24只，白球有36只．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握大量反复实验下频率稳定值即概率是解题的关键．
38．(1)
(2)估计原口袋中共有40个球
(3)估计 的值为60
【分析】（1）利用频率估计概率即可得出答案；
（2）设原口袋中有m个球，根据题意得 ，解之即可得出答案；
（3）根据题意得 ，解之即可得出答案．
（1）
解：∵经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在 ，
∴估计摸到黑球的概率是 ．
故答案为： ．
（2）
设原口袋中有m个球，根据题意得：
，
解得：m＝40，
经检验m＝40是分式方程的解，且符合题意，
答：袋中原有40个球．（3）
解：根据题意得： ，
解得：n＝60，
经检验n＝60是分式方程的解，且符合题意，
∴n＝60．
答：估计 的值为60．
【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势，估计概率，这个固定的近似值就是这
个事件的概率．
39．(1)0.70；0.70
(2)0.70
(3)0.70，在相同条件下，当实验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值
(4)6300
【分析】（1）用发芽的粒数m÷每批粒数n，即可得到发芽的频率 ；
（2）根据估计得出频率即可；
（3）6批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当n很大时，频率将
接近0.7；
（4）首先计算发芽的种子数，然后乘以90%计算得到油菜秧苗的棵数即可．
（1）
解：a= =0.70，b= =0.70；
故答案为：0.70；0.70；
（2）
当n很大时，频率将会接近0.70；
故答案为：0.70；
（3）
这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70，
理由：在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值；
（4）
10000×0.70×90%=6300（棵），
答：10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与
总情况数之比．40．(1)123，0.404
(2)0.4
(3)15个
【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数，即可求解；
（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；
（3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，根据白球的个数求出球的总个数，再利用球的总个数减去白球的
个数，即可得出红球的个数．
（1）
解： ， ，
故答案为：123，0.404．
（2）
解：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4．
故答案为：0.4．
（3）
解：由题意得，摸到白球的概率为0.4，
因此球的总个数为： （个），
红球个数为：25−10=15（个）．
即这一个不透明的口袋中红球有15个．
